二維隨機(jī)向量的聯(lián)合分布（精）

1、第三章 隨機(jī)向量及其概率分布二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布邊緣分布條件分布隨機(jī)變量的獨(dú)立性n維隨機(jī)向量簡介隨機(jī)向量函數(shù)的分布二維隨機(jī)變量及其分布定義3.1：設(shè) 是隨機(jī)試驗(yàn) E 的樣本空間，X和Y是定義在 上的隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的二維向量X，Y稱為 E 的一個(gè)二維隨機(jī)變量。3.1 多維隨機(jī)變量及其分布定義3.2：設(shè)X，Y是二維隨機(jī)變量，對(duì)一切(x,y)，稱二元函數(shù) 為X，Y的聯(lián)合分布函數(shù)，或稱為X,Y的分布函數(shù)。聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)：（1）（2） 對(duì) x、y 分別是單調(diào)不減的。（4）對(duì)任意的點(diǎn)（3） 關(guān)于 x 右連續(xù)，關(guān)于 y 右連續(xù)性質(zhì) 4 正是一維隨機(jī)變量與二維隨機(jī)變量的不同之處。也就是說，一個(gè)函數(shù)

2、 僅滿足了前三條性質(zhì)，仍未必是二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)。就是不滿足性質(zhì)（ 4 ）。例如：定義3.3：如果，二維隨機(jī)向量X，Y的一切可取值為有限多對(duì)，或可列多對(duì)，那么稱X，Y為二維離散型隨機(jī)向量。定義3.4：設(shè)二維離散型隨機(jī)向量（X，Y）所有可能取得值為（xi ，yj），i，j1，2，則稱：、二維離散型隨機(jī)向量為X，Y的聯(lián)合分布律，或稱為X，Y的分布律。X，Y的分布律也可以用如下的表格表示：YX例1二維01分布設(shè)一個(gè)袋中有2個(gè)黑球，3個(gè)白球，從中任取2個(gè)球，X 表示第一次取出的白球個(gè)數(shù)，Y 表示第二次取出的白球個(gè)數(shù)，分別求出1有放回抽取，2不放回抽取時(shí),X，Y的聯(lián)合分布律。解：直接用表格表示為：（

3、1）YX（2）YX例2、拋一枚硬幣3次，令X表示頭兩次出現(xiàn)正面的次數(shù)，Y表示3次總共出現(xiàn)正面的次數(shù)，求(X,Y)的聯(lián)合分布律。例3、把5個(gè)球任意的放到3個(gè)盒子中，令X表示落在第一個(gè)盒子中球的個(gè)數(shù)，Y落在第二個(gè)盒子中球的個(gè)數(shù)，求(X,Y)的聯(lián)合分布律。解： X,Y=i , j 其中i , j= 0,1,5；i+j5分布律的性質(zhì)：（1）（2）3.1.3 二維連續(xù)型隨機(jī)向量定義3.5：設(shè) 是二維隨機(jī)向量（X，Y）的分布函數(shù)，若存在著非負(fù)可積函數(shù) ，使對(duì)一切的 有那么稱X，Y是二維連續(xù)型隨機(jī)向量，函數(shù) 稱為二維連續(xù)型隨機(jī)向量X，Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)。密度函數(shù) 有如下性質(zhì)：123假設(shè) 在點(diǎn) 處連續(xù)，那么

4、有：（4）設(shè) G 是 xy 平面上的一個(gè)區(qū)域,向量落在G內(nèi)的概率為：其中1，2為聯(lián)合密度函數(shù)的根本性質(zhì)。例2、設(shè)二維隨機(jī)向量X，Y具有概率密度求：1常數(shù)A2分布函數(shù) 3概率二維均勻分布： 設(shè)G是xy平面上的區(qū)域，S是G的面積，假設(shè)二維隨機(jī)向量X，Y具有概率密度那么稱X，Y在G上服從均勻分布。 假設(shè)區(qū)域 是G內(nèi)的面積為 的子區(qū)域，那么有二維正態(tài)分布：設(shè)對(duì)給定的常數(shù)定義函數(shù)：可以證明 是一個(gè)概率密度函數(shù)。3.2 邊緣分布3.2.1 邊緣分布函數(shù)定義：設(shè) 是（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)，稱 分別為（X,Y）關(guān)于X，Y的邊緣分布函數(shù)。定理：3.2.2. 邊緣分布律命題：設(shè)（X,Y）是二維離散型隨機(jī)向量，其

