高等數(shù)學(xué)第六版(同濟(jì)版)第七章復(fù)習(xí)資料

1、第七章 微分方程一、微分方程簡介：微分方程是在微積分的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，是數(shù)學(xué)分析的重要分支，它是從微觀入手，通過變量與變化率的關(guān)系研究客觀世界物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，因而是從局部出發(fā)窺知全局的有效的數(shù)學(xué)工具，是人類探索世界奧妙的有力武器.例如，1864年，德國天文學(xué)家伽勒根據(jù)法國數(shù)學(xué)家勒維烈和英國數(shù)學(xué)家亞當(dāng)斯所提供的微分方程的解答，用天文望遠(yuǎn)鏡按圖索驥發(fā)現(xiàn)了海王星，被傳為顯示微分方程威力的佳話.二、應(yīng)用：微分方程在物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、天文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、考古學(xué)、心理學(xué)等范圍廣泛的自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中都得到極有價(jià)值的應(yīng)用.三、分類 ：常微分方程；偏微分方程數(shù)理方程.這一章主要給大家介紹微分方程的一些

2、基本概念和常用的微分方程的解法.§7.1 微分方程的基本概念一、實(shí)例例1. 一曲線通過點(diǎn)，在該曲線上任意點(diǎn)處的切線斜率為, 求該曲線的方程.解：設(shè)所求曲線方程為,由題可知：，或，兩端積分得 ， 又時(shí)，從而，于是所求曲線方程為 .例2. 列車在平直路上以(相當(dāng)于)的速度行駛, 制動(dòng)時(shí)獲得加速度.問開始制動(dòng)后多少時(shí)間列車才能停住以及列車在這段時(shí)間里行駛了多少路程？解：設(shè)列車在制動(dòng)后秒行駛了米，則有函數(shù)，由題可得 ，兩端積分得 ，上式兩端積分得 ，又由于時(shí)，有；時(shí)，有，從而 ，.又列車制動(dòng)秒后停止時(shí)，從而制動(dòng)時(shí)間，代入，得.以上兩個(gè)例題的求解過程中都出現(xiàn)了含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式：；，像

3、這樣的方程就是微分方程，有時(shí)也簡稱方程.二、微分方程的基本概念1. 微分方程：一般地，稱表示未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)與自變量之間關(guān)系的方程為微分方程.常微分方程：未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程.偏微分方程：未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程.2. 微分方程的階：方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程的階.注：一般地, 階微分方程的形式是，或.例如：為三階微分方程；為四階微分方程.3. 微分方程的解：稱使微分方程成為恒等式的函數(shù)為微分方程的解.微分方程的通解：稱所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同的解為微分方程的通解.注：由于通解中任意常數(shù)的出現(xiàn)，導(dǎo)致微分方程不能完全確定地反映某一客觀事物的規(guī)律性

4、.微分方程的特解：稱不含任意常數(shù)的解為微分方程的特解.如何得到特解呢？有兩種辦法：一是觀察方程直接得到；二是根據(jù)已知條件確定通解中的任意常數(shù)，這要用到下面的定解方法初始條件：4. 初始條件：(1). 階方程的初始條件：.(2). 初始問題：.如：例1 中，微分方程為，通解為：，初始條件為：，特解為：.例2 中，微分方程為，通解為：，初始條件為：，特解為：.注：1°.微分方程的解在圖形上表示一條曲線，稱為微分方程的積分曲線.2°.初值問題的幾何意義就是求微分方程的通過點(diǎn)的那條積分曲線.例3. 驗(yàn)證函數(shù)(為常數(shù))是微分方程的解，并求滿足初始條件 的特解 . 解：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，有

5、，由于 ，所以函數(shù)是微分方程的解.利用初始條件得，故所求特解為.§7.2可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程1.一階對(duì)稱式微分方程：稱形如的微分方程為一階對(duì)稱式微分方程.注：1°若，則有；若，則有.2°.有些一階微分方程可用直接積分法求解，如，轉(zhuǎn)化成，兩端積分得到這個(gè)微分方程的通解 .有些一階微分方程不能用直接積分法求解，如.那這樣的一階微分方程又怎樣求解呢？這就要用到可分離變量的微分方程及其解法.2.可分離變量的微分方程：稱形如的微分方程為可分離變量的微分方程.例如：，當(dāng)時(shí)就是可分離變量的微分方程，即.二、可分離變量的微分方程的解法1. 命題：若可分離變

