(完整版)6-2-4比例應(yīng)用題.題庫教師版

1、6-2-4比例應(yīng)用題自地蚱 教學(xué)目標(biāo)1、比例的基本性質(zhì)2、熟練掌握比例式的恒等變形及連比問題3、能夠進(jìn)行各種條件下比例的轉(zhuǎn)化，有目的的轉(zhuǎn)化;4、單位“1”變化的比例問題5、方程解比例應(yīng)用題無 知識點撥比例與百分?jǐn)?shù)作為一種數(shù)學(xué)工具在人們?nèi)粘Ｉ钪刑幚矶嘟M數(shù)量關(guān)系非常有用，這一部分內(nèi)容也是小升初考試的重要內(nèi)容.通過本講需要學(xué)生掌握的內(nèi)容有：、比和比例的性質(zhì)性質(zhì) 1 ：若 a: b=c： d,貝 (a + c)： (b + d)= a： b=c： d；性質(zhì) 2：若 a: b=c： d,貝(a - c): (b - d)= a： b=c： d;性質(zhì) 3:若 a: b=c： d,則(a +x c): (

2、b +x d)=a： b=c： d; (x 為常數(shù))性質(zhì)4：若a: b=c： d,則a )d = b c；x(即外項積等于內(nèi)項積)正比例：如果a%=k(k為常數(shù))，則稱a、b成正比；反比例：如果a>b=k(k為常數(shù))，則稱a、b成反比.、主要比例轉(zhuǎn)化實例 xayb xy abybxa'ab'xy'mxmyrma / 汗（其中m 0）；mbxyab xyab Lx a ' x y a b 'x ac；x: y : z ac : bc : bd ;z bd x的£等于y的d,則x是y的ad, y是x的生. abbcad三、按比例分配與和差關(guān)系

3、按比例分配例如：將x個物體按照a:b的比例分配給甲、乙兩個人，那么實際上甲、乙兩個人各自分配到的物體數(shù)量與x的比分別為a: a b和b: a b ,所以甲分配到一a±個，乙分配到其 a ba b個.已知兩組物體的數(shù)量比和數(shù)量差，求各個類別數(shù)量的問題例如：兩個類別A、B,元素的數(shù)量比為a:b（這里a b）,數(shù)量差為x,那么A的元素數(shù) 量為工，B的元素數(shù)量為其，所以解題的關(guān)鍵是求出 a b與a或b的比值.a ba b四、比例題目常用解題方式和思路解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題關(guān)鍵是正確理解、運(yùn)用單位“1”。題中如果有幾個不同的單位“ 1”，必須根據(jù)具體情況，將不同的單位“ 1”，轉(zhuǎn)化成統(tǒng)一的單位“1”，

4、使數(shù)量關(guān)系簡單化，達(dá)到解 決問題的效果。在解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時，要注意以下幾點：1 .題中有幾種數(shù)量相比較時，要選擇與各個已知條件關(guān)系密切、 便于直接解答的數(shù)量為 單位“1”。2 .若題中數(shù)量發(fā)生變化的，一般要選擇不變量為單位“1”。3 .應(yīng)用正、反比例性質(zhì)解答應(yīng)用題時要注意題中某一數(shù)量是否一定，然后再確定是成正比例，還是成反比例。找出這些具體數(shù)量相對應(yīng)的分率與其他具體數(shù)量之間的正、反 比例關(guān)系，就能找到更好、更巧的解法34 .題中有明顯的等量關(guān)系，也可以用方程的方法去解。5 .賦值解比例問題6.國打催 例題精講模塊一、比例轉(zhuǎn)化【例1】 已知甲、乙、丙三個數(shù)，甲等于乙、內(nèi)兩數(shù)和的-,乙等于甲、內(nèi)兩

5、數(shù)和的-,內(nèi)32等于甲、乙兩數(shù)和的-,求甲:乙：丙.7.一1一.11【解析】由甲等于乙、內(nèi)兩數(shù)和的-，得到甲等于三個數(shù)和的 -,同樣的乙等于甲、丙33+14兩數(shù)和的1 ,同樣的丙等于甲、乙兩個數(shù)和的- ,所以 2+137 5 12一115甲：乙：丙 一 ：一：一3: 4:5.4 3 12【例2】 已知甲、乙、丙三個數(shù)，甲的一半等于乙的2倍也等于丙的-,那么甲的2、乙的2 33倍、內(nèi)的一半這三個數(shù)的比為多少？一一 ,一一 .、 一一 2 、【解析】甲的一半、乙的2倍、內(nèi)的2這三個數(shù)的比為1:1:1 ,所以甲、乙、丙這三個數(shù)的比31213 2為1 1 : 1 2 : 1 2即2:1:一化簡為4:1

6、:3 ,那么甲的-、乙的2倍、丙的一 232 23半這三個數(shù)的比為 4 2:12:31即8:2:°,化簡為16:12:9 .3 232【鞏固】甲、乙、丙三個數(shù)，已知甲：乙丙 4:3,乙：丙2:7,求甲：乙：丙【解析】 由乙：丙 2:7可得到乙：乙 丙 2:9,丙：乙 丙 7:9,而甲：乙 丙 4:3,4 2 7所以：甲：乙:丙 一:一：一 12: 2: 7 .3 9 9【例3】 如下圖所示，圓B與圓C的面積之和等于圓A面積的4,且圓A中的陰影部分面積占圓A面積的1,圓B的陰影部分面積占圓B面積的1,圓C的陰影部分面積占圓C 65面積的1 .求圓A、圓B、圓C的面積之比.3【解析】設(shè)A

