上海師大固體物理 第五章(8)習(xí)題課及本章總結(jié)

1、5.9.1 5.9.1 超晶格：超晶格： 可勒尼?？衫漳嵯Ｅ砟崮Ｐ团砟崮Ｐ偷诰殴?jié)第九節(jié) 習(xí)題課習(xí)題課兩個(gè)重要的模型（定則）兩個(gè)重要的模型（定則）5.9.2 5.9.2 合金的性質(zhì)和能帶結(jié)構(gòu)：合金的性質(zhì)和能帶結(jié)構(gòu)： 休姆休姆- -羅瑟里定則羅瑟里定則Bloch定理提出后，1931年Kronig和Penney提出了一維方形場(chǎng)模型，它可以用簡單的解析函數(shù)嚴(yán)格求解，得出了周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子允許能級(jí)形成能帶，能帶之間是禁帶的結(jié)論。但這是一維周期勢(shì)場(chǎng)，還不能算是真正的嘗試。不過近來卻常使用Kronig-Penney勢(shì)討論超晶格的能帶。5.9.1 超晶格-可勒尼希彭尼(Kronig-Penny)模型方形勢(shì)阱

2、周期排列，勢(shì)阱寬方形勢(shì)阱周期排列，勢(shì)阱寬a，勢(shì)壘寬，勢(shì)壘寬b，晶體勢(shì)的周期是，晶體勢(shì)的周期是a+b=c，勢(shì)壘高度為，勢(shì)壘高度為U0 U xxabb0aba0U1. Kronig-Penny模型模型其解具有Bloch函數(shù)形式 ikxkxe ux代入一維Schrodinger方程20222222020dmEUdxdmEdx0bx 0 xa220222222dUEm dxdEm dx1、在區(qū)域、在區(qū)域 0 x a：U0 = 0這是一個(gè)二階常系數(shù)微分方程，它的解為： ()()ik xik xu xAeBe其中A和B都是任意常數(shù)。這個(gè)區(qū)域內(nèi)的本征函數(shù)是向右和向左行進(jìn)的平面波的線性組合，而能量為 2222

3、220d u xdu xmEikku xdxdx令：222mE 222220d u xdu xikku xdxdx i xi xxAeBe222Em2、在區(qū)域、在區(qū)域 -b x 0：U0 0 ()()ik xik xu xCeDe同樣C、D都是常數(shù)， 22022220d u xdu xmikEUku xdxdx我們只考慮束縛態(tài)：E U022002222mUmUE 222220d u xdu xikku xdxdx xxxCeDe2202UEm它可以用來確定作為指標(biāo)標(biāo)識(shí)這個(gè)解的波矢k。所以在區(qū)間axa+b內(nèi)我們希望得到具有Bloch形式的完全解，如此一來，在區(qū)間axa+b內(nèi)的解應(yīng)當(dāng)通過Bloch

4、定理與區(qū)間-bx0內(nèi)的解聯(lián)系起來： ik a bxabex ()()()x a bx a bik a bxCeDee 對(duì)整個(gè)系統(tǒng)而言，兩個(gè)區(qū)域的波函數(shù)、d /dx在x=0，x=a處是連續(xù)的，這就需要對(duì)A、B、C、D四個(gè)系數(shù)作選擇。在x=0處有：iABCDABCD在x=a處有：ik a bi ai abbAeBeCeDeeik a bi ai abbiAeBeCeDee只有當(dāng)A、B、C、D的系數(shù)行列式為零時(shí)，四個(gè)方程才有解，即有其中22sinhsincoshcoscos2babak ab cosh,sinh22xxxxeeeexx為了簡化這個(gè)結(jié)果，我們?nèi)O限b0、U0，上式表示為令 這個(gè)量保持有

5、限，從而得到一個(gè)周期性函數(shù)，這里就用它表示周期勢(shì)場(chǎng)。在這一極限情況下，b1，上式表示為 02sincoscosamU baakaa02mU baP sincoscosaPakaan U0=0的情形sincoscosaPakaacoscosakaak2221222mmmEpak22222pkEmmsincoscosafaPakaak E k222kEm自由電子的自由電子的E-k拋物線曲線圖拋物線曲線圖sinaPaacosaasincosafaPaa如：假設(shè)系數(shù)如：假設(shè)系數(shù)P=10，勢(shì)阱寬度，勢(shì)阱寬度a=5A，求最小的允帶帶寬。，求最小的允帶帶寬。為了求得最小的允帶寬度，必須求得ka由0改變至?xí)r，

