數(shù)學建模售貨亭的位置選擇問題 -

1、售貨亭的位置選擇問題摘要 本文討論了售貨亭的位置選擇問題，首先對學生出行的目的進行了劃分，再根據(jù)所給的圖示以及各個小題的條件對影響售貨亭位置的各個因素的進行了討論分析。我們對問題（1）先進行較完善的模型建立，通過問題（1）中的模型求解問題（2）（3）（4）。對于問題（1），先把單一的因素作為判斷指標，從易到難，首先對指標一宿舍到售貨亭的最短路程進行求解，得到當售貨亭位于點E時，總路程最短為20（百米）。其次，對指標二公平程度進行求解，得到當位于點B時最公平，即每位學生到達售貨亭的路程最接近平均水平。再次，對指標三購物人數(shù)最大進行求解，取出行目的為購物的人數(shù)為200，經(jīng)計算得到位于點E時的購物人

2、數(shù)最多，為900人。然后，對于指標四人流量密度最大進行求解，通過列表計算，得到位于點D的人流量密度最大。最后，通過列表比較分析得出盡可能滿足以上四個指標的點E。對于問題（2），采用“0-1規(guī)劃”對四個指標下的最優(yōu)組合方式進行求解，通過散點圖得出，四個指標下的最優(yōu)組合分別為，B和D，C和E，B和E、B和G、D和E、D和F四組，D和F。對于問題（3）、（4），我們將條件中男女生購買機會的不同和山路平路的關(guān)系分別轉(zhuǎn)換到人數(shù)和路程的改變上，修改問題（1）中的模型，求得問題（3）分別在四個指標下的最優(yōu)選擇為E點,G點,E點,D點，綜合比較四個指標，得到點E最大程度的滿足了以上條件，問題（4）在求解問題（

3、5）之前，我們對模型進行了進一步討論，采用了離散優(yōu)化模型，用層次分析法確定了各個指標的權(quán)重分別為0.0516，0.0620，0.3742，0.5122，確定了人流量應(yīng)為主要考慮對象。對于問題（5），我們首先考慮每條路的人流量，根據(jù)問題（1）求得的每條路的人流量，確定路段DE為人流量最大的一條路，再在該條路段上建立坐標，取點作圖分析出得出當縱坐標為1.8時，此時橫坐標為4.44，該點為售貨亭位置的最優(yōu)點。在模型的評價和改進中，我們分析了模型的優(yōu)點和缺點，對問題（1）中以公平程度為指標的線性函數(shù)模型進行改進。最后，我們對該模型進行了簡單的推廣。關(guān)鍵詞：售貨亭選址；最短路徑；人流量；一、問題的提出和

4、重述1.1問題的提出售貨亭的地址選擇是否正確，直接決定了售貨亭的盈利，而大學校園中的售貨亭選擇還需要考慮到其他的很多因素，如滿足購物需求、分布均衡合理等。圖中給出了某大學校園一角的形狀，圖中給出了人行道、宿舍樓和它們之間的大概距離（單位：百米），圖中的六個交叉點為售貨亭地址的備選點，要求選擇一個交叉點，定為周末售貨亭的地址。1.2問題的重述問題1根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)或結(jié)合自己搜集分析得出的數(shù)據(jù)，考慮有什么因素影響選址并在六個備選點中選擇一個定為售貨亭。問題2將售貨亭的數(shù)量增加一個，重新考慮售貨亭位置的選擇。問題3假定A和F是女生宿舍，C、D和E是男生宿舍, 并且女生光臨售貨亭的機會是男生的3/2倍

5、，重新考慮售貨亭的位置選擇。問題4假定在B和E之間，以及B和G之間有一座小山，從山上行走難度將大于平地行走，比如說，走1米山路相當于走2米平地，這時，重新考慮售貨亭的位置選擇。問題5不考慮售貨亭必須設(shè)在交叉點，在路邊即可，售貨亭位置將發(fā)生什么變化。思考是否還有其他影響售貨亭位置選擇的因素，若有，則加以討論。二、問題的分析售貨亭的位置選擇問題屬于地址選擇性問題，根據(jù)所給的圖示，和各個小題中的條件對售貨亭的位置進行討論和確定，共設(shè)5小題。顯然，學生在周末不可能全部集中在宿舍，必定是隨機的分布在宿舍以及各條道路上，按照這種思路，模型的構(gòu)建將會相當繁瑣，而換一種思路去考慮，我們發(fā)現(xiàn)，實際上只需要假設(shè)所