7、與B的共同部分的面積為 x , A與C的共同部分的面積為y ,則根據(jù)題意有A 4BC6 x y , x B, y C ,于是得到-B C 6 - C ,這條式子53453可化簡為B 15C ,所以A20C .最后得到A: B:C20:15:1 .12【鞏固】右圖是一個園林的規(guī)劃圖，其中，正方形的 3是草地；圓的6是竹林；竹林比草47地多占地450平方米.問：水池占多少平方米？【解析】正方形的3是草地，那如果水池占1份，草地的面積便是3份；圓的夕是竹林，水池 47占1份，竹林的面積是6份。從而竹林比草地多出的面積是（6-3=） 3份。3份的面積是450平方米，可見1份面積是450 3=150 （

8、平方米），即水池面積是150平方米。【例4】 某俱樂部男、女會員的人數(shù)之比是 3:2,分為甲、乙、丙三組.已知甲、乙、丙三 組的人數(shù)比是10:8:7 ,甲組中男、女會員的人數(shù)之比是 3:1 ,乙組中男、女會員的 人數(shù)之比是5:3 .求丙組中男、女會員人數(shù)之比.【解析】以總?cè)藬?shù)為1,則甲組男會員人數(shù)為-10-女會員為義工工，乙10 8 7 3 1 1010 3 10組男會員為一85- 1 ,女會員為1g包；丙組男會員為33 13+210 5之比為-: 10 5010 8 7 5 323+2110325【鞏固】一項公路的修建工程被平均分成兩份承包給甲、259 一 ，一 ，一 ,一 且；所以，丙組中

9、男、女會員人數(shù) 50乙個工程隊建設(shè)，兩個工程隊建設(shè)了相同多的一段時間后，分別剩下 60%、40%的任務(wù)沒有完成，已知兩個工程隊 的工作效率（建設(shè)速度）之比3:1 ,求這兩個工程隊原先承包的修建公路長度之比.【解析】（法一）甲工程隊以3倍乙工程隊建設(shè)速度，僅完成了 40%的承包任務(wù)，而乙工程隊完 成了 60% ,所以甲工程隊承包任務(wù)的40%等于乙工程隊承包任務(wù)的60% 3 180%, 所以甲工程隊的承包的任務(wù)是乙工程隊承包任務(wù)的180% 40% 450%,所以兩個工程隊承包的修建公路長度之比為 450%:1 9: 2 .（法二）兩個工程隊完成的工程任務(wù)（修建公路長度）之比等于工作效率之比，等于3

10、:1 , 而他們分別完成了各自任務(wù)的 40%和60% ,所以兩個工程隊承包的修建公路長度之 比為 3 40% : 1 60%9: 2.【鞏固】（2008年清華附中考題）甲、乙兩個工人上班，甲比乙多走的路程，而乙比甲的5時間少工，甲、乙的速度比是 11【解析】甲走的路程是乙走的路程的甲用的時間是乙用的時間的所以甲的速度是乙的速度的6 11 即甲、乙的速度比是12:11 .5 10 11【例5】 某團(tuán)體有100名會員，男女會員人數(shù)之比是14:11 ,會員分成三組，甲組人數(shù)與乙、 內(nèi)兩組人數(shù)之和一樣多，各組男女會員人數(shù)之比依次為12:13、5:3、2:1,那么內(nèi)組有多少名男會員？【解析】會員總?cè)藬?shù)1

11、00人，男女比例為14:11 ,則可知男、女會員人數(shù)分別為56人、44人；又已知甲組人數(shù)與乙、丙兩組人數(shù)之和一樣多，則可知甲組人數(shù)為50人，乙、丙人數(shù)之和為50人，可設(shè)丙組人數(shù)為x人，則乙組人數(shù)為 50 x人，又已知甲組男、女會員比為12:13 ,則甲組男、女會員人數(shù)分別為 24人、26人，又已知乙、丙兩組男、, ，一 ，一 一 一 52女會員比例，則可得：24 5（50 x） -x 56,解得x 18 .即丙組會員人數(shù)為18人,832又已知男、女比例，可得丙組男會員人數(shù)為 18 2 12人.3【例6】（2007年華杯賽總決賽）A、B、C三項工程的工作量之比為1:2:3 ,由甲、乙、丙 三隊分

12、別承擔(dān).三個工程隊同時開工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工 作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作 量等于甲未完成的工作量，則甲、乙、丙隊的工作效率的比是多少？【解析】根據(jù)題意，如果把A工程的工作量看作1,則B工程的工作量就是2, C工程的工作量就是3.設(shè)甲、乙、丙三個工程隊的工作效率分別為x、y、z .經(jīng)過k天，則:2kx2kyLL13ky3kzLL2kz1kxLL3將代入，得ky 2-xL L 4 , 3將代入，得2kx 2 2-x, x 幺，37k將x幺代入，得y2.代入，得z7k7k37k甲、乙、丙三隊的.工作效率的連比是±旦:7k

