向量組線性相關性判定

1、安陽師范學院本科學生畢業(yè)論文向量組線性相關性的判定方法 作 者 院（系） 數(shù)學與統(tǒng)計學院 專 業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學 年 級 2011級 學 號 指導教師 郭亞梅 論文成績 日 期 2015年 月 日 學生誠信承諾書本人鄭重承諾：所呈交的論文是我個人在導師指導下進行的研究工作及取得的研究成果。盡我所知，除了文中特別加以標注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫的研究成果，也不包含為獲得安陽師范學院或其他教育機構的學位或證書所使用過的材料.所有合作者對本研究所做的任何貢獻均已在論文中作了明確的說明并表示了謝意.作者簽名： 日期：導師簽名： 日期：院長簽名： 日期：論文使用授權說明本人完全了

2、解安陽師范學院有關保留、使用學位論文的規(guī)定，即：學校有權保留送交論文的復印件，允許論文被查閱和借閱；學?？梢怨颊撐牡娜炕虿糠謨?nèi)容，可以采用影印、縮印或其他復制手段保存論文.作者簽名：導師簽名：日期：向量組線性相關性的判定方法（安陽師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院 河南 安陽 455002）摘要：向量組線性相關性在高等代數(shù)中是一塊基石，在它的基礎上我們推導和衍生出其他許多理論。所以熟練地掌握向量組線性相關性的判定方法，可以讓我們更好的理解其他理論知識.本文將向量組內(nèi)向量之間的線性關系、齊次線性方程組的解、矩陣的秩、行列式的值及已知結論等知識運用于向量組線性相關性的判定，進而歸納出判定向量組線性相關性

3、的若干方法.關鍵詞：向量組 線性相關 線性無關 判定方法1 引言 線性相關性的內(nèi)容是線性代數(shù)課程中的重點和難點，線性相關性的有關結論，對我們來說是很難理解的.本文總結出了判定向量組線性相關和線性無關的幾種方法.2.1 維向量的定義（一維、二維、三維向量，推廣到維向量） 定義： 個有次序的數(shù)所組成的數(shù)組或分別稱為維行向量或列向量.這個數(shù)稱為向量的個分量, 第個數(shù)稱為第個分量.顯然，行向量即為行距陣，列向量即為列矩陣.向量通常用黑體小寫希臘字母等表示.分量全為實數(shù)的向量稱為實向量，分量全為復數(shù)的向量稱為復向量.2.2 向量的線性運算行向量與列向量都按矩陣的運算規(guī)則進行運算. 特別地，向量的加法，向

4、量的數(shù)乘，稱為向量的線性運算.向量的線性運算滿足8條運算律.全體的維向量的集合關于線性運算是封閉的，我們將該集合稱為維向量空間（或線性空間）.例如，全體3維向量的集合；閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)的集合；一元次多項式的集合；實數(shù)域上可導函數(shù)的集合等，皆為向量空間.3.向量組線性相關性的定義3.1向量組 有限個或無限個同維數(shù)列向量(或同維數(shù)的行向量)所組成的集合稱為一個向量組. 例如一個矩陣對應一個維列向量組, 也對應一個維行向量組 3.2向量組的線性相關性的定義3.2.1 線性組合與線性表示設是一向量組, 表達式稱為向量組的一個線性組合, 其中是一組實數(shù), 稱為這個線性組合的系數(shù). 如果向量是向量組的線

5、性組合則稱向量能由向量組線性表示. 例如，任一維向量，都可以由維基向量線性表示.例1. 設向量組試判斷是否可由線性表示？如果可以的話，求出一個線性表示式.解 設一組數(shù)使即有 由向量相等的定義可得線性方程組 該方程組的一個解為 于是即由線性表示.定理1 向量能由向量組線性表示的充分必要條件是矩陣 與矩陣的秩相等, 即. 3.2.2.向量組線性相關的定義定義1 向量組線性相關Û在向量組中至少有一個向量能由其余個向量線性表示.定義2 給定向量組，個數(shù)構造 如果存在不全為零的數(shù)使式成立，稱向量組是線性相關的, 否則稱它線性無關. 這兩個定義是等價的.證明如下：如果向量組中有某個向量(不妨設)