6、以的學生的初始狀態(tài)都在宿舍，而出行必然帶有一定目的，將他們的目的劃分為購物和除購物以外的活動。問題（1）：考慮出行目的為購物：由于影響售貨亭位置選擇的因素很多，我們選擇了三個較為重要的因素作為判斷指標，從簡到繁，分別對單個因素進行建模分析。1、 各宿舍以購物為目的人到售貨亭的總路程最?。河捎趫D中所給的數(shù)據(jù)量較少，我們采用“窮舉法”，對每幢樓到各個交叉點路程進行計算，然后將結(jié)果列表，得出售貨亭選址的最優(yōu)選擇。2、 購物需求的公平程度：考慮盡量使每位大學生到售貨點的路程相接近，就必須提出各個學生到售貨點路程的平均指標，因此我們采用方差計算原理對該問題進行求解。3、 購物的人數(shù)最大化：考慮到要使售貨

7、點的盈利，就要保證購物人數(shù)最大化，我們對購物人數(shù)與路程遠近建立函數(shù)關(guān)系，求出購物人數(shù)的最大值所對應(yīng)的交叉點?？紤]出行目的不是購物的學生：對于這部分學生，我們假設(shè)每條路上的人數(shù)是均勻分布的，然后計算出各點的人流量密度，選擇密度最大的點為售貨亭。我們再采用“窮舉法”對以上四個因素在各個交叉點的結(jié)果進行求解，并且列表進行對比，最后確定盡可能同時滿足上述四個判斷指標的售貨亭位置。問題（2）：由于售貨亭增加，在問題（1）的基礎(chǔ)上結(jié)合實際進行模型優(yōu)化，采用“0-1規(guī)劃”對該問題進行分析求解。問題（3）、（4）：對于這兩個問題，我們考慮到新的條件可以分別轉(zhuǎn)換成為人數(shù)和路程的變化，因此我們通過調(diào)節(jié)問題（1）中

8、的模型的某些項的系數(shù)，簡化問題，從而對售貨亭的位置進行確定。最后，我們建立離散優(yōu)化模型，采用層次分析法，綜合考慮四個因素，選擇最優(yōu)點為售貨亭。問題（5）：由于直線上的點是連續(xù)，所以我們首先考慮每條路的人流量，選取人流量最大的一條路，再在該條路段上建立坐標，取點作圖分析出得出結(jié)果。三、模型假設(shè)1、 售貨亭能提供足夠的貨源，且在周末學生想要買東西只能前往該售貨亭。2、 學生前往售貨亭購物時，只能步行，按照圖中的路線（即黑線部分）行走，不能穿越除路線外的其他區(qū)域。3、 學生的初始狀態(tài)全部集中在宿舍內(nèi)，且學生前往售貨亭時，只選擇最短路線。4、 圖中每幢樓外出目的為購物的人數(shù)是相等的，且每個學生的購買能

9、力是相同的。5、 對于問題（1）（2）（3）假設(shè)每條道路行走的難以程度是相同的。6、 對于問題（1）（2）（4）假設(shè)男女同學的購買機會是均等的。7、 學生想要到湖邊，必須要到G點，即湖的位置在G點。四、符號說明：交叉路口，=1,2,3,4,5,6分別表示路口B、C、D、E、F、G；：宿舍樓，=1,2,3,4,5分別表示樓A、C、D、E、F；：每幢樓外出目的為購物的學生人數(shù)；：每幢樓外出目的不為購物的學生人數(shù)；：當售貨亭放置在第點，每幢樓以購物為外出目的的人數(shù)中實際外出的人數(shù)的總和；：每幢樓外出目的為購物的人到第個交叉路口的所走的總路程：每幢樓到第個交叉路口的路程總和：圖中第點到第點的距離；：所