13、: 7k :7k4:6:3 .【鞏固】某次數(shù)學(xué)競賽設(shè)一、二、三等獎.已知：甲、乙兩校獲一等獎的人數(shù)相等；甲校獲一等獎的人數(shù)占該校獲獎總?cè)藬?shù)的百分?jǐn)?shù)與乙校相應(yīng)的百分?jǐn)?shù)的比為5： 6 ；甲、乙兩校獲二等獎的人數(shù)總和占兩校獲獎人數(shù)總和的20%;甲校獲三等獎的人數(shù)占該校獲獎人數(shù)的50%；甲校獲二等獎的人數(shù)是乙校獲二等獎人數(shù)的4.5倍.那么，乙校獲一等獎的人數(shù)占該校獲獎總?cè)藬?shù)的百分?jǐn)?shù)等于多少？【解析】由、可知甲、乙兩校獲獎總?cè)藬?shù)的比為 6:5,不妨設(shè)甲校有60人獲獎，則乙校有50人獲獎.由知兩校獲二等獎的共有(60 50) 20% 22人；由知甲校獲二等獎的有22 (4.5 1) 4.5 18人；由知甲

14、校獲一等獎的有60 60 50% 18 12人，那么乙校獲一等獎的也有12人，從而所求百分?jǐn)?shù)為12 50 100% 24% .【例7】 某校畢業(yè)生共有9個班，每班人數(shù)相等.已知一班的男生人數(shù)比二、三班兩個 班的女生總數(shù)多1；四、五、六班三個班的女生總數(shù)比七、八、九班三個班的男 生總數(shù)多1.那么該校畢業(yè)生中男、女生人數(shù)比是多少？【解析】如下表所示，由知，一、二、三班的男生總數(shù)比二、三班總?cè)藬?shù)多 1；由知，四至九班的男生總數(shù)比四、五、六班總?cè)藬?shù)少 1.一班男生比二、三班女生多1人加上二、三班男生二、三班男生一、二、三班男生比二、三班總?cè)藬?shù)多1人七、八、九班男生比四、五、六班女生少1人加上四、五、六

15、班男生四、五、六班男生四、五、六、七、八、九班男生比四、五、六班總?cè)藬?shù)少1人因此，一至九班的男生總數(shù)是二、三、四、五、六共五個班的人數(shù)之和，由于每班人數(shù)均相等，則女生總數(shù)等于四個班的人數(shù)之和.所以，男、女生人數(shù)之比是5:4.模塊二、按比例分配與和差關(guān)系 （一）量倍對應(yīng)【例8 一些蘋果平均分給甲、乙兩班的學(xué)生，甲班比乙班多分到16個，而甲、乙兩班的人數(shù)比為13:11 ,求一共有多少個蘋果？【解析】一共有16 13 1113 11 192個蘋果.【鞏固】小新、小志、小剛?cè)藫碛械牟貢鴶?shù)量之比為 3: 4:6 ,三人一共藏書52本，求他們?nèi)烁髯缘牟貢鴶?shù)量.【解析】根據(jù)題意可知，他們?nèi)烁髯缘牟貢鴶?shù)

16、量分別占三人藏書總量的6，所以小新?lián)碛械牟貢鴶?shù)量為52 12本，小志擁有的藏書數(shù)量為3 4 63 4 6524一 16本，小剛擁有的藏書數(shù)量為 52 6一 24本.3 4 63 4 6【鞏固】在抗洪救災(zāi)區(qū)活動中，甲、乙、丙三人一共捐了80元.已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐資的和與乙、丙所捐資的和之比是10:7 ,則甲捐 元，乙捐元，內(nèi)捐 元.【解析】由于甲比內(nèi)多捐18元，所以甲、乙所捐資的和比乙、內(nèi)所捐資的和多18元，那么甲、乙所捐資的和為：18 （10 7） 10 60（元），乙、內(nèi)所捐資的和為60 18 42元.所以,甲捐了 80 42 38（元），乙捐了 60 38 22 （元），丙捐

17、了 38 18 20 （元）.【鞏固】甲、乙兩個班共種樹若干棵，已知甲班種的棵數(shù)的 。等于乙班種的棵數(shù)的二，且45乙班比甲班多種樹24棵，甲、乙兩個班各種樹多少棵 ？1 1【解析】甲、乙兩班種樹棵數(shù)之比為：-:-4:5,甲班種樹棵數(shù)為：24 5 4 4 96（棵）， 5 4乙班種樹棵數(shù)為：24 5 4 5 120（棵）.【鞏固】有120個皮球，分給兩個班使用，一班分到的與二班分到的相等，求兩個班各32分到多少皮球？【解析】根據(jù)題意可知一班與二班分到的球數(shù)比-：- 3:2,所以一班分到皮球120 722 33 2個，二班分到皮球120 72 48個.【例9】 一班和二班的人數(shù)之比是 8:7,如果