6、量的微分方程中的函數(shù)和連續(xù)，且函數(shù)和分別是和的原函數(shù)，則為微分方程的解，稱其為該方程的隱式通解.證明：設(shè)是方程的解，有，兩端積分得，即，因此滿足.反之，設(shè)為關(guān)系式所確定的隱函數(shù)，當(dāng)時(shí)，由隱函數(shù)求導(dǎo)法有，即，從而所確定的隱函數(shù)是方程的解.注：若，則方程所確定的隱函數(shù)也是方程的解.2. 可分離變量的微分方程的求解步驟(1). 分離變量，將方程寫成的形式;(2). 兩端積分：，得隱式通解；(3). 將隱函數(shù)顯化.例1. 求微分方程的通解.解：當(dāng)時(shí)，此方程為可分離變量的微分方程，分離變量得 ，兩端積分 ，得 ，從而有 .又也是方程的解，故方程的通解為.例2. 解初值問題.解：當(dāng)時(shí)，方程為可分離變量的微

7、分方程，分離變量得 ， 兩端積分 ，得 ， 即 .由初始條件得，故所求特解為.例3. 求微分方程的解.解：當(dāng)時(shí)，此方程為可分離變量的微分方程，分離變量得 ， 兩端積分得 ，于是為方程的通解.但也是方程的常數(shù)解，但不屬于通解.說明: 通解不一定是方程的全部解，即特解不總包含于通解中.例4. 已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變?cè)拥暮砍烧? 又已知時(shí)鈾的含量為，求在衰變過程中鈾含量隨時(shí)間的變化規(guī)律. 解：由題可知 ，為正常數(shù)，稱為衰變系數(shù)，且衰變速度是減小的，此方程為可分離變量的微分方程，分離變量得 ，兩端積分得 ，即 . 又由初始條件,有，故所求鈾的變化規(guī)律為.§7.3齊次方程

8、一、齊次方程：稱形如的一階微分方程為齊次方程.例如：方程是齊次方程，因?yàn)?二、齊次方程的解法及步驟(1). 解法：引進(jìn)未知函數(shù)，化齊次方程為可分離變量方程，即用變量替換法求解.(2). 步驟：引進(jìn)新變量，有及；代入原方程得：；分離變量后求解，即解方程；變量還原，即再用代替.例1. 解方程.解：原方程可化為 ，此方程為齊次方程. 令，則，有 ，于是原方程變?yōu)椋?，整理得 ，分離變量得 ，兩端積分 ， 得 ，用代替上式中的，得到所給方程的通解為 ，或.例2. 解方程.解：原方程可化為， 此方程為齊次方程.令，則，有 ，于是原方程變?yōu)椋?，整理?，分離變量得 ，兩端積分 ，得 ，或 ，用代替上式中的

9、，得到所給方程的通解為 .§7.4一階線性微分方程一、一階線性微分方程：稱形如的微分方程為一階線性微分方程.注：1°.若，則稱方程為一階齊次線性微分方程；2°.若，則稱方程為一階非齊次線性微分方程.二、一階線性微分方程的解法：1. 一階齊次線性微分方程的解法: 分離變量法.對(duì)方程，當(dāng)時(shí)分離變量得，兩端積分得, 或，()又也是原方程的解，故原方程的通解為,().(公式)2. 一階非齊次線性微分方程的解法: 常數(shù)變易法.對(duì)方程，設(shè)為其通解，其中為未知函數(shù)，從而有 ，代入原方程有 ，整理得 ，兩端積分得 ，再代入通解表達(dá)式，便得到一階非齊次線性微分方程的通解 ，(公式)

10、即非齊次線性方程通解=齊次線性方程通解+非齊次線性方程特解.例1. 求方程的通解.解：此方程為非齊次線性微分方程，先求對(duì)應(yīng)的齊次線性方程的通解，由于,分離變量得 ，兩端積分得 ，整理得 .下面用常數(shù)變易法求非齊次線性方程的通解. 令為非齊次方程的通解，從而有 ，將這兩式代入非齊次方程得.兩端積分得，代入非齊次方程的通解表達(dá)式得 .例2. 解方程.解：方法1. 取做自變量，有，為關(guān)于及其導(dǎo)數(shù)的一階非齊次線性微分方程.方法2. 作變換 ，則，有 ，代入原方程得 ，即 ，為可分離變量方程.練習(xí)：判別下列方程類型(1). ，可分離變量方程.(2). ，齊次方程.(3). ，線性方程.內(nèi)容小結(jié)：本節(jié)講述

