大學物理平面任意力系

1、12平面任意力系實例平面任意力系實例3 可以把作用在剛體上點可以把作用在剛體上點A的力的力 平行移到剛體上任意平行移到剛體上任意一點一點B B，但必須同時附加一個力偶，這個力偶的力偶矩等，但必須同時附加一個力偶，這個力偶的力偶矩等于原來的力于原來的力 對新作用點對新作用點B的矩。的矩。一、證明：證明：)(FFdBMM各力的作用線在同一平面內(nèi)，既不匯交為一點又不相互平行各力的作用線在同一平面內(nèi)，既不匯交為一點又不相互平行的力系叫的力系叫平面任意力系平面任意力系。4參見動畫：參見動畫：平面力線平移定理平面力線平移定理5為什么如此攻螺紋會斷？為什么如此攻螺紋會斷？參見動畫：參見動畫：鉗工用絲錐攻螺紋

2、鉗工用絲錐攻螺紋(斷斷)參見動畫：參見動畫：力線平移實例力線平移實例6稱點稱點O為簡化中心為簡化中心參見動畫：參見動畫：平面任意力系向平面內(nèi)任一點的簡化平面任意力系向平面內(nèi)任一點的簡化7稱點稱點O為簡化中心為簡化中心F1、F2、.Fn平面匯交力系，合力為平面匯交力系，合力為FRM1、M2、.Mn平面力偶系，合力偶矩為平面力偶系，合力偶矩為MO8平面力系中所有各力的矢量和平面力系中所有各力的矢量和FR稱為該力系的主矢稱為該力系的主矢量（簡稱為主矢）量（簡稱為主矢）1. RyRxyxRFF cos FF ,FFF),(,)cos()()(22jFiFRR原力系的主矢與簡化中心原力系的主矢與簡化中心

3、O的位置無關的位置無關 FR=F1+F2+.+Fn=F = F 主矢主矢FR的大小和方向余弦為：的大小和方向余弦為：原力系中各力對簡化中心原力系中各力對簡化中心O之矩的代數(shù)和稱為原力之矩的代數(shù)和稱為原力系對點系對點O的主矩。的主矩。nionOOOOMMMMM121)()(.)()(iFFFF主矩與簡化中心的選擇有關主矩與簡化中心的選擇有關 9 平面任意力系向平面內(nèi)任一點簡化，一般可以得到平面任意力系向平面內(nèi)任一點簡化，一般可以得到，這個力等于力系中各力的矢量和，作用于簡，這個力等于力系中各力的矢量和，作用于簡化中心，稱為原力系的化中心，稱為原力系的；這個力偶的矩等于原力系中各；這個力偶的矩等于

4、原力系中各力對簡化中心之矩的代數(shù)和，稱為原力系的力對簡化中心之矩的代數(shù)和，稱為原力系的。 固定端固定端A A處的約束力可簡化為兩個約束力處的約束力可簡化為兩個約束力FAx、FAy和一個和一個矩為矩為A的約束力偶的約束力偶=參見動畫：參見動畫：插入端約束受力的簡化插入端約束受力的簡化10參見動畫：參見動畫：插入端約束實例插入端約束實例(機翼機翼)參見動畫：參見動畫：遮雨蓬遮雨蓬111 1簡化為一力偶的情況簡化為一力偶的情況若若FR=0，MO0，則原力系簡化為一個合力偶。合力偶矩為則原力系簡化為一個合力偶。合力偶矩為2 2簡化為一合力的情況簡化為一合力的情況（1 1）若）若FR0，MO=0，力力F

5、R就是原力系的合力就是原力系的合力FR。 此時合力此時合力FR的作用線通過簡化中心。的作用線通過簡化中心。RoFMd此時主矩與簡化中心的選擇無關。此時主矩與簡化中心的選擇無關。nioOMM1)(iF（2 2）FR0，MO0，此時仍可合成為一個力。此時仍可合成為一個力。12合力矩定理的證明：合力矩定理的證明： 作用于點作用于點O 的原力系合力的原力系合力FR與作用在點與作用在點O的的FR和力偶和力偶MO等效，由力的平移定理有等效，由力的平移定理有nioOMM1)(iFOROMdFM)(RF而而nioOMM1)()(iRFF合力矩定理得證合力矩定理得證合力矩定理：平面任意力系的合力對平面內(nèi)任一點的

