大學物理、高等數(shù)學的預備知識

1、0數(shù)學預備知識1數(shù)學預備知識A A 行列式行列式B B 矢量的代數(shù)運算矢量的代數(shù)運算C C 一元函數(shù)微積分一元函數(shù)微積分D D 多元函數(shù)微積分多元函數(shù)微積分2A 行列式行列式A.1 行列式行列式2 21 1- -1 1- -1 1- -2 2- -1 11 11 12 2z zy yx xF Fz zk kF Fy yj jF Fx xi i33 33 33 32 23 31 12 23 32 22 22 21 11 13 31 12 21 11 1a aa aa aa aa aa aa aa aa a元素：元素：i ij ja ai: 行標行標; j: 列標列標222221211212111

2、1a aa aa aa a1 11 1a a三階行列式可以一般地表述成2階、1階、零階行列式分別表述成4行列式的運算規(guī)則可用下述遞歸方式定義：遞歸方式定義：定義定義11 11 11 11 11 11 1a aa aa a1 12 22 21 12 22 21 11 12 22 22 21 11 12 21 11 1a aa aa aa aa aa aa aa a2 23 32 22 21 13 31 12 23 31 13 33 33 32 21 13 31 12 22 21 13 33 33 32 22 23 32 22 21 11 13 33 33 32 23 31 12 23 32 22

3、 22 21 11 13 31 12 21 11 1a aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa a5性質性質1：行列可互換性：行列可互換性z zy yx xz zy yx xF FF FF Fz zy yx xk kj ji iF Fz zk kF Fy yj jF Fx xi i6性質性質2：一行的公因子可以提出：一行的公因子可以提出3 33 33 32 23 31 12 23 32 22 22 21 11 13 31 12 21 11 13 33 33 32 23 31 12 23 32 22

4、 22 21 11 13 31 12 21 11 1a aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa akkkk7性質性質4：如果行列式中兩行成比例，：如果行列式中兩行成比例， 那么行列式為零。那么行列式為零。03 33 33 32 23 31 11 13 31 12 21 11 11 13 31 12 21 11 1a aa aa aa aa aa aa aa aa akkk性質性質3：對換行列式中兩行的位置，：對換行列式中兩行的位置， 行列式反號。行列式反號。8A.2 應用應用3 33 33 33 32 23 32 21 13 31

5、12 23 32 23 32 22 22 21 12 21 11 13 31 13 32 21 12 21 11 11 1b bx xa ax xa ax xa ab bx xa ax xa ax xa ab bx xa ax xa ax xa a3 33 33 32 23 31 12 23 32 22 22 21 11 13 31 12 21 11 1a aa aa aa aa aa aa aa aa aDD 引入分母行列式線性代數(shù)方程組92D , , a aa ab ba aa ab ba aa ab bDD3 33 33 32 23 32 23 32 22 22 21 13 31 12

6、21 11 13 ,2, 1 iDDxii引入分子引入分子行列式行列式方程組的解能表述為方程組的解能表述為10例例1. 公比公比0q1的無窮等比級數(shù)求和的無窮等比級數(shù)求和qSa aqaqaqaqa aqaqaqaS3232qaS111例2. 求無窮串并聯(lián)系列的電阻RAB設AB間的電阻為RAB則有ABABRRRR111212B 矢量的代數(shù)運算矢量的代數(shù)運算B.1 矢量的疊加與分解既有大小，又有方向的量是矢量，記為A標量：只有大小，沒有方向矢量的大小稱為矢量的模，記為 A單位方向矢量AAAA/ 或13萬有引力定律r rr rMMmmGGF F3 3MmFr14矢量的代數(shù)性質矢量的疊加:矢量的和標積

7、和矢積：矢量的乘矢量與標量的關系數(shù)乘：標量與矢量的乘積仍是一個矢量BA矢量之間的關系153 32 21 13 32 21 1A A) )A AA A ( (A AA AA ACBAABC兩個矢量的和矢量的疊加滿足交換律和結合律16矢量矢量的分解的分解x xy yz zi ij jk kA Ax xA Ay yA Az zA AxyxyA Ai ij jk kk kA Aj jA Ai iA AA Az zy yx xz zy yx xz zy yx xA A, ,A A, ,A A 或或 A A, ,A A, ,A A : :A Ax x軸單位矢量軸單位矢量y y軸單位矢量軸單位矢量z z軸單

