[數(shù)學(xué)]1-5條件概率、全概率公式與貝葉斯公式ppt課件

1、一、條件概率一、條件概率二、乘法定理二、乘法定理三、全概率公式與貝葉斯公式三、全概率公式與貝葉斯公式四、小結(jié)四、小結(jié)第五節(jié)條件概率第五節(jié)條件概率 將一枚硬幣拋擲兩次將一枚硬幣拋擲兩次 ,察看其出現(xiàn)正反察看其出現(xiàn)正反兩方面的情況兩方面的情況,設(shè)事件設(shè)事件 A為為 “至少有一次為正面至少有一次為正面,事件事件B為為“兩次擲出同一面兩次擲出同一面. 如今來求知事件如今來求知事件A 曾經(jīng)發(fā)生的條件下事件曾經(jīng)發(fā)生的條件下事件 B 發(fā)生的概率發(fā)生的概率.分析分析. , , , TTTHHTHHS .2142)( BP事件事件A 曾經(jīng)發(fā)生的條件下事件曾經(jīng)發(fā)生的條件下事件B 發(fā)生的概率發(fā)生的概率,記為記為),

2、(ABP31)( ABP則則).(BP 4341 )()(APABP . , 為為反反面面為為正正面面設(shè)設(shè)TH1. 引例引例一、條件概率一、條件概率,TTHHBTHHTHHA )()()(BPABPBAP 同理可得同理可得為事件為事件 B 發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件 A 發(fā)生的條件概率發(fā)生的條件概率.)()()(, 0)(,條件概率條件概率發(fā)生的發(fā)生的發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件為在事件為在事件稱稱且且是兩個(gè)事件是兩個(gè)事件設(shè)設(shè)BAAPABPABPAPBA 2. 定義定義);()()()( ) 3(212121BAAPBAPBAPBAAP ).(1)( )4(BAPBAP ; 0)(,

3、 1)(: )2( BPBSP規(guī)規(guī)范范性性則則有有件件是是兩兩兩兩不不相相容容的的事事設(shè)設(shè)可可加加可可列列性性, , , ,: )5(21BB. )(11 iiiiABPABP3. 性質(zhì)性質(zhì); 0)(: )1( ABP非負(fù)性非負(fù)性).()()()()(112221112121APAAPAAAAPAAAAPAAAPnnnnn 則則有有且且, 0)(121 nAAAP, 2,21 nnAAAn個(gè)個(gè)事事件件為為設(shè)設(shè)推推廣廣則則有有且且為為事事件件設(shè)設(shè), 0)(, ABPCBA).()()()(APABPABCPABCP ).()()(, 0)(APABPABPAP 則則有有設(shè)設(shè)二、二、 乘法定理乘法

4、定理例例1 1 一盒子裝有一盒子裝有4 4 只產(chǎn)品只產(chǎn)品, ,其中有板有其中有板有3 3 只一只一等品等品1 1只二等品只二等品. .從中取產(chǎn)品兩次從中取產(chǎn)品兩次, ,每次任取一只每次任取一只, ,作不作不放放回抽樣回抽樣. .設(shè)事件設(shè)事件A A為為“第一次取到的是一等品第一次取到的是一等品 事事件件B B 為為“第二次取到的是一等品試求條件概第二次取到的是一等品試求條件概 P(B|A).P(B|A).解解.4;3, 2, 1,號(hào)為二等品號(hào)為二等品為一等品為一等品將產(chǎn)品編號(hào)將產(chǎn)品編號(hào)則試驗(yàn)的樣本空間為則試驗(yàn)的樣本空間為號(hào)產(chǎn)品號(hào)產(chǎn)品第第號(hào)號(hào)第二次分別取到第第二次分別取到第表示第一次表示第一次以以

5、,),(j、i、ji),3 , 4(),2 , 4(),1 , 4(, )4 , 2(),3 , 2(),1 , 2(),4 , 1(),3 , 1(),2 , 1( S),4 , 3(),2 , 3(),1 , 3(),4 , 2(),3 , 2(),1 , 2(),4 , 1(),3 , 1(),2 , 1( A),2 , 3(),1 , 3(),3 , 2(),1 , 2(),3 , 1(),2 , 1( AB由條件概率的公式得由條件概率的公式得)()()(APABPABP 129126 .32 例例2 2 某種動(dòng)物由出生算起活某種動(dòng)物由出生算起活2020歲以上的概率為歲以上的概率為0.