6、矩等于合力矩定理：平面任意力系的合力對平面內(nèi)任一點的矩等于力系中各力對同一點的矩的代數(shù)和。力系中各力對同一點的矩的代數(shù)和。3 3平面力系為平衡力系的情況平面力系為平衡力系的情況若若FR=0，MO=0，則原力系為平衡力系。則原力系為平衡力系。13在長方形平板的在長方形平板的O，A，B，C點上分別作用著有四個力：點上分別作用著有四個力：F1=1 kN，F(xiàn)2=2 kN，F(xiàn)3=F4=3 kN（如圖），試求以上四個力（如圖），試求以上四個力構成的力系對構成的力系對O點的簡化結(jié)果，以及該力系的最后合成結(jié)果。點的簡化結(jié)果，以及該力系的最后合成結(jié)果。14求向求向O點簡化結(jié)果點簡化結(jié)果建立如圖坐標系建立如圖坐標

7、系Oxy。所以，主矢的大小所以，主矢的大小1. .求主矢求主矢。152. 求主矩求主矩MO16由于主矢和主矩都不為零，所以由于主矢和主矩都不為零，所以最后合成結(jié)果是一個合力最后合成結(jié)果是一個合力FR。如圖所示。如圖所示。合力合力FR到到O點的距離點的距離17重力壩受力情況如圖所示。重力壩受力情況如圖所示。 G1=450kN，G2=200kN， F1=300 kN，F(xiàn)2=70 kN。求力系向點求力系向點O簡簡化的結(jié)果，合力與基線化的結(jié)果，合力與基線OA的交的交點到點到O點的距離點的距離x，以及合力作用以及合力作用線方程。線方程。 9m3m1.5m3.9m5.7m3m90181.將力系向?qū)⒘ο迪騉

8、點簡化，得點簡化，得主矢和主矩，主矢和主矩，如右圖所示。如右圖所示。主矢的投影主矢的投影解：解：3m9m1.5m3.9m5.7m3m90力系力系主矢主矢FR的大小的大小19主矢主矢FR的方向余弦的方向余弦則有則有84.70主矢主矢FR在第四象限內(nèi)，與在第四象限內(nèi)，與x軸的夾角為軸的夾角為 70.84o。力系對力系對O點的主矩為點的主矩為202. 求合力與基線求合力與基線OA的交點到的交點到O點的距離點的距離 x。84.7084.70所以由合力矩定理得所以由合力矩定理得其中其中故故解得解得合力合力FR的大小和方向與主矢的大小和方向與主矢FR相同。相同。84.70合力作用線位置由合力矩定理求得。合

9、力作用線位置由合力矩定理求得。21設合力作用線上任一點的坐標為（設合力作用線上任一點的坐標為（x，y) )，將合力作用于此點，則將合力作用于此點，則3.求合力作用線方程。求合力作用線方程。84.70可得合力作用線方程可得合力作用線方程即即22 平面任意力系平衡的必要和充分條件是力系的主矢平面任意力系平衡的必要和充分條件是力系的主矢和對任一點的主矩都等于零。和對任一點的主矩都等于零。 平面任意力系平衡的解析條件是：所有各力在兩個任選的坐平面任意力系平衡的解析條件是：所有各力在兩個任選的坐標軸上的投影代數(shù)和分別等于零，以及各力對于任意一點的標軸上的投影代數(shù)和分別等于零，以及各力對于任意一點的矩的代

10、數(shù)和也等于零。矩的代數(shù)和也等于零。 平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程一個研究對象在平衡的平面任意力系作用下具有一個研究對象在平衡的平面任意力系作用下具有3 3個個獨立的平衡方程式。獨立的平衡方程式。23伸臂式起重機如圖所示，伸臂式起重機如圖所示，勻質(zhì)伸臂勻質(zhì)伸臂AB 重重G =2 200 N，吊，吊車車D，E連同吊起重物各重連同吊起重物各重F1= = F2=4 000 N。有關尺寸為：。有關尺寸為：l = = 4.3 m，a = 1.5 m，b = 0.9 m，c = 0.15 m，=25。試求鉸鏈。試求鉸鏈A對臂對臂AB的水平和鉛直約束力，的水平和鉛直約束力，以及拉索以及拉索BF

11、 的拉力。的拉力。24解：解：1. .取伸臂取伸臂AB為研究對象。為研究對象。2.2.受力分析如圖。受力分析如圖。253.3.選如圖坐標系，列平衡方程。選如圖坐標系，列平衡方程。264. .聯(lián)立求解。聯(lián)立求解。 FB = 12 456 N FAx = 11 290 N FAy = 4 936 N27如圖所示為一懸臂梁，如圖所示為一懸臂梁，A為固定端，設梁上受強度為固定端，設梁上受強度為為q的均布載荷作用，在自由端的均布載荷作用，在自由端B受一集中力受一集中力F和一力偶和一力偶M作用，梁的跨度為作用，梁的跨度為l，求固定端的約束力。，求固定端的約束力。q45282. 列平衡方程列平衡方程3. 解

