解析函數(shù)的充要條件PPT學習教案

1、會計學1解析函數(shù)的充要條件解析函數(shù)的充要條件& 1. 解析函數(shù)的充要條件解析函數(shù)的充要條件& 2. 舉例舉例第1頁/共47頁 如果復(fù)變函數(shù)如果復(fù)變函數(shù) w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定義在定義域域 D內(nèi)處處可導(dǎo)，則函數(shù)內(nèi)處處可導(dǎo)，則函數(shù) w = f (z) 在在 D內(nèi)解析。內(nèi)解析。 本節(jié)從函數(shù)本節(jié)從函數(shù) u (x , y) 及及 v (x , y) 的可導(dǎo)性，探求的可導(dǎo)性，探求函數(shù)函數(shù)w=f (z) 的可導(dǎo)性，從而給出判別函數(shù)解析的的可導(dǎo)性，從而給出判別函數(shù)解析的一個充分必要條件，并給出解析函數(shù)的求導(dǎo)方法。一個充分必要條件，并給出解析函數(shù)的求導(dǎo)方

2、法。問題問題 如何判斷函數(shù)的解析性呢？如何判斷函數(shù)的解析性呢？第2頁/共47頁一一. 解析函數(shù)的充要條件解析函數(shù)的充要條件yixyxivyxuyyxxivyyxxu ),(),(),(),(則則可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),),(),()(iyxzyxivyxuzfw zzfzzf)()(第3頁/共47頁xyxvyxxvixyxuyxxuxyxivyxuyxxivyxxuzzfzzfzfxxxz ),(),(lim),(),(lim ),(),(),(),(lim )()(lim)(0000)0( yzzz若若沿沿平平行行于于實實軸軸的的方方式式xvixu 第4頁/共47頁yiyxvyyxvi

3、yiyxuyyxuyiyxivyxuyyxivyyxuzzfzzfzfyyyz ),(),(lim),(),(lim),(),(),(),(lim)()(lim)(0000)0( xzzz若沿平行于虛軸的方式若沿平行于虛軸的方式y(tǒng)uiyvyvyui 1 第5頁/共47頁yuxvyvxuyuiyvxvixuzf )( 存存在在A 記憶記憶yvxvyuxu 定義定義 方程方程稱為稱為Cauchy-Riemann方程方程(簡稱簡稱C-R方程方程).yuxvyvxu 第6頁/共47頁定理定理1 設(shè)設(shè) f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在在 D 內(nèi)有定義，內(nèi)有定義， 則則 f (z)

4、在點在點 z=x+iy D處可導(dǎo)的充要條件是處可導(dǎo)的充要條件是 u(x, y) 和和 v(x, y) 在點在點 (x, y ) 可微可微，且滿足，且滿足 Cauchy-Riemann方程方程yuxvyvxu ,上述條件滿足時上述條件滿足時,有有xyyyyxxxivviuviuuivuzf )( 第7頁/共47頁證明證明（由由f (z)的可導(dǎo)的可導(dǎo) C-R方程滿足上面已證！只須證方程滿足上面已證！只須證 f (z)的可導(dǎo)的可導(dǎo) 函數(shù)函數(shù) u(x, y)、v(x, y)可微可微）。）。 函數(shù)函數(shù) w =f (z)點點 z可導(dǎo)，即可導(dǎo)，即)( )()()(zfzzfzzfz 設(shè)設(shè)則則 f (z+ z

5、)-f(z)=f (z)z+ (z)z (1), 且且zzfzzfzfz )()(lim)( 00)(lim0 zz 第8頁/共47頁u+iv = (a+ib)(x+iy)+( 1+i 2)(x+iy)=(ax-by+ 1x 2y)+i(bx+ay+ 2x+ 1y)令：令：f (z+z) f (z)=u+iv，f (z)= a+ib， (z)= 1+i 2 故（故（1）式可寫為）式可寫為因此因此 u=ax by+ 1x 2y , v=bx+ay+ 2x 1y0)(lim0 zz 0limlim200100 yxyx0lim2100 zyxyx 0lim1200 zyxyx 第9頁/共47頁所以

