幾何證明中常見(jiàn)的輔助線的方法

1、專題學(xué)習(xí)專題學(xué)習(xí) -幾何證明中常見(jiàn)幾何證明中常見(jiàn) “ “添添輔助線輔助線”方法方法 1.1.連結(jié)連結(jié)目的目的: :構(gòu)造構(gòu)造全等三角形全等三角形或或等腰三角形等腰三角形適用情況適用情況: :圖中已經(jīng)圖中已經(jīng)存在兩個(gè)點(diǎn)存在兩個(gè)點(diǎn)A A和和B B語(yǔ)言描述語(yǔ)言描述: :連結(jié)連結(jié)ABAB注意點(diǎn)注意點(diǎn): :雙添雙添-在圖形上添虛線在圖形上添虛線 在證明過(guò)程中描述添法在證明過(guò)程中描述添法1.1.連結(jié)連結(jié)典例典例1: 1:如圖如圖,AB=AD,BC=DC,AB=AD,BC=DC,求證求證:B=D.:B=D.ACBD1. 1.連結(jié)連結(jié)ACAC, ,構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形. .1.1.連結(jié)連結(jié)典例典例2:

2、2:如圖如圖,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD, 求證求證: :點(diǎn)點(diǎn)M M是是CDCD的中點(diǎn)的中點(diǎn). .ACBD連結(jié)連結(jié)ACAC、ADAD構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形EM1.1.連結(jié)連結(jié)典例典例3: 3:如圖如圖,AB=AC,BD=CD, M,AB=AC,BD=CD, M、N N分別是分別是BDBD、CDCD的中點(diǎn)，求證：的中點(diǎn)，求證：AMBAMB ANCANCACBD連結(jié)連結(jié)ADAD構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形NM目的目的: :構(gòu)造構(gòu)造直角三角形直角三角形, ,得到得到距離相等距離相等適用情況適用情況: :圖中已經(jīng)圖中已經(jīng)存在一個(gè)點(diǎn)存在一

3、個(gè)點(diǎn)X X和和一條線一條線MNMN語(yǔ)言描述語(yǔ)言描述: :過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)X X作作XYXYMNMN注意點(diǎn)注意點(diǎn): :雙添雙添-在圖形上添虛線在圖形上添虛線 在證明過(guò)程中描述添法在證明過(guò)程中描述添法2. 2.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段2.2.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段典例典例4: 4:如圖如圖, ,ABCABC中中, C =90, C =90o o,BC=10,BD=6,BC=10,BD=6, AD AD平分平分BAC,BAC,求點(diǎn)求點(diǎn)D D到到ABAB的距離的距離. .ACD過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)D D作作DEAB,DEAB,垂足為垂足為E E 構(gòu)造了構(gòu)造了 全等

4、的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等BE2.2.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段典例典例5: 5:如圖如圖, ,ABCABC中中, C =90, C =90o o,AC=BC,AC=BC, AD AD平分平分BAC,BAC,求證求證:AB=AC+DC.:AB=AC+DC.ACD過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)D D作作DEAB,DEAB,垂足為垂足為E E構(gòu)造了構(gòu)造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等BE 思考思考: : 若若AB=15cm,AB=15cm,則則BEDBED的周長(zhǎng)是多少的周長(zhǎng)是多少? ?2.2.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段

5、典例典例6: 6:如圖如圖, ,四邊形四邊形ABCDABCD中中, A= D =90, A= D =90o o, , BE BE、CECE均是角平分線均是角平分線, , 求證求證:BC=AB+CD.:BC=AB+CD.ACD過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)E E作作EFBCEFBC，垂足為，垂足為F. F.構(gòu)造了構(gòu)造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等BFE2.2.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段2. 2.如圖如圖, ,四邊形四邊形ABCDABCD中中, A= D , A= D =90=90o o, ,BEBE、CECE均是角平分線均是角平分線, , 求證求證:BC=AB+

