小學奧數--5-1-3-2-數陣圖(二).教師版

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 5-1-3-2.數陣圖教學目標1. 了解數陣圖的種類2. 學會一些解決數陣圖的解題方法3. 能夠解決和數論相關的數陣圖問題知識點撥.一、數陣圖定義及分類：1. 定義：把一些數字按照一定的要求，排成各種各樣的圖形，這類問題叫數陣圖.2. 數陣是一種由幻方演變而來的數字圖.數陣圖的種類繁多，這里只向大家介紹三種數陣圖：即封閉型數陣圖、輻射型數陣圖和復合型數陣圖.3.二、解題方法：解決數陣類問題可以采取從局部到整體再到局部的方法入手：第一步：區(qū)分數陣圖中的普通點(或方格)和關鍵點(或方格)；第二步：在數陣圖的少數關鍵點(一般是交叉點)上設置未知數，計算這些關鍵點與相關點的

2、數量關系，得到關鍵點上所填數的范圍；第三步：運用已經得到的信息進行嘗試這個步驟并不是對所有數陣題都適用，很多數陣題更需要對數學方法的綜合運用例題精講復合型數陣圖【例 1】 由數字1、2、3組成的不同的兩位數共有9個，老師將這9個數寫在一個九宮格上，讓同學選數，每個同學可以從中選5個數來求和小剛選的5個數的和是120，小明選的5個數的和是111如果兩人選的數中只有一個是相同的，那么這個數是_【考點】復合型數陣圖 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，中年級，決賽，3題【分析】 這9個數的和： 由小剛和小明選的數中只有一個是相同的，可知他們正好把這9個數全部都取到了，且有一個數取了兩遍所以他

3、們取的數的總和比這9個數的和多出來的部分就是所求的數那么，這個數是【答案】【例 2】 如圖1，圓圈內分別填有1，2，7這7個數。如果6個三角形的頂點處圓圈內的數字的和是64，那么，中間圓圈內填入的數是 ?！究键c】復合型數陣圖 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯，五年級，復賽，第5題，5分【解析】 2【答案】【例 3】 如下圖（1）所示，在每個小圓圈內填上一個數，使得每一條直線上的三個數的和都等于大圓圈上三個數的和.【考點】復合型數陣圖 【難度】3星 【題型】填空 【解析】 為敘述方便，先在每個圓圈內標上字母，如圖（2），則有a+4+9=a+b+c（1）b+8+9=a+b+c（2） c+

4、17+9=a+b+c（3） （1）+（2）+（3）：（a+b+c）+56=3（a+b+c），a+b+c=28，則 a=28（4+9）=15，b=28（8+9）=11， c=28-（17+9）=2解：見圖.【答案】【例 4】 請你將數字1、2、3、4、5、6、7填在下面圖（1）所示的圓圈內，使得每個圓圈上的三個數之和與每條直線上的三個數之和相等.應怎樣填？【考點】復合型數陣圖 【難度】3星 【題型】填空 【解析】 為了敘述方便，將各圓圈內先填上字母，如圖（2）所示.設A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k（A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+（C

5、+E+G）=5k，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k，2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，56+A=5k.，因為56+A為5的倍數，得A=4，進而推出k=12，因為在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨設B=1，F=5，D=6，則C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一個基本解為：（見圖）【答案】【例 5】 在左下圖的每個圓圈中填上一個數，各數互不相等，每個圓圈有3個相鄰(即有線段相連的圓圈)的圓圈。將左下圖中每個圓圈中的數改為3個相鄰圓圈所填數的平均值，便

6、得到右下圖。如果左下圖中已有一個數1，請?zhí)畛鲎笙聢D中的其它數，使得右下圖中的數都是自然數?！究键c】復合型數陣圖 【難度】4星 【題型】填空【關鍵詞】走美杯，6年級，決賽，第10題，10分【解析】 答案不唯一。要求四個灰色圓圈中所填的數除以3的余數相同，另外四個圓圈中所填的數除以3的余數也相同。注：題中左、右兩圖是兩個不同的圖，左圖要求各數互不相同(見答案)，右圖中各數是根據左圖改的，只要求是自然數，可以相同?！敬鸢浮俊纠?6】 將1至8這八個自然數分別填入圖中的正方體的八個頂點處的內，并使每個面上的四個內的數字之和都相等。求與填入數字1的有線段相連的三個內的數的和的最大值。 【考點】復合型數陣

