二維傅里葉變換

1、1.3 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Material Science19世紀(jì)初，傅里葉在向巴黎科學(xué)院呈交的關(guān)于世紀(jì)初，傅里葉在向巴黎科學(xué)院呈交的關(guān)于熱傳導(dǎo)的著名論文中提出了傅里葉級(jí)數(shù)熱傳導(dǎo)的著名論文中提出了傅里葉級(jí)數(shù) 傅里葉分析方法已經(jīng)廣泛用于物理學(xué)及工程學(xué)傅里葉分析方法已經(jīng)廣泛用于物理學(xué)及工程學(xué)科的各個(gè)領(lǐng)域科的各個(gè)領(lǐng)域 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換(2-D Fourier Transform, FT)1.3 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第一章第一章

2、線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Material ScienceJoseph Fourier, our heroFourier was obsessed with the physics of heat and developed the Fourier series and transform to model heat-flow problems.1.3 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Materia

3、l Science信號(hào)分解為正交函數(shù)分量的研究方法在系統(tǒng)理論中信號(hào)分解為正交函數(shù)分量的研究方法在系統(tǒng)理論中占有重要的地位，其原理與矢量分解為正交矢量的概占有重要的地位，其原理與矢量分解為正交矢量的概念十分相似念十分相似正交矢量空間和正交函數(shù)系正交矢量空間和正交函數(shù)系I 正交矢量空間正交矢量空間000Ax iy jz k三維空間三維空間1.3 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Material Sciencen維空間維空間1 122nnAcVc Vc V0,mnmmnVVmni

4、iiA Vc 其中其中1.3 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Material ScienceII 正交函數(shù)系正交函數(shù)系若定義在若定義在(x1，x2)區(qū)間上的復(fù)函數(shù)系區(qū)間上的復(fù)函數(shù)系 中的每中的每個(gè)函數(shù)絕對(duì)可積，且滿足個(gè)函數(shù)絕對(duì)可積，且滿足 ( )nx210,( )( ),xnmxmmnxx dxmn為區(qū)間為區(qū)間(x1，x2) 上的正交函數(shù)系上的正交函數(shù)系.( )nx1122331( )( )( )( )( )nnnf xcxcxcxcx1.3 1.3 二維傅里葉變換二維傅

5、里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Material Science簡單的周期運(yùn)動(dòng)簡單的周期運(yùn)動(dòng) :)sin(tAy(諧波函數(shù))( A為為振幅振幅, 復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng) :)sin(10nnntnAAytnAtnAnnnnsincoscossin令,200Aa,sinnnnAa,cosnnnAbxt得函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)得函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù))sincos(210 xnbxnaannk 為為角頻率角頻率,為為初相初相 )(諧波迭加)稱上述形式的級(jí)數(shù)為稱上述形式的級(jí)數(shù)為三角級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù).1.3 1.3 二維傅里葉變換

6、二維傅里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Material Science定理定理 1. 組成三角級(jí)數(shù)的函數(shù)系組成三角級(jí)數(shù)的函數(shù)系,1,cosx,sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx上在,正交正交 ,上的積分等于上的積分等于 0 .即其中任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在即其中任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理 2 . 設(shè)設(shè) f (x) 是周期為是周期為 2 的周期函數(shù)的周期函數(shù) , 且且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積

7、分右端級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分, 則有則有), 1,0(dcos)(1nxnxxfan),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn1.3 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Material Science定理定理3 (收斂定理收斂定理, 展開定理展開定理)設(shè) f (x) 是周期為2的周期函數(shù),并滿足狄利克雷( Dirichlet )條件:1) 在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn);2) 在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn), 則 f (x) 的傅里葉級(jí)數(shù)收斂 , 且有10sincos2nn

8、nnxbnxaa, )(xf,2)()(xfxf x 為間斷點(diǎn)其中nnba ,( 證明略證明略 )為 f (x) 的傅里葉系數(shù). x 為連續(xù)點(diǎn)1.3 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Material Science三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)，在一個(gè)周期內(nèi)，n = 0, 1, ., 由積分可知由積分可知,1. 三角函數(shù)集三角函數(shù)集 是一個(gè)完備的正交函數(shù)集是一個(gè)完備的正交函數(shù)集tntn11sin,cos2112cossin0TTntmt dt2

9、112,coscos20,TTTmnntmt dtmn2112,sinsin20,TTTmnntmt dtmn1.3.1傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)(Fourier Series)1.3 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Material Science在滿足在滿足狄利克雷條件狄利克雷條件時(shí)，可展成時(shí)，可展成稱為三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，其系數(shù)稱為三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，其系數(shù)2級(jí)數(shù)形式級(jí)數(shù)形式 1112 , , f tTT周期信號(hào)周期為基波角頻率為 sincos)(1110nnntnbt

