彈性力學(xué)模擬題

1、2022年6月29日1模擬試題模擬試題一、解答題：（一、解答題：（1515分）分）1.1.簡述圣維南原理，舉例說明其應(yīng)用。（簡述圣維南原理，舉例說明其應(yīng)用。（5 5分）分）2.2.什么是平面應(yīng)力問題？什么是平面應(yīng)變問題？分別寫出彈性力什么是平面應(yīng)力問題？什么是平面應(yīng)變問題？分別寫出彈性力學(xué)平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題的物理方程。（學(xué)平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題的物理方程。（5 5分）分）3.3.什么是逆解法？什么是半逆解法？敘述解題路徑。（什么是逆解法？什么是半逆解法？敘述解題路徑。（5 5分）分）二、寫出下列受力體的應(yīng)力邊界條件（固定端不必寫）（二、寫出下列受力體的應(yīng)力邊界條件（固定端不必寫）（

2、2020分）分）1.1.圖圖1 1、2 2所示懸臂梁（用直角坐標(biāo)形式）。（所示懸臂梁（用直角坐標(biāo)形式）。（1010分）分）2.2.圖圖3 3所示三角形懸臂梁（用極坐標(biāo)形式）。（所示三角形懸臂梁（用極坐標(biāo)形式）。（5 5分）分）3.3.圖圖4 4所示楔形體（用極坐標(biāo)形式）。（所示楔形體（用極坐標(biāo)形式）。（5 5分）分）2022年6月29日20qxyo0圖3oyx22q0圖4Poxyhl圖2lxyo0q0qlx0hPM圖12022年6月29日3三、已求得一點的應(yīng)力狀態(tài)，試求主應(yīng)力與主應(yīng)力方向，并圖三、已求得一點的應(yīng)力狀態(tài)，試求主應(yīng)力與主應(yīng)力方向，并圖示。示。(15(15分）分）（1 1）已知）已知

3、 見圖見圖5 5所所示。示。（2 2）已知）已知 見圖見圖6 6所示。所示。 ,5010,50,100MPaMPaMPaxyyx,500,1500,1000MPaMPaMPaxyyx圖5xxyyxyxyoxy圖6yyxxxyxyoxy2022年6月29日4圖7四、設(shè)圖四、設(shè)圖7 7所示簡支梁只受重力作用。梁的密度為所示簡支梁只受重力作用。梁的密度為，試求應(yīng)，試求應(yīng)力分量。（力分量。（1515分）分）lhxyghlgoghll圖8q五、設(shè)有一剛體，如圖五、設(shè)有一剛體，如圖8 8所示，具有半徑為所示，具有半徑為b b的圓柱形孔道，孔的圓柱形孔道，孔道內(nèi)放置外半徑為道內(nèi)放置外半徑為b b、內(nèi)半徑為、

4、內(nèi)半徑為a a的圓筒，圓筒受內(nèi)壓力的圓筒，圓筒受內(nèi)壓力q q，試，試求圓筒的應(yīng)力。（求圓筒的應(yīng)力。（2020分）分）2022年6月29日5六、試用虛位移原理求圖六、試用虛位移原理求圖9 9所示梁的撓曲線，并求出所示梁的撓曲線，并求出 處處的撓度值的撓度值( (忽略剪切變形的影響忽略剪切變形的影響) )。設(shè)撓度曲線為：。設(shè)撓度曲線為：2lalxnawnnsin1laPoxz圖9（15分）2022年6月29日6模擬試題答案模擬試題答案一、解答題：一、解答題：1.1.答：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不答：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對

5、于同一點的主矩也相同但靜力等效的面力（主矢量相同，對于同一點的主矩也相同），那么，近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠處所同），那么，近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠處所受的影響可以不計。這就是圣維南原理。如圖受的影響可以不計。這就是圣維南原理。如圖a a所示柱形構(gòu)件，所示柱形構(gòu)件，在兩端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力在兩端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力P P。如果把。如果把一端的拉力變換為靜力等效的力，如圖一端的拉力變換為靜力等效的力，如圖b b，只有虛線劃出的部，只有虛線劃出的部分的應(yīng)力分布有顯著的改變，而其余部分所受的影響是可以分的應(yīng)力分布有顯著的改變，而其余部分所受

