立體的投影--截交線

1、平面平面 基本體基本體 截交線截交線平面體平面體回轉(zhuǎn)體回轉(zhuǎn)體截平面截平面共有線共有線截交截交體的概念體的概念平面截交體平面截交體平面體截切的基本形式平面體截切的基本形式 截交線是一個(gè)由直線組成的截交線是一個(gè)由直線組成的封閉的平面多邊封閉的平面多邊形形，其形狀取決于平面體的形狀及截平面對(duì)平，其形狀取決于平面體的形狀及截平面對(duì)平面體的截切位置。面體的截切位置。 截交線的每條邊是截交線的每條邊是截平面與棱面的交線截平面與棱面的交線。求求截交線的實(shí)質(zhì)是求兩平面的交線截交線的實(shí)質(zhì)是求兩平面的交線截交線的性質(zhì)：截交線的性質(zhì)：平面截交體的畫圖平面截交體的畫圖 求截交線的兩種方法：求截交線的兩種方法： 求各棱

2、線與截平面的交點(diǎn)求各棱線與截平面的交點(diǎn)棱線法棱線法。 求各棱面與截平面的交線求各棱面與截平面的交線棱面法棱面法。關(guān)鍵是正確地畫出截交線的投影。關(guān)鍵是正確地畫出截交線的投影。 求截交線的步驟：求截交線的步驟： 截平面與體的相對(duì)位置截平面與體的相對(duì)位置 截平面與投影面的相對(duì)位置截平面與投影面的相對(duì)位置確定截交線確定截交線的投影特性的投影特性確定截交確定截交線的形狀線的形狀 空間及投影分析空間及投影分析 畫出截交線的投影畫出截交線的投影 分別求出截平面與棱面分別求出截平面與棱面的交線，并連接成多邊形。的交線，并連接成多邊形。問題的提出：?jiǎn)栴}的提出： 工程上常常遇到以上圖例中平面與立體相交的問題。工程

3、上常常遇到以上圖例中平面與立體相交的問題。平面與立體相交，可設(shè)想為立體被平面（平面與立體相交，可設(shè)想為立體被平面（截平面截平面）所截，）所截，截平面與立體表面的交線稱為截平面與立體表面的交線稱為截交線截交線。重點(diǎn)重點(diǎn)： 求截交線求截交線：截平面與立體表面共有點(diǎn)的集合。截交線：截平面與立體表面共有點(diǎn)的集合。截交線形狀是由直線組成的多邊形。多邊形的頂點(diǎn)為平面立體形狀是由直線組成的多邊形。多邊形的頂點(diǎn)為平面立體上有關(guān)棱線（包括底面邊線）與截平面的交點(diǎn)。上有關(guān)棱線（包括底面邊線）與截平面的交點(diǎn)。 求截交線的方法：求截交線的方法：可歸結(jié)為求截平面和立體表面共有點(diǎn)的：可歸結(jié)為求截平面和立體表面共有點(diǎn)的問題

4、。實(shí)際上是求立體參與相交的各棱線和底面邊線與問題。實(shí)際上是求立體參與相交的各棱線和底面邊線與截平面的交點(diǎn)。截平面的交點(diǎn)。 平面截交體的投影平面截交體的投影例：求五棱柱被截頭后的三面投影。例：求五棱柱被截頭后的三面投影?？臻g分析：空間分析：作圖步驟：作圖步驟：1 1、畫出五棱柱未被、畫出五棱柱未被截切時(shí)的側(cè)面投影。截切時(shí)的側(cè)面投影。2 2、求參與相交的各棱、求參與相交的各棱線與截平面交點(diǎn)的投影。線與截平面交點(diǎn)的投影。3 3、判別可見性并連線。、判別可見性并連線。a aa bbb f ff ccc d(e) d e ed4 4、補(bǔ)齊輪廓線。、補(bǔ)齊輪廓線。4 4條棱線及條棱線及2 2條底條底邊參與相

5、交，因邊參與相交，因此截交線為一平此截交線為一平面六邊形。面六邊形。例：求截頭三棱錐的投影圖例：求截頭三棱錐的投影圖sabcacbsPVsBCA2131 1、求參與相交的、求參與相交的各棱線與各棱線與P P平面交平面交點(diǎn)的投影。點(diǎn)的投影。 1 2 2、判別可見性并、判別可見性并連線連線 1 2 33 3條棱線參與相交，條棱線參與相交，因此截交線為一平因此截交線為一平面三角形。面三角形。截頭截頭三棱三棱錐錐2 3 PV例：求四棱錐被截切后的三面投影例：求四棱錐被截切后的三面投影。3 3 2 2 1 1 (4(4 ) )1 1 2 2 4 4 3 3 1 12 24 4交線的形狀？交線的形狀？3