10、有宿舍樓到第個路口的平均距離；：參數(shù)，代表距離和每幢樓實際出行購物人數(shù)的關(guān)系系數(shù)；：0-1規(guī)劃的系數(shù)，只取0或1；：參數(shù)，代表路段中出現(xiàn)山路時，該路段總路程變化的倍數(shù)：影響位置選擇的第個因素。:層次分析法中的成對比較矩陣五、模型的建立和求解5.1 問題（1）的討論和求解：5.1.1考慮總路程最?。菏紫?，我們先對問題進行假設(shè)，從最簡單的因素入手，以各宿舍出行目的為購物的人到售貨亭的總路乘最小為判斷指標，圖中有，即要求出 （1）由于假設(shè)了每幢樓以購物為目的人數(shù)相同，我們將求（1）轉(zhuǎn)換為求 （2）根據(jù)（2）式，我們將五幢宿舍樓所在的點A、C、D、E、F分別到B、C、D、E、F、G六個備選點的路程圖匯

11、總至下表，計算出售貨亭在各點所對應(yīng)的總路程。表5.1 備選點到五個宿舍的距離（百米）ACDEFB3454521C7016822D8105721E7650220F8872025G7883127從表中，我們可以看出在備選點E處建立售貨亭滿足售貨亭到各個宿舍的總路程之和最小，因此我們應(yīng)該選擇點E建立售貨亭。5.1.2考慮購物需求的公平程度以售貨亭必須要滿足每位學生到售貨亭的距離接近平均水平為出發(fā)點，我們采用方差計算的原理。由假設(shè)中樓A、C、D、E、F的人數(shù)相同均為，則有 （3）在（1）式中，為方差。要使每位學生到售貨亭的距離最接近平均水平，要取最小值，根據(jù)圖中所給的數(shù)據(jù)，我們?nèi)∶看睒峭獬瞿康臑橘徫锏?/p>

12、人數(shù)均為，代入上式中，得到在B、C、D、E、F、G六個點的值，從小到大排序，見表5.2表5.2備選點BEGDCF11200013600001648000203200021280002240000位于點B的值最小，即五幢樓到點B的距離最接近平均水平，應(yīng)選擇B點。對于該問題，我們可以做進一步討論，不考慮人數(shù)相等的假設(shè)，設(shè)樓A、C、D、E、F外出目的為購物的人數(shù)分別為，此時（3）式改為： （4）其中代表人數(shù)，這些人數(shù)的平均值。這樣我們就建立了更加合理的模型，只要將每幢樓外出目的為購物的人數(shù)取值代入，就可求得最優(yōu)值對應(yīng)的值，從而確定對應(yīng)的交叉點。5.1.3考慮使購物的人數(shù)最大化售貨亭的建立的主要目的是

13、盈利，我們認為要盡量使購買的人數(shù)最多。而實際上，并不是所有以購物為外出目的學生都會外出，他們外出購物的心理會受到某些因素的影響。因此，實際外出的人數(shù)應(yīng)該和售貨亭離宿舍的遠近存在一定的關(guān)系，即售貨亭離該宿舍的路程越長，該宿舍實際出行購買的人數(shù)越少。我們假設(shè)二者存在線性關(guān)系，建立最簡單的線性模型如下： （5）我們查閱消費行為學以及零售學方面的有關(guān)資料，對于值的確定，需要考慮到商店的規(guī)模、城市發(fā)展程度、交通、天氣等因素，無詳細的數(shù)據(jù)信息。因此經(jīng)過合理的考慮，我們令，代入上式求解結(jié)果從大到小排列，如表5.3：表5.3備選點EBDCFG900895895890875865結(jié)果顯示，售貨亭建在點E時，實際

