高一數(shù)學(xué)必修1：第1部分2.1 2.1.4 函數(shù)的奇偶性

1、2.1函數(shù)函數(shù)的奇偶數(shù)理解教材新知把握熱點考向應(yīng)用創(chuàng)新演練第二章函數(shù)考點一考點二考點三考點四 問題1：對于函數(shù)f(x)x2，f(x)|x|，以x代替x函數(shù)值發(fā)生變化嗎？其圖象有何特征？ 提示：以x代替x各自的函數(shù)值不變，即f(x)f(x)；圖象關(guān)于y軸對稱 問題2：對于函數(shù)f(x)x3與f(x) ，以x代替x函數(shù)值發(fā)生變化嗎？其圖像有何特征？ 提示：以x代替x各自的函數(shù)值互為相反數(shù)，即f(x)f(x)；圖象關(guān)于原點對稱1奇、偶函數(shù)的概念名稱定義奇函數(shù)設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為D，如果對D內(nèi)的任意一個x，都有 ，且 ，則這個函數(shù)叫做奇函數(shù)偶函數(shù)設(shè)函數(shù)yg(x)的定義域為D，如果對D內(nèi)的任意一個x

2、，都有 ，且 ，則這個函數(shù)叫做 xDf(x)f(x)xDg(x)g(x)偶函數(shù) 2奇、偶函數(shù)的圖象特征 (1)如果一個函數(shù)是奇函數(shù)，那么這個函數(shù)的圖象是以 為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象是以 為對稱中心的中心對稱圖形，那么這個函數(shù)是奇函數(shù) (2)如果一個函數(shù)是偶函數(shù)，那么這個函數(shù)的圖象是以 為對稱軸的軸對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖像關(guān)于 對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù)坐標(biāo)原點坐標(biāo)原點y軸y軸 (1)由定義可知，假設(shè)x是定義域中的一個數(shù)值，那么x也一定在定義域中.因此，奇偶函數(shù)的定義域一定是關(guān)于原點對稱的.假設(shè)不對稱，那么這個函數(shù)必不具有奇偶性，是非奇非偶函數(shù). (2)函數(shù)的

3、奇偶性是相對于函數(shù)的整個定義域來說的，這一點與函數(shù)的單調(diào)性不同.從這個意義上來講，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的“局部性質(zhì)，而奇偶性是函數(shù)的“整體性質(zhì) 思路點撥先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱，然后按奇偶性的定義來判斷 一點通判斷函數(shù)的奇偶性，一般有以下幾種方法 (1)定義法：假設(shè)函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，那么函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；假設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，那么應(yīng)進(jìn)一步判斷f(x)是否等于f(x)，或判斷f(x)f(x)是否等于0，從而確定奇偶性 (2)圖象法：假設(shè)函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，那么函數(shù)為奇函數(shù)；假設(shè)函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，那么函數(shù)為偶函數(shù)解析：A、D兩項中，函數(shù)均為偶函數(shù)；B項中，函數(shù)為非奇非偶

4、正數(shù)；C項中，函數(shù)為奇函數(shù)答案：C2假設(shè)函數(shù)f(x)(x1)(xa)為偶函數(shù)，那么a()A2 B1C1 D2解析：f(x)(x1)(xa)是偶函數(shù)，f(x)(x1)(xa)f(x)恒成立x2(a1)xax2(a1)xa恒成立.a10，即a1.答案：C 例2如圖，給出了偶函數(shù)yf(x)的局部圖象，試比較f(1)與f(3)的大小 思路點撥法一：利用偶函數(shù)圖象的對稱性比較 法二：利用f(3)f(3)，f(1)f(1)比較 精解詳析法一：函數(shù)f(x)是偶函數(shù)， 其圖象關(guān)于y軸對稱，如圖 由圖象可知f(1)f(3)法二：由圖象可知f(1)f(3)又函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)，f(1)f(1)，f(3)f(3

5、)f(1)0時，f(x)2x1，求函數(shù)f(x)的解析式 思路點撥將x0上求解同時要注意f(x)是定義域為R的奇函數(shù) 一點通解答該類問題的思路： (1)“求誰設(shè)誰，即求哪個區(qū)間的解析式，x就設(shè)在哪個區(qū)間內(nèi)(2)要利用區(qū)間的解析式進(jìn)行計算(3)利用f(x)的奇偶性解出f(x) 注意：假設(shè)函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)含0且為奇函數(shù)，那么必有f(0)0，但假設(shè)為偶函數(shù)，那么未必有f(0)0.6假設(shè)定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)g(x)x23x1，那么f(x)()Ax2 B2x2C2x22 Dx21解析：f(x)g(x)x23x1，(1)f(x)g(x)x23x1.f(x)為偶函數(shù)，f

6、(x)f(x)；g(x)為奇函數(shù)，g(x)g(x)f(x)g(x)x23x1.(2)聯(lián)立可得f(x)x21.答案：D7f(x)是R上的偶函數(shù)，當(dāng)x(0，)時，f(x)x2x1，求x(，0)時，f(x)的解析式解：設(shè)x0.f(x)(x)2(x)1.f(x)x2x1.函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，f(x)f(x)f(x)x2x1.當(dāng)x(，0)時，f(x)x2x1. 例4(12分)設(shè)定義在2,2上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上單調(diào)遞減，假設(shè)f(m)f(m1)0，求實數(shù)m的取值范圍精解詳析由f(m)f(m1)0，得f(m)f(m1)，即f(1m)f(m)(4分)又f(x)在0,2上為減函數(shù)且f(x)在2,2上

7、為奇函數(shù)，f(x)在2,2上為減函數(shù)(8分) 一點通此類問題的解答思路是：先由函數(shù)的奇偶性將不等式兩邊都變成只含有“f的式子，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列出不等式(組)求解.列不等式(組)時，注意函數(shù)的定義域也是一個限制條件8函數(shù)f(x)在5,5上是偶函數(shù)，f(x)在0,5上是單調(diào)函數(shù)，且f(4)f(2)，那么以下不等式一定成立的是()Af(1)f(3) Bf(2)f(3)Cf(3)f(1)解析：由f(x)是偶函數(shù)，得f(4)f(2)f(4)f(1)f(2)f(3)f(5)而f(1)f(1)，f(3)f(3)，故f(1)f(3)，f(3)f(5)，只有D正確答案：D答案：A (1)奇偶性與單調(diào)性的相關(guān)性質(zhì) 假設(shè)函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，那么當(dāng)f(x)在區(qū)間a，b上是單調(diào)函數(shù)時，f(x)在其對稱區(qū)間b，a上也是單調(diào)函數(shù)，且單調(diào)性相同 假設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，那么當(dāng)f(x)在區(qū)間a，b上是單