微積分數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1、12一、導(dǎo)數(shù)的定義一、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、導(dǎo)數(shù)公式四、導(dǎo)數(shù)公式五、微分五、微分三、導(dǎo)數(shù)的物理意義三、導(dǎo)數(shù)的物理意義六、積分六、積分3關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明：關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明： 導(dǎo)數(shù)概念是概括了各種各樣的變化率而得出的一個導(dǎo)數(shù)概念是概括了各種各樣的變化率而得出的一個更一般、更抽象的概念，它撇開了變量所代表的特殊更一般、更抽象的概念，它撇開了變量所代表的特殊意義，而純粹從數(shù)量方面來刻畫變化率的本質(zhì)意義，而純粹從數(shù)量方面來刻畫變化率的本質(zhì).,0慢慢程程度度而而變變化化的的快快因因變變量量隨隨自自變變量量的的變變化化反反映映了了它它處處的的變變化化率率點點導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是因因變變量量在

2、在點點x平平均均變變化化率率為為端端點點的的區(qū)區(qū)間間上上的的和和在在以以是是xxxyxy 004.)(,)(內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在開區(qū)間在開區(qū)間就稱函數(shù)就稱函數(shù)處都可導(dǎo)處都可導(dǎo)內(nèi)的每點內(nèi)的每點在開區(qū)間在開區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)IxfIxfy .)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或或記作記作的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)這個函數(shù)叫做原來函數(shù)這個函數(shù)叫做原來函數(shù)導(dǎo)數(shù)值導(dǎo)數(shù)值的一個確定的的一個確定的都對應(yīng)著都對應(yīng)著對于任一對于任一 xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或5由定義求導(dǎo)數(shù)（三步法）由定義求導(dǎo)數(shù)（三步法）步驟步驟:(1)()( );yf x

3、xf x 求增量()( )(2);yf xxf xxx算比值0(3)lim.xyyx 求極限例例1 1.)()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為常數(shù)為常數(shù)求函數(shù)求函數(shù)CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即6例例 1 求函數(shù)求函數(shù) f (x) = x2 在在 x0 = 1 處的導(dǎo)數(shù)，即處的導(dǎo)數(shù)，即 f (1).解解 第一步求第一步求 y ： y = f (1+ x) - - f (1) = (1+ x)2 - - 12= 2 x +( x)2 .).0(2)(22 xxxxxxy第三步求極限：第三步求極限：. 2)2(limlim00 xxyxx所以，所

4、以， f (1) = 2.第二步求第二步求 ：xy 7例例 2求曲線求曲線 y = x2 在點在點 ( (1, 1) ) 處的切線和處的切線和法線方程法線方程.解解從例從例 1 知知 (x2) |x=1 = 2 , 即點即點 ( (1, 1) ) 處的處的切線斜率為切線斜率為 2 ， 所以所以, 切線方程為切線方程為y 1 = 2(x - - 1).即即y = 2 x - - 1.法線方程為法線方程為).1(211 xy即即.2321 xy8四、導(dǎo)數(shù)的物理意義四、導(dǎo)數(shù)的物理意義對于不同的物理量有著不同的物理意義對于不同的物理量有著不同的物理意義. 例如變速直線運動路程例如變速直線運動路程 s

5、= s(t) 的導(dǎo)數(shù)，就是的導(dǎo)數(shù)，就是速度，即速度，即 s (t0) = v(t0). 我們也常說路程函數(shù)我們也常說路程函數(shù) s(t) 對時間的導(dǎo)數(shù)就是速度對時間的導(dǎo)數(shù)就是速度.91 1）變速直線運動中）變速直線運動中：路程對時間變化率是速路程對時間變化率是速度，即路程對時間的導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時速度度，即路程對時間的導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時速度.lim)(0dtdststvt vdtdxtxt，vvt，xt0lim)(則若gtvdtdytyt，ygt，yyt，0lim)(212若101. .變速直線運動的瞬時速度變速直線運動的瞬時速度如果物體作直線運動，如果物體作直線運動， 在直線上選取坐標(biāo)系，在直線上

6、選取坐標(biāo)系，該物體所處的位置該物體所處的位置坐標(biāo)坐標(biāo) s 是時間是時間 t 的的函數(shù)，記為函數(shù)，記為 s = s(t)， 則從時刻則從時刻 t0 到到 t0 + t 的時間間隔內(nèi)它的的時間間隔內(nèi)它的平均速度為平均速度為一、瞬時速度一、瞬時速度 曲線的切線斜率曲線的切線斜率,)()(00ttsttsts 11在勻速運動中，在勻速運動中，這個比值是常量，這個比值是常量， 但在變速運動但在變速運動中，它不僅與中，它不僅與 t0 有關(guān)，有關(guān)，而且與而且與 t 也有關(guān)，也有關(guān)，很小時，很小時，ts 顯顯然然與在與在 t0 時刻的速度相近似時刻的速度相近似.如果當(dāng)如果當(dāng) t 趨于趨于 0 時，時， 平均速