6、的影響是可以不計的。不計的。PPP2/P2/P圖a 圖b2022年6月29日72.2.答：等厚度薄板，承受平行于板面并且不沿厚度變化的面答：等厚度薄板，承受平行于板面并且不沿厚度變化的面力，同時體力也平行于板面并且不沿厚度變化。這種問題稱力，同時體力也平行于板面并且不沿厚度變化。這種問題稱為平面應(yīng)力問題。很長的柱體，在柱面上承受平行于板面并為平面應(yīng)力問題。很長的柱體，在柱面上承受平行于板面并且不沿長度變化的面力，同時體力也平行于板面并且不沿長且不沿長度變化的面力，同時體力也平行于板面并且不沿長度變化。這種問題稱為平面應(yīng)變問題。度變化。這種問題稱為平面應(yīng)變問題。xyxyxyyyxxEEE)1(2

7、)(1)(1平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題的物理方程的物理方程xyxyxyyyxxEEE)1 (2)1(1)1(122平面應(yīng)力平面應(yīng)力問題的物問題的物理方程理方程2022年6月29日83.3.逆解法：先設(shè)定各種形式的、滿足相容方程逆解法：先設(shè)定各種形式的、滿足相容方程 的應(yīng)力函數(shù)的應(yīng)力函數(shù) ，用公式，用公式 求出求出應(yīng)力分量，然后根據(jù)應(yīng)力邊界條件來考察，在各種形狀的彈性應(yīng)力分量，然后根據(jù)應(yīng)力邊界條件來考察，在各種形狀的彈性體上，這些應(yīng)力分量對應(yīng)于什么樣的面力，從而得知所設(shè)定的體上，這些應(yīng)力分量對應(yīng)于什么樣的面力，從而得知所設(shè)定的應(yīng)力函數(shù)可以解決什么問題。應(yīng)力函數(shù)可以解決什么問題。逆解法基本步驟：逆解

8、法基本步驟：024422444yyxxyxYyxXxyxyyx22222,設(shè)定求出應(yīng)力分量求出面力（合力）解決什么問題代入代入應(yīng)力分量公式應(yīng)力邊界條件確定半逆解法：針對所要求解的問題，根據(jù)彈性體的邊界形狀和受半逆解法：針對所要求解的問題，根據(jù)彈性體的邊界形狀和受力情況，假設(shè)部分和全部應(yīng)力分量為某種形式的函數(shù)，從而推力情況，假設(shè)部分和全部應(yīng)力分量為某種形式的函數(shù)，從而推出應(yīng)力函數(shù)出應(yīng)力函數(shù) ，然后來考察，這個應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程，然后來考察，這個應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程，2022年6月29日9以及，原來所假設(shè)的應(yīng)力分量和由這個應(yīng)力函數(shù)求出的其余應(yīng)以及，原來所假設(shè)的應(yīng)力分量和由這個應(yīng)力函數(shù)求出

9、的其余應(yīng)力分量，是否滿足應(yīng)力邊界條件和位移單值條件。如果相容方力分量，是否滿足應(yīng)力邊界條件和位移單值條件。如果相容方程和各方面的條件都能滿足，自然就得出正確的解答；如果某程和各方面的條件都能滿足，自然就得出正確的解答；如果某一方面不能滿足，就要另作假設(shè)，重新考察。一方面不能滿足，就要另作假設(shè)，重新考察。半逆解法基本步驟：半逆解法基本步驟：設(shè)定導(dǎo)出應(yīng)力表達式得到正確解答滿足邊界條件滿足04是是否否應(yīng)力分量公式應(yīng)力邊界條件二、（1）222222000022202, 0, 0, 0,hhhhhhxxyxxxxhyxyhyyhyxyhyyPdyMydydylxq2022年6月29日10（2）22220

