復(fù)變函數(shù)與積分變換第7章Fourier變換ppt課件

1、出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁第第7 7章章 Fourier Fourier變換變換出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁所謂積分變換Fourier變換、Laplace變換等），就是通過積分運(yùn)算，把一個函數(shù)變成另一個函數(shù)的變換，一般是含參積分其中K(t,)是一個確定的二元函數(shù)，稱為積分變換的核。f(t)稱為像原函數(shù)，F(xiàn)()稱為f(t)的像函數(shù)。出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁 7.1Fourier積分在微積分中已學(xué)過Fourier級數(shù)，若fT(t)是以T為周期的周期函數(shù)，在 上滿足Dirichlet條件，則fT(t)可展成Fourier級數(shù)出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換

2、退出頁在fT(t)的連續(xù)點t處有利用Euler公式 可將Fourier級數(shù)的三角形式化為復(fù)指數(shù)形式出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁其中將式(7.3)代入式(7.2)，得到出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁如果f(t)是定義在(,+)上的非周期函數(shù)，作周期為T的函數(shù)fT(t)：它在 上等于f(t)而在 之外按周期T進(jìn)行延拓，可知T越大，fT(t)與f(t)相等的范圍也越大，即有記 ，則當(dāng)T時,有n0，由式(7.5) 、式(7.4)知即出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁式(7.6)稱為f(t)的Fourier積分公式。定理7.1(Fourier積分定理) 若f(t)在區(qū)間(,+

3、)上有定義且f(t)在任何有限區(qū)間上滿足Dirichlet條件； f(t)在區(qū)間(,+)上絕對可積，即那么這個定理的證明要用到較多的基礎(chǔ)理論，這里從略。 出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁 7.2Fourier變換7.2.1Fourier變換的概念定義7.1設(shè)函數(shù)f(t)滿足Fourier積分定理的條件，記稱函數(shù)F()為f(t)的Fourier 變換，記為 F()=Ff(t)，由式7.7知，在f(t)的連續(xù)點處有稱函數(shù)f(t)為F()的Fourier逆變換，記為f(t)=F1F()。F()也稱為f(t)的Fourier變換的像函數(shù)，f(t)稱為F()的像原函數(shù)，因而，像函數(shù)f(t)與像原

4、函數(shù)F()構(gòu)成了一個Fourier變換對，即f(t)與F()可通過相應(yīng)的積分相互表示。出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁順便指出，F(xiàn)ourier變換及其逆變換的定義可采用不同的形式，如在實際應(yīng)用中，可根據(jù)具體問題選用，本書采用式7.8和式7.9定義的形式。例7.1求矩形脈沖函數(shù)的Fourier變換及其積分表達(dá)式.出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁解由式(7.8)知f(t)的Fourier變換為由式(7.9)知f(t)的積分表達(dá)式為出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁由此得到一個含參量廣義積分的結(jié)果：特別地，當(dāng)T=1,t=0時,有 ，這是微積分中已得的Dirichlet積分。例7

5、.2求指數(shù)衰減函數(shù)的Fourier變換及其積分表達(dá)式。出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁解由定義知f(t)的Fourier變換為據(jù)式 (7.10)并注意利用奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)，知f(t)的積分表達(dá)式為出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁由此我們得到一個含參量廣義積分的結(jié)果：經(jīng)常用到Fourier正弦和余弦變換。當(dāng)f(t)是奇函數(shù)時，利用歐拉公式及積分的性質(zhì)，式(7.9)變?yōu)榍褾()=F()，從而式(7.10)變?yōu)槌霭嫔?理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁將式(7.12)代入式(7.13)有根據(jù)式(7.14)我們得定義7.2。定義7.2若函數(shù)f(t)在(0,+)有定義，則f(t)的Fou

6、rier正弦變換為其反演公式為出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁同理可定義Fourier余弦變換為其反演公式為出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁7.2.2函數(shù)及其Fourier變換(1)函數(shù)的定義由Fourier變換的定義可知，f(t)要在(,+)上絕對可積，才存在Fourier變換，這樣的條件很強(qiáng)，使許多常見的函數(shù)如1,t,sint等都不能進(jìn)行Fourier變換。例7.3設(shè)某一電路中原來的電流為0，某一瞬時設(shè)t=0時進(jìn)入一單位電量的脈沖，求電路上的電流i(t).出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁例7.4設(shè)x軸表示一根弦，質(zhì)量分布函數(shù)為 ，求線密度函數(shù)(x).解任取x(,+)