5、聯(lián)合分布律為：例1：在3-1例1中，分別求出X，Y關(guān)于 X 和 Y的邊緣分布。 (1) 有放回抽取時(shí)：YXpjpi（2）不放回抽取時(shí)：YXpjpi例2、向一目標(biāo)進(jìn)行獨(dú)立射擊，每次擊中目標(biāo)的概率為 p，令 X 表示首次擊中目標(biāo)所需的射擊次數(shù)，Y 表示第二次擊中目標(biāo)所需的射擊次數(shù)，求X，Y的聯(lián)合分布律和邊緣分布律。顯然，（X，Y）可能取的一切值為設(shè)每次擊中目標(biāo)記為事件 A，由于射擊是獨(dú)立的，所以第 i 個(gè)第 j 個(gè)（令 ）我們?cè)偾笃溥吘壏植悸桑?.2.3 邊緣概率密度函數(shù)由式書上及定義3.4知：而由分布函數(shù)的定義知：例2：在 0 , 1 區(qū)間上任意取兩點(diǎn)，令 X 和 Y 分別表示這兩點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè) X

6、Y，求X，Y的聯(lián)合概率密度及X，Y關(guān)于X和Y 的邊緣概率密度。 所以：解：由題意可知， 其面積為 S，則 另一方面，X、Y 是任取得兩點(diǎn)，所以（X，Y）在 G 上服從二維均勻分布 ，故其聯(lián)合概率密度為 Go11 yx那么，邊緣密度為：定義：設(shè) X、Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量，若有 ， 對(duì)任意的 ，稱為在 Xx 下，Y 的條件分布函數(shù)，記為：，同樣可以定義：（3.3.1）3.3.1 條件分布函數(shù)3.3 條件分布但當(dāng) X 是連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，由于 式(3.3.1)無意義，因此，在一般情況下，若下列極限存在，則稱此極限為在 Xx 下，Y 的條件分布函數(shù)，記為 。同理可定義 。3.3.2 離散型隨機(jī)變量的條件

7、分布律設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布律為其邊緣分布律為 pi 和 p j ，稱為在 條件下隨機(jī)變量 X 的條件分布律。并稱為在 條件下隨機(jī)變量 Y 的條件分布律。求條件分布律P(Y=j |X=1)書上例例2、向一目標(biāo)進(jìn)行獨(dú)立射擊，每次擊中目標(biāo)的概率為 p，令 X 表示首次擊中目標(biāo)所需的射擊次數(shù)，Y 表示第二次擊中目標(biāo)所需的射擊次數(shù)，求X，Y的條件分布律。解：由前面的解題過程可知，聯(lián)合分布律為：（令 ）其邊緣分布律：由條件分布律的定義得：3.3.3 連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度設(shè)（X，Y）是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布密度為 ，邊緣概率密度分別為 、 ，若對(duì)固定的 , , 則在條件 Yy 下的隨機(jī)變量 X

8、 的分布函數(shù)為：同理可得：而：由上可知：例2、設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）在區(qū)域 上服從均勻分布，求條件概率密度 。解：因?yàn)閄，Y服從均勻分布，且圓面積為。所以，聯(lián)合概率密度為：邊緣密度函數(shù)為：所以，當(dāng) 時(shí)，條件密度函數(shù)為：例3、設(shè)（X，Y）的聯(lián)合密度為求：解：即從而所以定義3.7：設(shè) 及 分別是二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布和邊緣分布函數(shù)，若對(duì)一切的 ，有 則稱隨機(jī)變量 X 和 Y 是相互獨(dú)立的。3.4 隨機(jī)變量的獨(dú)立性例1、一電子儀器由兩部分構(gòu)成，以 X 和Y 分別表示兩部件的壽命（單位：千小時(shí)），已知 X 和 Y 的聯(lián)合分布函數(shù)為（1）問 X 和 Y 是否獨(dú)立；（2）求兩部件的壽命都超過1