14、出行購買的人數(shù)最大為900人，因此，應(yīng)該選擇點E作為售貨亭。5.1.4 考慮人流量密度我們定義人流量為單位時間內(nèi)通過某一個路段的人數(shù)總量，人流量密度為單位長度路段上的人流量，不同于5.1.3中的人數(shù)最大化，考慮人流量密度時，我們考慮的是不以購物為目的而出行的學生，假設(shè)這部分人出行的目的地是除所在寢室外的其余各個寢室以及湖G點。假設(shè)從A點出發(fā)，去C,D,E,F,G的各有人。從A到C的最短路徑為A-B-C,總長為7，則該路段的人流量密度為，從A到E的最短路徑為A-B-E，總長為7，則該路段的人流量密度為，同理，我們再根據(jù)從A到G,F,D的最短路徑算出相應(yīng)路段的人流量密度分別為，由于A到各點的最短路

15、徑都包括了路段AB，則AB上的人流量密度為 ，人流量為 ， 3代表AB的長度。按照這樣的算法計算出每段的人流量，如下各表表5.4CDEFGABn/7n/8n/7n/8n/7BCn/7n/8CDn/8DEEFFGGBBE上表為從A宿舍出發(fā)，以其他各個宿舍點和湖G為目標，各個路段的人流量密度表5.5ADEFGABn/7BCn/7n/8CDnn/6n/8DEn/6n/8EFFGGBBEn/8上表為從C宿舍出發(fā)，以其他各個宿舍點和湖G為目標，各個路段的人流量密度表5.6ACEFGABn/8BCn/8CDn/8nDEn/5n/7n/8EFn/7n/8FGn/8GBBE上表為從D宿舍出發(fā)，以其他各個宿舍點

16、和湖G為目標，各個路段的人流量密度表5.7ACDFGABn/7BCCDn/6DEn/6n/5EFn/2n/3FGn/3GBBE上表為從E宿舍出發(fā)，以其他各個宿舍點和湖G為目標，各個路段的人流量密度表5.8ACDEGABn/8BCCDn/8DEn/8n/7EFn/8n/7n/2FGn/8nGBn/8BE從F宿舍出發(fā)，以其他各個宿舍點和湖G為目標，各個路段的人流量密度由以上各表可得各路段上的綜合人流量密度及其人流量，如表5.9表5.9ABBCCDDEEFFGGBBE人流量密度1.2143n0.6607n2.8333n1.3941n1.9940n1.7083n0.4107n0.2857n人流量3.6

17、429n2.6428n2.8333n6.9705n3.9880n1.7083n1.6428n1.1428n根據(jù)表5.9，得到各個交叉點的人流量密度排序如下表5.10BCDEFG人流量密度2.5714n3.4940n4.2274n3.6738n3.7023n2.1190n顯然，在點D的人流量密度最大，因此售貨亭應(yīng)選擇點D。5.1.5 四個因素的綜合考慮我們已經(jīng)在5.1.1至5.1.4針對每個指標用“窮舉法”進行了計算求解，現(xiàn)在，我們將上述四個指標進行綜合考慮。我們將上述四個指標的結(jié)果進行匯總，定義，分別表示上述四個指標，將每個指標按最優(yōu)點到最劣點排序，如表5.11EB和DCFGBEGDCFEB和

18、DCFGDFECBG要使選擇的位置盡可能的滿足以上四個指標，我可以從表5.11中看出，E,B,D為較優(yōu)點，因此我們只需要選擇E,B,D三個點進行討論。若我們考慮以購物為目的學生到售貨亭的購物的可能性遠遠大于另外一部分學生，則需要著重考慮前三項指標，顯然，我們應(yīng)該選擇點E；若人流量密度的影響程度很大，考慮第四個指標，可以看出，點E處于也中上位置，綜合考慮，點E為售貨亭位置選擇的最優(yōu)點。5.2 問題（2）的討論和求解：售貨亭的數(shù)量增加一個，我們假設(shè)兩個售貨亭的規(guī)模大小是相同的，不存在市場競爭，因此，外出購物的同學只會選擇離自己寢室近的售貨亭。根據(jù)5.1.4中人流量的算法，該條件的改變不影響人流量計