6、8, 0.8, 活到活到2525歲以上的概率為歲以上的概率為0.4, 0.4, 假設(shè)如今有一個(gè)假設(shè)如今有一個(gè)2020歲的這種動(dòng)物歲的這種動(dòng)物, , 問它能活到問它能活到2525歲以上的概率是歲以上的概率是多少多少? ? 設(shè)設(shè) A 表示表示“ 能活能活 20 歲以上歲以上 的事件的事件; B 表表示示 “ 能活能活 25 歲以上的事件歲以上的事件,那么有那么有NoImage, 8 . 0)( AP因?yàn)橐驗(yàn)?)()()(APABPABP , 4 . 0)( BP),()(BPABP .218 . 04 . 0 )()()(APABPABP 所以所以解解例例3 3 五個(gè)鬮五個(gè)鬮, , 其中兩個(gè)鬮內(nèi)寫

7、著其中兩個(gè)鬮內(nèi)寫著“有有字字, , 三個(gè)鬮內(nèi)不寫字三個(gè)鬮內(nèi)不寫字 , , 五人依次抓取五人依次抓取, ,問各人抓到問各人抓到“有字鬮的概率能否相有字鬮的概率能否相同同? ?解解. 5 , 4 , 3 , 2 , 1 i那么有那么有,52)(1 AP)()(22SAPAP )(112AAAP 抓鬮能否與次序有關(guān)抓鬮能否與次序有關(guān)? ,的事件的事件人抓到有字鬮人抓到有字鬮第第表示表示設(shè)設(shè)iAi)()()(212121333AAAAAAAPSAPAP )()()(321321321AAAPAAAPAAAP 42534152 ,52 )()()()(121121AAPAPAAPAP )(2121AAA

8、AP )()(2121AAPAAP )()()(213121AAAPAAPAP )()()(213121AAAPAAPAP )()()(213121AAAPAAPAP 324253314253314352 ,52 依此類推依此類推.52)()(54 APAP故抓鬮與次序無關(guān)故抓鬮與次序無關(guān).摸球?qū)嶒?yàn)摸球?qū)嶒?yàn).,.到白球的概率到白球的概率四次取四次取二次取到紅球且第三二次取到紅球且第三試求第一試求第一四次四次若在袋中連續(xù)取球若在袋中連續(xù)取球的球的球與所取出的那只球同色與所取出的那只球同色只只并再放入并再放入觀察其顏色然后放回觀察其顏色然后放回任取一只球任取一只球每次自袋中每次自袋中只白球只白球只

9、紅球只紅球設(shè)袋中裝有設(shè)袋中裝有、atr 解解)4 , 3 , 2 , 1(次次取取到到紅紅球球第第為為事事件件設(shè)設(shè)iiAi .43四次取到白球四次取到白球?yàn)槭录谌秊槭录谌齽t則、A、A例例4 4因此所求概率為因此所求概率為)(4321AAAAP)()()()(1122133214APAAPAAAPAAAAP .23trratraratrtatrat 此模型被波利亞用來作為描畫傳染病的數(shù)學(xué)模型此模型被波利亞用來作為描畫傳染病的數(shù)學(xué)模型.例例5 5 設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡, , 第一次落下第一次落下時(shí)突破的概率為時(shí)突破的概率為1/2,1/2,假設(shè)第一次落下未突破假設(shè)第一

