排列數(shù)公式的應(yīng)用4

1、排列數(shù)公式的應(yīng)用4（方法）第4課時22.排列數(shù)的公式：排列數(shù)的公式：其中其中n,mN，并且，并且mn。排列數(shù)含義及公式：排列數(shù)含義及公式： 從從n個不同的元素中任取個不同的元素中任取m（mn)個不同元素，個不同元素，按一定的順序排成一列按一定的順序排成一列,叫做從叫做從n個不同的元素中取出個不同的元素中取出m個元素的個元素的一個排列；從一個排列；從n個不同的元素中任取個不同的元素中任取m（mn)個不同元素的所有個不同元素的所有排列的個數(shù)，叫做從排列的個數(shù)，叫做從n個不同的元素中任取個不同的元素中任取m個元素的排列數(shù)。個元素的排列數(shù)。用符號用符號“Anm”表示。表示。1.排列數(shù)：排列數(shù)：Anm=

2、n(n-1)(n-2) (n-m+1) n!(n-m)!=復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧排列數(shù)公式的應(yīng)用排列數(shù)公式的應(yīng)用3排列數(shù)公式的應(yīng)用排列數(shù)公式的應(yīng)用2. 排列數(shù)公式：排列數(shù)公式：其中其中n,mN，并且，并且mn。排列數(shù)含義及公式：排列數(shù)含義及公式：Anm=n(n-1)(n-2) (n-m+1) n!(n-m)!=3.全排列數(shù)與階乘：全排列數(shù)與階乘：Ann=n!=n.(n-1).(n-2).2.1(n+1)!=(n+1).n.(n-1).2.1=(n+1).n!24 例例1 1、學(xué)校開設(shè)語文、數(shù)學(xué)、外語、政治、物理、化學(xué)、學(xué)校開設(shè)語文、數(shù)學(xué)、外語、政治、物理、化學(xué)、體育體育7 7門課，如果星期六只開設(shè)門

3、課，如果星期六只開設(shè)4 4節(jié)課，體育不排在第節(jié)課，體育不排在第1 1、4 4節(jié)，節(jié)，問有多少種排列法。問有多少種排列法。 （注）（注）“在在”與與“不在不在”是排列問題中的兩大類問題，是排列問題中的兩大類問題，“在在”一般用直接法（特殊元素法或特殊位置法）解決；一般用直接法（特殊元素法或特殊位置法）解決；“不在不在”一般采用間接法（排除法）一般采用間接法（排除法）5 附加條件的排列應(yīng)用題的基本解法：附加條件的排列應(yīng)用題的基本解法： 有關(guān)特殊元素有關(guān)特殊元素“在不在在不在”特殊位置的排列問題，要先找出特殊位置的排列問題，要先找出“受限位置受限位置”與與“受限元素受限元素”，然后以，然后以“受限位

4、置受限位置”為主，用為主，用直接法逐位排列之，有時用間接法解之。直接法逐位排列之，有時用間接法解之。 若干個元素相鄰排列問題，一般用若干個元素相鄰排列問題，一般用“捆綁法捆綁法”。先把相鄰的。先把相鄰的若干元素若干元素“捆綁捆綁”為一個大元素與其余元素全排列，然后再為一個大元素與其余元素全排列，然后再“松綁松綁”，將這若干個元素內(nèi)部全排列。，將這若干個元素內(nèi)部全排列。 若干個元素不相鄰的排列問題，一般用插空法，即先將若干個元素不相鄰的排列問題，一般用插空法，即先將“普普通元素通元素”全排列，然后再在排就的每兩個元素之間及兩端插入全排列，然后再在排就的每兩個元素之間及兩端插入特殊元素。特殊元素。

5、1）優(yōu)限法）優(yōu)限法:2）捆綁法）捆綁法:3）插空法）插空法:4）排除法）排除法:（一般用在間接法中）一般用在間接法中）26 例例2 2、 有一輛客車和四輛貨車同時去某地，有一輛客車和四輛貨車同時去某地，客車不走在最前面，問這個車隊有多少種不同的排法？客車不走在最前面，問這個車隊有多少種不同的排法？ 解法解法1 1：先把先把受限元素受限元素-客車排在后面的四個位置上，有客車排在后面的四個位置上，有A A4 41 1 種不同的排法，再把四個一般元素種不同的排法，再把四個一般元素-貨車分別排在其余的四個貨車分別排在其余的四個位置上，有位置上，有A A4 44 4 種不同的排法。根據(jù)乘法原理，共有種不