7、度平均速度 的極限存在，的極限存在，ts 則將這個極限值記作則將這個極限值記作 v (t0)， 叫做物體在叫做物體在 t0 時刻時刻的瞬時速度，簡稱速度，的瞬時速度，簡稱速度，即即.)()(lim)(0000ttsttstvt 當(dāng)當(dāng) t122. .曲線切線的斜率曲線切線的斜率定義定義設(shè)點設(shè)點 P0 是曲線是曲線 L 上的一個定點上的一個定點， 點點 P 是是曲線曲線 L 上的動點上的動點，T P P0 0P Px0 0 x0 0+ + xyOx N 當(dāng)點當(dāng)點 P 沿沿曲線曲線 L 趨向于點趨向于點 P0 時時，如果割線如果割線 PP0 的極限位置的極限位置 P0 T 存在存在， 則則稱直線稱直

8、線 P0 T 為曲線為曲線 L 在點在點 P0 處的切線處的切線. . 設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為 y = f (x). . 在點在點 P0(x0, y0) 處的附近取處的附近取一點一點 P(x0 + x , y0 + y ) .那么割線那么割線 P0 P 的斜率為的斜率為.)()(tan00 xxfxxfxy L x yy = f (x)13如果當(dāng)點如果當(dāng)點 P 沿曲線趨向于點沿曲線趨向于點 P0 時，割線時，割線 P0P 的極限位置存在，的極限位置存在， 即點即點 P0 處的切線存在，處的切線存在，此刻此刻 x 0， ， 割線斜率割線斜率 tan 趨向切趨向切線線 P0 T 的斜率的斜率 t

9、an ，即即.)()(limtan000 xxfxxfx T P P0 0P Px0 0 x0 0+ + xyOx N L x yy = f (x)14速度速度對時間的導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時加速度對時間的導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時加速度.dtdvtvtat0lim)(0lim)(00dtdvtvtv，a，v，vt，則若gdtdvtvtv，agt，vt，0lim)(則若15二、二、 微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系定理定理1 函數(shù)函數(shù)y=f(x)在點在點x0可微的充要條件是可微的充要條件是f(x)在點在點x0可導(dǎo)可導(dǎo),且有且有dy=f (x0) x證證 設(shè)設(shè)y=f(x)在點在點x0可微可微,即即 y=A x+o

10、( x)AxxoAxyxx )(limlim00于于是是所以所以,f(x)在點在點x0可導(dǎo)可導(dǎo),且有且有A=f (x0)16定理定理1 函數(shù)函數(shù)y=f(x)在點在點x0可微的充要條件是可微的充要條件是f(x)在點在點x0可導(dǎo)可導(dǎo),且有且有dy=f (x0) x證證 反之反之, f(x)在點在點x0可導(dǎo)可導(dǎo),)(lim00 xfxyx 于是于是 y= f (x0) x+ x由極限與無窮小的關(guān)系由極限與無窮小的關(guān)系,得得0lim,)(00 xxfxy其其中中顯然顯然, x0時時, x=o( x),且且f (x0)與與 x無關(guān)無關(guān),由微分定由微分定義可知義可知,y=f(x)在點在點x0可微可微,且有

11、且有dy=f (x0) x17 通常把自變量通常把自變量x的增量的增量 x稱為稱為自變量的微分自變量的微分,記作記作dx,即即dx= x 于是函數(shù)于是函數(shù)y=f(x)在點在點x0的微分可以寫成的微分可以寫成dy=(x0)dx 當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一點處都可微時內(nèi)的每一點處都可微時,則稱函數(shù)則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)可微內(nèi)可微,此時微分表達式寫此時微分表達式寫為為dy=f (x)dx 也可寫成也可寫成 于是于是,函數(shù)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)等于該函數(shù)的微分的導(dǎo)數(shù)等于該函數(shù)的微分dy與自變與自變量的微分量的微分dx之商之商.因此因此,導(dǎo)數(shù)也叫導(dǎo)數(shù)也叫

12、微商微商 )(ddxfxy 18例例.1 . 0d,4sin時時的的微微分分當(dāng)當(dāng)求求 xxxy 0707. 021 . 01 . 04cosd,1 . 0d,4.dcosd)(sind yxxxxxxy有有時時當(dāng)當(dāng)解解19三、三、 微分的幾何意義微分的幾何意義函數(shù)函數(shù)f(x)在點在點x0的微分的微分dy就是曲線就是曲線y=f(x)在點在點(x0,f(x0)處處的切線的縱坐標(biāo)的增量的切線的縱坐標(biāo)的增量 20函數(shù)y = f (x)在點 x 處的微分在幾何上表示為: 相應(yīng)于自變量 x 的改變量 x, 曲線 y = f (x)在點P(x, y)的切線上縱坐標(biāo)的改變量.21)0()(dd)()(d)3(