12、方程解方程1. 取梁為研究對象，受力分析如圖取梁為研究對象，受力分析如圖解q45q4529 lq60G30B 60 q60G31B 6032B 6033 二力矩式：二力矩式： A、B兩點的連線應不垂直兩點的連線應不垂直于投影軸于投影軸x。 三力矩式：三力矩式： A、B、C必須是平面內(nèi)必須是平面內(nèi)不共線的任意三點不共線的任意三點 。341)1) 選取研究對象；選取研究對象；2)2) 畫受力圖；畫受力圖；3)3) 建立坐標軸；建立坐標軸；4)4) 列平衡方程求解未知量。列平衡方程求解未知量。注意：列平衡方程時矩心應選在多個未知力的交點上，坐注意：列平衡方程時矩心應選在多個未知力的交點上，坐標軸應當

13、與盡可能多的未知力垂直；利用合力矩定標軸應當與盡可能多的未知力垂直；利用合力矩定理求力對點之矩。理求力對點之矩。351.1.平面平行力系平面平行力系的定義：的定義：如果如果平面力系中各力的作用線相平面力系中各力的作用線相互平行，則稱該力系為平面互平行，則稱該力系為平面平行力系平行力系 。2.2.平面平行力系平面平行力系的平衡方程的平衡方程各力不得與投影軸垂直各力不得與投影軸垂直A、B兩點連線不能與力的兩點連線不能與力的作用線平行作用線平行 36塔式起重機如圖所示。機架重塔式起重機如圖所示。機架重G1=700 kN，作用線通過塔架的中心。，作用線通過塔架的中心。最大起重量最大起重量G2=200

14、kN，最大懸臂長，最大懸臂長為為12m，軌道，軌道AB的間距為的間距為4m。平衡。平衡荷重荷重G3到機身中心線距離為到機身中心線距離為6 m。試。試問：問： (1)保證起重機在滿載和空載時都保證起重機在滿載和空載時都不翻倒，求平衡荷重不翻倒，求平衡荷重G3應為多少應為多少? (2)當平衡荷重當平衡荷重G3=180 kN時，求時，求滿載時軌道滿載時軌道A，B給起重機輪子的約給起重機輪子的約束力？束力？AFBF371. 起重機不翻倒。起重機不翻倒。滿載時不繞滿載時不繞B點翻倒，臨界情況下點翻倒，臨界情況下FA=0，可得可得取塔式起重機為研究對象，受力分析取塔式起重機為研究對象，受力分析如圖所示。如

15、圖所示。解：解：AFBF38空載時，空載時，G2 = 0，不繞不繞A點翻點翻倒，臨界情況下倒，臨界情況下FB = 0，可得可得保證起重機在滿載和保證起重機在滿載和空載時都不翻倒，則有空載時都不翻倒，則有AFBF75 kNG3350 kN392. 取取G3=180 kN，求滿載時軌道，求滿載時軌道A ，B給起重機輪子的約束力。給起重機輪子的約束力。列平衡方程列平衡方程解方程得解方程得AFBF40 一種車載式起重機，車重一種車載式起重機，車重G1= 26 kN，起重機伸臂重，起重機伸臂重G2 = 4.5 kN，起重機的旋轉(zhuǎn)與固定部分共重，起重機的旋轉(zhuǎn)與固定部分共重G3 = 31 kN。尺寸如圖所示

16、。設伸臂在起重機對稱面內(nèi)，且放在圖示尺寸如圖所示。設伸臂在起重機對稱面內(nèi)，且放在圖示位置，試求車子不致翻倒的最大起吊重量位置，試求車子不致翻倒的最大起吊重量Gmax。411. .取汽車及起重機為研究取汽車及起重機為研究對象，受力分析如圖。對象，受力分析如圖。2. .列平衡方程。列平衡方程。解：解：424.不翻倒的條件是：不翻倒的條件是：所以由上式可得所以由上式可得故故最大起吊重量為最大起吊重量為Gmax3. .聯(lián)立求解聯(lián)立求解。 43 由若干個物體通過適當?shù)募s束相互連接而組成的系統(tǒng)，由若干個物體通過適當?shù)募s束相互連接而組成的系統(tǒng)，稱為物體系統(tǒng)。稱為物體系統(tǒng)。內(nèi)力內(nèi)力組成系統(tǒng)的各個構件之間的相互