10、naatf直流分量直流分量TttttfTa00d)(10余弦分量的幅度余弦分量的幅度TttnttntfTa00dcos)(21正弦分量的幅度正弦分量的幅度TttnttntfTb00dsin)(211.3 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Material Science指數(shù)函數(shù)形式的指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)3系數(shù)系數(shù)利用復(fù)變函數(shù)的正交特性利用復(fù)變函數(shù)的正交特性也可寫也可寫為為Fn1復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集1j e 0, 1, 2ntn 2級(jí)數(shù)形式級(jí)數(shù)形式 e

11、)()(1j1tnnnFtf11111j01jj0( ) ed()eedTntTntntf ttF ntdtetfTtjnT1101)(11.3 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Material Science說明說明dtetfTnFtjnT11011)(1)(1j1( )() entnf tF n 對(duì)變換對(duì)惟一確定，上兩式是一，則如給出tfnF)(11j,ent 周期信號(hào)可分解為區(qū)間上的指數(shù)信號(hào)的線性組合周期信號(hào)周期信號(hào)f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)有兩種形式的傅里葉級(jí)數(shù)有兩種形式

12、三角形式三角形式1110sincos)(nnntnbtnaatf110cosnntncc指數(shù)形式指數(shù)形式tnnnFtf1j1e)()(1.3 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Material Science都是都是離散求和的形式離散求和的形式，表明，表明(1) 一個(gè)隨時(shí)間或空間變化的周期函數(shù)一個(gè)隨時(shí)間或空間變化的周期函數(shù)(信號(hào)信號(hào)) ,可以看作是許多具有不同頻率的基元簡諧波信號(hào)的疊可以看作是許多具有不同頻率的基元簡諧波信號(hào)的疊加各簡諧波分量的頻率為加各簡諧波分量的頻率為 ,

13、是離散的，取值是離散的，取值為為0, , , , , 為直流分量，為直流分量， 為基為基頻，其余為高次諧波分量頻，其余為高次諧波分量)(tf1n 11213101(2)是其中一個(gè)簡諧波成分，是其中一個(gè)簡諧波成分， 或或是該簡諧波成分的權(quán)重，它是頻率是該簡諧波成分的權(quán)重，它是頻率 的函數(shù)，的函數(shù)，稱為傅里葉頻譜函數(shù)稱為傅里葉頻譜函數(shù)(簡稱頻譜函數(shù)簡稱頻譜函數(shù)) 。1exp()jnt1()F n(,)nna b1.3 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Material Scien

14、ce一維傅里葉變換一維傅里葉變換)(tf：周期信號(hào)：周期信號(hào)非周期信號(hào)非周期信號(hào)連續(xù)譜，幅度無限小；連續(xù)譜，幅度無限?。浑x散譜離散譜22j11111de )(1)(TTtnttfTnF譜系數(shù)0 再用再用 表示頻譜就不合適了，雖然各頻譜幅表示頻譜就不合適了，雖然各頻譜幅度無限小，但相對(duì)大小仍有區(qū)別，引入度無限小，但相對(duì)大小仍有區(qū)別，引入頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù). 1 nF11 2 T譜線間隔0 1TtnnnFtf1j1e)()(1.3 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Mate

15、rial Science1T 1T 單位頻帶上的單位頻帶上的頻譜值頻譜值22j11111de)(1)(TTtnttfTnFfnFTnFnFT111111時(shí)，當(dāng)1T 0)( , 0111nFTf有界函數(shù)fnF1連續(xù)111dnn1.3 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Material Science頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù)(spectrum density function)，簡稱，簡稱頻譜函數(shù)頻譜函數(shù)w1T 11111j2112limlim( )edTntTTTFT F nf

16、 ttdtetftjn1)(21T21T f tFj( )( )ed ( )tFf ttf tFj11( )d2tf tFeFF1.3 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Material Science1.3.2傅里葉變傅里葉變換換1. 直角坐標(biāo)系內(nèi)的二維傅里葉變換直角坐標(biāo)系內(nèi)的二維傅里葉變換二元函數(shù)的二元函數(shù)的傅里葉變換傅里葉變換(即傅里葉譜或即傅里葉譜或頻譜頻譜)定義為定義為),(yxf其其傅里葉逆變換傅里葉逆變換定義為定義為 dxdyyxjyxfF)(2exp),(),

17、(ddyxjFyxf)(2exp),(),( 非周期函數(shù)可分解為連續(xù)頻率的余弦分量的積分，非周期函數(shù)可分解為連續(xù)頻率的余弦分量的積分，是各頻率成分的權(quán)重因子是各頻率成分的權(quán)重因子(weighting factor) ),(F1.3 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Material Science在電信號(hào)處理、通信中，一般是在電信號(hào)處理、通信中，一般是1D的時(shí)間信號(hào)，的時(shí)間信號(hào)，經(jīng)常用到一維傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換經(jīng)常用到一維傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換.在光學(xué)中，多數(shù)情況下研究的對(duì)