10、022022,2cos,cos, 0, 0hhhhxxyxxhhxxhyxyhyyPdyhPydyPdy（3）0000, 0, 0,ararq（4）2cos,2sin, 022022qqaraara三、（三、（1 1）主應(yīng)力和主應(yīng)力方向為）主應(yīng)力和主應(yīng)力方向為：MPa0150501025010025010022214454,4142. 1tan1tan6135,707. 05010100150tan21211主應(yīng)力方向如圖c。2022年6月29日11（2 2）主應(yīng)力和主應(yīng)力方向為：）主應(yīng)力和主應(yīng)力方向為：MPa18096915002500225002221431,618. 0500100069

11、1tan11主應(yīng)力方向如圖主應(yīng)力方向如圖d d。yyxx122xy1xy1圖dxoyxxyy2211xyxy1圖cxoy2022年6月29日12四、解：四、解：1.1.用半逆解法，設(shè)用半逆解法，設(shè) ，則：，則：)(yfy)()()(2)()(),(212122yfyxfyfxyfyxfxyfxy代入雙調(diào)和方程后得：代入雙調(diào)和方程后得：2345232322345223123224244144422424414244610)()(2610)()(,)(0)(2)(, 0)(, 0)(0)(2)()()(21GyHyyByAGyFyEyxDCyByAyxKyHyyByAyfGyFyEyyfDCyBy

12、Ayyfdyyfddyyfddyyfddyyfddyyfddyyfdxdyyfdxdyyfd（2）（1）2022年6月29日132.2.應(yīng)力分量的表達式為應(yīng)力分量的表達式為：PxGFyEyCByAyxDCyByAyKHyByAyFEyxBAyxxyyx)23()23(2622)26()26(22223232其中，特解取其中，特解取 , ,而而 。由對稱性可知，正應(yīng)力（剪應(yīng)力）。由對稱性可知，正應(yīng)力（剪應(yīng)力）應(yīng)是應(yīng)是 的偶（奇）函數(shù)，因此，的偶（奇）函數(shù)，因此， 。式（。式（3 3）簡化為：）簡化為：PxgPx0GFEPxCByAyxDCyByAyKHyByAyBAyxxyyx)23(2622)

13、26(2223232（3）（4）3.3.由邊界條件確定常數(shù)，進而求出應(yīng)力解答：由邊界條件確定常數(shù)，進而求出應(yīng)力解答：2022年6月29日142222220, 00, 0hhhhlxxlxxhyxyhyyydydy將式（將式（4 4）代入以上各式，可求得：）代入以上各式，可求得：101,2,2, 0222hlPHPChPAKDBJbQSxhyPyhyPyhyPyJMyPyhPyxlhPxyyx2222223222241641253453462022年6月29日15五、解：由題可知本題為一個軸對稱問題，故環(huán)向位移五、解：由題可知本題為一個軸對稱問題，故環(huán)向位移 。0u另外還要考慮位移的單值條件，因

14、此，應(yīng)力分量和位移分量另外還要考慮位移的單值條件，因此，應(yīng)力分量和位移分量分別如下：分別如下：1.1.應(yīng)力分量為：應(yīng)力分量為：CrACrAr22222.2.平面應(yīng)變問題的位移分量為平面應(yīng)變問題的位移分量為：1121112CrrAEur3.3.確定常數(shù)確定常數(shù)A A、C C：利用邊界條件則有：當(dāng)利用邊界條件則有：當(dāng) 時，時，ar qarr即得：即得：當(dāng)當(dāng) 時，時，br 0brru（1）2022年6月29日16011211CbbA（2）由（1）得：qaCaA222（3）（2）、（3）聯(lián)立解得：21212122222222babqaAbaqaC4.筒壁應(yīng)力：qbarrabaqbaaqbarbar2121212121222222222222222qbabrr22221211212022年6月29日17qbarrabaqbaaqbarba2121212121222222222222222qbabr2222121121而：六、解：應(yīng)變能：12434202242nnlanlEIdxdxwdEIU使撓曲線級數(shù)中任一個系數(shù) 有一變分,就可得到一個從真實位移算起的虛位移：nalxnawnsin2022年6月29日