6、所以u(x, y)，v(x, y)在點在點(x, y)處可微處可微. （由函數(shù)（由函數(shù)u(x,y) ,v (x,y)在點在點(x,y)處可微及滿足處可微及滿足 C-R方程方程 f (z)在點在點z=x+iy處可導(dǎo)）處可導(dǎo)）u(x，y)，v(x，y)在在(x，y)點可微，即：點可微，即：yxyyuxxuu 21 yxyyvxxvv 43 )4 ,3,21( ,0lim00，其其中中 kkyx 第10頁/共47頁yixiyyviyuxxvixuviuzfzzf )()()()()()(4231 yixizxvixuRC )()()(4231 方方程程由由0)(1|,1|31 izxzyzxxvix

7、uzzfzzfzfz )()(lim)(0zyizxixuizuzzfzzf )()()()(4231 第11頁/共47頁定理定理2 函數(shù)函數(shù)f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在在D內(nèi)解析充要內(nèi)解析充要 條件是條件是 u(x, y) 和和 v(x, y)在在D內(nèi)內(nèi)可微，且可微，且 滿足滿足Cauchy-Riemann方程方程yuxvyvxu ,A 由此可以看出可導(dǎo)函數(shù)的實部與虛部有密切的由此可以看出可導(dǎo)函數(shù)的實部與虛部有密切的聯(lián)系聯(lián)系. .當一個函數(shù)可導(dǎo)時當一個函數(shù)可導(dǎo)時, ,僅由其實部或虛部就可以僅由其實部或虛部就可以求出導(dǎo)數(shù)來求出導(dǎo)數(shù)來. .A 利用該定理可以判斷利用該定理可以判

8、斷哪哪些函數(shù)是不可導(dǎo)的些函數(shù)是不可導(dǎo)的. .第12頁/共47頁使用時使用時: i) 判別判別 u(x, y)，v (x, y) 偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性， ii) 驗證驗證C-R條件條件.iii) 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)：yvyuixvixuzf 1)( A 前面我們常把復(fù)變函數(shù)看成是兩個實函數(shù)拼成前面我們常把復(fù)變函數(shù)看成是兩個實函數(shù)拼成的的, , 但是求復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時要注意但是求復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時要注意, , 并不是兩個并不是兩個實函數(shù)分別關(guān)于實函數(shù)分別關(guān)于x, ,y求導(dǎo)簡單拼湊成的求導(dǎo)簡單拼湊成的. .第13頁/共47頁二二. 舉例舉例2)3( )sin(cos)()2(;)1(zwyiyezf

9、zwx ；例例1 判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析：判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析：解解 (1) 設(shè)設(shè)z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 則則析析。在在全全平平面面不不可可導(dǎo)導(dǎo)，不不解解故故zwyvxuyvxvyuxu 1001第14頁/共47頁解解(2) f (z)=ex(cosy +isiny) 則則 u=excosy, v= exsiny在在全全平平面面可可導(dǎo)導(dǎo)，解解析析。故故)sin(cos)( cossinsincosyiyezfyuxvyvxuyeyvyexvyeyuyexuxxxxx )(sincos)( zfyieyexvixuzfxx 第15頁/共47頁僅

10、在點僅在點z = 0處滿足處滿足C-R條件，故條件，故。處處可可導(dǎo)導(dǎo)，但但處處處處不不解解析析僅僅在在02 zzw解解 (3) 設(shè)設(shè)z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 則則 0022 yvxvyyuxxu第16頁/共47頁例例2 求證函數(shù)求證函數(shù).0),(),( 2222dzdwiyxzyxyiyxxyxivyxuw處處解解析析，并并求求在在 證明證明 由于在由于在z0處，處，u(x,y)及及v(x,y)都是可微函數(shù)，都是可微函數(shù)，且滿足且滿足C-R條件：條件：,)(22222yxxyyvxu 222)(2yxxyxvyu 故函數(shù)故函數(shù)w=f (z)在在z0處解析，其導(dǎo)

