自動控制原理2-3 控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型

1、2-3 2-3 控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型 雖然微分方程是基本的數(shù)學(xué)模型雖然微分方程是基本的數(shù)學(xué)模型, 卻并不是一個使用起來卻并不是一個使用起來最方便的數(shù)學(xué)模型最方便的數(shù)學(xué)模型. 因?yàn)閺奈⒎址匠坛霭l(fā)分析系統(tǒng)的性能因?yàn)閺奈⒎址匠坛霭l(fā)分析系統(tǒng)的性能, 就必須求出微分方程的解就必須求出微分方程的解 , 而對于階數(shù)大于而對于階數(shù)大于2的微分方的微分方程來說程來說, 求解并非易事。但是如果用拉氏變換將微積分運(yùn)求解并非易事。但是如果用拉氏變換將微積分運(yùn)算轉(zhuǎn)換為代數(shù)運(yùn)算，也就是傳遞函數(shù)，然后在復(fù)數(shù)域中求算轉(zhuǎn)換為代數(shù)運(yùn)算，也就是傳遞函數(shù)，然后在復(fù)數(shù)域中求解，再求出拉氏反變換，這就是所求的微分

2、方程的時域解，解，再求出拉氏反變換，這就是所求的微分方程的時域解，對于高階微分方程的解就不是困難。傳遞函數(shù)是基于拉氏對于高階微分方程的解就不是困難。傳遞函數(shù)是基于拉氏變換得到的，它是經(jīng)典控制理論中最重要的數(shù)學(xué)模型之一。變換得到的，它是經(jīng)典控制理論中最重要的數(shù)學(xué)模型之一。 )(tc1.1.傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)（1）傳遞函數(shù)的定義）傳遞函數(shù)的定義：線性定常系統(tǒng)在線性定常系統(tǒng)在零初零初始條件始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。氏變換之比。( )( )( )( )( )c tC sG sr tR s零初始條件輸出信號的拉氏變換傳遞函數(shù)輸

3、入信號的拉氏變換例例: 一一RC電路如下圖所示電路如下圖所示, 設(shè)在開關(guān)設(shè)在開關(guān)K閉合的瞬間閉合的瞬間時刻作為計時起點(diǎn)時刻作為計時起點(diǎn), 即即t=0, 且此時電容兩端的電且此時電容兩端的電壓為壓為 ， 如果開關(guān)如果開關(guān)K閉合后不再打開閉合后不再打開, 則相當(dāng)則相當(dāng)于在于在RC電路輸入端加了一恒定的電壓電路輸入端加了一恒定的電壓, 其幅值為其幅值為RCKruCu) 0 (CuruRC電路的電路的微分方程為微分方程為:令令)1()()()(tutudttduRCrCCRCT 為為RC電路的電路的時間常數(shù)時間常數(shù), 則式則式(1)為為:)2()()()(tutudttduTrCC對式對式(2)兩邊進(jìn)

4、行拉氏變換兩邊進(jìn)行拉氏變換, 得得:)3()()()0()(sUsUTUsTsUrCCC)4()0(1)(11)(CrCUTsTsUTssU因?yàn)橐驗(yàn)?(tur是幅值為是幅值為ru的階躍電壓的階躍電壓, 故故susUrr)(代入式代入式(4), 得得:)5()0(1)1()(CrCUTsTTssusU對式對式(5)兩邊進(jìn)行拉氏反變換兩邊進(jìn)行拉氏反變換, 得得:)6()0()1 ()(TtCTtrCeueutu如令如令0)0(Cu, 即初始條件為零即初始條件為零, 則式則式(4)為為)(11)()()7()(11)(sGTssUsUsUTssUrCrC從而從而RC電路可電路可 用下面方塊圖表示用下

5、面方塊圖表示:)(sG)(sUr)(sUC（2） 傳遞函數(shù)的性質(zhì)傳遞函數(shù)的性質(zhì): 1）傳遞函數(shù)是輸入與輸出兩個復(fù)變量是輸入與輸出兩個復(fù)變量s的有理多項(xiàng)式之的有理多項(xiàng)式之比比, 且且m=n，具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì)，具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì). 兩個多項(xiàng)式兩個多項(xiàng)式中的所有系數(shù)均為實(shí)數(shù)中的所有系數(shù)均為實(shí)數(shù).2）傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)或環(huán)節(jié)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)只取決于系統(tǒng)或環(huán)節(jié)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù), 而與系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸入信號的形式和大小無關(guān)而與系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸入信號的形式和大小無關(guān).3）傳遞函數(shù)的概念主要適用于單輸入單輸出系統(tǒng)。若系統(tǒng)有多個輸入信號，在求傳遞函數(shù)時，除了一個有關(guān)的輸入外，其它的輸入量一概視為零。4）