18、將一班的8名同學(xué)調(diào)到二班去，則一班和二班 的人數(shù)比變?yōu)?:5 .求原來兩班的人數(shù).【解析】原來一班的人數(shù)為兩班總?cè)藬?shù)的白，調(diào)班后一班的人數(shù)是兩班人數(shù)的8 7 154 ,調(diào)班前后一班人數(shù)的比值為8：9 6:5 ,所以一班原來的人數(shù)為 45915 98 6 5 6 48人，二班原來的人數(shù)為48 8 7 42人.【例10】幼兒園大班和中班共有32名男生，18名女生.已知大班男生數(shù)與女生數(shù)的比為 5:3 , 中班男生數(shù)與女生數(shù)的比為2:1 ,那么大班有女生多少名？【解析】由于男、女生人數(shù)有比例關(guān)系，而且知道總數(shù)，所以可以用雞兔同籠的方法.假設(shè)18名女生全部是大班，則大班男生數(shù)：女生數(shù) 5:3 30:1

19、8 ,即男生應(yīng)有30人，實際 上男生有32人，相差2個人；又中班男生數(shù)：女生數(shù) 2:1 6:3 ,以3個中班女生換 3個大班女生，每換一組可增加1個男生，所以需要換 2組；所以，大班女生有18 3 2 12（名）.【鞏固】參加植樹的同學(xué)共有720人，已知六年級與五年級人數(shù)的比是 3:2,六年級比四年級多80人，三個年級參加植樹的各有多少人？【解析】假設(shè)四年級和六年級人數(shù)同樣多，則參加植樹的同學(xué)共有720 80 800人，四、五、六三個年級的人數(shù)比為3:2:3 ,知道三個量的和及它們的比，就可以按比例分配，分別求出三個年級參加植樹的人數(shù).六年級：800 300人;3 2 3一2,五年級：800

20、200人;3 2 3四年級：300 80 220人.【鞏固】【解析】【例11】【解析】【鞏固】【解析】圓珠筆和鉛筆的價格比是4: 3, 20支圓珠筆和21支鉛筆共用71. 5元.問圓珠 筆的單價是每支多少元？設(shè)圓珠筆的價格為4,那么鉛筆的價格為3,則20支圓珠筆和21支鉛筆的價格為20X 4+21X3=1421,則單位“1”的價格為71.5 + 143=0.5元.所以圓珠筆的單價是 O.5 X 4=2（元）.甲、乙兩只螞蟻同時從 A點出發(fā)，沿長方形的邊爬去，結(jié)果在距 B點2厘米的C點 相遇，已知乙螞蟻的速度是甲的1.2倍，求這個長方形的周長.兩只螞蟻在距B點2厘米的C點相遇，說明乙比甲一共多走

21、了 2 2 4（厘米）.又知乙螞蟻的速度是甲螞蟻的1.2倍，相同時間內(nèi)乙螞蟻爬的路程與甲螞蟻爬的路程比為：1.2 : 1=6: 5,所以甲爬白路程是4 6 5 5 20（厘米），乙爬的路程是20 4 24（厘米），長方形的周長為20 24 44（厘米）.甲、乙兩車分別從A、B兩地同時相向開出，甲車的速度是 50千米/小時，乙車1的速度是40千米/小時，當(dāng)甲車駛過 A、B距離的1多50千米時與乙車相遇，A、 3B兩地相距千米.在相同的時間內(nèi)，兩車行駛的路程比等于兩車的速度之比，由于兩車的速度之比等于50: 40 5:4,那么A、B距離的1多50千米即是A、B距離的一5一 生，所以50千34 5

22、9米的距離相當(dāng)于全程的 5 12,全程的距離為50 - 225（千米）.9 399【例12】甲乙兩車分別從A, B兩地出發(fā)，相向而行.出發(fā)時，甲、乙的速度比是相遇后，甲的速度減少20%,乙的速度增加20%,這樣，當(dāng)甲到達(dá)B地時，乙離A 地還有10千米.問：A, B兩地相距多少千米？【解析】甲、乙原來的速度比是5 : 4相遇后的速度比是：5X (120%) ：4X (1+20%) =4：4. 8 = 5 ：6.相遇時，甲、乙分別走了全程的 5/9和4/9設(shè)全程x千米，剩下的部分甲行的長度和乙行的長度之比為 5: 6其中相遇后甲行駛了全長的4/9一 ，48 一 一， 48所以乙行駛了全長的4 5

23、6 15，所以乙一共行了全長4 154445，還剩14445145沒有走 所以A、B全長為450千米.【例13】師徒二人加工一批零件，師傅加工一個零件用9分鐘，徒弟加工一個零件用15分鐘.完成任務(wù)時，師傅比徒弟多加工 100個零件，求師傅和徒弟一共加工了多少個 零件？【解析】師傅與徒弟的工作效率之比是1： 5:3,工作時間相同，工作量與工作效率成正比， 9 15所以師傅與徒弟分別完成總量的和工，師傅和徒弟一共加工了 5 35 353100 (六 六)400個零件(涉及到數(shù)量差和數(shù)量比的題在以下題目中詳細(xì)講 述).【鞏固】師徒二人共加工零件400個，師傅加工一個零件用9分鐘，徒弟加工一個零件用1