11、數(shù)為處解析，其導(dǎo)數(shù)為第17頁/共47頁22222222222221)()()(2)(zyxiyxyxxyiyxxyxvixudzdw DzCzfDzzf ,)(,0)( 若若例例3 復(fù)復(fù)常常數(shù)數(shù)）()(001)( 2121CiCCzfCvCuvuvuvuiivuzfyyxxyyxx 證明證明第18頁/共47頁例例4 如果如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函數(shù)，是一解析函數(shù)， 且且f (z)0，那么曲線族，那么曲線族u(x, y)=C1， v(x, y)=C2必互相正交，這里必互相正交，這里C1 、C2 是常數(shù)是常數(shù).那么在曲線的交點處，那么在曲線的交點處，i)uy、 v

12、y 均不為零時，均不為零時，由隱函數(shù)求導(dǎo)法則知曲線族由隱函數(shù)求導(dǎo)法則知曲線族 u(x, y)=C1，v(x, y)=C2中任一條曲線的斜率分別為中任一條曲線的斜率分別為 yxuuk/1 yxvvk/2 01)( yvyuizf0不不全全為為與與yvyu 解解利用利用C-R方程方程 ux=vy, uy=-vx 有有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1，即：兩族曲線互相正交，即：兩族曲線互相正交.第19頁/共47頁ii) uy，vy中有一為零時，不妨設(shè)中有一為零時，不妨設(shè)uy=0，則，則k1=， k2=0（由（由C-R方程）方程）即：兩族曲線在交點處的切線一條是水平的，另即：兩族曲線

13、在交點處的切線一條是水平的，另一條是鉛直的一條是鉛直的, 它們?nèi)曰ハ嗾?。它們?nèi)曰ハ嗾弧?)(,)()(2222在復(fù)平面內(nèi)處處解析在復(fù)平面內(nèi)處處解析取何值時取何值時問常數(shù)問常數(shù)若若zfdcbaydxycxibyaxyxzf 練習練習: a=2 , b=-1 , c=-1 , d=2第20頁/共47頁& 1. 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)& 2. 三角函數(shù)和雙曲函數(shù)三角函數(shù)和雙曲函數(shù)& 3. 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)& 4. 乘冪與冪函數(shù)乘冪與冪函數(shù)& 5. 反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)第21頁/共47頁內(nèi)內(nèi) 容容 簡簡 介介第22頁/共47頁一一. 指數(shù)函

14、數(shù)指數(shù)函數(shù)它與實變指數(shù)函數(shù)有類似的性質(zhì)它與實變指數(shù)函數(shù)有類似的性質(zhì)：0exp)1( zz)0exp,( xez事實上事實上xezzfxz exp)(,)2(時時為為實實數(shù)數(shù)當當)0( y)2(12(的的例例見見 , 2, 1, 02)expArg(expkkyzezx)1()sin(cosexp)(:expyiyezzfzziyxzx 如如下下的的指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)定定義義復(fù)復(fù)變變數(shù)數(shù)對對定義定義.exp)(expexp)()3(zzzzf 且且在在復(fù)復(fù)平平面面上上處處處處解解析析，第23頁/共47頁右右邊邊左左邊邊設(shè)設(shè)事事實實上上 )exp()sin()cos()sincoscos(sinsi

15、nsincoscos )sin(cos)sin(cos expexp)2 , 1(,21212121212121221121212121zzyyiyyeyyyyiyyyyeyiyeyiyezzjiyxzxxxxxxjjj)exp(expexp:)4(2121zzzz 加加法法定定理理.expzez代代替替為為了了方方便便，我我們們以以后后用用第24頁/共47頁:)(的的周周期期性性由由加加法法定定理理可可推推得得zezf ZkikTzfTzf ,2),()( .2 )()2sin2(cos)2(,22為為任任意意整整數(shù)數(shù)事事實實上上kikTzfekikeeeeikzfzzikzikz A 這個

16、性質(zhì)是實變指數(shù)函數(shù)所沒有的。這個性質(zhì)是實變指數(shù)函數(shù)所沒有的。zzxxzzeeeyyiyyeee111)sin()(cos(0 又又2121zzzzeee 第25頁/共47頁沒沒有有冪冪的的意意義義. .它它的的定定義義為為僅僅僅僅是是個個符符號號 ，)sin(cos ,)1(yiyeexzyiyexziysincos:Euler0)2( 公公式式 就就得得時時, ,的的實實部部特特別別當當?shù)降紸 )Im(zie求求例例1 ie 141求求例例21 ze解方程解方程例例3xeysin ie 12241, 2, 1, 02 kikz第26頁/共47頁)(.cos,sin:,sincossincos