7、圖 【難度】4星 【題型】填空 【考點】 【難度】星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯，六年級，二試，第13題，15分【解析】 因為1到8的和為36，而上面四個數的和等于下面四個數的和，所以都為18。因為每個面的數字和相等，所以一個面上應當大小數搭配，也就是說，和最小的數字1在同一個面上的應該有較大的數。嘗試最大的三個數8，7，6，則和1，8，7在同一個面上的數應該是18-1-8-7=2，和1，8，6在同一個面上的數應該是18-1-8-6=3，和1，7，6在同一個面上的數應該是在同一個面上的數應該是18-1-7-6=4，剩下一個5填在剩下的中，經檢驗，符合題意，那么與1相連的三個的和是【答案】【例

8、 7】 將自然數到分別填在右圖的圓圈內，使得圖中每條直線上的三個圓圈內的數的和相等【考點】復合型數陣圖 【難度】5星 【題型】填空 【解析】 設左下角的數為，每條直線上的三個數的和為由于這11個數的和為從左下角引出的條直線的總和為，其中左下角的數多計算了4次，則；又由三條橫線及左下角引出的一條斜線上的數的總和可得從而結合上面的兩個式子可得，即左下角的數為6，每條線上的數之和為18再設大正方形其他三個圓圈上的數分別為，于是可得各個圓圈中的數如圖所示除6以外的10個數分別為：，由于，得到，即所以，只要選取適當的，的值，使得上面的10個數各不相同即可比如，選擇，則可得到如右上圖所示的一種填法本題答案

9、不唯一，下面再給出兩種填法。 【答案】 【例 8】 在下圖中，在每個圓圈中填入一個數，使每條直線上所有圓圈中數的和都是234，那么標有的圓圈中所填的數是_ 【考點】復合型數陣圖 【難度】5星 【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，中年級，決賽，11題【分析】 為表述方便，將圓圈中數用字母替代（如右圖）根據題意，有 ，有，即【答案】【例 9】 請將1，2，3，10這10個自然數填入圖中的10個小圓圈內，使得圖中的10條直線上圓圈內數字之和都相等那么乘積 ？【考點】復合型數陣圖 【難度】5星 【題型】填空 【關鍵詞】迎春杯，高年級，決賽，10題【解析】 對于本題，可以通過“10條直線上圓圈內數字之和都相等

10、”(實際上是11條)這一等量關系，將每一個小圓圈中的數表示出來由于每一條直線上的數之和都為，可得圖中每一個小圓圈中的數如下圖。由于中間豎直方向的線段以及從左下角出發(fā)的只有兩個數字的那條線段，它們的數字和都是，可以得到，可得，代入得，即，只能是，則【答案】【例 10】 下圖中有11條直線請將1至11這11個數分別填在11個圓圈里，使每一條直線上所有數的和相等求這個相等的和以及標有*的圓圈中所填的數【考點】復合型數陣圖 【難度】5星 【題型】填空 【解析】 設每行的和為，在左下圖中，除了出現2次，其他數字均只出現了1次，并且每個數字都出現了，于是有； 在右上圖中除了出現5次，其他數字均只出現了1次

11、，并且每個數字都出現了，于是有綜合以上兩式，解得，考慮到含有*的五條線，有，即可見是4的倍數，在111間可能為4和8，但為8時也為8，重復所以，即每行相等的和為18，標有*的圓圈中所填的數為7最終的填法如右下圖 【答案】【例 11】 “美妙的數學花園”這7個字各代表17中的一個數，并且每個圓中4個數的和都是15。如果學比美大，美比園大，那么，園表示 ?！究键c】復合型數陣圖 【難度】5星 【題型】填空【關鍵詞】（走美杯3年級決賽第11題，12分）【解析】 首先找出從到中四個數之和為的有以下四組：、；、；、；、需要從其中選出組，其中每兩個組間都有兩個相等的數，且這三組都含有同一個數，分析發(fā)現這三組

12、可為、或、，當這三組數為、時即，；，；，其中、公有的是，；、公有是，；、公有，即“妙，花，數”應為，其中之一則剩下數字，應為美、學、園其中之一又因為學美園，所以學，美，園當這三組數為、時同樣的方法可分析出園【答案】【例 12】 圖2中的五個問號分別表示五個連續(xù)的自然數，它們的和等于130，三角形內兩個數的和等于53，圓內三個數的和等于79，正方形內兩個數的和等于50。那么，從左向右，這五個問號依次是 【考點】復合型數陣圖 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯，四年級，復賽，第5題，5分【解析】 根據題意答案為：25，28，27，24，26【答案】25，28，27，24，26【例 13】