24、5分鐘.完成任務(wù)時，師傅比徒弟多加工多少個零件？1 1【解析】師傅與徒弟的工作效率之比是-： 5:3,而工作時間相同，則工作量與工作效率成9 1553正比，所以師傅與徒弟分別完成總量的二和,，師傅比徒弟多加工零件5 35 3400100 個.【例14】A、B、C三個水桶的總?cè)莘e是1440公升，如果A、B兩桶裝滿水，C桶是空的;若將A桶水的全部和B桶水的1 ,或?qū)桶水的全部和A桶水的1倒入C桶，C桶 53都恰好裝滿.求A、B、C三個水桶容積各是多少公開？【解析】根據(jù)題意可知，A桶水的全部加上B桶水的1等于B桶水的全部加上A桶水的，所 53以A桶水的2等于B桶水的4 ,那么A桶水的全部等于B桶水

25、的3 2 6 , C桶水為355 3 5B桶水的6 1 '.所以A、B、C三個水桶的容積之比是-:1: 7 6:5:7.又A、 5 5 555B、C三個水桶的總?cè)莘e是1440公升，所以A桶的容積是1440 480公升，6 5 7一一、一一一 57 .一B桶的容積是480 - 400公升，C桶的容積是480 - 560公升.66【鞏固】加工某種零件，甲3分鐘加工1個，乙3.5分鐘加工1個，丙4分鐘加工1個.現(xiàn)在三人在同樣的時間內(nèi)一共加工3650個零件.問：甲、乙、丙三人各加工多少個零件？111【解析】根據(jù)題意可知，甲、乙、丙的工作效率之比為1:：1 28:24:21,那么在相同的3 3.

26、5 42428 24 211200個零件，內(nèi)加工時間內(nèi)，三人完成的工作量之比也是28: 24: 21 ,所以甲加工了3650 28 1400個零件，乙加工了 365028 24 21一21了 3650 1050 個零件。28 24 21【鞏固】學(xué)而思學(xué)校四五六年級共有 615名學(xué)生，已知六年級學(xué)生的二，等于五年級學(xué)生2的2,等于四年級學(xué)生的30這三個年級各有多少名學(xué)生學(xué)生？57123【解析】將六年級學(xué)生的1 ,等于五年級學(xué)生的-,等于四年級學(xué)生的-,看作一個單位，那 257么六年級學(xué)生人數(shù)等于2個單位，五年級學(xué)生等于2.5個單位，四年級學(xué)生等于學(xué)3生，所以六年級、五年級、四年級學(xué)生人數(shù)的比為2

27、：-： 7 12:15:14,所以六年級學(xué)2 3生人數(shù)為615 12=180人，五年級學(xué)生人數(shù)為615 15 225人，四12 15 1412 15 14年級學(xué)生人數(shù)為615 14 210人.12 15 14【例15】一塊長方形鐵板，寬是長的-.從寬邊截去21厘米，長邊截去35%以后，得到一塊 5正方形鐵板.問原來長方形鐵板的長是多少厘米？【解析】如果只將長邊截去35%,寬、長之比為4: 5 1 35%16:13 ,所以寬邊的長度為4 一，一21 (16 13) 16 112厘米，所以原來鐵板的長為112 - 140厘米.【鞏固】一個正方形的一邊減少20%,另一邊增加2米，得到一個長方形，這個

28、長方形的面積與原正方形面積相等.原正方形的邊長是多少米？45 【解析】要保證面積不變，一邊減少20%,即是原來的-，另一邊要變成原來的-，即增加5451 一 一 1,5 1 1,所以原正方形的邊長為2 - 8（米）.444【例16】一把小刀售價3元.如果小明買了這把小刀，那么小明與小強(qiáng)剩余的錢數(shù)之比是2:5 ;如果小強(qiáng)買了這把小刀，那么兩人剩余的錢數(shù)之比變?yōu)?:13 .小明原來有多少錢？55【解析】由已知，小強(qiáng)的錢相當(dāng)于小明、小強(qiáng)買刀后所剩錢數(shù)和的 三,小明的錢相當(dāng)于2 5 7小明、小強(qiáng)買刀后錢數(shù)和的-8- 8，所以小明、小強(qiáng)的錢數(shù)的比值為:-8:15 , 8+132121 7而小明買刀后小明

29、、小強(qiáng)的錢數(shù)之比為 2:5 6:15 ,所以小明買刀前后的錢數(shù)之比為8:6 4:3 ,所以小刀的售價等于小明原來錢數(shù)的土迷 1 ,所以小明的錢數(shù)為443 1 12元。也可這樣看，小明買刀與未買刀的錢數(shù)比為-:3:4,小明的錢數(shù)47 21為 43 4 312 （元）【鞏固】（2009年十三分小升初入學(xué)測試題）甲、乙兩人原有的錢數(shù)之比為6:5 ,后來甲又得到180元，乙又得到30元，這時甲、乙錢數(shù)之比為18:11,求原來兩人的錢數(shù)之 和為多少？【解析】兩人原有錢數(shù)之比為6:5 ,如果甲得到180元，乙得到150元，那么兩人的錢數(shù)之比 仍為6:5 ,現(xiàn)在甲得到180元，乙只得到30元，相當(dāng)于少得到了