8、位矢量軸單位矢量可簡寫為: k kB BA Aj jB BA Ai iB BA Ak kB Bj jB Bi iB Bk kA Aj jA Ai iA AB BA Az zz zy yy yx xx xz zy yx xz zy yx x17k k維空間維空間i ik k1 1i ik kk k2 22 21 11 1e eA Ae eA Ae eA Ae eA AA Ai i k k1 1i i2 2i iA AA Aie e) )B B( (A AB BA Ak k1 1i ii ii iK維空間矢量矢量的模矢量的和18思考題思考題3 3： k k維空間正方維空間正方“體體”頂點數(shù)頂點數(shù)棱

9、數(shù)棱數(shù)面數(shù)面數(shù)面積面積體積體積3維正方體維正方體81266a2a32維正方維正方“體體”4444aa21維正方維正方“體體”2122a19B.2 矢量矢量的的標積標積 0 0 規(guī)規(guī)定定 c co os s B BA AABA AB B/B B /ABAABBA/顯然有矢量的模量AAA20矢量標積的一些基本性質矢量標積的一些基本性質 B BA AB BA AB B) )A AA A( (A AB BB BA A) )B BA A( (B B) )A A( (2 21 12 21 1)( 為為標標量量 B BA AB BA AB BA AB BA A) )B BB B ( () )A AA A (

10、 (2 22 21 12 22 21 11 11 12 21 12 21 121三維空間三維空間0 0i ik kk kj jj ji iz zz zy yy yx xx xz zy yx xz zy yx xB BA AB BA AB BA A) )k kB Bj jB Bi i( (B B) )k kA Aj jA Ai i( (A AB BA A單位矢量的標積滿足正交性歸一性1 1k kk kj jj ji ii iiAxA矢量的某一分量22j j若若i i 1 1j j若若i i 0 0 e ee ei ij jj ji ik k維空間維空間i ik k1 1i ii iB BA AB

11、 BA A正交歸一性23例題例題3 重力功的計算重力功的計算b ba al l) )g g( (m mW Wz平面xyabazbzPlgmb ba az zmgmgmmg gh h) )z zmmg g( (z za ab b24B.3 矢量矢量的的矢積矢積或由左手系確定的方向或由右手系確定平行四邊形的面積）,( sinCABC : :C CB BA A三維空間三維空間兩個矢量的矢積定義為兩個矢量的矢積定義為A AB B B( (右右) )C C( (左左) )C C25矢積的一些基本性質矢積的一些基本性質 ) )B BA A ( (B B) )A A( ( 2 22 21 12 22 21

12、11 11 12 21 12 21 1B BA AB BA AB BA AB BA A) )B BB B( () )A AA A( (A AB BB BA AB BA AB BA AB B) )A AA A( (2 21 12 21 1反交換律分配律進一步可導出其它較復雜的公式,例如26 B BA Ak kB BA Aj jB BA Ai i B BA Az zz zy yy yx xx x0 0k kk kj jj ji ii ij ji ik k ; ; i ik kj j ; ;k kj ji i矢積只能在三維空間中進行矢積只能在三維空間中進行, 對于坐標基矢有對于坐標基矢有矢積的行列式

13、表示矢積的行列式表示27例例4 矢積在物理學中的應用一矢積在物理學中的應用一FrMprLBvqFv力矩力矩v角動量角動量v洛侖茲力洛侖茲力28baBlIFv安培力安培力v畢奧畢奧-沙伐爾定律沙伐爾定律304 rrlIBlIBablIrP例5 矢積在物理學中的應用二29B.4 B.4 矢量矢量的的三重積三重積 z zz zz zy yy yy yx xx xx xC CB BA AC CB BA AC CB BA A) )C CB B( (A A幾何意義：幾何意義：平行六面體的體積平行六面體的體積)(CBAABC) )B BA A( (C C) )A AC C( (B B) )C CB B( (