6、能由其余個向量線性表示, 即有使 于是因為不全為0, 所以向量組線性相關. 反過來，如果向量組線性相關，則有其中不全為0, 不妨設, 于是 即能由線性表示. 例2 判斷向量組是否線性相關.解：可取為未知數(shù)，建立下列方程式 看它是否有的不全為零的解.這是向量等式，按各個分量分別寫出方程，就成為下列方程組 前面的含向量的方程組有無非零解等價于這個方程組有無非零解.可以用消元法解這個方程組.它有無線多解，當然有非零解，故線性相關.特別的一組解，可取為即或定理2向量組線性相關的充分必要條件是它所構成的矩陣的秩小于向量個數(shù); 向量組線性無關的充分必要條件是這是因為, 向量組線性相關 即Ax=0有非零解

7、向量組線性無關 例3 證明維單位坐標向量組線性無關.證明 我們直接利用定義證明.如果存在一組數(shù)使得 根據(jù)向量線性運算的定義可以得到 從而所以是線性無關的.另證 我們利用定理，設向量組構成的矩陣為是階單位矩陣.顯然有即等于向量組中向量的個數(shù)，所以由定理2知向量組是線性無關的.例4 已知向量討論向量組及向量組的線性相關性.解 對矩陣施行初等行變換使它變成行階梯形矩陣，就可以同時看出矩陣及的秩，再利用定理2就可以得出結論.易知向量組線性相關；向量組線性無關.4.向量組線性相關性的性質(zhì)（1）含零向量的向量組必線性相關. 線性無關的向量組中一定不含零向量.（2）一個向量線性相關 一個向量線性無關. (3

8、)兩個非零向量線性相關 兩個向量線性無關它們不成比例.(4)向量組有一部分線性相關，則全體線性相關.向量組全體線性無關，則每一部分線性無關.若向量組線性相關, 則向量組也線性相關. 反之, 若向量組線性無關, 則向量組也線性無關. 結論可敘述為: 一個向量組若有線性相關的部分組, 則該向量組線性相關. 一個向量組若線性無關, 則它的任何部分組都線性無關. 性質(zhì)（4）說明：這是因為, 記,有. 若向量組線性相關, 則有，從而 因此向量組線性相關. (5) 個數(shù)大于維數(shù)時，必線性相關.個數(shù)等于維數(shù)時，看行列式.個維向量組成的向量組, 當維數(shù)小于向量個數(shù)時一定線性相關. 特別地, 個維向量一定線性相

9、關.這是因為, 個維向量構成矩陣 有若則 故個向量線性相關.(6)設向量組線性無關, 而向量組線性相關, 則向量必能由向量組線性表示, 且表示式是唯一的. 這是因為, 記,有 即有因此方程組有唯一解即向量能由向量組線性表示, 且表示式唯一.5.向量組線性相關性的判定方法5.1定義法給定向量組如果存在不全為零的數(shù)使得成立，則稱向量組是線性相關的.否則，如果不存在不全為零的數(shù)使得成立，也就是說，只有當全部為0時，才成立，則稱向量組是線性無關的.例5 設向量組線性無關，判斷向量組的線性相關性.解 設一組數(shù)使則有 即 因為向量組線性無關，所以 該方程組的系數(shù)行列式故方程組只有零解所以向量組線性無關.