17、,:2220Ryeeyieeyyiyeyiyexiyiyiyiyiyiy 從從而而得得到到時時當當由由指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)的的定定義義二二. 三角函數(shù)和雙曲函數(shù)三角函數(shù)和雙曲函數(shù)推廣到復(fù)變數(shù)情形推廣到復(fù)變數(shù)情形的的正正弦弦與與余余弦弦函函數(shù)數(shù)稱稱為為zeezieezzizizizi )3(2cos,2sin定義定義第27頁/共47頁的的周周期期函函數(shù)數(shù)是是及及 2cossin)1 Tzzcos222)2cos(22)2()2(zeeeeeeeeziziziiziizzizi zzzzsin)(coscos)(sin,)2 且且在在復(fù)復(fù)平平面面上上處處處處解解析析zeeeeizizizizizcos

18、)(21)(21)(sin q正弦與余弦函數(shù)的性質(zhì)正弦與余弦函數(shù)的性質(zhì)第28頁/共47頁.cos,sin)3是偶函數(shù)是偶函數(shù)是奇函數(shù)是奇函數(shù)zzzzzieezizizcos)cos(;sin2)sin( 同同理理zizezizsincosEuler,)3()4 成成立立公公式式對對一一切切式式由由思考題思考題. 1cos, 1sin:,cos,sin zzzz有類似的結(jié)果有類似的結(jié)果是否與實變函數(shù)是否與實變函數(shù)作為復(fù)變函數(shù)作為復(fù)變函數(shù)第29頁/共47頁三三角角公公式式的的加加法法定定理理可可推推知知一一些些及及指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)由由正正弦弦和和余余弦弦函函數(shù)數(shù)定定義義)5 1cossinsinc

19、oscossin)sin(sinsincoscos)cos(22212121212121zzzzzzzzzzzzzziyxiyxiyxiyxiyxiyxsincoscossin)sin(sinsincoscos)cos( 第30頁/共47頁)4(2sin2cos ishyieeiychyeeiyyyyy由正弦和余弦函數(shù)的定義得由正弦和余弦函數(shù)的定義得 xshyixchyiyxxshyixchyiyxcossin)sin(sincos)cos(zzzzzzzzzzsin1csc,cos1sec,sincoscot,cossintan 其它三角函數(shù)的定義其它三角函數(shù)的定義(詳見詳見P51)第31頁

20、/共47頁 chyiyshyieeiyyyycos2sin)4()7當當式式知知由由)(0sin,sin)6Zkkzzz 的的根根為為即即方方程程的的零零點點Zkkzz 2cos 的零點為的零點為.1sin, 1cos不不再再成成立立在在復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)范范圍圍內(nèi)內(nèi) zz第32頁/共47頁)1,(thzcthzchzshzthz 22zzzzeechzeeshz 定義定義稱為雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)稱為雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)q雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì)雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì)為為周周期期的的函函數(shù)數(shù)都都是是以以、ichzshz 2)1奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù) shzchz,)2第33頁/共47頁.

21、,一一定定是是多多值值函函數(shù)數(shù)反反函函數(shù)數(shù)且且是是周周期期函函數(shù)數(shù)，故故它它的的定定義義的的函函數(shù)數(shù)雙雙曲曲函函數(shù)數(shù)均均是是由由復(fù)復(fù)指指數(shù)數(shù)三三角角函函數(shù)數(shù)yishxychxiyxchyiychyiiyshsincos)(cos)(,sin)()4 由由定定義義析析在在整整個個復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處解解和和chzshzchzshzshzchz )(,)()3第34頁/共47頁三三. 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)定義定義 指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)。即，指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)。即，Lnzwzfwzzew 記作記作稱為對數(shù)函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)的函數(shù)的函數(shù)把滿足把滿足,)()0()(2,ln,Zkkvru