14、A A三重標積的循環(huán)可交換性三重標積30C)BA(B)CA()CB(A矢量的三重矢積)(CBA0 0) )C CB B( (A A 共共面面 C C , , B B , ,A A ABCCB三重矢積必在B、C確定的平面內， 是B、C的線性組合。31C 一元函數(shù)微積分一元函數(shù)微積分C.1 微分微分一元函數(shù)可記為一元函數(shù)可記為y(x) y xyxxxyyy或或OF(x)y 自變量 x 的增量:x函數(shù)增量:)()(xyxxyy32BAyxxAy)y()y(yxxx線性函數(shù)當自變量的增量很小時，其它函數(shù)的增量能否寫成類似的形式？33拋物線函數(shù)拋物線函數(shù)2Ayx2)A(A2yxxx含有高階無窮小，其它函

15、數(shù)類似。34xs si in ny yxeyxxxxsin cos1)(cos sin y)1(xxeey35)()(xydxxydy自變量增量0 x時, 稱為自變量微分,改記成dx相應的函數(shù)增量0y, 稱為函數(shù)微分,記成dydy與dx的關系微分 忽略高階無窮小AdxdyBAxy ,dxdxxAdyAxy)2( ,2dxxdxxdyxysincos) 1(cossin ,sin36AxBdxAxAxBdxAx 簡書為1cos 1cosdxdx簡書為dxdxdxdxsin sin簡書為dxdxdxdx tan tan簡書為edxedxdxdx11)1 ( )1 (簡書為數(shù)學上可以證明, 對無窮小

16、量dx, 有64274821785251654759457134076630353 772749669676209369995952497757247 66028747135259045235367182818284. 2e37C.2 微商（導數(shù)）微商（導數(shù)） )(dxdyxyxxyxxyxy)()( 定義定義dxdyy 或OxxyyPQxy幾何意義: 平均變化率函數(shù)在x處的導數(shù)等于函數(shù)曲線在x處切線的斜率tan)()(dxxydxxydxdyy38例例6 函數(shù)導數(shù)的幾個實例函數(shù)導數(shù)的幾個實例AyBAxy AxyAxy2 2 sinxyxdxdxxdxdxxycossincos1cossinx

17、yxysin cos39導數(shù)的一些重要性質導數(shù)的一些重要性質22112211 yAyAyyAyAy212121 yyyyyyyy22212121 yyyyyyyyy40復合函數(shù)的微商復合函數(shù)的微商)( )(xuuuyyxuxuyy鏈式法則:xuxuydxdududydxdyy41例例7 幾個函數(shù)的求導幾個函數(shù)的求導)sin(CBxAyCBxuuAy sin可看作)cos()cos(CBxABBuAuyyxux42xAycos可變換為可變換為)2sin(xAy即得即得xAxAysin)2cos(43xytan可變換為可變換為xxycossin即得即得xxxxxxy22cos1cos)(cossi

18、ncos)(sin44,2, 1 kxyk可遞歸地得到1kkxy)()()()(11111kkkkkkxxxxxxxxxx1 x既有45三個常用導數(shù)公式三個常用導數(shù)公式1)(xx是任意實數(shù)aaaxxln)(xx1)(ln ?xe46二階導數(shù)二階導數(shù)dxdydxddxydy )(簡寫成 22dxydy nnndxydy)( 依此類推, n階導數(shù)記作47例如 , 2 , 1 )()(keexnx , 2 , 1 , 0 cossin)14(kxxkxxksinsin)24(xxkcossin)34(xxksinsin)44(48增加而增加隨xyxy 0)(極大值或極小值? 則由該點的二階導數(shù)來確定

19、增加而減小隨xyxy 0)(對應極值點 0)( xy導數(shù)與極值OxyyPx0 xQMdxydy490)( 0)(00 xyxy極大值點極大值點0)( 0)(00 xyxy極小值點極小值點OxyyPx0 xQMN50非極值點，稱為拐點非極值點，稱為拐點xy3xy 0)0( y0)0( y在 x = 0 處51例題例題 找出 xsin的全部極值點 , 2, 1, 0 )21(2k0kx極大值點極大值點極小值點極小值點, 2, 1, 0 21) 1(2k0kx52泰勒展開泰勒展開)()()()(0000 xxxydxxydyxyxy導數(shù)的一個重要應用函數(shù)的冪級數(shù)展開dxxx00自變量函數(shù)增量也可寫成