10、次落下未突破, , 第第二次落下突破的概率為二次落下突破的概率為7/10 , 7/10 , 假設(shè)前兩次落下假設(shè)前兩次落下未突破未突破, , 第三次落下突破的概率為第三次落下突破的概率為9/10.9/10.試求透試求透鏡落下三次而未突破的概率鏡落下三次而未突破的概率. .解解以以B B 表示事件表示事件“透鏡落下三次而未突破透鏡落下三次而未突破. .,321AAAB 因因?yàn)闉?()(321AAAPBP 所所以以)()()(112213APAAPAAAP )211)(1071)(1091( .2003 ,)3 , 2 , 1(次次落落下下打打破破透透鏡鏡第第表表示示事事件件以以iiAi .,)ii

11、(;, 2 , 1,) i (,212121的的一一個(gè)個(gè)劃劃分分為為樣樣本本空空間間則則稱稱若若的的一一組組事事件件為為的的樣樣本本空空間間為為試試驗(yàn)驗(yàn)設(shè)設(shè)定定義義SBBBSBBBnjijiBBEBBBESnnjin 1. 樣本空間的劃分樣本空間的劃分1B2B3B1 nBnB三、全概率公式與貝葉斯公式三、全概率公式與貝葉斯公式2. 全概率公式全概率公式全概率公式全概率公式)()()()()()()(), 2, 1(0)(,221121nninBPBAPBPBAPBPBAPAPniBPSBBBEASE 則則且且的的一一個(gè)個(gè)劃劃分分為為的的事事件件為為的的樣樣本本空空間間為為設(shè)設(shè)試試驗(yàn)驗(yàn)定定理理

12、jiBB由由 )(jiABAB)()()()(21nABPABPABPAP 圖示圖示A1B2B3B1 nBnB證明證明)(21nBBBAASA .21nABABAB ).()()()()()(2211nnBPBAPBPBAPBPBAP 化整為零化整為零各個(gè)擊破各個(gè)擊破闡明闡明 全概率公式的主要用途在于它可以將一個(gè)全概率公式的主要用途在于它可以將一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問題復(fù)雜事件的概率計(jì)算問題,分解為假設(shè)干個(gè)簡(jiǎn)單事分解為假設(shè)干個(gè)簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算問題件的概率計(jì)算問題,最后運(yùn)用概率的可加性求出最最后運(yùn)用概率的可加性求出最終結(jié)果終結(jié)果.A1B2B3B1 nBnB例例6 6 有一批同一型號(hào)的產(chǎn)品有一批

13、同一型號(hào)的產(chǎn)品, ,知其中由一廠知其中由一廠消費(fèi)的占消費(fèi)的占 30% , 30% , 二廠消費(fèi)的占二廠消費(fèi)的占 50% , 50% , 三廠消三廠消費(fèi)的占費(fèi)的占 20%, 20%, 又知這三個(gè)廠的產(chǎn)品次品率分別又知這三個(gè)廠的產(chǎn)品次品率分別為為2% , 1%, 1%,2% , 1%, 1%,問從這批產(chǎn)品中任取一件是次問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少品的概率是多少? ?設(shè)事件設(shè)事件 A 為為“任取一件為次品任取一件為次品,. 3 , 2 , 1, iiBi廠的產(chǎn)品廠的產(chǎn)品任取一件為任取一件為為為事件事件,321SBBB 解解. 3 , 2 , 1, jiBBji由全概率公式得由全概率公式得

14、, 2 . 0)(, 5 . 0)(, 3 . 0)(321 BPBPBPS30%20%50%2%1%1%).()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP .013. 02 . 001. 05 . 001. 03 . 002. 0 ,01. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321 BAPBAPBAP)()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP 故故稱此為貝葉斯公式稱此為貝葉斯公式., 2 , 1,)()()()()(), 2 , 1(, 0)(, 0)(,.121niBPBAPBPBAPABPniBPAPSBBBEASEnjjji