6、傳遞函數(shù)的拉氏反變換是脈沖響應(yīng)g(t)（可見作業(yè)2-6）)()()()()(11101110sNsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm 例例2 2 拉氏變換法求下圖的傳遞函數(shù)：拉氏變換法求下圖的傳遞函數(shù)：1212R R CTRR122RRR1RCs1iu2ROu21211RRCsRUUio21121212112)1()1()1(RRCsRRCsRRCsRRRCsRR12212121221212(1)1 11()(1)RRR R CsRRRTsRRR R CTssRRR2.傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)對輸出的影響傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)對輸出的影響 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)微分方程

7、的特征根，決定著系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)微分方程的特征根，決定著系統(tǒng)的模態(tài)（系統(tǒng)所對應(yīng)的基本運(yùn)動形態(tài)，達(dá)到穩(wěn)定時的形系統(tǒng)的模態(tài)（系統(tǒng)所對應(yīng)的基本運(yùn)動形態(tài)，達(dá)到穩(wěn)定時的形狀），每種模態(tài)代表一種運(yùn)動形態(tài)。狀），每種模態(tài)代表一種運(yùn)動形態(tài)。 線性定常時不變系統(tǒng)，其輸出模態(tài)是由系統(tǒng)的特征根和輸入線性定常時不變系統(tǒng)，其輸出模態(tài)是由系統(tǒng)的特征根和輸入共同決定的。共同決定的。 系統(tǒng)的零點(diǎn)只影響各模態(tài)響應(yīng)所占的比重。系統(tǒng)的零點(diǎn)只影響各模態(tài)響應(yīng)所占的比重。 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)以及傳遞系數(shù)對輸出的影響請系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)以及傳遞系數(shù)對輸出的影響請參見教材參見教材P.48-P.49有關(guān)內(nèi)容有關(guān)內(nèi)容

8、. 舉例一極點(diǎn)相同（舉例一極點(diǎn)相同（-2，-3），但零點(diǎn)不同系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：），但零點(diǎn)不同系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：121( )56Gsss221()56sGsss326( )56sGsssu在單位階躍輸入時，其輸出分別為：231111( )623ttc tee232112( )623ttc tee233( )1 2ttc tee 121( )56G sss221( )56sG sss326( )56sG sss 3. 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 一個自動控制系統(tǒng)一個自動控制系統(tǒng), 不管其多么復(fù)雜不管其多么復(fù)雜, 總是由若干個總是由若干個元件按不同的方式根據(jù)一定的目的組合而成元件按不同的方

9、式根據(jù)一定的目的組合而成. 從結(jié)構(gòu)和作從結(jié)構(gòu)和作用原理角度來看元件用原理角度來看元件, 可以有各種各樣不同的元件可以有各種各樣不同的元件, 如機(jī)如機(jī)械式械式, 電氣式電氣式, 液壓式液壓式, 氣動式等等氣動式等等. 但從描述各種元件但從描述各種元件的行為特征的數(shù)學(xué)模型來看元件的行為特征的數(shù)學(xué)模型來看元件, 不管元件的結(jié)構(gòu)和作用不管元件的結(jié)構(gòu)和作用原理如何千差萬別原理如何千差萬別, 其數(shù)學(xué)模型卻有可能完全一樣其數(shù)學(xué)模型卻有可能完全一樣. 因此因此從元件的數(shù)學(xué)模型來劃分元件的種類從元件的數(shù)學(xué)模型來劃分元件的種類, 只有幾種最基本的只有幾種最基本的元件或稱為典型環(huán)節(jié)元件或稱為典型環(huán)節(jié). 典型環(huán)節(jié)有典

10、型環(huán)節(jié)有比例、積分、慣性、振蕩、微分比例、積分、慣性、振蕩、微分和和延遲延遲環(huán)節(jié)等環(huán)節(jié)等多種。以下分別討論典型環(huán)節(jié)的時域特征和復(fù)域（多種。以下分別討論典型環(huán)節(jié)的時域特征和復(fù)域（s域）特征。域）特征。時域特征包括微分方程和單位階躍輸入下的輸出響應(yīng)。時域特征包括微分方程和單位階躍輸入下的輸出響應(yīng)。s域特性域特性研究系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布。研究系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布。 比例環(huán)節(jié)又稱為放大環(huán)節(jié)。比例環(huán)節(jié)又稱為放大環(huán)節(jié)。k為放大系數(shù)。實(shí)例：分壓為放大系數(shù)。實(shí)例：分壓器，放大器，無間隙無變形齒輪傳動等。器，放大器，無間隙無變形齒輪傳動等。（1）比例環(huán)節(jié)）比例環(huán)節(jié)0),()(ttkxty( )( )( )Y sG sk