20、)()()(00000 xxxyxxxyxy猜想函數(shù)有如下的冪級數(shù)展開0030320201000)()()()()()(nnnxxAxxAxxAxxAxxAxy-泰勒(Taylor)級數(shù)53確定泰勒級數(shù)的展開系數(shù)展開式兩邊對 x 依次求導, 再取 x = x0, 可確定所有項的系數(shù), 2 , 1 ),(!1 ),(0)(00nxynAxyAnn泰勒級數(shù)的收斂性因為y(x)是有限的, 所以至少要求0)(!1)( ,00)(0nnnnxxxynxxAn54 函數(shù)y(x)若能在x0兩側某范圍內展開為泰勒級數(shù)，便稱這一范圍為y(x)的收斂區(qū)域。xx sin11 )1 (1xx11 1xx11 )1ln

21、(xxxx cosxex x0= 0的泰勒級數(shù)，也稱為馬克勞林(Maclaurin)級數(shù)552468-101 第1項! 7! 5! 3sin753xxxxx前3項前2項前4項前9項56! 7! 5! 3sin753xxxxx! 6! 4! 21cos642xxxxxixeixsincos奇函數(shù)偶函數(shù)例題8 導出歐拉(Euler)公式57! 5! 4! 3! 215432xxxxxex比較得比較得xixeixsincos58矢量微商矢量微商ktAjtAitAtAzyx)()()()(許多物理量是矢量，一般都隨時間和空間坐標而變化。任意矢量A(t)可分解為其中基矢均不隨t變化。A對t的導數(shù)為kdt

22、tAdttAjdttAdttAidttAdttAdttAdttAdtAdzzyyxx)()()()()()()()(即有kdtdAjdtdAidtdAdtAdzyx59rkdttdzjdttdyidttdxdtrdv)()()(ktzjtyitxtr)()()()(例如質點位矢 r 分解成速度加速度rkdttzdjdttydidttxddtrddtvda 22222222)()()(60dtBdABdtAdBAdtd)(矢量A(t)與矢量B(t)的標積zzyyxxBABABABAdtBAddtBAddtBAddtBAdzzyyxx)()()()(即得61 B BA Ak kB BA Aj jB

23、 BA Ai i B BA Az zz zy yy yx xx xdtBdABdtAddtBAd)(62C.3 積分積分)( )(xfxF)()()()()(12212121xFxFdxxfdxxfxdFxxxxxx若稱 f (x) 是 F (x) 的導函數(shù)， F (x) 是 f (x) 的原函數(shù)定積分Oxyx1x2xx+dx)(xf63)()()()(122121xFxFxdFdxxfxxxx積分的上限積分的下限)()(xfxF)()(xFxf原函數(shù)求導導函數(shù)積分積分是求導的逆運算64最簡單的積分最簡單的積分Oxyx1x2xx+dx)(xfhxfahxxF)( ,)()()()()(1212

24、21xFxFxxhdxxfxx65CxFdxxf)()(不定積分不定積分: 求函數(shù)的所有原函數(shù)求函數(shù)的所有原函數(shù)1 11CxdxxCxxdxsincosCxxdxcossinCedxexxCxdxxln1幾個常用公式:66dxxfAdxxfAdxxfAxfA)()()()(22112211不定積分的一個重要性質定積分的幾何意義Oxyx1x2xx+dx?)(21xxdxxf67例題例題9 定積分與曲線長度定積分與曲線長度21212)(1xxxxdxxfdlldxydydxdl222)(1)()(Oxyx1x2xdxdydly = f (x)68D 多元函數(shù)微積分多元函數(shù)微積分D.1 偏微商（偏導數(shù)）),(321kxxxxyy多元函數(shù)是由多個獨立自變量構成的函數(shù)理想氣體的狀態(tài)方程RpVT長方形的體積高寬長V6911xyyx僅由自變量x1的無窮小變化引起的函數(shù)增量),(),(3213211kkxxxxyxxxdxxy稱為函數(shù)對x1的偏微分類似可引入函數(shù)對其它自變量的偏導數(shù)函數(shù)對x1的偏微商或偏導數(shù)70例如：理想氣體的狀態(tài)方程例如：理想氣體的狀態(tài)方程RpVTRVpTRpVTT 對p求偏導數(shù)時將V處理為常量T 對V 求偏導數(shù)時將p處理為常量71k 個自變量均有無窮小增量時引起的 y 增量kkdxxydxxydxxydy2211例如