6、同的排法。根據(jù)乘法原理，共有A A4 41 1.A.A4 44 4 =96=96種不同的排法。種不同的排法。 解法解法2 2：先安排先安排受限位置受限位置，從四輛貨車中選一輛排在首位，有，從四輛貨車中選一輛排在首位，有 P P4 41 1 種排法，再把客車和其余三輛貨車排在后面的四個位置上，種排法，再把客車和其余三輛貨車排在后面的四個位置上，有有P P4 44 4種排法。根據(jù)乘法原理，共有種排法。根據(jù)乘法原理，共有A A4 41 1.A.A4 44 4 =96 =96 種不同的排法。種不同的排法。 7 解法解法3:3:先把四輛貨車排成一列，有先把四輛貨車排成一列，有A A4 44 4 種不同的

7、排法，再把種不同的排法，再把客車插入第一輛貨車之后的四個位置上客車插入第一輛貨車之后的四個位置上（插空法插空法:），有有A A4 41 1 種不同的插法。根據(jù)乘法原理，有種不同的插法。根據(jù)乘法原理，有A A4 41 1.A.A4 44 4 =96=96種不同的排法。種不同的排法。 解法解法4:4:先不考慮限制條件，把五輛車排成一列，有先不考慮限制條件，把五輛車排成一列，有A A5 55 5種不種不同的排法，其中不符合條件（客車排在首位）的排法有同的排法，其中不符合條件（客車排在首位）的排法有A A4 44 4 種種（排除法）。排除法）。因此，符合條件的排法共有因此，符合條件的排法共有A A5

8、55 5 -A-A4 44 4 種。種。答：這個車隊共有答：這個車隊共有9696種不同的排法種不同的排法8 例例33由數(shù)字由數(shù)字1 1、2 2、3 3、4 4、5 5組成沒有重復(fù)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字且數(shù)字且數(shù)字4 4與與5 5不相鄰的五位數(shù)，這種五位數(shù)的個數(shù)是不相鄰的五位數(shù)，這種五位數(shù)的個數(shù)是 分析分析 本題屬于帶有附加條件的排列問題，既考查排列概本題屬于帶有附加條件的排列問題，既考查排列概念，又考查分析問題的能力，由于考慮問題的切入點不同，念，又考查分析問題的能力，由于考慮問題的切入點不同，因而可以有不同的解法因而可以有不同的解法 方法一方法一 分類計算：分類計算：（插空加捆綁）插空加捆綁）

9、符合條件的五位數(shù)符合條件的五位數(shù)可分為下面三類：可分為下面三類：1)41)4與與5 5之間恰有之間恰有1 1個數(shù)字，共有個數(shù)字，共有 個個 2)42)4與與5 5之間恰有之間恰有2 2個數(shù)字，共有個數(shù)字，共有 個個 3)43)4與與5 5之間恰有之間恰有3 3個數(shù)字，共有個數(shù)字，共有 個個2A31.P33=362A32.P22=242A33=12符合條件的五位數(shù)共有符合條件的五位數(shù)共有36+24+12+7236+24+12+72個個72其中其中“2”是是4與與 5的全排列數(shù)的全排列數(shù)9 例例44由數(shù)字由數(shù)字1 1、2 2、3 3、4 4、5 5組成沒有重復(fù)數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字且數(shù)字字且數(shù)字4 4

10、與與5 5不相鄰的五位數(shù)，這種五位數(shù)的個數(shù)是不相鄰的五位數(shù)，這種五位數(shù)的個數(shù)是方法二：分步計算方法二：分步計算（插空法）插空法）第一步：將第一步：將1 1、2 2、3 3進行全排列，有進行全排列，有A A3 33 3=6=6種方法種方法第二步：再讓第二步：再讓4 4與與5 5插入四個空中的兩個空中，有插入四個空中的兩個空中，有A A4 42 2=12=12種方法種方法。因此，符合條件的五位數(shù)共有因此，符合條件的五位數(shù)共有A A3 33 3.A.A4 42 2 =72=72（個）（個）方法三：整體思維方法三：整體思維（排除法）排除法） 先不考慮附加條件，那么所有的五位數(shù)應(yīng)有先不考慮附加條件，那么