18、象是在光學(xué)中，多數(shù)情況下研究的對(duì)象是2D或或3D圖像圖像處理或成像，一般是二維或三維空間分布處理或成像，一般是二維或三維空間分布(可表示為二可表示為二維或三維空間函數(shù)維或三維空間函數(shù)).1.3 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Material Science 可分離變量可分離變量函數(shù)的傅里葉變函數(shù)的傅里葉變換換如果一個(gè)二維函數(shù)是可分函數(shù)，則其傅里葉變換可寫如果一個(gè)二維函數(shù)是可分函數(shù)，則其傅里葉變換可寫成兩個(gè)一維函數(shù)傅里葉變換的乘積成兩個(gè)一維函數(shù)傅里葉變換的乘積.( , )(

19、 ) ( )g x yf x h y ( )( )f xFF( )( )h yHF ( , )( ) ( )( )( )g x yf x h yFHFF1.3 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Material Science2. 極坐標(biāo)系內(nèi)的二維傅里葉變換極坐標(biāo)系內(nèi)的二維傅里葉變換sin,cossin,cosryrx122122tan,tan,xyyxr或或1) 定義式定義式對(duì)于具有對(duì)于具有圓對(duì)稱的圓對(duì)稱的函數(shù)，采函數(shù)，采用極坐標(biāo)用極坐標(biāo)形式比較形式比較方便方便. . 1.

20、3 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Material SciencedxdyyxjyxfF)(2exp),(),(cos ,sinxryrcos ,sin 20 0(cos ,sin )( cos , sin )exp2cos()Ff rrjrrdrd )sin,cos(),(FG)sin,cos(),(rrfrg 020)cos(2exp),(),(drdrjrrgG 020)cos(2exp),(),(ddrjGrg1.3 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第一章第

21、一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Material Science2) 傅里葉貝塞爾變換傅里葉貝塞爾變換圓對(duì)稱函數(shù)，有圓對(duì)稱函數(shù)，有 )(),(rgrg20000( , )( , )( )( )exp2cos()2( )(2)Gg rg rrg rjrddrrg r Jr dr FF其中，利用了其中，利用了貝塞爾函數(shù)貝塞爾函數(shù)關(guān)系式關(guān)系式)(2)cos(exp020Jdj1.3 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physi

22、cs & Material Science式中是第一類零階貝塞爾函數(shù)式中是第一類零階貝塞爾函數(shù)(is a Bessel function of first kind, zero order)與無關(guān)，表明與無關(guān)，表明圓對(duì)稱函數(shù)圓對(duì)稱函數(shù)的傅里葉變換和逆變換仍為圓對(duì)稱的傅里葉變換和逆變換仍為圓對(duì)稱，可表示為，可表示為 )(0JdrrJrrgG)2()(2)(00drJGrg)2()(2)(00圓對(duì)稱函數(shù)的傅里葉正變換和逆變換的運(yùn)算形式圓對(duì)稱函數(shù)的傅里葉正變換和逆變換的運(yùn)算形式 相同，常稱之為相同，常稱之為傅里葉貝塞爾傅里葉貝塞爾變換變換(Fourier- Bessel transform)1.3

23、1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Material Science1.3 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Material Science1.3 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Material Sciencea. 在整個(gè)在整個(gè)xy平面

24、上絕對(duì)可積平面上絕對(duì)可積( , )f x yb. 在任一有限區(qū)域里，在任一有限區(qū)域里， 必須只有有限個(gè)間必須只有有限個(gè)間斷點(diǎn)和有限個(gè)極值點(diǎn)斷點(diǎn)和有限個(gè)極值點(diǎn) ( , )f x yc. 必須沒有無窮大間斷點(diǎn)必須沒有無窮大間斷點(diǎn) ( , )f x y( , )f x y dxdy 3. 傅里葉變換存在及其應(yīng)用條件傅里葉變換存在及其應(yīng)用條件1.3 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Material Science說明：說明：(1) 物理上實(shí)際存在的物理量物理上實(shí)際存在的物理量(如各

25、種隨時(shí)間或空間變化的如各種隨時(shí)間或空間變化的函數(shù)函數(shù))，其傅里葉變換總是存在的，其傅里葉變換總是存在的. R. N. Bracewell曾指出：曾指出：物理上的可能是一個(gè)變換存在的有效的充分條件物理上的可能是一個(gè)變換存在的有效的充分條件. (Physical possibility is a valid sufficient for the existence of a transform)即：從應(yīng)用的角度看，即：從應(yīng)用的角度看，可以認(rèn)為傅里葉變換實(shí)際上總是存在的可以認(rèn)為傅里葉變換實(shí)際上總是存在的(2) 物理上，為了數(shù)學(xué)描述的方便，常引入一些理想化的函物理上，為了數(shù)學(xué)描述的方便，常引入一些理想

