函數(shù)f(x+a)(a≠0)的奇偶性

1、函數(shù)f(x+a)(a0)的奇偶性安徽 夏那么勇 姚有勝對于函數(shù)y=f(x)的奇偶性，高中課程數(shù)學(xué)教科書必修1是這樣定義的：如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么稱f(x)為這一定義域內(nèi)的奇函數(shù)，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么稱f(x)為這一定義域內(nèi)的偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱。由此定義聯(lián)想：對于函數(shù)y=f(x+a)(a0)，它的奇偶性又如何處理？本文就這個問題予以探討。類似于f(x)的奇偶性定義，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，如果都有：f(-x+a)=-f(x+a)，那么函數(shù)

2、f(x+a)是奇函數(shù)。如果都有：f(-x+a)=f(x+a)，那么函數(shù)f(x+a)是偶函數(shù)。由于滿足f(-x+a)=-f(x+a)圖象的性質(zhì)是：f(x)圖象關(guān)于點(a,0)對稱，滿足f(-x+a)=f(x+a)圖象的性質(zhì)是：f(x)圖象關(guān)于直線x=a對稱。結(jié)論:如果函數(shù)f(x+a)是奇函數(shù)，那么f(x)圖象關(guān)于點(a,0)對稱。如果函數(shù)f(x+a)是偶函數(shù)，那么f(x)圖象關(guān)于直線x=a對稱。例1.x1時，f(x)的表達式是 Ax2+1Bx2-2x+2Cx2-4x+5Dx2+2x+2分析：y=f(x+1)是偶函數(shù)，由上述結(jié)論，f(-x+1)=f(x+1)，即f(x)=f(2-x)，由條件，x1

3、時，2-x1，得f(2-x)=(2-x)2+1=x2-4x+5, f(x)=x2-4x+5。答案：C。例2函數(shù)f(x)的定義域是x1且xR，己知f(x+1)為奇函數(shù)，當(dāng)x1時的f(x)及此時的遞減區(qū)間。解:y=f(x+1)為奇函數(shù)f(-x+1)=-f(x+1)，令1-x=t，得f(t)=-f(2-t)即f(x)=-f(2-x)。當(dāng)x1時，有2-x1時,f(x)=-2x2+7x-7顯然，由此函數(shù)知：當(dāng)x1時，f(x)的遞減區(qū)間是，+例3己知函數(shù)y=f(x)在(0,2)上是增函數(shù)且y=f(x+2)是偶函數(shù)，試比擬f(1)，f()，f()的大小。解:y=f(x+2)是偶函數(shù)，f(x)圖象關(guān)于直線x=

4、2對稱，且f(x+2)=f(-x+2)f()=f(2+)=f(2-)=f() f()=f(2+)=f(2-)=f()1,而f(x)在(0,2)上是增函數(shù), f()f(1)f()即f()f(1)0,0)是R上的偶函數(shù)，且 f(+x)為奇函數(shù)，且在區(qū)間0,上是單調(diào)函數(shù)，求和的值。(2003年全國高校招生統(tǒng)一考試文史類高考題改編)分析 由f(x+)是奇函數(shù)，因而函數(shù)f(x)圖象關(guān)于點M(,0)對稱。且有f(-x+)=-f(+x)。解:由f(x)是R上的偶函數(shù),得f(-x)=f(x)，即有：sin(-x+)=sin(x+)，展開化簡得，-cossinx=cossinx對任意xR都成立，且0.得cos=0，由條件0得=。 f(+x)是奇函數(shù)，得f(x)的圖象關(guān)于點M(,0)對稱，有f(-x) = -f(+x)f(x)是定義在R上的函數(shù)，令x=0得f() = -f()f()=0 , 即sin(+)=cos=0。又0,得=+k,(k=0,1,2,), =(2k+1)(k=0,1,2,).當(dāng)k=0時，=，f(x)=sin(x+)，當(dāng)x0, 時，x+，f(x)在0,上是減函數(shù)。當(dāng)k=1時，=2，f(x)=sin(2x+)，當(dāng)x0, 時，那么