6、3 尤其注意檢查截尤其注意檢查截 交線投影的類似性交線投影的類似性截平面與體的截平面與體的幾個(gè)棱面相交？幾個(gè)棱面相交？截交線在正面、截交線在正面、側(cè)面上的形狀？側(cè)面上的形狀？例：求四棱錐被截切后的例：求四棱錐被截切后的三面投影三面投影。我們采用我們采用的是哪種的是哪種解題方法？解題方法？例例ABC求截交線并完成截頭三棱錐的三投影求截交線并完成截頭三棱錐的三投影先求棱錐側(cè)投影先求棱錐側(cè)投影求截交線求截交線截平面截平面 棱線棱線= =交點(diǎn)交點(diǎn) 棱線法棱線法例例 求截交體的側(cè)投影求截交體的側(cè)投影P P為正垂面，為正垂面，p p、p p為類似圖形為類似圖形 p p為四邊形為四邊形投影分析投影分析Q Q

7、為鉛垂面，為鉛垂面，q q、q q為類似圖形為類似圖形 q q為五邊形為五邊形PQ按按“三等三等”關(guān)系作圖關(guān)系作圖ppqqpq1234143412求求p p求求q q5675(6)(7)567（2）（3）類似圖形類似圖形“三等三等”關(guān)系關(guān)系檢查檢查例：求四棱錐被截切后的三面投影例：求四棱錐被截切后的三面投影。1 12 21 1 (2(2 ) )、兩點(diǎn)分別兩點(diǎn)分別同時(shí)位于三個(gè)面同時(shí)位于三個(gè)面上。上。2 2 1 1 要逐個(gè)截平面分析和要逐個(gè)截平面分析和繪制截交線。當(dāng)平面繪制截交線。當(dāng)平面體只有局部被截切時(shí)，體只有局部被截切時(shí)，先假想為整體被截切，先假想為整體被截切，求出截交線后再取局求出截交線后再

8、取局部。部。例：求四棱錐被截切后的例：求四棱錐被截切后的三面投影三面投影。曲面截交體曲面截交體回轉(zhuǎn)體截切的基本形式回轉(zhuǎn)體截切的基本形式截交線的性質(zhì)：截交線的性質(zhì)： 截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有線共有線。 截交線的形狀取決于回轉(zhuǎn)體表面的形狀及截交線的形狀取決于回轉(zhuǎn)體表面的形狀及 截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對(duì)位置截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對(duì)位置。截交線都是截交線都是封閉的平面圖形（封閉曲線或由封閉的平面圖形（封閉曲線或由直線和曲線圍成）直線和曲線圍成）。 空間及投影分析空間及投影分析 分析回轉(zhuǎn)體的形狀以及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線分析回轉(zhuǎn)體的形狀以及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線 的相對(duì)位置，

9、以便的相對(duì)位置，以便確定截交線的形狀確定截交線的形狀。 分析截平面與投影面的相對(duì)位置，分析截平面與投影面的相對(duì)位置，明確明確截交截交線的投影特性線的投影特性，如積聚性、類似性等。，如積聚性、類似性等。找出找出截交線的截交線的已知已知投影，投影，預(yù)見未知預(yù)見未知投影。投影。 畫出截交線的投影畫出截交線的投影當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時(shí)，其作圖步驟為：當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時(shí)，其作圖步驟為： 將各點(diǎn)光滑地連接起來，并判斷截交線的將各點(diǎn)光滑地連接起來，并判斷截交線的可見性。可見性。 先找特殊點(diǎn)，補(bǔ)充若干中間點(diǎn)先找特殊點(diǎn)，補(bǔ)充若干中間點(diǎn)。求平面與回轉(zhuǎn)體的截交線的一般步驟求平面與回轉(zhuǎn)體的截交線的一般步驟

10、特殊點(diǎn)決定了曲線的范圍，包括曲線特殊點(diǎn)決定了曲線的范圍，包括曲線的最高、最低點(diǎn)，最前、最后點(diǎn)，的最高、最低點(diǎn)，最前、最后點(diǎn)，最左、最右點(diǎn)；轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)最左、最右點(diǎn)；轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)（判斷曲線可見與否的分界點(diǎn)）；（判斷曲線可見與否的分界點(diǎn)）；中間點(diǎn)決定了曲線彎曲的方向。中間點(diǎn)決定了曲線彎曲的方向。P 軸線軸線截交線為圓截交線為圓P/軸線軸線截交線為矩形截交線為矩形P 軸線軸線截交線為橢圓截交線為橢圓PPP 曲面截交體的投影曲面截交體的投影 同一立體被多同一立體被多個(gè)平面截切，要逐個(gè)平面截切，要逐個(gè)截平面進(jìn)行截交個(gè)截平面進(jìn)行截交線的分析和作圖。線的分析和作圖。例：求側(cè)面投影例：求側(cè)面投影 空間