11、X s時域方程：傳遞函數(shù)： 有一個有一個0值極點(diǎn)。在圖中極點(diǎn)用值極點(diǎn)。在圖中極點(diǎn)用“ ”表示，零點(diǎn)用表示，零點(diǎn)用“ ”表示。表示。K表示比例系數(shù)，表示比例系數(shù)，T稱為時間常數(shù)。稱為時間常數(shù)。 （二）積分環(huán)節(jié)：（二）積分環(huán)節(jié)：ttdttxkty00,)()( )1( )( )Y skG sX ssTs時域方程：時域方程：傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：0S平面j0)( 1)(ttxkty )(tytRe積分環(huán)節(jié)實(shí)例積分環(huán)節(jié)實(shí)例：RCiuouCsoisuRsu1)()(RCssusuio1)()(實(shí)例實(shí)例：電動機(jī)角速度與角度之間的傳遞函數(shù)，模擬計算機(jī)中積分器等。：電動機(jī)角速度與角度之間的傳遞函數(shù)，模擬計算機(jī)中

12、積分器等。（三）慣性環(huán)（三）慣性環(huán)節(jié)節(jié)時域方程：時域方程：0),()()(ttkxtytTy傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：( )( )( )1Y skG sX sTs當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時,有有 ，可解得：，可解得： ，式中：，式中：k為放大系數(shù)，為放大系數(shù)，T為時間常數(shù)。為時間常數(shù)。ktytTy)()()1 ()(Ttekty當(dāng)當(dāng)k=1時，輸入為單位階躍函數(shù)時時，輸入為單位階躍函數(shù)時,時域響應(yīng)曲線和零極點(diǎn)分布圖如時域響應(yīng)曲線和零極點(diǎn)分布圖如下：下：通過原點(diǎn)的通過原點(diǎn)的 斜率為斜率為1/T，且只有一個極點(diǎn)（，且只有一個極點(diǎn)（-1/T）。）。輸出需要一定的時間才能進(jìn)入穩(wěn)定輸出需要一定

13、的時間才能進(jìn)入穩(wěn)定1yt00.632T通過原點(diǎn)切線斜率為通過原點(diǎn)切線斜率為1/TjRe0S平面T1R2Ciuou-+R1CsRRZRCsRCsRZRZ2222222111,111,而CsRsUsUZUsZsURRioi22011)()(,)()(12RCiuou11)()(,)()(11RCssususuRsuioCsoCsi兩個實(shí)例：兩個實(shí)例：實(shí)例：實(shí)例：RC濾波電路、溫度控制系統(tǒng)等濾波電路、溫度控制系統(tǒng)等（四）振蕩環(huán)節(jié)：（四）振蕩環(huán)節(jié)：時域方程：時域方程：)()()()(001 2txbtyatyatya傳遞函數(shù)：0022222102101( )21baG skka sa saa sa s

14、aT sTs（五）微分環(huán)節(jié)：（五）微分環(huán)節(jié)：微分環(huán)節(jié)的時域形式有三種形式：微分環(huán)節(jié)的時域形式有三種形式：)()(tkxty)()()(txtxkty)()(2)()( 2txtxtxkty相應(yīng)的傳遞函數(shù)為：相應(yīng)的傳遞函數(shù)為：kssG)() 1()(sksG) 12()(22ssksG分別稱為：純微分，一階微分和二階微分環(huán)節(jié)。微分別稱為：純微分，一階微分和二階微分環(huán)節(jié)。微分環(huán)節(jié)沒有極點(diǎn)，只有零點(diǎn)。分別是零、實(shí)數(shù)和一分環(huán)節(jié)沒有極點(diǎn)，只有零點(diǎn)。分別是零、實(shí)數(shù)和一對共軛零點(diǎn)（若對共軛零點(diǎn)（若 ）。在實(shí)際系統(tǒng)中，由于存）。在實(shí)際系統(tǒng)中，由于存在慣性，單純的微分環(huán)節(jié)是不存在的，一般都是微在慣性，單純的微分環(huán)節(jié)是不存在的，一般都是微分環(huán)節(jié)加慣性環(huán)節(jié)。分環(huán)節(jié)加慣性環(huán)節(jié)。10CsRRRZRZsZsYsZsX1121, 22211,)()()()(1) 1()1 ()()()(212112kTsTskCsRRRRCsRRsXsYsGCRTRRRk1212,式中：式中：y(t)x(t)R1R2C實(shí)例實(shí)例（六）延遲環(huán)節(jié)：（六）延遲環(huán)節(jié)：又稱時滯，時延環(huán)節(jié)。它又稱時滯，時延環(huán)節(jié)。它的輸出是經(jīng)過一個延遲時間后，完全復(fù)現(xiàn)輸?shù)妮敵鍪墙?jīng)過一個延遲時間后，完全復(fù)現(xiàn)輸入信號。入信號。 如右圖所示。如右圖所示。其傳遞函數(shù)為：其傳遞函數(shù)為：)()(txtysesG)(延遲環(huán)節(jié)是一個非線性的超越函數(shù)，所以有