11、所有的五位數(shù)應(yīng)有A A5 55 5 =120=120個。其個。其中不符合題目條件的，即中不符合題目條件的，即4 4與與5 5相鄰的五位數(shù)共有相鄰的五位數(shù)共有A A4 44 4.A.A2 22 2 =48=48個。個。因此，符合條件的五位數(shù)共有因此，符合條件的五位數(shù)共有A A5 55 5 - A- A4 44 4.A.A2 22 2 =72=72個個101）優(yōu)限法）優(yōu)限法有關(guān)特殊元素有關(guān)特殊元素“在不在在不在”特殊位置的排列問題要先找特殊位置的排列問題要先找出出“受限位置受限位置”與與“受限元素受限元素”，然后以，然后以“受限位置受限位置”為主，用直接法逐位排列之，有時用間接法解之。為主，用直接

12、法逐位排列之，有時用間接法解之。2）捆綁法）捆綁法若干個元素相鄰排列問題，一般用若干個元素相鄰排列問題，一般用“捆綁法捆綁法”。先把。先把相鄰的若干元素相鄰的若干元素“捆綁捆綁”為一個大元素與其余元素全為一個大元素與其余元素全排列，然后再排列，然后再“松綁松綁”，將這若干個元素內(nèi)部全排列，將這若干個元素內(nèi)部全排列3）插空法）插空法若干個元素不相鄰的排列問題，一般用插空法，即若干個元素不相鄰的排列問題，一般用插空法，即先將先將“普通元素普通元素”全排列，然后再在排就的每兩個全排列，然后再在排就的每兩個元素之間及兩端插入特殊元素。元素之間及兩端插入特殊元素。4）排除法）排除法對某些問題的反面比較明

13、了，可用排除法。對某些問題的反面比較明了，可用排除法。作業(yè)：作業(yè)：P234 6，7，8，9，1011（一）無條件限制的排列問題（一）無條件限制的排列問題解題的關(guān)鍵：解題的關(guān)鍵：1 確定該題是否是排列問題（將實際確定該題是否是排列問題（將實際 問題問題“轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化”為排列問題）為排列問題） 2 正確找出正確找出n、m的值的值 3 準(zhǔn)確應(yīng)用兩個原理準(zhǔn)確應(yīng)用兩個原理實際問題實際問題轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化排列問題排列問題求排列數(shù)求排列數(shù)（建模）（建模）求數(shù)學(xué)模型的解求數(shù)學(xué)模型的解得實際問題的解得實際問題的解練習(xí)練習(xí) （1） 車上有車上有7個座位，個座位，5名乘客就座，有多少種就座方式？名乘客就座，有多少種就座方式？（

14、2） 4輛公交車，有輛公交車，有4位司機，位司機，4位售票員，每輛車上位售票員，每輛車上 配一位司機和一位售票員，有多少種不同的搭配配一位司機和一位售票員，有多少種不同的搭配 方案？方案？（3）四個同學(xué)爭奪三項競賽冠軍，冠軍獲得者的可能）四個同學(xué)爭奪三項競賽冠軍，冠軍獲得者的可能 種數(shù)有多少？種數(shù)有多少？不是排列問題，用分步計數(shù)原理，有不是排列問題，用分步計數(shù)原理，有 444=64 種種(4)由由1，4，5，x四個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，四個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)， 若所有的四位數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字之和為若所有的四位數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字之和為288，求，求x.解：由題意得解：由題意得

15、288)541 (44xA即即24（10+x)=288 x=2例例4 用用0到到9這這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字 的三位數(shù)？的三位數(shù)？分析：有一個限制條件：分析：有一個限制條件：百位上不能排百位上不能排0解解 法法1從特殊位置出發(fā)，分從特殊位置出發(fā)，分2步：步： 第第1步：先排百位步：先排百位 第第2步：再排其它兩位步：再排其它兩位19A29A由分步計數(shù)原理由分步計數(shù)原理 6488992919 AA法法2 從特殊元素出發(fā)，分從特殊元素出發(fā)，分3類類第第1類：每一位數(shù)字都不是類：每一位數(shù)字都不是0 第第2類：個位數(shù)字是類：個位數(shù)字是0第第3類：十位數(shù)

16、字是類：十位數(shù)字是039A29A29A 由分類計數(shù)原理由分類計數(shù)原理648292939AAA法法3 （間接法）從（間接法）從10個數(shù)字中任取個數(shù)字中任取3個數(shù)字的排列數(shù)個數(shù)字的排列數(shù) 其中其中0在百位上的排列數(shù)在百位上的排列數(shù)310A29A所求的三位數(shù)的個數(shù)為所求的三位數(shù)的個數(shù)為64889891029310 AA(二）有限制的排列問題二）有限制的排列問題限制條件：某位置上不能排某元素或只能排某元素限制條件：某位置上不能排某元素或只能排某元素常用方法：常用方法：(1)直接法直接法（2）間接法（排除法）間接法（排除法）a優(yōu)限法：先特殊后一般優(yōu)限法：先特殊后一般b捆綁法：元素相鄰捆綁法：元素相鄰c插