22、reerezivuwiivui 那那么么令令), 1, 0()2(ln kkirLnzw ), 2, 1, 0()2(arglnArgln kkzizzizLnz 或或(1) 對數(shù)的定義對數(shù)的定義第35頁/共47頁.2,)0(的的一一個個整整數(shù)數(shù)倍倍相相差差其其任任意意兩兩個個相相異異值值即即虛虛部部無無窮窮多多角角的的一一般般值值的的幅幅的的虛虛部部是是的的模模的的實實自自然然對對數(shù)數(shù)；它它實實部部是是它它的的的的對對數(shù)數(shù)仍仍為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)這這說說明明一一個個復(fù)復(fù)數(shù)數(shù) zzzz 的的無無窮窮多多值值函函數(shù)數(shù)是是即即zLnzw ,)(,)2(lnargln,0主主值值支支的的主主值值稱稱為為的的

23、一一單單值值函函數(shù)數(shù)為為時時當當記記作作LnzLnzzzizLnzk )(2lnZkkizLnz 故故第36頁/共47頁.)12()1( ,1ln)1ln(,1ikLniia .(負數(shù)也有對數(shù)).(負數(shù)也有對數(shù)), ,LnzLnz1)1)復(fù)數(shù)都有意義復(fù)數(shù)都有意義對一切非零對一切非零不僅對正數(shù)有意義不僅對正數(shù)有意義 wZkikaLnzazLnzaz 2ln lnln, 0 , 的的主主值值當當例例如如.)12(ln,lnln),0(ikaLnziazLnzaaz 的的主主值值當當特別特別A 第37頁/共47頁(2) 對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).,這與實函數(shù)不同這與實函數(shù)不同多值性多值性了對數(shù)函

24、數(shù)的了對數(shù)函數(shù)的指數(shù)函數(shù)的周期性導(dǎo)致指數(shù)函數(shù)的周期性導(dǎo)致 2)2)21212121,)()1LnzLnzzzLnLnzLnzzzLn .ln:)2處處處處連連續(xù)續(xù)在在除除去去原原點點與與負負實實軸軸外外連連續(xù)續(xù)性性z,arglnln:zizz 主主值值;ln續(xù)續(xù)除除原原點點外外在在其其它它點點均均連連其其中中z.arg 連連續(xù)續(xù)在在原原點點與與負負實實軸軸上上都都不不而而z見見1-6例例4.ln,在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處連連續(xù)續(xù)除除原原點點及及負負實實軸軸外外z第38頁/共47頁0)(, wwweeezzedwdzzdzdww111)(ln zz1)(ln 即即.ln析析的的除除原原點點及

25、及負負實實軸軸外外是是解解zw .ln:)3平面內(nèi)解析平面內(nèi)解析在除去原點與負實軸的在除去原點與負實軸的解析性解析性zzLnzLnz1)( 且且負負實實軸軸外外均均是是解解析析的的，的的每每個個分分支支除除了了原原點點和和.,2ziez求求設(shè)設(shè) 例例4, 1, 0222ln kikiz 第39頁/共47頁四四. 乘冪乘冪 與冪函數(shù)與冪函數(shù) babzq 乘冪乘冪ab, 0, aba且且為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)定義定義.bLnabea 定定義義乘乘冪冪.,0,為為實實數(shù)數(shù)實實變變數(shù)數(shù)情情形形ba A kiaLna2ln 多值多值 一般為多值一般為多值)2(ln kiabbLnabeea 第40頁/共47頁.,它它是是單單值值函函數(shù)數(shù)為為整整數(shù)數(shù)時時bababebkibkelnln)2sin2(cos kbiabkiabbLnabeeeea2ln)2(ln 為為整整數(shù)數(shù)當當 b)0,( qqpqpb且且為為互互質(zhì)質(zhì)的的整整數(shù)數(shù)當當)2(argln)2arg(ln kaiaikaiabqpqpqpeeea )1,3 , 2 , 1 , 0( qk)2(argsin)2(argcosln kaqpikaqpeaqp q支支具具有有一一般般而而論論ba,.無窮多支無窮多支第41頁/共47頁 (2)當當b=1/n(n正整數(shù)正整數(shù))時時，乘