11、了一階線性微分方程的解法: 方法1：先解齊次線性微分方程 , 再用常數(shù)變易法解非齊次線性微分方程.方法2：用通解公式：§7.5可降階的高階微分方程一、型微分方程的解法求解過程：令，則，兩端積分得 ，即 ，再兩端積分得，依次通過次積分, 可得方程的含有個(gè)任意常數(shù)的通解.例1.求微分方程的通解.解：原方程兩端積分得 ，兩端積分得 ，兩端積分得原方程的通解：，.二、型微分方程的解法求解過程：設(shè)，則，原方程化為一階微分方程，設(shè)其通解為 ，即 ，兩端積分得型微分方程原方程的通解: .例2. 求微分方程滿足初始條件的特解.解：原方程屬型，設(shè)，則，代入原方程有 ，由于，分離變量得 ，兩端積分，得

12、，即，從而有，又由初始條件，有，從而 ，兩端積分得，又由初始條件，有，于是得所求特解為 .三、 型微分方程的解法求解過程：設(shè)，則由隱函數(shù)求導(dǎo)法則有 ，于是原方程化為一階微分方程，設(shè)其通解為，即,分離變量得，兩端積分得型微分方程的通解：.例3.求微分方程的通解.解：原方程屬型，設(shè)，則有，代入原方程有 ，當(dāng)時(shí)分離變量得 ，兩端積分得 ，即，從而，分離變量得 ,兩端積分得 ,即 ，.但也是原方程的特解，故所求通解為.例4.求微分方程滿足初始條件的特解.解：設(shè)，則有，代入原方程有，整理得，兩端積分得 ，由初始條件得，即，從而.于是由，即，又，故，即，分離變量得 ，兩端積分得 ，再由初始條件有，于是所求

13、通解為.內(nèi)容小結(jié)：本節(jié)講述了可降階微分方程的解法：降階法1. 逐次積分.2. 令，有.3.，則，有.§7.6高階線性微分方程一、二階線性微分方程：稱形如的方程為二階線性微分方程.注：1°若，則稱方程為二階齊次線性微分方程；2°. 若，則稱方程為二階非齊次線性微分方程.二、二階齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理1.若函數(shù)是二階齊次線性微分方程的兩個(gè)解，則也是該方程的解，其中為任意常數(shù). (疊加原理) 注：不一定是所給二階齊次線性微分方程的通解.例如：是某二階齊次線性微分方程的解,則也是該方程的解，但并不是該方程的通解.為解決二階齊次線性微分方程通解的判別問題, 下面引入函

14、數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān).定義:設(shè)為定義在區(qū)間上的個(gè)函數(shù)，若存在個(gè)不全為的常數(shù)，使得，則稱這個(gè)函數(shù)在區(qū)間上線性相關(guān)，否則稱為線性無關(guān).例如：在任何區(qū)間上都線性相關(guān)，因?yàn)槿r(shí)，；又如： 在任何區(qū)間上都線性無關(guān)，若在某區(qū)間上恒成立，根據(jù)二次多項(xiàng)式至多只有兩個(gè)零點(diǎn)可知，必須全為零.注：兩個(gè)函數(shù)線性相關(guān)與線性無關(guān)的判別：1°.兩個(gè)函數(shù)的比為常數(shù)兩個(gè)函數(shù)線性相關(guān)；2°.兩個(gè)函數(shù)的比不為常數(shù)兩個(gè)函數(shù)線性無關(guān).思考：若中有一個(gè)恒為，則必線性相關(guān).有了函數(shù)組線性相關(guān)或線性無關(guān)的概念后，我們可以得到關(guān)于二階齊次線性微分方程通解結(jié)構(gòu)的定理.定理 2. 若函數(shù)是二階齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的

15、特解，則是該方程的通解，其中為任意常數(shù).例如, 二階齊次線性微分方程有特解：，又常數(shù)，則，線性無關(guān)，故原方程的通解為 .三、二階非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 定理 3. 設(shè)是二階非齊次線性微分方程的一個(gè)特解，是相應(yīng)的齊次線性微分方程的通解，則是該非齊次線性微分方程的通解.例如, 二階非齊次線性微分方程有特解,對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程有通解,因此該方程的通解為.二階非齊次線性微分方程的特解也可由下述定理求出.定理 4. 設(shè)分別是二階非齊次線性微分方程與的特解,則是二階非齊次線性微分方程的特解. (二階非齊次線性微分方程解的疊加原理) 例1. 設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性微分方程的特解，為任意常數(shù)