19、算的結(jié)果。在問題（1）的基礎(chǔ)上，我們對模型進行修改，由于求解變得復雜，我們采用“0-1規(guī)劃”直接得到每個指標下最優(yōu)點。以為判斷指標，我們將（1）式改寫成目標函數(shù) (6)以為判斷指標，我們將（3）式改寫成目標函數(shù) (7)以為判斷指標，我們將（5）式改寫成目標函數(shù) (8)目標函數(shù)（6）（7）（8）的約束條件均為s.t (9)用MATLAB編程實現(xiàn)，分別做出散點圖如下：圖5.1 以的判斷指標六個交叉點任取兩個點共有15種組合方式，在圖中表示為15個點，從左到右的每個點依次代表B和C，B和D，B和E，B和F，B和G，C和D，C和E，C和F，C和G，D和E，D和F，D和G，E和F，E和G，F(xiàn)和G,縱坐標

20、為總的最短路程，由圖得，從左起的第二個點代表的組合方式為最優(yōu)組合，即B和D。圖5.2以的判斷指標同圖5.1的分析方法，從左起第7個點代表的組合方式為最優(yōu)組合，即點C和E。圖5.3以的判斷指標同理，我們可以看出，從左起第3,5,10,11個點代表的組合方式為最優(yōu)組合，即點B和E，B和G，D和E，D和F。若考慮以為判斷指標，我們選擇人流量密度最大的前兩個點，由表5.10，我們可以看應(yīng)選擇點D和F。5.3 問題（3）的討論和求解由題意得，女生光臨售貨亭的機會是男生的3/2，也就是男生和女生的購買機會不相等的。根據(jù)5.1.4中人流量的算法，該條件的改變同樣不影響人流量計算的結(jié)果。我們可以將這個條件轉(zhuǎn)換

21、為女生宿舍（樓A,F）出行以購買為目的的人數(shù)是男生的3/2倍，在問題（1）的基礎(chǔ)上，進行修改。以為判斷指標，我們將（1）式改為 （10）以為判斷指標，我們將（3）式改為(11)以為判斷指標，我們將（5）式改為 （12）按照假設(shè)中令，用MATLAB重新編寫程序，計算結(jié)果，加入5.1.3中以為指標的計算結(jié)果，同樣按照從優(yōu)到劣的排序如下表：表5.12EBDFCGGEBFCDEB和DCFGDFECBG將該表和表5.11進行比較，從表中我們發(fā)現(xiàn)，條件的改變后，點B,D受到了影響，在部分指標下，處于中下水平，而對于點E，影響不大，我們認為應(yīng)選擇點E為售貨亭位置。5.4 問題（4）的討論由題中的條件的題目中

22、設(shè)B、E之間及B、G之間有小山，山路和平地存在著一定的關(guān)系，如走1米的山路相當于走2米的平地，但是由于山的高度和寬度都是未知，所以我們無法準確的得山路對于原來路程改變的影響程度。因此，我們在B、E及B、G之間的路程長度前加一個系數(shù)，用*BE和*BG表示BE和CE的路程長度，現(xiàn)在我們?nèi)?，所有?jīng)過BE及BG的路徑的路程都有所增加，見下表：表5.13ACDEFB3454.45.4C70168D81057E7.46502F8.48720G7.48.4831利用MATLAB程序解出得到的結(jié)果的最優(yōu)點與問題（1）中的相同，我們發(fā)現(xiàn)，只要的取值在一定范圍內(nèi)不影響最短路徑的選擇，則模型不需改變。若的值不斷增加

23、，我們發(fā)現(xiàn)對于某些宿舍到各個交叉的最短路徑發(fā)生變化，且最短路徑的長度發(fā)生了變化。經(jīng)過計算我們得出，當小于1.25時，模型的求解結(jié)果不受影響，與問題（1）的相同，當?shù)扔?.25時，某些點的到交叉點的最短路徑就可能出現(xiàn)多種選擇，當大于1.25時，大部分宿舍到交叉點的最短路徑發(fā)生改變。題中沒有明確數(shù)據(jù)用于推算給出的值，因此，對于等于或大于1.25的情況，我們只需要重新按照問題（1）的思路考慮模型的建立就能確定最優(yōu)點。5.5 層次分析模型的建立和分析綜合考慮影響售貨亭位置選擇的因素，簡單的列表對比無法確定每個影響因素作用的大小，因此我們對模型進一步討論，采用層次分析模型。該問題中的層次結(jié)構(gòu)如下圖：購物