30、 120元，現(xiàn)在兩人 錢數(shù)之比為18:11 ,可以理解為：兩人的錢數(shù)分別增加 180元和150元之后，錢數(shù)之 比為18:15,然后乙的錢數(shù)減少120元，兩人的錢數(shù)之比變?yōu)?8:11,所以120元相 當(dāng)于4份，1份為30元，后來兩人的錢數(shù)之和為30 （18 15） 990元，所以原來兩人 的總錢數(shù)之和為990 180 150 660元.【鞏固】甲本月收入的錢數(shù)是乙收入的5,甲本月支出的錢數(shù)是乙支出的 口,甲節(jié)余24084元，乙節(jié)余480元.甲本月收入多少元？【解析】甲、乙本月收入的比是5:8,分別節(jié)余240元和480元，支出的錢數(shù)之比是3: 4 .如 果乙節(jié)余480元，甲節(jié)余480 8 5 30

31、0元，那么兩人支出的錢數(shù)之比也是 5:8 ,現(xiàn) 在甲只節(jié)余240元，多支出了 60元，結(jié)果支出的錢數(shù)之比從5:8變成了 6:8 （即3:4）所以這60元就對應(yīng)6 5 1份，那么甲支出了 60 6 360元，所以甲本月收入為360 240 600 元.【例17】（2008年西城實驗考題）一項機(jī)械加工作業(yè)，用 4臺A型機(jī)床，5天可以完成；用4 臺A型機(jī)床和2臺B型機(jī)床3天可以完成；用3臺B型機(jī)床和9臺C型機(jī)床，2天可 以完成，若3種機(jī)床各取一臺工作5天后，剩下A、C型機(jī)床繼續(xù)工作，還需要 天可以完成作業(yè).【解析】由于用4臺A型機(jī)床5天可以完成；用4臺A型機(jī)床和2臺B型機(jī)床3天可以完成，所以2臺B型

32、機(jī)床3天完成的量等于4臺A型機(jī)床2天完成的量，則A、B兩種機(jī)床每天完成的量的比為 2 3:4 2 3:4,即A型機(jī)床每天完成的量為 3, B型機(jī)床每天完成的量為 4,該項作業(yè)總量為 3 4 5 60,那么C型機(jī)床每天完成的量為60 2 4 3 9 2, 3種機(jī)床各取一臺工作5天后，剩下的工作量為60 3 4 2 5 15, A、C型機(jī)床還需繼續(xù)工作15 3 2 3天.【例18】動物園門票大人20元，小孩10元.六一兒童節(jié)那天，兒童免票，結(jié)果與前一天相比， 大人增加了 60%,兒童增加了 90%,共增加了 2100人，但門票收入與前一天相同.六 一兒童節(jié)這天共有多少人入園？【解析】前一天大人與小

33、孩的人數(shù)比為1:（60% 2） 5: 6 ,六一那天增加的大人與增加的小孩5人數(shù)比為 5 60% : 6 90%5:9 ,大人增加的人數(shù)為2100 750人，小孩增加14的人數(shù)為2100 750 1350人，大人的總數(shù)為 750 60% 750 2000人，小孩的總?cè)藬?shù)為 1350 90% 1350 2850 人，總?cè)藬?shù)為 2000 2850 4850人.【例19】（2008年武漢市外國語學(xué)校小升初數(shù)學(xué)卷）某水果批發(fā)市場存放的蘋果與桃子的噸數(shù) 的比是1:2 ,第一天售出蘋果的20% ,售出桃子的噸數(shù)與所剩桃子的噸數(shù)的比是 1:3 ； 第二天售出蘋果18噸，桃子12噸，這樣一來，所剩蘋果的噸數(shù)是

34、所剩桃子噸數(shù)的 土 ,15問原有蘋果和桃子各有多少噸？【解析】法：設(shè)原來蘋果有x噸，則原來桃子有2x噸，得:x（1 20%）18過，解彳#x 37 .所2x 工 12151 3以原有蘋果37噸，原有桃子37 2 74（噸）.法二：原來蘋果和桃子的噸數(shù)的比是1:2,把原來的蘋果的噸數(shù)看作 1,則原來桃子的噸數(shù)為2,第一天后剩下的蘋果是1 （1 20%） 4,剩下的桃子是2 旦 3,所以 513 2此時剩下的蘋果和桃子的重量比是 4:3 8:15 .現(xiàn)在再售出蘋果18噸，桃子12噸， 5 2所剩的蘋果與桃子的重量比是4:15 .這就相當(dāng)于第一天后剩下的蘋果和桃子的重量比是8:15 ,先售出桃子12

35、噸，蘋果12 -8- 32噸，此時剩下的蘋果和桃子的重量比還是1558:15 ,再售出18 32竺噸蘋果，剩下的蘋果和桃子的重量比變?yōu)?:15 ,所以這竺相555當(dāng)于8 4 4份，最后剩下的桃子有竺至87噸，那么第一天后剩下的桃子有54287 12 U!噸，原有桃子土 74噸，原有蘋果74 2 37噸. 2221 3（二）利用不變量統(tǒng)一份數(shù)【例20】有一個長方體，長和寬的比是2:1,寬與高的比是3:2.表面積為72cm2,求這個長 方體的體積.【解析】由條件長方體的長、寬、高的比6:3: 2,則長方體的所有視面，上面、前面、左面的面積比為 6 3:6 2:3 218:12:63: 2:1 ,這