7、，當(dāng)x0且0充分小時，(x,x+)上分布的質(zhì)量m(x)=0，故x0處的密度當(dāng)x=0時，(x,x+)=(,)上分布的質(zhì)量m(0)=1，故x=0處的密度. 出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁定義7.3在區(qū)間(,+)內(nèi)具有如下性質(zhì)的函數(shù)稱為函數(shù).特別當(dāng)t0=0時，式(7.16)即可表示例式(7.3)，式(7.4)中的電流函數(shù)或密度函數(shù).由上可見，函數(shù)不是一個普通函數(shù)，函數(shù)在整個x軸上除t=t0外處處為0，它的積分值卻不為0.函數(shù)在物理學(xué)中具有重要作用，它最先是由狄拉克在量子力學(xué)中引入的，所以也叫狄拉克(Dirac)函數(shù)，或單位脈沖函數(shù).出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁定義7.4對于任何

8、一個無窮次可微函數(shù)f(t)，如果滿足(tt0)也可取成其他函數(shù)序列.出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁(2)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1對于任何一個無窮次可微函數(shù)f(t)，有當(dāng)t0=0時，即為證利用定義7.4及積分中值定理，我們有性質(zhì)1也稱為函數(shù)的篩選性，即對任何一個無窮次可微函數(shù)f(t)都對應(yīng)著一個確定的數(shù)f(t0)或f(0).出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁定義7.5設(shè)(t)與(t)都是定義在區(qū)間(a,b)上的函數(shù)，若對于區(qū)間(a,b)上的任意連續(xù)函數(shù)f(t)，都有則稱(t)與(t)弱相等，記為 .函數(shù)弱相等是函數(shù)通常意義下相等概念的推廣，在上述定義中若(t)與(t)都在(a,b)上連續(xù)

9、，則由(t)與(t)弱相等可推出(t)與(t)在通常意義下相等.出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁性質(zhì)2(t)=(t);t(t)=0;(ta)f(t)=(ta)f(a).根據(jù)式(7.18)可知，對于(,+)上的任意連續(xù)函數(shù)f(t)有令t=u，那么即由定義7.5知(t)=(t). 出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁性質(zhì)3設(shè)a0為實數(shù)，那么我們僅證，事實上只要證對于(,+)上的任意連續(xù)函數(shù)f(t)有即可. 下面區(qū)分兩種情況：當(dāng)a0時，令x=at，那么而出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁可知成立.當(dāng)a0時，令x=at，那么而于是證畢.出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁定義7.

10、6設(shè)f(t)是具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，若函數(shù)(t)滿足則稱(t)為函數(shù)(t)的導(dǎo)數(shù)，記為(t)=(t).性質(zhì)4函數(shù)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)： t(t)=(t);(tt0)(tt0)=(tt0).證由式(7.19)，對具有任意連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)f(t)有故所以t(t)=(t).出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁(3)函數(shù)的Fourier變換利用函數(shù)的篩選性，則有即函數(shù)的Fourier變換為常數(shù)1，利用定義7.5可以證明可見函數(shù)(t)與常數(shù)1構(gòu)成一個廣義Fourier變換對. 從而有積分等式 一般地 構(gòu)成一個Fourier變換對，且 出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁由式(7.19)得再由函數(shù)的篩選性得即1

11、與2()構(gòu)成一個廣義Fourier變換對，同理， 與2(0)構(gòu)成一個廣義Fourier變換對.出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁例7.5求正弦函數(shù)f(t)=sin at的Fourier變換解利用正弦函數(shù)的定義及式(7.20)得同理可得余弦函數(shù)f(t)=cos at的Fourier變換為出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁例7.6證明Heaviside函數(shù)也稱為單位階躍函數(shù)）證用Fourier逆變換來推證函數(shù)H(x)的Fourier變換為出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁將函數(shù)的Fourier變換仍舊寫成古典的形式，所不同的是，此處的廣義積分是按式(7.16)來定義的，而不是普通

12、意義下的積分值，所以(t)的Fourier變換是一種廣義Fourier變換.出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁7.2.3Fourier變換的物理意義頻譜Fourier變換和頻譜概念有著非常密切的關(guān)系.隨著無線電技術(shù)、聲學(xué)的蓬勃發(fā)展，頻譜理論也相應(yīng)得到了發(fā)展. 知，如果f(t)是以T為周期的周期函數(shù)，且滿足Dirichlet條件就可展成Fourier級數(shù)出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁若f(t)的Fourier級數(shù)表示為復(fù)數(shù)形式，即 所以，以T為周期的周期函數(shù)f(t)的第n次諧波的振幅為An=2|Cn|(n=0,1,2,)，即用橫坐標(biāo)表示頻率n，縱坐標(biāo)表示振幅An，把點(n,An)