13、)( ;d)(d;dd)d()2(;dd)(d)1(2 vxvvuuvxvxuCuCxCuuvvuuvvuvu為為常常數(shù)數(shù)2) 微分運算法則微分運算法則22例例2. 求y=x3在x=2處的微分, 以及當(dāng)x=0.1時在x=2處的微分.解解:xxxxyd3d)(d231 . 0221 . 02d3dxxxxxxy)d( 2 . 11 . 0232xx 故xxxyxxd12d3d22223小結(jié)小結(jié)微分學(xué)所要解決的兩類問題微分學(xué)所要解決的兩類問題:函數(shù)的變化率問題函數(shù)的變化率問題導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)的增量問題函數(shù)的增量問題微分的概念微分的概念求導(dǎo)數(shù)與微分的方法求導(dǎo)數(shù)與微分的方法,叫做叫做微分法微分

14、法.研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué)研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué),叫做叫做微分學(xué)微分學(xué).導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系:.可微可微可導(dǎo)可導(dǎo) 24積積 分分25不定積分不定積分引言：引言： 已知質(zhì)點的運動規(guī)律s=s(t),則速度v(t)=s(t); 反之若已知質(zhì)點各時刻的運動速度v=v(t) 如何求其運動規(guī)律s=s(t)? 從數(shù)學(xué)角度看：找一函數(shù)s=s(t)，使s(t) =v(t) .1. 原函數(shù)定義：原函數(shù)定義：.)()()()()()()(上的原函數(shù)在或為稱或恒有上，若在某區(qū)間IdxxfxfxFdxxfxdFxfxFIxI一、原函數(shù)與不定積分26兩點說明：兩點說明： 2、f(x)

15、的任意兩個原函數(shù)之間只差一個常數(shù)，即如果 (x) 和 F(x) 都是 f(x) 的原函數(shù)，則(x)F(x)C (C為某個常數(shù))。 1、如果F(x)是 f(x)的原函數(shù) ，那么F(x)C 都是 f(x) 的原函數(shù)，其中 C 是任意常數(shù)。 定義1 如果在區(qū)間 I 上，可導(dǎo)函數(shù) F(x) 的導(dǎo)數(shù)為 f(x)，即對任一 xI ，都有F (x)f(x) 或 dF(x)f(x)dx，則稱函數(shù) F(x) 是函數(shù) f(x) 在區(qū)間 I 上的原函數(shù)。 原函數(shù)概念27這里叫做積分號積分號，f(x)叫做被積函數(shù)被積函數(shù)，f(x)dx叫做被積被積表達式表達式，x叫做積分變量積分變量.CxFdxxfdxxf)()(,)

16、(即2. 不定積分定義：不定積分定義： 若F(x)為f(x)在I上的一個原函數(shù)，則表達式F(x)+C稱為f(x)在上I的不定積分，記作Cxdxxsincos例如：被積表達式積分常數(shù)28abxyo? A曲邊梯形由連續(xù)曲線曲邊梯形由連續(xù)曲線實例實例1 1 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成.一、引例)(xfy 29abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積曲邊梯形面積（四個小矩形）（四個小矩形）（九個小矩形）

17、（九個小矩形）30曲邊梯形如圖所示，曲邊梯形如圖所示，,1210bxxxxxabann 個分點，個分點，內(nèi)插入若干內(nèi)插入若干在區(qū)間在區(qū)間abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba長度為長度為，個小區(qū)間個小區(qū)間分成分成把區(qū)間把區(qū)間，上任取一點上任取一點在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間iiixx ,1 iiixfA )( 為為高高的的小小矩矩形形面面積積為為為為底底，以以)(,1iiifxx 31iniixfA )(1 曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積的近似值為iniixfA )(lim10 時，時，趨近于零趨近于零即小區(qū)間的最大長度即小區(qū)間的最大長度當(dāng)分割無限加細當(dāng)分割

18、無限加細)0(,max,21 nxxx曲邊梯形面積為曲邊梯形面積為32小結(jié)定積分的實質(zhì)定積分的實質(zhì)：特殊和式的極限：特殊和式的極限定積分的思想和方法：定積分的思想和方法：分割分割化整為零化整為零求和求和積零為整積零為整取極限取極限精確值精確值定積分定積分求近似以直（不變）代曲（變）求近似以直（不變）代曲（變）取極限取極限 2軸與坐標(biāo)軸計算拋物線xxy Oxy12xy S 10 間所圍成的面積。在 xOxy2x2xy hh2y1xhyhyS21*1yOxy3x2xy h3yhh1x2xhyhyhyS321*1y2yOxynx2xy hnyhyhyhyhySnn121*ixiy 如何求此面積的精確值？37vtt，x，v，