36、三個面的面積和等于長方體表面1 3積的二分之一，所以，長方體的上面的面積為7218cm2,前面的面積2 3 2 1、，12n ， 一 ，一 一、，11。一為 72 - 12cm2 , 左面的面積為 720 - 6cm2 , 而2 3 2 12 3 2 118 12 6 1296 362,所以36即是長、寬、高的乘積，所以這個長方體的體積為36cm3 .【鞏固】有一個長方體，長與寬的比是 2:1,寬與高的比是3:2.已知這個長方體的全部棱長之和是220厘米，求這個長方體的體積.22一【解析】由條件寬與高的比為3: 2 1:1,所以這個長萬體的長、寬、圖的比為2:1:：即6:3: 2,由于長方體的

37、所有棱中，長、寬、高各有4條，所以長方體的長為220 1 6 30 4 6 3 2,、,1312，一 、一厘米，寬為220 1 15厘米，圖為220 - -2 10厘米，所以這個長4 6 3 24 6 3 2方形的體積為30 15 10 4500立方厘米.【例21】（2009年第七屆“希望杯”二試六年級）某高速公路收費站對于過往車輛收費標(biāo)準(zhǔn)是：大型車30元，中型車15元，小型車10元.一天,通過該收費站的大型車和中型車數(shù)量之比是5:6,中型車與小型車之比是4:11 ,小型車的通行費總數(shù)比大型車多270元.（1）這天通過收費站的大型車、中型車、小型車各有多少輛？ （2）這天的收費總數(shù)是多少元?【

38、解析】大型車、小型車通過的數(shù)量都是與中型車相比，如果能將5: 6中的6與4:11中的4統(tǒng) 一成4,6 12,就可以得到大型車、中型車、小型車的連比.由 5:6 10:12和 4:11 12:33，得到大型車：中型車：小型車 10:12:33 .以10輛大型車、12輛中型車、 33輛小型車為一組.因為每組中收取小型車的通行費比大型車多 10 33 30 10 30（元），所以這天通過的車輛共有270 30 9（組）.所以這天通過 大型車有10 9 90（輛），中型車有12 9 108（輛），小型車有33 9 297（輛）.（2）這天收取的總費用為：30 90 15 108 297 10 7290

39、元.【例22 6枚壹分硬幣摞在一起與5枚貳分硬幣摞在一起一樣高，4枚壹分硬幣摞在一起與3 枚伍分硬幣摞在一起一樣高.用壹分、貳分、伍分硬幣各摞成一個圓柱體，并且三 個圓柱體一樣高，共用了 124枚硬幣，問：這些硬幣的幣值為多少元？【解析】由題目條件壹分硬幣和貳分硬幣的數(shù)量比為 6:5 ,壹分硬幣和伍分硬幣的數(shù)量比為4:3 6: 4.5,所以壹分硬幣、貳分硬幣以及伍分硬幣的數(shù)量比為 6:5: 4.5,即12:10:9 ,48枚，貳分硬幣的數(shù)量為9 36枚，這些硬幣一共有12 10 9因此壹分硬幣的數(shù)量為124 -12 10 9124 40枚，伍分硬幣的數(shù)量為 124 12 10 948 1 40

40、 2 36 5 308分，即幣值為3.08元.【例23】（2007年二中考題）某工地用3種型號的卡車運(yùn)送土方.已知甲、乙、丙三種卡車載 重量之比為10:7:6,速度比為6:8:9 ,運(yùn)送土方的路程之比為15:14:14 ,三種車的輛 數(shù)之比為10:5: 7.工程開始時，乙、丙兩種車全部投入運(yùn)輸，但甲種車只有一半投 入，直到10天后，另一半甲種車才投入工作，一共干了25天完成任務(wù).那么，甲種車完成的工作量與總工作量之比是多少？【解析】由于甲、乙、丙三種卡車運(yùn)送土方的路程之比為 15 ：14：14,速度之比為6： 8： 9,所以15 14 14 5 7 14它們運(yùn)送1次所需的時間之比為15：-：-

41、夕：14,相同時間內(nèi)它們運(yùn)送的次數(shù)比6 8 92 4 9為：2： 4：包.在前10天，甲車只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的數(shù)量之比為5 7 145： 5 7 .由于三種卡車載重量之比為10： 7 6 ,所以三種卡車的總載重量之比為1850： 35： 42 .那么三種卡車在前10天內(nèi)的工作量之比為：50 2 : 35 4 : 42 20： 20： 27 .在后15天，由于甲車全部投入使用，所以在后155714天里的工作量之比為40： 20： 27 .所以在這25天內(nèi)，甲的工作量與總工作量之比為：20 10 40 1532(20 20 27) 10 (40 20 27) 15 79【例2例【解析

42、】(2008年第13屆華杯賽初賽)將一堆糖果全部分給甲、乙、丙三個小朋友.原計劃 甲、乙、丙三人所得糖果數(shù)的比為 5:4:3 .實際上，甲、乙、丙三人所得糖果數(shù)的 比為7:6:5 ,其中有一位小朋友比原計劃多得了 15塊糖果.那么這位小朋友是 (填“甲”、“乙”或“丙”)，他實際所得的糖果數(shù)為 塊.方法一：原計劃甲、乙、丙三人所得糖果數(shù)分別占總數(shù)的實際甲、乙、丙三人所得糖果數(shù)分別占總數(shù)的察本只有內(nèi)占總數(shù)的比例是增加的,所以這位小朋友是丙.糖果總數(shù)(塊)，內(nèi)實 際所得的糖果數(shù)為12121224540 150（塊）.18二:化通比為：甲乙丙總數(shù)為原計分配為54312份實際

