向量組相關(guān)性

1、第第3.3節(jié)節(jié) 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性一一. 向量向量 向量組與矩陣向量組與矩陣二二. 向量相關(guān)性的概念向量相關(guān)性的概念四四.小結(jié)小結(jié) 思考題思考題三三. 向量相關(guān)性的判斷向量相關(guān)性的判斷 若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組所組成的集合叫做向量組例如例如維列向量維列向量個個有有矩陣矩陣mnaijAnm)( aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1. , , 的列向量組的列向量組稱為矩陣稱為矩陣向量組向量組Aa1a2an一、向量、向量組與矩陣a2ajana1a2ajan維行向量

2、維行向量個個又有又有矩陣矩陣類似地類似地nmijaAnm)(, aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211 T1 T2 Ti Tm T1 T2 Ti Tm向量組向量組 , , ， 稱為矩陣稱為矩陣A的行向量組的行向量組 T1 T2 Tm 反之，由有限個向量所組成的向量組可以構(gòu)反之，由有限個向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個矩陣成一個矩陣. .矩矩陣陣構(gòu)構(gòu)成成一一個個組組維維列列向向量量所所組組成成的的向向量量個個mnnmm , 21矩矩陣陣構(gòu)構(gòu)成成一一個個的的向向量量組組維維行行向向量量所所組組成成個個nmnmTmTT , 21 TmTTB 21 ),( 21mA

3、，組實數(shù)組實數(shù)，對于任何一，對于任何一給定向量組給定向量組mmkkkA,: 2121 定義定義., 21個線性組合的系數(shù)個線性組合的系數(shù)稱為這稱為這，mkkk，稱為向量組的一個稱為向量組的一個向量向量 2211mmkkk 線性組合線性組合.,:12121的線性組合的線性組合維基本向量組維基本向量組都是都是維向量維向量任意任意求證求證例例nTneeenaaan mmb 2211，使使，一一組組數(shù)數(shù)如如果果存存在在和和向向量量給給定定向向量量組組mmbA ,: 2121的線性組合，這時稱的線性組合，這時稱是向量組是向量組則向量則向量Ab 向量向量 能能由向量組由向量組 線性表示線性表示bA.,22

4、1的的列列向向量量的的線線性性組組合合是是則則實實矩矩陣陣，為為：設(shè)設(shè)例例AAXRxxxXnmAnTn 0 ,: 22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全為為零零的的數(shù)數(shù)如如果果存存在在不不給給定定向向量量組組注意注意.0 ,0, 1. 2211121成成立立才才有有時時則則當當且且僅僅當當線線性性無無關(guān)關(guān)若若 nnnn., 2. 線線性性相相關(guān)關(guān)性性無無關(guān)關(guān)就就是是不不是是線線對對于于任任一一向向量量組組定義定義二、線性相關(guān)性的概念則稱向量組則稱向量組 是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)A., 0, 0, 3. 線線性性無無關(guān)關(guān)則則說說若若線線性性相相關(guān)關(guān)

5、則則說說若若時時向向量量組組只只包包含含一一個個向向量量 .4. 組組是是線線性性相相關(guān)關(guān)的的包包含含零零向向量量的的任任何何向向量量.,. 5 量量共共面面向向量量相相關(guān)關(guān)的的幾幾何何意意義義是是三三是是兩兩向向量量共共線線；三三個個向向義義量量對對應(yīng)應(yīng)成成比比例例，幾幾何何意意充充要要條條件件是是兩兩向向量量的的分分它它線線性性相相關(guān)關(guān)的的量量組組對對于于含含有有兩兩個個向向量量的的向向定理定理3.1 向量組向量組 （當（當 時）線性相關(guān)時）線性相關(guān)的充分必要條件是的充分必要條件是 中至少有一個向中至少有一個向量可由其余量可由其余 個向量線性表示個向量線性表示m ,212 mm ,211

6、m證明證明 充分性充分性 設(shè)設(shè) 中有一個向量（如中有一個向量（如 ）能由其余向量線性表示能由其余向量線性表示. .maaa,21ma即有即有112211 mmma 三、線性相關(guān)性的判定故故 01112211 mmma 因因 這這 個數(shù)不全為個數(shù)不全為0， 1,121 m m故故 線性相關(guān)線性相關(guān).m ,21必要性必要性設(shè)設(shè) 線性相關(guān)，線性相關(guān)，m ,21則有不全為則有不全為0的數(shù)使的數(shù)使 ,21mkkk. 02211 mmkkk 因因 中至少有一個不為中至少有一個不為0，mkkk,21不妨設(shè)則有不妨設(shè)則有, 01 k.13132121mmkkkkkk 即即 能由其余向量線性表示能由其余向量線性