11、及投影分析空間及投影分析解題步驟：解題步驟： 分析圓柱體輪廓素線的投影分析圓柱體輪廓素線的投影截平面與體的相對(duì)位置截平面與體的相對(duì)位置截平面與投影面的相對(duì)位置截平面與投影面的相對(duì)位置 求截交線求截交線圓柱體穿一圓孔，求側(cè)面投影圓柱體穿一圓孔，求側(cè)面投影空間分析空間分析例：求側(cè)面投影例：求側(cè)面投影例：求側(cè)面投影例：求側(cè)面投影截交線的已知投影？截交線的已知投影？例：求側(cè)面投影例：求側(cè)面投影找特殊點(diǎn)找特殊點(diǎn)補(bǔ)充中間點(diǎn)補(bǔ)充中間點(diǎn)光滑連接各點(diǎn)光滑連接各點(diǎn)分析輪廓素線的投影分析輪廓素線的投影截交線的側(cè)面截交線的側(cè)面投影是什么形投影是什么形狀？狀？截交線截交線的空間的空間形狀？形狀？ 橢圓的長(zhǎng)、橢圓的長(zhǎng)、短

12、軸隨截平面短軸隨截平面與圓柱軸線夾與圓柱軸線夾角的變化而改角的變化而改變。變。4545截平面與圓柱截平面與圓柱軸線成軸線成4545時(shí)時(shí)例例 求圓柱體被平面求圓柱體被平面P P、Q Q截切后的投影截切后的投影PQP/P/圓柱體圓柱體軸線，軸線，P P 圓柱面交線為直線圓柱面交線為直線Q Q 圓柱體圓柱體軸線，軸線，Q Q 圓柱面交線為橢圓曲線圓柱面交線為橢圓曲線非圓曲線畫法非圓曲線畫法找特殊點(diǎn)找特殊點(diǎn)中間點(diǎn)中間點(diǎn)光滑連接曲線光滑連接曲線外形輪廓線投影外形輪廓線投影pq若增加圓柱孔若增加圓柱孔結(jié)果將如何？結(jié)果將如何？?jī)?nèi)、外交線分別求解內(nèi)、外交線分別求解 孔的外形輪廓線投影孔的外形輪廓線投影 截平面

13、與孔的交線截平面與孔的交線無線無線!PP P 軸線軸線交線為圓交線為圓 PP P 軸線軸線 交線為橢圓交線為橢圓平面平面P P與圓錐面的交線與圓錐面的交線 P P 軸線軸線 = = 交線為拋物線交線為拋物線PP P P 軸線軸線 0 0 P P 軸線軸線 = = P P 軸線軸線 0 0 交線為拋物線交線為拋物線交線為雙曲線交線為雙曲線P P過錐頂過錐頂交線為直線交線為直線交線為圓交線為圓 截交線為橢圓截交線為橢圓橢圓畫法橢圓畫法是什么點(diǎn)？是什么點(diǎn)？橢圓短軸的投影橢圓短軸的投影特殊點(diǎn)特殊點(diǎn)中間中間點(diǎn)點(diǎn)光滑連接曲線光滑連接曲線交線可見性交線可見性PP截交線投影仍為橢圓截交線投影仍為橢圓外形輪廓線

14、投影外形輪廓線投影外形輪廓線外形輪廓線終止點(diǎn)終止點(diǎn)截交線投影截交線投影虛實(shí)分界點(diǎn)虛實(shí)分界點(diǎn)單個(gè)平面截切圓錐體單個(gè)平面截切圓錐體例例1 1：多個(gè)平面截切圓錐體多個(gè)平面截切圓錐體平面與圓球體相交其截交線均為圓平面與圓球體相交其截交線均為圓例例PQP P面交線的面交線的H H投影投影為圓弧曲線為圓弧曲線Q Q面交線的面交線的W W投影投影為圓弧曲線為圓弧曲線fPV切切 點(diǎn)點(diǎn) 切切點(diǎn)點(diǎn)oacbdobcaddbcaofeeef111例：求球體截切后的投影圖。例：求球體截切后的投影圖。綜合舉例綜合舉例:復(fù)合回轉(zhuǎn)體的截切復(fù)合回轉(zhuǎn)體的截切求作水平投影求作水平投影pqpq雙曲線雙曲線PQ求與大圓柱的交線求與大圓柱的交線求與小圓柱的交線求與小圓柱的交線求與圓錐的交線求與圓錐的交線加深加深求求截交線的本質(zhì)截交線的本質(zhì)立體的形狀立體的形狀截平面相對(duì)于截平面相對(duì)于立體的位置立體的位置截交線的形狀截交線的形狀取決于取決于截交線投影的形狀截交線投影的形狀取決于取決于截平面相對(duì)于截平面相對(duì)于投影面的位置投影面的位置截平面與立體的截平面與立體的相交形式相交形式單體單面單體單面單體多面單體多面多體多面多體多面分別分析單面分別分析單面與單體交線與單體交線截平面與截平面截平面與截平面之間的