6、CD.:BC=AB+CD. 解法解法2. 2. 延長(zhǎng)延長(zhǎng)BEBE和和CDCD交于點(diǎn)交于點(diǎn)F F構(gòu)造了構(gòu)造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形FACDBE2.2.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段典例典例4: 4:如圖如圖,OC ,OC 平分平分AOB, OEP +ODP =180AOB, OEP +ODP =180o o, , 求證求證: PD=PE.: PD=PE.ACD過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P P作作PFOAPFOA于于F,PG OBF,PG OB于于G.G.構(gòu)造了構(gòu)造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等BF EPGO目的目的: :構(gòu)造構(gòu)造全等三角形全等三角

7、形, ,將相關(guān)線段聚成三角形將相關(guān)線段聚成三角形適用情況適用情況: :圖中已經(jīng)存在圖中已經(jīng)存在一條線段一條線段MN MN 和和中線中線【或中點(diǎn)】【或中點(diǎn)】 語(yǔ)言描述語(yǔ)言描述: :延長(zhǎng)延長(zhǎng)ADAD到到E, E,使使DE=AD,DE=AD,連接連接CE.CE.注意點(diǎn)注意點(diǎn): :雙添雙添-在圖形上添虛線在圖形上添虛線 在證明過(guò)程中描述添法在證明過(guò)程中描述添法3.3.中線延長(zhǎng)一倍中線延長(zhǎng)一倍例例7. 7.已知，如圖已知，如圖ADAD是是ABCABC的中線，的中線，ABCDE)(21ACABAD求證：延長(zhǎng)延長(zhǎng)ADAD到點(diǎn)到點(diǎn)E E，使，使DE=ADDE=AD，連結(jié)連結(jié)CE.CE.思考：若思考：若AB=3

8、,AC=5AB=3,AC=5求求ADAD的取值范圍？的取值范圍？倍長(zhǎng)中線 例例8、如圖，、如圖，AD為為ABC的中線，的中線，ADB、ADC的平分線交的平分線交AB、AC于于E、F。求證：。求證：BE+CFEF 分析：本題中已知分析：本題中已知D D為為BCBC的中點(diǎn)，要證的中點(diǎn)，要證BEBE、CFCF、EFEF間的不等關(guān)系，可利用點(diǎn)間的不等關(guān)系，可利用點(diǎn)D D將將BEBE旋轉(zhuǎn)，使這三條線段在同一個(gè)三角形內(nèi)。旋轉(zhuǎn)，使這三條線段在同一個(gè)三角形內(nèi)。線段與角求相等，先找全等試試看。線段與角求相等，先找全等試試看。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。 線段垂直平分線，常向兩

9、端把線連。線段垂直平分線，常向兩端把線連。 線段計(jì)算和與差，巧用截長(zhǎng)補(bǔ)短法。線段計(jì)算和與差，巧用截長(zhǎng)補(bǔ)短法。三角形里有中線，延長(zhǎng)中線三角形里有中線，延長(zhǎng)中線=中線。中線。想作圖形輔助線，切莫忘記要雙添。想作圖形輔助線，切莫忘記要雙添。 課外練習(xí)課外練習(xí) ；【拓展題】；【拓展題】1.如圖,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求證:BCEFBCAFED2如圖如圖1，AD是是ABC的中線，的中線，AB=3,AC=5，求中線，求中線AD的取的取值范圍。值范圍。A1BCD2343.如圖所示，已知如圖所示，已知ADBC，1=2，3=4，直線，直線DC經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)E交交AD于點(diǎn)于點(diǎn)D，交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)C。求證：。求證：AD+BC=ABEF在在AB上取點(diǎn)上取點(diǎn)F使得使得AF=AD,連接連接EF截長(zhǎng)補(bǔ)短m = 42.35m = 42.23 4.已知在已知在ABC中，中，C=2B, 1=2求證求證:AB=AC+CDADBCE12在在AB上取點(diǎn)上取點(diǎn)E使得使得AE=AC，連接，連接DE截長(zhǎng)截長(zhǎng)F或延長(zhǎng)或延長(zhǎng)AC至點(diǎn)至點(diǎn)F,使得使得CF=CD，連接，連接DF補(bǔ)短補(bǔ)短5. 5.如圖如圖, ,ABCABC中中,C=90,C=90o o,AC=