7、表示.1 證畢證畢. 時一定線性相關(guān)時一定線性相關(guān)小于向量個數(shù)小于向量個數(shù)當維數(shù)當維數(shù)維向量組成的向量組，維向量組成的向量組，個個結(jié)論：結(jié)論：mnnm定理揭示：定理揭示：一個線性無關(guān)的向量組中的向一個線性無關(guān)的向量組中的向量是彼此量是彼此“獨立獨立”的，其中任何一個向量都的，其中任何一個向量都不能由其余的向量線性表示；若一個向量組不能由其余的向量線性表示；若一個向量組線性相關(guān)，其中就一定有向量可以由其它向線性相關(guān)，其中就一定有向量可以由其它向量線性表示，因此量線性表示，因此“不獨立不獨立”但在這個定但在這個定理的條件下，并沒有指出這些不獨立的向量理的條件下，并沒有指出這些不獨立的向量有多少個，

8、是哪一些若加強定理條件，我有多少個，是哪一些若加強定理條件，我們會得到如下結(jié)論們會得到如下結(jié)論唯一地線性表示。唯一地線性表示。可由可由線性無關(guān)，則線性無關(guān)，則但但線性相關(guān)線性相關(guān)設(shè)向量組設(shè)向量組定理定理,2 . 3m21m21m21 解：解：設(shè)數(shù)設(shè)數(shù)123,k k k使得使得1122330kkk成立。成立。即即123102012401570kkk 未知量為未知量為123,k k k系數(shù)行列式系數(shù)行列式1021240157 齊次線性方程組有齊次線性方程組有非零解，所以向量非零解，所以向量123, 線性相關(guān)。線性相關(guān)。向量向量12, 對應(yīng)分量不成比例，所以對應(yīng)分量不成比例，所以線性無關(guān)線性無關(guān)。例

9、例1 已知已知 ，試討論向，試討論向量組量組 的線性相關(guān)性。的線性相關(guān)性。TTT)7 , 4 , 2(,)5 , 2 , 0(,)1 , 1 , 1(321 321, ,321使使設(shè)設(shè)有有kkk, 0)()( 133322211 kkk）（, 0)()() 332221131 kkkkkk（即即線性無關(guān)，故有線性無關(guān)，故有，因因321 . 0 , 0 , 0 322131kkkkkk解解., ,321133322211321的的線線性性相相關(guān)關(guān)性性判判斷斷線線性性無無關(guān)關(guān)已已知知向向量量組組例例2 2bbbbbb 02110011101 的的系系數(shù)數(shù)行行列列式式由由于于此此齊齊次次線線性性方方

10、程程組組., 0 321321線線性性無無關(guān)關(guān)向向量量組組，所所以以故故方方程程組組只只有有零零解解bbbkkk 維維向向量量組組n TnTTeee1 , 0 , 0,0 , 1 , 0,0 , 0 , 121 ，.,討討論論其其線線性性相相關(guān)關(guān)性性維維單單位位向向量量組組稱稱為為n解解.),( 21階單位矩陣階單位矩陣是是的矩陣的矩陣維單位坐標向量組構(gòu)成維單位坐標向量組構(gòu)成neeeInn .01 的的，此此向向量量組組是是線線性性無無關(guān)關(guān)由由 I例例3. 向量、向量組與矩陣之間的聯(lián)系，線性方向量、向量組與矩陣之間的聯(lián)系，線性方程組的向量表示；線性組合與線性表示的概念；程組的向量表示；線性組合與線性表示的概念；. 線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念；（線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念；（重點重點）. 線性相關(guān)與線性無關(guān)的判定方法：定義，線性相關(guān)與線性無關(guān)的判定方法：定義，兩個定理兩個定理（難點難點）四、小結(jié). , )3(0 )2( 0 )1(:兩式不一定同時成立兩式不一定同時成立或者或者線性相關(guān)的充要條件是線性相關(guān)的充要條件是，兩個向量兩個向量；線性無關(guān)的充要條件是線性無關(guān)的充要條件是一個向量一個向量；線性相關(guān)的充要條件是