13、右圖是大家都熟悉的奧林匹克五環(huán)標志請將分別填入五個圓相互分割的九個部分，并且使每個圓環(huán)內的數字之和都相等【考點】復合型數陣圖 【難度】5星 【題型】填空 【解析】 設每個圓內的數字之和為，則五個圓內的數字之和是，它等于的和再加上兩兩重疊處的四個數之和而兩兩重疊處的四個數之和最小是，最大是，所以，即當，時可得四種填法(見右下圖)當時，如右上圖，設兩兩重疊處的四個數分別為，由上面的分析可知，分別為，由于，那么，不論為多少，最左邊的數總是會與，中的某一個相同，矛盾所以當時沒有符合題意的填法當時，如果，中有一個數為，比如，那么，這樣與，在同一個圓內的那個數將與相同可見，都不能為如果，中至少有個數大于，

14、那么它們至少為，另一個數至少為，它們的和將不小于，矛盾所以，中至少有個數小于，這個數只能為和，那么另兩個數之和為如果這兩個數中有一個為或者，那么最左邊或者最右邊的數將與，中的某一個相同，矛盾；如果這兩個數為和，那么與，在同一個圓內的那個數將只能為，這也不可能出現所以當時也沒有符合題意的填法【答案】當，時可得四種填法【例 14】 2008年奧運會在北京舉行?！皧W”、“運”、 “會”、“北”、“京”這五個漢字代表五個連續(xù)的自然數，將其分別填在五環(huán)圖案的五個環(huán)內，滿足“奧”+“運”+“會”=“北”+“京”。這五個自然數的和最大是 。【考點】復合型數陣圖 【難度】5星 【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，四

15、年級，初賽，第2題）【解析】 不妨設最小一個數是x，那么這5個數是x，x+1，x+2，x+3，x+4.但無法將它們對應，但無論怎么樣，列出的方程一定是這個形式的：（x+a）+（x+b）+（x+c）=（x+d）+（x+e），其中a、b、c、d、e分別是0、1、2、3、4.方程解得：x=（d+e）-（a+b+c），如果連續(xù)5個自然數最大，那么最小的那個自然數也必須取得最大，顯然減號前是3、4，減號后0、1、2時，x取得最大值4，所以這5個數是4、5、6、7、8，和為30【答案】【例 15】 如圖，代表九個各不相同的正整數，且每個圓中所填數的和都等于。這九個數總和最小為 ?！究键c】復合型數陣圖 【難

16、度】5星 【題型】填空【關鍵詞】走美杯，5年級，決賽，第12題，15分【解析】 假設個數總和是，則,上面三個環(huán)的總和為：，所以當時，總和最小為。【答案】【例 16】 如圖，代表九個各不相同的正整數，的總和是，并且每個圓中所填的數和都等于。最大為多少？最小為多少？【考點】復合型數陣圖 【難度】6星 【題型】填空【關鍵詞】走美杯，6年級，決賽，第11題，15分【解析】 上面三個環(huán)里數的和為，所以最大可以取，此時，分別為，。五環(huán)的和是，要使最小，只要取最小為，此時?！敬鸢浮孔畲?，最小【例 17】 將數字19分別填在下圖空白的正六邊形格子中，使得箭頭所指直線方向上空格中所填的數字和等于該箭頭所在格中的

17、給定數（每個方向上所填的數互不相同，且到寫有另一個給定數字的格為止）。例如：當填寫完后，字母C處所寫的數字是_。A. 4 B. 5 C. 7 D. 9【考點】復合型數陣圖 【難度】6星 【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，中年級，復試，7題【解析】 ，提示：在下圖中，直線上的個數之和是，只有，直線上的個數之和是，只有，所以等于或；直線上的個數之和是，只有：或，再考慮到等于或，得到或或。直線上的個數之和是，并且或或，只有，所以，再考慮到上的數不大于，所以。下圖是一種填法（填法不唯一）?！敬鸢浮緾=7?！纠?18】 用數字至填滿空格，一個格子只能填入一個數字，每個數字在每一行，每一列（相連或不相連）及每個粗線圍成的區(qū)域中至多出現一次?！究键c】數陣圖與數論 【難度】5星 【題型】填空【關鍵詞】