15、iiin 則則且且的的一一個(gè)個(gè)劃劃分分為為的的事事件件為為的的樣樣本本空空間間為為設(shè)設(shè)試試驗(yàn)驗(yàn)定定理理 3. 貝葉斯公式貝葉斯公式貝葉斯資料貝葉斯資料證明證明)()()(APABPABPii ,)()()()(1 njjjiiBPBAPBPBAP., 2 , 1ni 證畢證畢;,)1(.,05. 080. 015. 003. 001. 002. 0321:.概率概率求它是次品的求它是次品的元件元件在倉庫中隨機(jī)地取一只在倉庫中隨機(jī)地取一只無區(qū)別的標(biāo)志無區(qū)別的標(biāo)志且且倉庫中是均勻混合的倉庫中是均勻混合的設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在提供元件的份額提供元件的份額次品率次品率元件制造廠元件制

16、造廠的數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)根據(jù)以往的記錄有以下根據(jù)以往的記錄有以下件制造廠提供的件制造廠提供的的元件是由三家元的元件是由三家元某電子設(shè)備制造廠所用某電子設(shè)備制造廠所用例例7 7.,)2(試試求求這這些些概概率率別別是是多多少少三三家家工工廠廠生生產(chǎn)產(chǎn)的的概概率率分分需需求求出出此此次次品品出出由由為為分分析析此此次次品品出出自自何何廠廠次次品品若若已已知知取取到到的的是是元元件件在在倉倉庫庫中中隨隨機(jī)機(jī)地地取取一一只只解解,取到的是一只次品取到的是一只次品表示表示設(shè)設(shè) A.家工廠提供的家工廠提供的所取到的產(chǎn)品是由第所取到的產(chǎn)品是由第表示表示i)3 , 2 , 1( iBi,321的一個(gè)劃分的一個(gè)劃分是樣

17、本空間是樣本空間則則SBBB,05. 0)(,80. 0)(,15. 0)(321 BPBPBP且且.03. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321 BAPBAPBAP(1) 由全概率公式得由全概率公式得)()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP .0125. 0 (2) 由貝葉斯公式得由貝葉斯公式得)()()()(111APBPBAPABP 0125. 015. 002. 0 .24. 0 ,64. 0)()()()(222 APBPBAPABP.12. 0)()()()(333 APBPBAPABP.2 家家工工廠廠的的可可能能性性最最大大故故這這只只

18、次次品品來來自自第第?,.95,.55,98,概概率率是是多多少少機(jī)機(jī)器器調(diào)調(diào)整整得得良良好好的的時(shí)時(shí)早早上上第第一一件件產(chǎn)產(chǎn)品品是是合合格格試試求求已已知知某某日日機(jī)機(jī)器器調(diào)調(diào)整整良良好好的的概概率率為為時(shí)時(shí)每每天天早早上上機(jī)機(jī)器器開開動(dòng)動(dòng)其其合合格格率率為為種種故故障障時(shí)時(shí)而而當(dāng)當(dāng)機(jī)機(jī)器器發(fā)發(fā)生生某某產(chǎn)產(chǎn)品品的的合合格格率率為為良良好好時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)機(jī)機(jī)器器調(diào)調(diào)整整得得明明對(duì)對(duì)以以往往數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)分分析析結(jié)結(jié)果果表表%解解.產(chǎn)產(chǎn)品品合合格格為為事事件件設(shè)設(shè) A.機(jī)器調(diào)整良好機(jī)器調(diào)整良好為事件為事件B則有則有,55. 0)(,98. 0)( BAPBAP例例8 8,05. 0)(,95. 0)( BP

19、BP 由貝葉斯公式得所求概率為由貝葉斯公式得所求概率為)()()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAPABP 05. 055. 095. 098. 095. 098. 0 .97. 0 .97. 0,整良好的概率為整良好的概率為此時(shí)機(jī)器調(diào)此時(shí)機(jī)器調(diào)是合格品時(shí)是合格品時(shí)即當(dāng)生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品即當(dāng)生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品上題中概率上題中概率 0.95 是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的, 叫叫做先驗(yàn)概率做先驗(yàn)概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做后驗(yàn)概率叫做后驗(yàn)概率.先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率).(,005. 0)(,0