6、在a值上的差異。當(dāng)ka=0時(shí)，解：解：sin10cos1aaasincoscosafaPakaa由試誤法得到a=2.628rad對(duì)a=2.628而言，可得1222.628mEa2234221912231102.6281.054 101.68 101.05322 9.11 105 10EJeVma對(duì)a=而言，可得1922.407 101.50EJeV當(dāng)ka=時(shí)， ，a=。sin10cos1aaa 所以允許能帶寬度為211.501.0530.447EEEeV由上圖可以看到當(dāng)能量增加時(shí)，由Kronig-Penny模型所得到的允許能帶帶寬也會(huì)增大。sincosaPaaa函數(shù)函數(shù) 在在P=3 /2時(shí)的示

7、意圖。能量時(shí)的示意圖。能量 的允許的允許值由特定范圍內(nèi)中的值由特定范圍內(nèi)中的 給出，這一范圍給出，這一范圍是函數(shù)是函數(shù) 取值取值 1之間的范圍。對(duì)能量的其之間的范圍。對(duì)能量的其它取值，波動(dòng)方程不存在行波解或類它取值，波動(dòng)方程不存在行波解或類Bloch解，從而以此在解，從而以此在能譜中構(gòu)成禁帶。能譜中構(gòu)成禁帶。sincosaPaa1/222/amasincosaPaa在在KronigPenny勢(shì)場(chǎng)中的勢(shì)場(chǎng)中的能量關(guān)于波數(shù)的關(guān)系曲線，其中能量關(guān)于波數(shù)的關(guān)系曲線，其中P=3 /2。請(qǐng)注意在。請(qǐng)注意在ka= ，2 ，3 ，處出現(xiàn)的能隙。處出現(xiàn)的能隙。1、它是第一個(gè)可以嚴(yán)格求解的模型，證實(shí)了周期場(chǎng)中的電

8、、它是第一個(gè)可以嚴(yán)格求解的模型，證實(shí)了周期場(chǎng)中的電子可以占據(jù)的能級(jí)形成能帶，能帶之間存在禁帶；子可以占據(jù)的能級(jí)形成能帶，能帶之間存在禁帶；2、這個(gè)模型有多方面的適應(yīng)性，經(jīng)過適當(dāng)修正可以用來討、這個(gè)模型有多方面的適應(yīng)性，經(jīng)過適當(dāng)修正可以用來討論表面態(tài)、合金能帶以及超晶格的能帶問題。論表面態(tài)、合金能帶以及超晶格的能帶問題。Kronig-Penney一維方形勢(shì)場(chǎng)模型有著重要的意義：一維方形勢(shì)場(chǎng)模型有著重要的意義：n 應(yīng)用：超晶格超晶格超晶格材料是一種人工生長的周期性材料，即在原來自然晶體晶格的周期結(jié)構(gòu)上疊加一個(gè)人工周期。超晶格材料可分為組分超晶格和摻雜超晶格兩類，研究比較多的是組分超晶格。組分超晶格

9、是由不同的半導(dǎo)體薄膜材料形成的周期性結(jié)構(gòu)，可以用ABAB來表示，其中A代表一種半導(dǎo)體，如GaAs，B代表另一種半導(dǎo)體，如AlxGa1-xAs。一維超晶格一維超晶格（量子阱超晶格）（量子阱超晶格）二維超晶格二維超晶格（量子阱超晶格）（量子阱超晶格）三維超晶格三維超晶格（量子點(diǎn)超晶格）（量子點(diǎn)超晶格）超晶格的布里淵區(qū)折疊超晶格的布里淵區(qū)折疊超晶格超晶格形成的能帶結(jié)構(gòu)總，每一個(gè)子能帶都有更精細(xì)的迷你子能帶（minibands）結(jié)構(gòu)，迷你子能帶之間有迷你能隙（minigaps）。我們可以認(rèn)為超晶格的周期性導(dǎo)致了一套新的布里淵區(qū)邊界以及相應(yīng)的能隙。以上結(jié)果稱為休姆以上結(jié)果稱為休姆羅瑟里定則。羅瑟里定則。