9、00小時(shí)的概率。由知，X 與 Y 相互獨(dú)立。（2）解（1）兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的判定定理：定理3.2：設(shè)（X，Y）是二維離散型隨機(jī)變量，則：例1、盒中有2個(gè)黑球，3個(gè)白球，從中分不放回和有放回兩種方式抽取2個(gè)球，令X表示第一次取到的白球個(gè)數(shù)，Y表示第二次取到的白球個(gè)數(shù)，判斷X，Y的獨(dú)立性。 (1) 有放回抽取時(shí)：YXpjpi（2）不放回抽取時(shí)：YXpjpi定理3.3：設(shè)（X，Y）是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則：例2、設(shè)X，Y服從二維正態(tài)分布 討論X，Y的獨(dú)立性。3.5 n維隨機(jī)向量簡介一、 n維聯(lián)合分布定義1 設(shè)(X1, Xn)為n維隨機(jī)向量，對(duì)任意的n個(gè)實(shí)數(shù)x1, x2, xn，稱n元函數(shù)為n維隨

10、機(jī)變量(X1, Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)。定義2 如果(X1,Xn)只取有限多組或可列無窮多組數(shù)值，那么稱(X1,Xn)為n維離散型隨機(jī)變量，稱為(X1,Xn)的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布律具有如下性質(zhì)：12定義3 如果存在非負(fù)可積函數(shù) f(x1,xn) , 使 得 (X1,Xn) 的 分 布 函 數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù) x1,xn成立,則稱(X1,Xn)為n維連續(xù)型變量。稱f(x1,xn)為(X1,Xn)的聯(lián)合概率密度。3對(duì)n維連續(xù)型變量(X1,Xn)，落在n維空間某區(qū)域G內(nèi)的概率為二、 k維邊緣分布及條件分布定義4 稱(X1,Xn)中任意k個(gè)分量所構(gòu)成的k維隨機(jī)向量的分布為(X1,Xn)的k維邊緣分布。例如，

11、稱 (X1,X2,X3)的分布函數(shù)為(X1,Xn)關(guān)于(X1,X2,X3)的三維邊緣分布函數(shù).三、 n維隨機(jī)向量的獨(dú)立性1. 定義5 設(shè)(X1,Xn)的分布函數(shù)為F(x1, xn),一維邊緣分布函數(shù)為 FXi(xi)(i=1,2,n),若對(duì)所有實(shí)數(shù)x1,xn, 有 則稱X1,Xn相互獨(dú)立。2. 性質(zhì)：1假設(shè)n個(gè)隨機(jī)變量X1,Xn相互獨(dú)立，那么其中任意k( )個(gè)隨機(jī)變量 也相互獨(dú)立。23.6 隨機(jī)向量函數(shù)的分布問題： Z = g(X,Y) 以及 (X,Y) 的聯(lián)合分布，如何求出Z的分布？1、 (X,Y)為二維離散型隨機(jī)向量 設(shè)X，Y是二維離散型隨機(jī)向量，其聯(lián)合分布律為 求 的分布律，根據(jù)離散型隨

12、機(jī)變量分布律的定義，首先找出 可能取的一切值，假設(shè)Z可能取的一切值為 ，那么2、 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布思路：設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)為Z=g(X,Y),顯然Z是一維隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為如果設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y),那么利用Z的分布函數(shù)與Z概率密度之間的關(guān)系，可以最終求出Z=g(X,Y)的概率密度。例2、設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 求 的概率密度。 設(shè) 是 的分布函數(shù)，記區(qū)域： 根據(jù)連續(xù)型隨機(jī)變量在平面上的一個(gè)區(qū)域內(nèi)取值得概率等于其聯(lián)合概率密度在這個(gè)區(qū)域上的二重積分。有xyoGG*uyz此時(shí)的積分區(qū)域就是右圖的G*交換積分次序有兩邊對(duì) z 求導(dǎo)得顯然，由對(duì)稱性也可寫成特別，若X、Y 相互獨(dú)立，其概率密度分別為，所以有卷積公式例3、設(shè) X、Y 是兩個(gè)相互獨(dú)立同服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，求 的概率密度函數(shù)。解：X、Y 的密度為由卷積公式得：由 的密度可見，更一般的結(jié)論，見教材P109 。定義：X ，即X的概率密度函數(shù)為例5、X，Y的聯(lián)合概率密度為求Z=Y-2X的密度。例6、設(shè)X,Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X服從均勻分布U(0,2), Y服從均勻分布U(0,1), 求Z=XY的密度函數(shù)。例7、設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度為求 的密度。例8、設(shè) X1,X2,Xn 相互獨(dú)立,分布