20、05. 0,.95. 0)(,95. 0)(,:,ACPCPCAPCAPCA試試求求即即的的概概率率為為設(shè)設(shè)被被試試驗(yàn)驗(yàn)的的人人患患有有癌癌癥癥進(jìn)進(jìn)行行普普查查現(xiàn)現(xiàn)在在對(duì)對(duì)自自然然人人群群有有則則被被診診斷斷者者患患有有癌癌癥癥表表示示事事件件以以為為陽陽性性試試驗(yàn)驗(yàn)反反應(yīng)應(yīng)表表示示事事件件若若以以驗(yàn)驗(yàn)具具有有如如下下的的效效果果某某種種診診斷斷癌癌癥癥的的試試根根據(jù)據(jù)以以往往的的臨臨床床記記錄錄 解解,05. 0)(1)(,95. 0)( CAPCAPCAP因?yàn)橐驗(yàn)?995. 0)(,005. 0)( CPCP例例9 9由貝葉斯公式得所求概率為由貝葉斯公式得所求概率為)()()()()()(

21、)(CPCAPCPCAPCPCAPACP .087. 0 即平均即平均1000個(gè)具有陽性反響的人中大約只需個(gè)具有陽性反響的人中大約只需87人人患有癌癥患有癌癥.作業(yè)題作業(yè)題13.14.17.19.21.2413.14.17.19.21.241.條件概率條件概率)()()(APABPABP 全概率公式全概率公式貝葉斯公式貝葉斯公式四、小結(jié)四、小結(jié))()()()()()()(2211nnBPBAPBPBAPBPBAPAP ., 2 , 1,)()()()()(1niBPBAPBPBAPABPnjjjiii )()()(APABPABP 乘法定理乘法定理.)()(,)(,)(,.,)(,)(大大比比

22、一般來說一般來說中基本事件數(shù)中基本事件數(shù)中基本事件數(shù)中基本事件數(shù)中基本事件數(shù)中基本事件數(shù)中基本事件數(shù)中基本事件數(shù)則則用古典概率公式用古典概率公式發(fā)生的概率發(fā)生的概率計(jì)算計(jì)算中中表示在縮小的樣本空間表示在縮小的樣本空間而而的概率的概率發(fā)生發(fā)生計(jì)算計(jì)算中中表示在樣本空間表示在樣本空間ABPABPSABABPSABABPBSABPABSABPAA .)()( . 2的區(qū)別的區(qū)別與積事件概率與積事件概率條件概率條件概率ABPBAP貝葉斯資料貝葉斯資料Thomas BayesBorn: 1702 in London, EnglandDied: 17 April 1761 in Tunbridge Wel

23、ls, Kent, England例例1 1 設(shè)袋中有設(shè)袋中有4 4只白球只白球, 2, 2只紅球只紅球 , (1) , (1) 無放無放回隨機(jī)地抽取兩次回隨機(jī)地抽取兩次, , 每次取一球每次取一球, , 求在兩次抽求在兩次抽取中至多抽到一個(gè)紅球的概率取中至多抽到一個(gè)紅球的概率? (2) ? (2) 假設(shè)無放假設(shè)無放回的抽取回的抽取 3 3次次, , 每次抽取一球每次抽取一球, , 求求 (a) (a) 第一第一次是白球的情況下次是白球的情況下, , 第二次與第三次均是白球第二次與第三次均是白球的概率的概率? (b) ? (b) 第一次與第二次均是白球的情況第一次與第二次均是白球的情況下下 , , 第三次是白球的概率第三次是白球的概率? ?備份題備份題解解.)1(21二次抽取到紅球二次抽取到紅球第第為為第一次抽取到紅球第一次抽取到紅球?yàn)闉槭录录t球紅球個(gè)個(gè)兩次抽取中至多抽到一兩次抽取中至多抽到一為事件為事件設(shè)設(shè)AAA.1514546252645364 )()()()(212121AAPAAPAAPAP )()()()()()(121121121AAPAPAAPAPAAPAP 那么有那么有,212121AAAAAAA . 3 , 2 , 1,)2( iiAi次次取取出出的的是是白白球球第第為為設(shè)設(shè)事事件件)()(132AAAPa,)()(1321APAAAP .103