10、在黃銅系中，各個(gè)相單獨(dú)存在的區(qū)域內(nèi)，各成分可用化學(xué)式表示，各相在黃銅系中，各個(gè)相單獨(dú)存在的區(qū)域內(nèi)，各成分可用化學(xué)式表示，各相中價(jià)電子數(shù)同原子數(shù)之比也有確定值。中價(jià)電子數(shù)同原子數(shù)之比也有確定值。 相（體心立方）相（體心立方）CuZn 價(jià)電子數(shù)價(jià)電子數(shù)/ /原子數(shù)原子數(shù)= =3/2 相（復(fù)雜立方）相（復(fù)雜立方）Cu5Zn8 價(jià)電子數(shù)價(jià)電子數(shù)/ /原子數(shù)原子數(shù)= =21/13 相相 ( (六角密積）六角密積）CuZn3 價(jià)電子數(shù)價(jià)電子數(shù)/ /原子數(shù)原子數(shù)= =7/45.9.2 合金的性質(zhì)和能帶結(jié)構(gòu) -休姆-羅瑟里定則1 休姆休姆-羅瑟里定則羅瑟里定則(1) Zn36%， 相；相；(2) 36%Zn4

11、8%， 相相+ + 相；相；(3) 48%Zn52%， 相；相； (4) 52%Zn59%， 相相+ + 相；相；(5) 59% Zn68%， 相；相； (6) 68%ZnEB當(dāng)當(dāng)E超過第二布里淵區(qū)的最低能量超過第二布里淵區(qū)的最低能量EB時(shí)：時(shí)：N(E)由由0迅速增大。迅速增大。 ENSEN(E)EAECEBECEA后，能級(jí)密度才迅速減小，后，能級(jí)密度才迅速減小，電子可以填充到比較低的能級(jí)。因此當(dāng)鋅的濃度超過電子可以填充到比較低的能級(jí)。因此當(dāng)鋅的濃度超過36%但低于但低于48%時(shí)，時(shí)， 相比較穩(wěn)定。同理也可以說明，當(dāng)濃相比較穩(wěn)定。同理也可以說明，當(dāng)濃度再增加時(shí)，合金的結(jié)構(gòu)又要改變度再增加時(shí)，合

12、金的結(jié)構(gòu)又要改變，而進(jìn)入，而進(jìn)入 相。相。第十節(jié)第十節(jié) 總結(jié)總結(jié)1. 1. 布洛赫定理布洛赫定理在晶格周期性勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子的波函數(shù)是按晶格周期調(diào)幅的平面波。在晶格周期性勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子的波函數(shù)是按晶格周期調(diào)幅的平面波。具有此形式的波函數(shù)稱為布洛赫波函數(shù)。具有此形式的波函數(shù)稱為布洛赫波函數(shù)。 rurkrkik e nkkRruru ,rRrnRk in)(e)( 布洛赫波函數(shù)具有如下特點(diǎn)：布洛赫波函數(shù)具有如下特點(diǎn)：)()(rrhKkk )3 2 1( 22， ibkbiii在此范圍內(nèi)在此范圍內(nèi)k共有共有N個(gè)值個(gè)值( (N為晶體原胞數(shù)為晶體原胞數(shù)) ) 22d)e(1aaikxnxxVaV 22

13、2d)e(1aanxaixxVaikxnnVxVe)( (1) (1) 模型：模型：假定周期場(chǎng)起伏較小，而電子的平均動(dòng)能比其勢(shì)能的絕對(duì)值大得多假定周期場(chǎng)起伏較小，而電子的平均動(dòng)能比其勢(shì)能的絕對(duì)值大得多。作為零級(jí)近似，用勢(shì)能的平均值作為零級(jí)近似，用勢(shì)能的平均值V0代替代替V(x)，把周期性起伏把周期性起伏V(x)-V0作為微擾作為微擾來處理。來處理。2. 2. 近自由電子近似近自由電子近似(2) (2) 勢(shì)場(chǎng)勢(shì)場(chǎng) 220)d(1aaxxVaV是是勢(shì)勢(shì)能能的的平平均均值值其其中中。)(exukikx nnxainikxnakkmVL2222)2(2e1e1 )(xk nnknakkmVmkE222

14、222)2(22ikxkLxe1)(0mkEk2220 (3) (3) 波函數(shù)和能量波函數(shù)和能量 (1) (1)在在k=n /a處處( (布里淵區(qū)邊界上），電子的能量出現(xiàn)禁帶，禁帶寬度為布里淵區(qū)邊界上），電子的能量出現(xiàn)禁帶，禁帶寬度為 ；nV2(2)(2)在在k=n /a附近，能帶底部電子能量與波矢的關(guān)系是向上彎曲的拋物線，附近，能帶底部電子能量與波矢的關(guān)系是向上彎曲的拋物線，能帶頂部是向下彎曲的拋物線；能帶頂部是向下彎曲的拋物線；(3)(3)在在k遠(yuǎn)離遠(yuǎn)離n /a處，電子的能量與自由電子的能量相近。處，電子的能量與自由電子的能量相近。 利用以上特點(diǎn)，可以畫出近自由電子近似的能帶圖。利用以上特