17、作用力，稱為該組成系統(tǒng)的各個構件之間的相互作用力，稱為該系統(tǒng)的內(nèi)力。特點是成對出現(xiàn)。系統(tǒng)的內(nèi)力。特點是成對出現(xiàn)。外力外力外界物體作用于這個系統(tǒng)的力，稱為該系統(tǒng)的外力。外界物體作用于這個系統(tǒng)的力，稱為該系統(tǒng)的外力。靜定問題：未知數(shù)靜定問題：未知數(shù)= =平衡方程數(shù)平衡方程數(shù)超靜定問題：未知數(shù)平衡方程數(shù)超靜定問題：未知數(shù)平衡方程數(shù)超靜定次數(shù)超靜定次數(shù)= =未知數(shù)未知數(shù)- -平衡方程數(shù)平衡方程數(shù)44三個獨立方程，只能求三個獨立未知數(shù)。三個獨立方程，只能求三個獨立未知數(shù)。 0iM平面力偶系的平衡方程平面力偶系的平衡方程：0)(iOFM平面任意力系的平衡方程：平面任意力系的平衡方程：平面匯交力系的平衡方程

18、：平面匯交力系的平衡方程：;0,0yxFF兩個獨立方程，只能求兩個獨立未知數(shù)兩個獨立方程，只能求兩個獨立未知數(shù)一個獨立方程，只能求一個獨立未知數(shù)。一個獨立方程，只能求一個獨立未知數(shù)。;0,0yxFF45靜定問題靜定問題超靜定問題超靜定問題46靜定問題靜定問題1 1次超靜定次超靜定2 2次超靜定次超靜定選取適當?shù)难芯繉ο?，進行受力分析，并列出響應的平衡方程。選取適當?shù)难芯繉ο?，進行受力分析，并列出響應的平衡方程。物體系統(tǒng)平衡物體系統(tǒng)平衡組成物體系統(tǒng)的各個構件也是平衡的組成物體系統(tǒng)的各個構件也是平衡的如每個單體可列如每個單體可列3個平衡方程，設物系中有個平衡方程，設物系中有n 個物體，個物體，整個

19、系統(tǒng)可列整個系統(tǒng)可列 3n 個方程。個方程。解物系問題的一般方法解物系問題的一般方法： 由整體由整體 局部（常用）局部（常用），由局部由局部 整體（用較少）整體（用較少）47 48FAyFAxFCxFCyG 49FAyFAxFCxFCyGFBxFAyFAxFByFE50如如圖所示為曲軸沖床簡圖，由輪圖所示為曲軸沖床簡圖，由輪I ，連桿連桿AB和沖頭和沖頭B組成。組成。A，B兩處為鉸鏈兩處為鉸鏈連接。連接。OA=R，AB=l。如忽略摩擦和物。如忽略摩擦和物體的自重，當體的自重，當OA在水平位置，沖壓力為在水平位置，沖壓力為F時系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。求：（時系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。求：（1）作用）作用在輪在

20、輪I 上的力偶之矩上的力偶之矩M的大小；（的大?。唬?）軸）軸承承O處的約束反力；（處的約束反力；（3）連桿）連桿AB受的力；受的力；（4）沖頭給導軌的側(cè)壓力。）沖頭給導軌的側(cè)壓力。511. 取沖頭為研究對象，受力分取沖頭為研究對象，受力分析如圖所示。析如圖所示。列平衡方程列平衡方程解方程得解方程得522. 取輪取輪I為研究對象，受力分析如圖所示。為研究對象，受力分析如圖所示。列平衡方程列平衡方程解方程得解方程得53如圖所示組合梁由如圖所示組合梁由AC和和CD在在C處鉸接而成。梁處鉸接而成。梁的的A端插入墻內(nèi)，端插入墻內(nèi)，B處鉸接處鉸接一二力桿。已知：一二力桿。已知：F=20 kN，均布載荷均

21、布載荷q=10 kN/m，M=20 kNm，l=1 m。試求。試求插入端插入端A及及B處的約束力。處的約束力。3060541. 以梁以梁CD為研究對象，受為研究對象，受力分析如圖所示。力分析如圖所示。列平衡方程列平衡方程解方程可得解方程可得30603060552. 以整體為研究對象，以整體為研究對象，受力分析如圖所示。受力分析如圖所示。列平衡方程列平衡方程3060聯(lián)立求解方程可得聯(lián)立求解方程可得56如圖所示，已知重力如圖所示，已知重力G，DC=CE=AC=CB=2l；定滑輪；定滑輪半徑為半徑為R，動滑輪半徑為，動滑輪半徑為r，且，且R=2r=l, =45 。試求：。試求：A，E支座的約束力及支