26、化的函數(shù)數(shù)(idealized mathematical functions) ，其經(jīng)典意義下的傅，其經(jīng)典意義下的傅里葉變換不存在，但可以引入里葉變換不存在，但可以引入廣義傅里葉變換廣義傅里葉變換這種變換這種變換不僅在理論上是自洽的，而且在應(yīng)用上也能給出符合實(shí)際不僅在理論上是自洽的，而且在應(yīng)用上也能給出符合實(shí)際的結(jié)果的結(jié)果1.3 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Material Science1.3.3廣義傅里葉變換廣義傅里葉變換 1. 極限意義下的傅里葉變換極限意義下的傅

27、里葉變換( )lim( )nnf xfx)(xf無經(jīng)典意義下的傅里葉變換但無經(jīng)典意義下的傅里葉變換但 和一個(gè)函和一個(gè)函數(shù)序列數(shù)序列 具有以下關(guān)系具有以下關(guān)系 )(xf), 2 , 1)(nxfn( )( )nnFfxF而函數(shù)序列中的每一個(gè)函數(shù)，其狹義傅里葉而函數(shù)序列中的每一個(gè)函數(shù)，其狹義傅里葉變換變換 ( )nfx都存在，而且在時(shí)，函數(shù)序列也有都存在，而且在時(shí)，函數(shù)序列也有確定的極限，則定義確定的極限，則定義)(nFn ( )lim ( )lim( )nnnnf xfxFFF1.3 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics

28、 School of Physics & Material Science(1) 可先定義一個(gè)函數(shù)序列可先定義一個(gè)函數(shù)序列/,0( )0,0,0 x nnx nexfxxex , 2 , 1n可見可見1,0sgn( )lim( )0,01,0nnxxfxxx例如：不滿足絕對(duì)可積條件，例如：不滿足絕對(duì)可積條件， 無經(jīng)典意義無經(jīng)典意義下的傅里葉變換下的傅里葉變換sgn( )x1.3 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Material Science1.3 1.3 二維傅里葉變換二

29、維傅里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Material Science2( )( )( )jxnnnFfxfx edxF02/02/dxeedxeexjnxxjnx22)2(14nj(2) 求的傅里葉變換求的傅里葉變換( )nfx1.3 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Material Science(3) 的極限即為傅里葉變換的極限即為傅里葉變換( )nFsgn( ) x( )sg

30、n( )lim( )nnFxFF224lim()1(2)njn,00,0j1.3 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Material Science2函數(shù)的傅里葉變函數(shù)的傅里葉變換換2 ( )( )1jxxx edxF即即 的傅里葉變換是常數(shù)的傅里葉變換是常數(shù)1 )(x那么常數(shù)那么常數(shù)1的傅里葉逆變換是否成立呢？的傅里葉逆變換是否成立呢？ 11( ) xF根據(jù)函數(shù)的廣義定義，只要證明在積分根據(jù)函數(shù)的廣義定義，只要證明在積分中的作用相當(dāng)于函數(shù)即可中的作用相當(dāng)于函數(shù)即可)(x11

31、F)(x根據(jù)函數(shù)的定義式，可直接求出它的傅里葉變換根據(jù)函數(shù)的定義式，可直接求出它的傅里葉變換1.3 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Material Science設(shè)有一個(gè)函數(shù)，它在處連續(xù)，并且其設(shè)有一個(gè)函數(shù)，它在處連續(xù)，并且其傅里葉變換存在，即有：傅里葉變換存在，即有：( )f x0 x ( )( )f xFF 11( )1 exp( 2)( )f x dxjx df x dx F2(0)( )exp( 2)( )exp2 () ()( ) ()( )( )( )(0)j

32、xf xjx dx df xjx dx dFdFdFdFdFedf 證明：證明：1.3 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Material Science可見在積分中的作用可見在積分中的作用相當(dāng)于相當(dāng)于函數(shù)，所函數(shù)，所以有以有 ，即存在：，即存在：11F)(x11( ) xF( )1x類似的有類似的有 1( ) F即即)(2dxexj00exp(2)()jx 00()exp(2)xxjx還有還有1.3 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Material Science3. 廣義傅里葉變換計(jì)算舉例廣義傅里葉變換計(jì)算舉例(1) 階躍函數(shù)階躍函數(shù) 的傅里葉變換的傅里葉變換step( )x1step( )1 sgn( )2xx1step( ) 1 sgn( )211 sgn( )22xxxFFFF1 ( )2j 1.3 1.3 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第一章第一章 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析Information Optics School of Physics & Material Science(2) 梳狀函數(shù)