13、用圖形表示出來.對于非周期函數(shù)f(t)，當(dāng)它滿足Fourier積分定理中的條件時，f(t)的Fourier變換F()稱為f(t)的頻譜函數(shù)，而頻譜函數(shù)的模|F()|稱為f(t)的振幅頻譜(簡稱頻譜).由于|F()|是的連續(xù)函數(shù)，所以稱之為連續(xù)頻譜.可以證明，頻譜|F()|是頻率的偶函數(shù)，在作頻譜圖時，只要作出(0,+)上的圖形，根據(jù)對稱性即可得到(,0)上的圖形出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁例7.7作出下圖所示的單個矩形脈沖的頻譜圖.解單個矩形脈沖的頻譜函數(shù)為注意F()是偶函數(shù)，這里只畫出了0的部分.出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁 7.3Fourier變換的性質(zhì) (1)線性

14、性質(zhì)設(shè)F1()=Ff1(t),F2()=Ff2(t)，,是常數(shù)，那么這個性質(zhì)用Fourier變換的定義即可證。它表明了函數(shù)線性組合的Fourier變換等于各函數(shù)Fourier變換后的線性組合. 同樣Fourier逆變換也具有類似的線性性質(zhì)，即出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁(2)原函數(shù)的位移性質(zhì)它表明時間函數(shù)f(t)沿t軸向右或向左位移t0的Fourier變換等于f(t)的Fourier變換乘以因子 證由Fourie變換定義可得例如， 因為F(t)=1，則由原函數(shù)的位移性質(zhì)知出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁(3)象函數(shù)的位移性質(zhì)(4)相似性質(zhì)出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退

15、出頁(5)原函數(shù)的微分性質(zhì)證首先，由高等數(shù)學(xué)知識可知，對任何kN0，滿足Fourier積分定理條件的函數(shù) 于是由Fourier變換定義，利用分部積分可得類似可證其余部分.出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁(6)像函數(shù)的微分性質(zhì)出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁(7)積分性質(zhì)出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁例7.9利用Fourier變換的性質(zhì)，求下列函數(shù)的Fourier變換.出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁(8)乘積定理出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁(9)能量積分出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁例7.10 為了敘述卷積定理，我們先給出定義7.7若已知

16、函數(shù)f1(t),f2(t)，則積分出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁稱為函數(shù)f1(t)與f2(t)的卷積，記為f1(t)*f2(t)，即由卷積的定義，容易驗證卷積滿足下面運(yùn)算規(guī)律出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁（10卷積定理若F1()=Ff1(t),F2()=Ff2(t)，則Ff1(t)*f2(t)=F1()F2()，或F1F1()F2()=f1(t)*f2(t)這個性質(zhì)表明，兩個函數(shù)卷積的Fourier變換等于這兩個函數(shù)Fourier變換的乘積.證按Fourier變換的定義，有不難推證：若Ffk(t)=Fk()(k=1,2,n)，則有出版

17、社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁例7.12設(shè)f(t)定義于(,+),求f(t)H(t),并求Ff(t)*H(t).后一等式利用了函數(shù)的性質(zhì).Fourier變換在工程技術(shù)中有廣泛的應(yīng)用，下面舉例說明Fourier變換在求解微分方程、微分積分方程等方面的應(yīng)用.出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁例7.13解積分方程解由Fourier正弦變換及其逆變換的定義知，假設(shè)出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁例7.14解微積分方程出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁例7.15解微分方程mx(t)+cx(t)+kx(t)=f(t)，其中m,c,k為常數(shù),f(t)為已知函數(shù).解對方程兩邊取Fou

18、rier變換，得出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁例7.16用Fourier變換求下述無界弦振動方程的初值問題. 解對x作Fourier變換，為方便起見，記 對式(7.22)的各式對x作Fourier變換，得常微分方程式(7.21)的通解為出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁再由初始條件，可得式7.21的特意為故由式(7.23)，式(7.24)，式(7.25)，式(7.26)得把偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程，求常微分方程的解及Fourier逆變換.出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁例7.17解微積分方程解對方程兩端取Fourier變換，得出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁 習(xí)題71求下列函數(shù)的傅氏積分表達(dá)式.出版社 理工分社復(fù)數(shù)函數(shù)與積分變換退出頁2.求證如果ft滿足傅氏積分定理條件，當(dāng)ft為奇函數(shù)時，則有3利用習(xí)題2的結(jié)論，設(shè) ，試算出a()，并推證 出版社 理工分社復(fù)