10、例6 判斷向量組的線性相關性.解 設一組數(shù)使 比較上式兩端向量的對應分量，可得齊次線性方程組 該方程組的一個非零解為故向量組線性相關.5.2 利用向量組內(nèi)向量之間的線性關系判定定理3 向量組線性相關的充要條件是向量組中至少有一個向量可以由其余個向量線性表示.定理4 向量組線性無關，而線性相關可由線性表示且表達方式唯一.定理5 若向量組有一部分向量組線性相關向量組線性相關.與此等價的一個說法為：向量組線性無關向量組的任一部分向量組線性無關.例7 已知線性無關，線性相關，問：（1）能否由線性表示？（2）能否由線性表示？解 （1）由線性無關線性無關，又由線性相關能由線性表示且表達方式唯一，所以存在數(shù)

11、使得，故能由線性表示. （2）反證法.假設能由表示，則存在數(shù)，使得又由（1）能由線性表示，所以能由線性表示，所以線性相關，與已知矛盾，故不能由線性表示.5.3 利用向量組的秩進行判定 向量組的秩是指向量組中任一個極大無關組所含的向量個數(shù).設向量組為其秩記為，由極大無關組的定義和秩的定義可得：若向量組的秩等于向量的個數(shù)，則該向量組是線性無關的；若向量組的秩小于向量的個數(shù)，則該向量組是線性相關的.例8 判斷向量組的線性相關性. 解 構造矩陣并作初等行變換 可見，故線性無關.5.4 利用反證法進行判定 在有些題目中，直接證明結論有時候比較困難，而從結論的反面入手卻很容易推出一些與已知條件或已知定義、

12、定理、公理相矛盾的結果，從而結論的反面不成立，則結論成立.例9 設向量組中任一向量不是它前面?zhèn)€向量的線性組合，且，證明向量組線性無關.證明 （反證法）假設向量組線性相關，則存在不全為零的數(shù)使得： ， 由此可知，由上式可得 即可以由它前面?zhèn)€向量線性表示，這與題設矛盾，因此，于是式轉(zhuǎn)化為.類似于上面的證明可得式轉(zhuǎn)化為.但，所以這與不全為零的假設相矛盾，因此向量組線性無關.例10 設為階矩陣，為維列向量，若，但.證明：向量組線性無關.證明：用反證法. 假設向量組線性相關，由于，從而，則可由線性表出，設為否則，于是，這與已知矛盾，因此向量組線性無關.例11 設是一組維向量，已知單位坐標向量可被它們線性

13、表出，證明：線性無關.證明：法1 （反證法）若線性相關，則至少有一可由其他線性表示（不妨設可由線性表示 ）.由題設，可由線性表示，從而可由線性表示，而任一維向量均可由線性表示，因而也可由線性表示.由此得全體維向量構成的向量集合的秩小于，這與的秩等于矛盾，故線性無關.法2 設的秩為，則而的秩為由題設，可由線性表出，因此，故 5.5 利用齊次線性方程組的解進行判定在應用定義法解一個齊次線性方程組，需由該方程組是否有非零解來判定向量組的線性相關性.即應用定義法的同時就應用了齊次線性方程組的解進行了判定.對于各分量都給出的向量組，若以為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組只有零解向量，則此向量組是線性相關的. 例

14、12 證明向量組線性相關. 證明 ：以為系數(shù)向量的齊次線性方程組是 即 利用矩陣的行初等變換將方程組的系數(shù)矩陣化為行階梯型矩陣，由行階梯型矩陣可知，即齊次線性方程組有非零解，所以向量組線性相關.例13 證明：如果，那么線性無關. 證明：設得到線性方程組 由于系數(shù)行列式的轉(zhuǎn)置行列式，故齊次線性方程組只有零解，從而線性無關.5.6 利用矩陣的秩進行判定設向量組是由個維列向量所組成的向量組，則向量組的線性相關性可由向量組所構成的矩陣的秩的大小來進行判定.即（1） 當時，則向量組是線性無關的.（2） 當時，則向量組是線性相關的.例14 設 問當為何值時，向量組線性相關，并將表示為和的線性組合.解：利用