15、點(diǎn)，可以畫出近自由電子近似的能帶圖。(4) (4) 結(jié)論結(jié)論電子能帶的三種圖示法電子能帶的三種圖示法( (a)a) 擴(kuò)展區(qū)圖擴(kuò)展區(qū)圖：在不同的布里淵區(qū)畫出不同：在不同的布里淵區(qū)畫出不同的能帶；的能帶；( (b)b) 簡約區(qū)圖簡約區(qū)圖：將不同能帶平移適當(dāng)?shù)牡垢瘢簩⒉煌軒揭七m當(dāng)?shù)牡垢袷高M(jìn)入到第一布里淵區(qū)內(nèi)表示矢進(jìn)入到第一布里淵區(qū)內(nèi)表示( (在簡約在簡約布里淵區(qū)內(nèi)畫出所有能帶布里淵區(qū)內(nèi)畫出所有能帶) )；( (c)c) 周期區(qū)圖周期區(qū)圖：在每一個(gè)布里淵區(qū)周期性：在每一個(gè)布里淵區(qū)周期性地畫出所有能帶地畫出所有能帶( (強(qiáng)調(diào)任一特定的波強(qiáng)調(diào)任一特定的波矢矢k k的能量可以用和它相差的能量可以用和它相

16、差K Kh h的波矢來的波矢來描述描述) )。每個(gè)布里淵區(qū)中波矢每個(gè)布里淵區(qū)中波矢k可取可取N個(gè)值，而能帶序號(hào)越小，能帶寬度越小，故個(gè)值，而能帶序號(hào)越小，能帶寬度越小，故能帶序號(hào)越小，能態(tài)密度越大。能帶序號(hào)越小，能態(tài)密度越大。(5) (5) 能帶圖能帶圖3. 3. 平面波方法平面波方法平面波方法就是三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似。平面波方法就是三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似。 mmmmkrKimkrKimKVVKV)r(V)e()e(0rk irk ikNVr e1e1)(0 mkEk2220 (1) (1) 模型模型(2) (2) 勢(shì)場(chǎng)和波函數(shù)勢(shì)場(chǎng)和波函數(shù) llKrKilrkik

17、KaNr)e(e1)( )(2)(22nKVmkkE 發(fā)生能量不連續(xù)的波矢發(fā)生能量不連續(xù)的波矢 滿足的條件可改寫為滿足的條件可改寫為: :k0)2( nnKkK對(duì)于三維的情況，沿各個(gè)方向在布里淵區(qū)邊界對(duì)于三維的情況，沿各個(gè)方向在布里淵區(qū)邊界E(k)函數(shù)是間斷的，但函數(shù)是間斷的，但不同方向斷開時(shí)的能量取值不同，因而有可能使能帶發(fā)生重疊。不同方向斷開時(shí)的能量取值不同，因而有可能使能帶發(fā)生重疊。(3) (3) 結(jié)論結(jié)論0nK kknK晶體中的電子在某個(gè)原子附近時(shí)主要受該原子勢(shì)場(chǎng)晶體中的電子在某個(gè)原子附近時(shí)主要受該原子勢(shì)場(chǎng) 的作用，的作用，其他原子的作用視為微擾來處理，以孤立原子的電子態(tài)作為零級(jí)近似其他原子的作用視為微擾來處理，以孤立原子的電子態(tài)作為零級(jí)近似。)(nRrV mRmatnatRrVRrVrV)()(2) (2) 勢(shì)場(chǎng)勢(shì)場(chǎng) 4. 4. 緊束縛近似緊束縛近似(1) (1) 模型模型 nnRnatRk iRrNr ,k)(e1)( (3) (3) 波函數(shù)波函數(shù) nsnRsnRRk issatJJEkE)(e)( (4) (4) 能量表達(dá)式能量表達(dá)式(5) (5) 能帶寬度能帶寬度minmaxEEE (1) (1) 畫出布里淵區(qū)的廣延區(qū)圖形；畫出布里淵區(qū)的廣延區(qū)圖形；(2) (2)