22、座的約束力及BD桿所受的桿所受的力。力。571. 選取選取整體整體研究對象，受力研究對象，受力分析如圖所示。分析如圖所示。列平衡方程列平衡方程解平衡方程解平衡方程582. 選取選取DEC研究對象，受力研究對象，受力分析如圖所示。分析如圖所示。列平衡方程列平衡方程解平衡方程解平衡方程2GFK59往復式水泵如圖所示。電動機作用在齒輪往復式水泵如圖所示。電動機作用在齒輪上的轉(zhuǎn)矩為上的轉(zhuǎn)矩為M，通過齒輪，通過齒輪帶動曲柄滑塊機構帶動曲柄滑塊機構O1AB。已知。已知 r1=50 mm，r2=75 mm ,O1A=50 mm，AB=250 mm，齒輪的壓力角為，齒輪的壓力角為 20o ，當曲柄當曲柄 O1

23、A 位于鉛垂位置時，作用在活塞上的工作阻力位于鉛垂位置時，作用在活塞上的工作阻力FH=600 N，求這時的轉(zhuǎn)矩，求這時的轉(zhuǎn)矩M，以及連桿，以及連桿AB所受到的壓力和軸所受到的壓力和軸承承O及及 O1 的約束力。各零件自重及摩擦均略去不計。的約束力。各零件自重及摩擦均略去不計。 601. 取取B 活塞為研究對活塞為研究對象，受力分析如圖。象，受力分析如圖。列平衡方程列平衡方程解：解：由幾何尺寸有由幾何尺寸有解得解得61列平衡方程列平衡方程2. 2. 取齒輪取齒輪為研究對象，受力分析如圖。為研究對象，受力分析如圖。解得解得20F62列平衡方程列平衡方程3 3. 取齒輪取齒輪為研究對象，受力分析如為

24、研究對象，受力分析如圖。圖。解得解得20FOx63 力偶在坐標軸上投影不存在；力偶在坐標軸上投影不存在； 力偶矩力偶矩M =常數(shù)，它與坐標軸與取矩點常數(shù)，它與坐標軸與取矩點 的選擇無關。的選擇無關。 解題步驟解題步驟 解題技巧解題技巧選研究對象；選研究對象； 畫受力圖（受力分析）；畫受力圖（受力分析）； 選坐標、取矩點、列平衡方程；選坐標、取矩點、列平衡方程； 解方程求出未知數(shù)。解方程求出未知數(shù)。 取矩心最好選在未知力的交叉點上；取矩心最好選在未知力的交叉點上； 靈活使用合力矩定理。靈活使用合力矩定理。 注意問題注意問題小結(jié)小結(jié)：對物系的解題步驟與技巧：對物系的解題步驟與技巧：64選研究對象的

25、原則：選研究對象的原則： 由所選的研究對象列出的平衡方程所含的未知數(shù)盡可能由所選的研究對象列出的平衡方程所含的未知數(shù)盡可能地少，最好是每一方程中只含有一個未知數(shù)，以避免求解聯(lián)地少，最好是每一方程中只含有一個未知數(shù)，以避免求解聯(lián)立方程。立方程。v 一般說來對于由桿件系統(tǒng)組成的結(jié)構物，可先取，解出部分未知數(shù)后，列出另外的平衡方程，求出待求的所有未知量；v 對于機構往往可以從已知到未知，。v 對于包含有固定端約束的情況,應.65僅由桿件組成的系統(tǒng)僅由桿件組成的系統(tǒng)桁架桁架66桁架桁架：由桿組成，用鉸聯(lián)接，受力不變形的系統(tǒng)。由桿組成，用鉸聯(lián)接，受力不變形的系統(tǒng)。67桁架的優(yōu)點：結(jié)構輕，充分發(fā)揮材料性能。桁架的優(yōu)點：結(jié)構輕，充分發(fā)揮材料性能。68總桿數(shù)總桿數(shù)m總節(jié)點數(shù)總節(jié)點數(shù)n力學中的桁架模型力學中的桁架模型 ( 三角形有穩(wěn)定性三角形有穩(wěn)定性69平面復雜（超靜定）桁架平面復雜（超靜定）桁架平面簡單（靜定）桁架平面簡單（靜定）桁架非桁架（機構）非桁架（機構）70關于平面桁架的幾點假設：關于平面桁架的幾點假設：1、各桿件為直桿，各桿軸線位于同一平面內(nèi)