15、矩陣的秩有可見，當時，向量組線性相關，并且有所以.利用矩陣的秩與利用齊次線性方程組的解進行判定的出發(fā)點不同，但實質(zhì)上是一樣的，都是要利用矩陣的初等行變換將相應的系數(shù)矩陣化簡為行階梯形矩陣，從而求出向量組的秩，即系數(shù)矩陣的秩，然后再作出判定.例15 斷向量組的線性相關性.解：以為行向量構成矩陣，并進行初等行變換化為行階梯形 則向量的個數(shù)，故向量組線性相關.例16 向量組線性無關，則下列線性無關的向量組是（） 分析 對于抽象給出的向量組，判斷或證明其線性相關與線性無關常采用以下方法： （1）定義法 先設然后對其作恒等變形，即用某個矩陣同乘該式，或?qū)υ撌讲痦椫匦陆M合等，究竟用什么方法應當從已知條件去

16、尋求信息.通過一次或多次恒等變形來分析能夠不全為零還是必須全是0，從而得知是線性相關還是線性無關. （2）利用矩陣的秩. 要論證線性相關或線性無關，可將其構造成矩陣，利用或來說明.（3）利用有關結論，特別是等價向量組有相同秩的結論.（4）反證法. 解 法1 觀察可知，線性相關. ，線性相關；，線性相關.由排除法可知應選.法2 對，設，拆項重組為 由線性無關知 ，由于系數(shù)行列式所以方程組只有零解從而線性無關.用此法可知均線性相關.5.7 利用行列式的值進行判定若向量組是由個維列向量所組成的向量組，且向量組所構成的矩陣，即為階方陣，則（1） 當時，則向量組是線性相關的.（2） 當時，則向量組是線性

17、無關的.若向量組的個數(shù)與維數(shù)不同時，則（1） 當時，則向量組是線性相關的.（2） 當時，轉(zhuǎn)化為上述來進行判定，即選取個向量組成的維向量組，若此維向量組是線性相關的，則添加分量后，得到的向量組也是線性相關的.例17 已知試討論的線性相關性.證明：令 則，所以線性相關.行列式值的判定實質(zhì)上是根據(jù)克萊姆法則判定以向量組作為系數(shù)向量的齊次線性方程組是否有非零解，然后再對向量組的線性相關性作出判定，所以能應用行列式值進行判定的向量組，也可以應用矩陣的秩和齊次線性方程組是否有非零解的方法來進行判定.例18 已知向量組是線性無關的，且有，證明向量組線性無關.證明：設有使得即 整理為 因是線性無關的，所以 由

18、于此方程組的系數(shù)行列式故方程組只有零解，所以向量組線性無關.例19 已知向量組線性相關，試求的值.分析 對于具體給出的向量組，判斷其線性相關與線性無關常采用以下方法：（1） 先由定義寫出，再根據(jù)向量組相當寫出齊次線性方程組；若該齊次線性方程組有非零解（即無窮多解），則向量組線性相關；若該齊次線性方程組只有零解，則向量組線性無關.（2） 排成矩陣（列向量時）或（行向量時），求的秩；若時，向量組線性相關；若時，向量組線性無關.（3） 對于個維向量，可同上將其排成矩陣，用是否成立來判斷是否線性相關.（4） 利用線性相關的有關結論，如“部分相關，則整體相關”等來判定.解 或.法1 或時，線性相關.法2

19、 或時行列式為0.6.結論 通過以上討論，我們了解到向量組的線性相關與線性無關的判定較難理解.實際上，向量組的線性相關與線性無關是相對的，我們只要掌握了向量組的線性相關的判定，線性無關的判定也就沒有問題了.由以上可以看出，在熟練地理解和掌握了向量組線性相關的定義、定理的基礎上，靈活地應用上述幾種方法，證明向量組線性相關與線性無關的難點即可獲得突破.參考文獻1 王鄂芳,石生明.高等代數(shù)M.高等教育出版社,2003.2 徐仲,陸全.高等代數(shù)M.西北工業(yè)大學出版社,2009.3藍以中.高等代數(shù)簡明教程M.北京大學出版社，2002.4肖艾平.向量組線性相關性的幾種判定方法J.伊犁師范學院學報（自然科學

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