17、空法：元素不相鄰插空法：元素不相鄰（有特殊元素或特殊位置，通常先排特殊（有特殊元素或特殊位置，通常先排特殊元素或特殊位置，元素或特殊位置，稱為稱為“優(yōu)限法優(yōu)限法” ）（先不考慮限制條件，算出所有的排列數(shù)，再從中（先不考慮限制條件，算出所有的排列數(shù)，再從中減去不符合條件的排列數(shù)）減去不符合條件的排列數(shù)）例例5 7位同學(xué)站成一排照相，按下列要求，各有多少位同學(xué)站成一排照相，按下列要求，各有多少 種不同的排法？種不同的排法？（1）甲必須站在中間）甲必須站在中間（2）甲、乙必須站在兩端）甲、乙必須站在兩端（3）甲不在中間）甲不在中間解解（1）法）法1 因為甲固定在中間，只需要其余因為甲固定在中間，只需

18、要其余6個個 位置排位置排6個人個人72066A法法2 （排除法）（排除法）7個任意排，有個任意排，有 種，種， 其中甲不在中間其中甲不在中間 ，有，有 甲在中間有甲在中間有6616AA720! 66! 7661677AAA77A（2）分兩步，第）分兩步，第1步：排兩端步：排兩端 第第2步：排中間步：排中間5人人 22A55A由分步計數(shù)原理由分步計數(shù)原理 24012025522 AA（4）甲既不在排頭，也不在排尾）甲既不在排頭，也不在排尾解解（法（法1）優(yōu)先考慮特殊元素）優(yōu)先考慮特殊元素分兩步，第分兩步，第1步：先排甲，不在頭、尾步：先排甲，不在頭、尾 第第2步：再排其他人步：再排其他人66A

19、 由分步計數(shù)原理由分步計數(shù)原理 360072056615 AA（法（法2）優(yōu)先考慮特殊位置）優(yōu)先考慮特殊位置分兩步，第分兩步，第1步：除甲外，其他步：除甲外，其他6人中選人中選2人人 站頭、尾站頭、尾 26A第第2步：其余位置步：其余位置55A 由分步計數(shù)原理由分步計數(shù)原理 3600120565526 AA15A（法（法3）（排除法）（排除法）7個人任意排個人任意排77A 甲在頭或尾甲在頭或尾 662 A 36007205! 62! 6726677AA（5）甲、乙必須相鄰）甲、乙必須相鄰解：由于甲、乙必須相鄰，可分解：由于甲、乙必須相鄰，可分2步：步： 第第1步：視甲、乙為一個元素與其他步：視

20、甲、乙為一個元素與其他5人排，人排，66A第第2步：甲、乙在一起排步：甲、乙在一起排 ， 22A 由分步計數(shù)原理由分步計數(shù)原理 144072026622 AA說明：某些元素要求必須相鄰時，可以先將這些說明：某些元素要求必須相鄰時，可以先將這些 元素看作一個元素，與其它元素排列后，元素看作一個元素，與其它元素排列后， 再考慮相鄰元素的內(nèi)部排序，稱為再考慮相鄰元素的內(nèi)部排序，稱為“捆綁法捆綁法” （6）甲、乙兩人必須不相鄰）甲、乙兩人必須不相鄰解解：（法：（法1）甲、乙不相鄰，先排其余）甲、乙不相鄰，先排其余5人，有人，有 種，種，55A5人排列共有人排列共有6個空，從中選個空，從中選2個空排甲、

21、乙，有個空排甲、乙，有 種，種， 共有共有26A3600561202655 AA（法（法2）總的排法減去相鄰的排法，）總的排法減去相鄰的排法，3600226677AAA說明：某些元素不相鄰時，可先排其它元素，再將說明：某些元素不相鄰時，可先排其它元素，再將 這些不相鄰元素插入空擋。稱為這些不相鄰元素插入空擋。稱為“插空法插空法”（7）甲、乙、丙三人的順序一定）甲、乙、丙三人的順序一定解：解：840! 3! 73377AA另：甲、乙、丙三人的順序一定，就是有順序，另：甲、乙、丙三人的順序一定，就是有順序， 無位置，相當(dāng)于無位置，相當(dāng)于7個位置排個位置排4個元素個元素 840! 3! 747A練習(xí)：甲、乙順序一定練習(xí)：甲、乙順序一定（ ）252