43、分配為7 :6518份化通比為15 :12936份14 :121036份對比分析甲1514,乙1212,內(nèi) 9 10,發(fā)現(xiàn)多得糖果的是丙方法所以 15+（10 9） X10=150 （塊）【鞏固】【解析】有一堆糖果，其中奶糖占45%,再放人16塊水果糖后，奶糖就只占25%那么, 這堆糖果中有奶糖多少塊？方法一：原來奶糖占 也 包，后來占至 1,因此后來的糖果數(shù)是奶糖的 4倍,100 20100 4也比原來糖果多16粒，從而原來的糖果是16+(4 1)=20塊.其中奶糖有2020 X =9 塊.方法二：原來奶糖與其他糖(包含水果糖)之比是45%: (1-45%)=9: 11，設(shè)奶糖有9份, 其他

44、糖(包含水果糖)有11份.現(xiàn)在奶糖與其他糖之比是25%: (1-25%)=1: 3=9: 27, 奶糖的份數(shù)不變，其他糖的份數(shù)增加了 27-11=16份，而其他糖也恰好增加了 16塊， 所以，l份即1塊.奶糖占9份，就是9塊奶糖.【鞏固】今年兒子的年齡是父親年齡的 1, 15年后，兒子的年齡是父親年齡的 2 .今年411兒子多少歲？【解析】方法一：今年兒子的年齡相當(dāng)于父子年齡差的 1, 15年后兒子的年齡相當(dāng)于父 4 13子年齡差的 5,所以15年相當(dāng)于父子年齡差的-1，年齡差為15 - 30 11 5 66 3 22歲.今年兒子30 3 10歲.方法二：今年兒子的年齡是父親年齡的 1,所以兒

45、子：父親=1: 4;4,5 一 .，.、15年后，兒子的年齡是父親年齡的所以兒子：父親=5: 1111因為在年齡問題中年齡差不變所以列表分析為：根據(jù)不變量化通比為兒子父親年保1:435:1162:865:116對比分析為：15+ (52) X2=10(歲)【例25】一個周長是56厘米的大長方形，按圖與圖所示意那樣，劃分為四個小長方形.在 圖中小長方形面積的比是A：B 1:2, B:C 1:2 .而在圖中相應(yīng)的比例是A':B' 1:3, B':C' 1:3 .又知長方形D'的寬減去D的寬所得到的差與D的長減去 D的長所得到差之比為1:3.求大長方形的面積.

46、ACBDA'C.B.D'【詳解】因為A：B 1:2B:C 1:2所以 A:C 1:4;因為 A': B' 1:3 , B': C' 1:3 ,所以 A': C' 1:9 ,設(shè)長方形的寬為a,長為b,得：32a a439.4, b b105得 a:b 2:5 .又 a b 56 2 28所以 a 8, b 20 .所以長方形面積 20 8 160 .【例26】（2008年101中學(xué)試題）北京中學(xué)生運(yùn)動會男女運(yùn)動員比例為19:12，組委會決定增加女子藝術(shù)體操項目，這樣男女運(yùn)動員比例變?yōu)?0:13；后來又決定增加男子象棋項目，男女比例變

47、為30:19，已知男子象棋項目運(yùn)動員比女子藝術(shù)體操運(yùn)動員多15人，則總運(yùn)動員人數(shù)為多少？1919【解析】將運(yùn)動會最初的運(yùn)動員人數(shù)設(shè)為“ 1”，那么男運(yùn)動員人數(shù)為女運(yùn)動員19.-,所以這時女3119 12 31,12人數(shù)為上，而增加女子藝術(shù)體操項目，男運(yùn)動員人數(shù)不變，仍然是 31一.一.,19247運(yùn)動員人數(shù)為-20 13 247,增加男子象棋項目，女運(yùn)動員人數(shù)保持不變，仍然 31620是空，所以男運(yùn)動員人數(shù)增加為也 19 30絲.女子藝術(shù)體操項目人數(shù)為6206206224762012317620男子象棋項目的人數(shù)為396219311_,一 .,男子象棋項目運(yùn)動員比女子藝62315 3100人，男子象棋6203100 35人，所以現(xiàn)在620.173術(shù)體操運(yùn)動員多J-,原來總運(yùn)動員人數(shù)為62 620 620 1項目運(yùn)動員有3100 50人，女子藝術(shù)體操運(yùn)動員有 62的總運(yùn)動員人數(shù)為 3100 50 35 3185人.【鞏固】袋子里紅球與白球的數(shù)量之比是19:13 .放入若干只紅球后，紅球與白球數(shù)量之比變?yōu)?:3 ；再放入若干只白球后，紅球與白球數(shù)量之比變?yōu)?3:11 .已知放入的紅球比白球少80只.那么原來袋子里共有 只球.5:3改