24、總路程公平程度購物人數(shù)人流量密度售貨亭選址BCDEFG圖5.4 售貨亭選址的層次結(jié)構(gòu)首先，根據(jù)1-9遲度，比較準則層的4個因素對目標層的影響，每次取兩個因素進行比較，求其比值。全部比較結(jié)果可用成對比較矩陣A來表示：用同樣的方法構(gòu)造方案層對第二層的每一個準則的成對比較，不妨設(shè)它們?yōu)椋?通過MATLAB求解分別得到以上各矩陣的最大特征根和最大特征根所對應(yīng)的特征向量如下：A：4.0674 0.3184 0.5225 0.5225 0.0286：0.5511 0.0589 0.3324 0.2138 0.0457 0.2547 0.8794：8.1586 0.0259 0.3850 0.8861 0.

25、1193 0.2195 0.0598：6.5315 0.4169 0.2465 0.4187 0.7577 0.1144 0.0539：9.7538 0.0739 0.2291 0.8052 0.3115 0.3857 0.2189 以所對應(yīng)的特征向量分別與A所對應(yīng)的特征向量相乘，得到四個數(shù)據(jù)如下：0.0516，0.0620，0.3742，0.5122，由此可看出因素的比重超過了一半，從而確定以人流量為主要考慮對象。5.6（5）的討論和求解由于備選點不只是交叉點，此時，線段上的任何一點都為備選點，因此我們將題中所提供的校園一角的圖放入X-Y坐標系中，為了方面坐標的確定令BE,GF,CD均垂直于

26、EF，AC平行于EF，如下圖：3AB4414512CDEFG0圖5.5則A（0,4），B（3,4），C（7,4），D（7,3），E（3,0），F(xiàn)（1,0），G（1,1）。由層次分析可知，因素所占權(quán)重值最大，次之，而影響遠遠小于前兩者。因此我們只考慮即可。為簡化模型，對于而言，人流量是始終不變的，由5.1.4中的表5.10可得，人流量最大的路段為DE段，從而將范圍縮小，直接在此線段上考慮因素。DE的函表達式數(shù)為 （13）設(shè)DE上所需確定的點為Q（x,y）,則EQ段與QD段的長度分別為 （14） （15）將（13）式代入（14）（15）中得由圖可知，A到Q的路徑有兩條：一條是A-B-E-Q，所走的

27、路程是，另一條是A-B-C-D-Q，所走的路程是；C到Q的路徑為C-D-Q，所走的路程為；D到Q的路徑為D-Q，所走的路程為；E 到Q的路徑為E-Q，所走的路徑為；F到Q的路徑為F-E-Q，所走的路徑為；當時，求得，即當時A到Q選擇A-B-E-Q，當時選擇A-B-C-D-Q。仍舊利用5.1.3中的式（5），通過MATLAB編程，將以0.01的間距從O取到3，如圖：圖5.6要使所有的人數(shù)最大，有圖得出，最高點為最適合的點，此時對應(yīng)得橫坐標為180,對于圖5.5而言，縱坐標為180/100=1.8,所以，當縱坐標為1.8時，此時橫坐標為4.44，該點為售貨亭位置的最優(yōu)點。六、模型檢驗對于離散優(yōu)化模型，我們采用一致性檢驗的標準。由相關(guān)定理，n階互反矩陣A的最大特征根，而當時A是一致陣。定義一致性指標為，當CI=0時A為一致陣，CI越大A的不一致程度越嚴重。引入隨機一致性指標RI，當此時n=4時查表得RI=0.90。定義一致性比率為CR=CIRI。代入數(shù)值計算得CR.，一致性通過，上述可作為權(quán)向量。同理，的一致性比率，也檢驗合格。七、模型的評價和改進模型優(yōu)點:我們采用逆向思維方式，從將所有學生的雜亂隨即的行為歸結(jié)為最初都是在宿舍，出行帶有某一目的性這兩大狀態(tài)進