16、，則該方程的通解是 ( ).()； ()；()； ()解：. 與是對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的特解，且二者線性無關(guān),故是該齊次線性微分方程的通解，再由定理3得是該非齊次線性微分方程的通解.例2. 已知二階線性微分方程有三個(gè)解，求此方程滿足初始條件的特解.解：與是對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程的解,并且常數(shù)，因而與線性無關(guān)，故原方程通解為 ，代入初始條件，得，故所求特解為.§7.7常系數(shù)齊次線性微分方程一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程:稱形如的方程為二階常系數(shù)齊次線性微分方程，其中為常數(shù).二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法1.特征方程：稱方程為二階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程.推導(dǎo)：當(dāng)為常數(shù)時(shí)，

17、根據(jù)指數(shù)函數(shù)和它的各階導(dǎo)數(shù)都只差一個(gè)常數(shù)因子的特性，嘗試選擇適當(dāng)?shù)某?shù)，使得為二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解.對(duì)求導(dǎo)得 ，將、及代入二階常系數(shù)齊次線性微分方程，得，由于，從而有，稱之為二階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程.容易知道特征方程的解對(duì)應(yīng)的指數(shù)函數(shù)就是上述二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解.2.特征根：特征方程的根稱為微分方程的特征根. 下面根據(jù)特征根的情況研究二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解.3.二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解(1).當(dāng),特征方程有兩個(gè)相異實(shí)根，則微分方程有兩個(gè)線性無關(guān)的特解: ，因此該方程的通解為.(2).當(dāng),特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根 ，則微分方程有一個(gè)特解: ，設(shè)另一特解

18、為，其中為待定函數(shù).有，代入原方程得 ，整理得 ，由于以及，故不防取，于是，因此該方程的通解為.(3).當(dāng),特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根，這時(shí)原方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解:，利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關(guān)特解:，因此該方程的通解為.總結(jié)：求二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解的步驟.第一步：寫出微分方程的特征方程：.第二步：求出特征方程的兩個(gè)根: ，.第三步：根據(jù)特征方程兩個(gè)根的不同情況，寫出二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解：特征根通解例1. 求微分方程的通解.解：該方程的特征方程為，有兩個(gè)不等實(shí)根:，故原方程的通解為.例2.求方程滿足初始條件 的特解.解：該方程的特征方程為，有兩個(gè)相等實(shí)根:，因此原方

19、程的通解為 ，將初始條件代入上式得，從而有 和將初始條件代入上式得，于是所求特解為 .例3.求微分方程的通解.解：該方程的特征方程為，有兩個(gè)共軛復(fù)根，因此原方程的通解為 .§7.8常系數(shù)非齊次線性微分方程一、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程:稱形如的方程為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，其中為常數(shù)，.二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法(一).解的結(jié)構(gòu)：，其中是對(duì)應(yīng)的二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解，是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的特解.下面我們根據(jù)的兩種常見形式來求二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解.(二).特解的求法待定系數(shù)法：由的特殊形式,給出特解的待定形式，代入原方程比較兩端表達(dá)式

20、以確定待定系數(shù).1. 型微分方程的特解：若是特征方程的重根，則其特解形式為： ()其中為常數(shù)，、為次多項(xiàng)式.求解步驟：設(shè)特解為，其中為待定多項(xiàng)式，有，代入原方程并消去, 得, (*). 若不是特征方程的根, 即，則取為另一個(gè)次多項(xiàng)式：，代入 (*) 式比較兩端同次冪的系數(shù)可以得到的值.從而得到特解形式為. 若是特征方程的單根, 即，則為一個(gè)次多項(xiàng)式，可取為，用同(1)中的方法可以得到的值.從而得到特解形式為. 若是特征方程的重根, 即，則為一個(gè)次多項(xiàng)式，可取為，用同(1)中的方法可以得到的值.從而得到特解形式為.例1. 求微分方程的一個(gè)特解.解：該方程為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，屬型，其中.原方程對(duì)應(yīng)的齊次線性方程為 ，它的特征方程為 .由于不是特征方程的根，故可設(shè)所求特解為，帶入原方程得 ，比較系數(shù), 得，解得.于是所求特解為.例2