兩個(gè)正態(tài)總體均值及方差比的置信區(qū)間

1、要點(diǎn)回顧1. 估計(jì)量的評選的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)量的評選的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn) 無偏性無偏性有效性有效性相合性相合性求置信區(qū)間的一般步驟求置信區(qū)間的一般步驟(分三步分三步).1 , )( ),( . 2 P有有意的意的即對于任即對于任置信水平置信水平數(shù)具有預(yù)先給定的概率數(shù)具有預(yù)先給定的概率它覆蓋未知參它覆蓋未知參間間置信區(qū)間是一個(gè)隨機(jī)區(qū)置信區(qū)間是一個(gè)隨機(jī)區(qū) . 3的置信區(qū)間的置信區(qū)間單個(gè)正態(tài)總體均值單個(gè)正態(tài)總體均值 ,)1(2為已知為已知 .2/ znX ,)2(2為未知為未知 .)1(2/ ntnSX . 42的置信區(qū)間的置信區(qū)間單個(gè)正態(tài)總體方差單個(gè)正態(tài)總體方差 .)1()1(,)1()1(22/1222/2

2、nSnnSn . 22221的的置置信信區(qū)區(qū)間間兩兩個(gè)個(gè)總總體體方方差差比比 的置信區(qū)間的置信區(qū)間兩正態(tài)總體均值差兩正態(tài)總體均值差21. 1 6.5 兩個(gè)正態(tài)總體均值差及兩個(gè)正態(tài)總體均值差及方差比的置信區(qū)間方差比的置信區(qū)間3. 小結(jié)小結(jié)., , ,),(,),( , ,122212222121121的樣本方差的樣本方差分別是第一、二個(gè)總體分別是第一、二個(gè)總體總體的樣本均值總體的樣本均值分別是第一、二個(gè)分別是第一、二個(gè)的樣本的樣本個(gè)總體個(gè)總體為第二為第二的樣本的樣本第一個(gè)總體第一個(gè)總體為為并設(shè)并設(shè)設(shè)給定置信度為設(shè)給定置信度為SSYXNYYYNXXXnn 討論兩個(gè)正態(tài)總體均值差和方差比的估計(jì)問題討

3、論兩個(gè)正態(tài)總體均值差和方差比的估計(jì)問題.均為已知均為已知和和2221)1( 1 21的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信度為的一個(gè)置信度為 .2221212/ nnzYX , , , 21的無偏估計(jì)的無偏估計(jì)分別是分別是因?yàn)橐驗(yàn)?YX推導(dǎo)過程如下推導(dǎo)過程如下: , 21的無偏估計(jì)的無偏估計(jì)是是所以所以 YX 21的置信區(qū)間的置信區(qū)間兩個(gè)總體均值差兩個(gè)總體均值差 1. , 的獨(dú)立性及的獨(dú)立性及由由YX,1211 nNX ,2222 nNY , 22212121 nnNYX 可知可知 ,1, 0 22212121NnnYX 或或 1 21的的置置信信區(qū)區(qū)間間的的一一個(gè)個(gè)置置信信度度為為于于是是得得 .2

4、221212/ nnzYX ,)2(2221均為未知均為未知和和 ),50(21則有則有即可即可都很大都很大和和只要只要 nn 1 21的近似置信區(qū)間的近似置信區(qū)間的一個(gè)置信度為的一個(gè)置信度為 .2221212/ nSnSzYX , ,)3(222221為未知為未知但但 1 21的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信度為的一個(gè)置信度為 .11)2(21212/ nnSnntYXw .,2)1()1( 2212222112wwwSSnnSnSnS 其中其中),(21 N),(22 N1 2 2 21 例例1. 耗氧率是跑步運(yùn)動(dòng)員生理活力的一個(gè)重要測度。耗氧率是跑步運(yùn)動(dòng)員生理活力的一個(gè)重要測度。文獻(xiàn)中報(bào)導(dǎo)

5、了大學(xué)生男運(yùn)動(dòng)員的兩種不同的訓(xùn)練方法，文獻(xiàn)中報(bào)導(dǎo)了大學(xué)生男運(yùn)動(dòng)員的兩種不同的訓(xùn)練方法，一種是在一定時(shí)段內(nèi)每日連續(xù)訓(xùn)練；另一種是間斷訓(xùn)練（兩種訓(xùn)練方法一種是在一定時(shí)段內(nèi)每日連續(xù)訓(xùn)練；另一種是間斷訓(xùn)練（兩種訓(xùn)練方法總訓(xùn)時(shí)間相同）。下面給出了兩種不同訓(xùn)練方法下的實(shí)測數(shù)據(jù)。單位為總訓(xùn)時(shí)間相同）。下面給出了兩種不同訓(xùn)練方法下的實(shí)測數(shù)據(jù)。單位為毫升（氧）毫升（氧）/千克千克（體重）（體重）分鐘。設(shè)數(shù)據(jù)分別來自正態(tài)總體分鐘。設(shè)數(shù)據(jù)分別來自正態(tài)總體和和，兩總體方差相同，兩，兩總體方差相同，兩，均未知。求兩總體均均未知。求兩總體均的置信水平為的置信水平為0.95的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。樣本相互獨(dú)立，樣本相互獨(dú)立

6、，值差值差91 n72 n71.43 x63.39 y88. 51 s68. 72 s連續(xù)訓(xùn)練間斷訓(xùn)練樣本容量樣本均值樣本標(biāo)準(zhǔn)差,025. 02/,95. 01 解解 現(xiàn)在現(xiàn)在 .1448. 2)14()2(025. 021025. 0 tnnt .71. 61468. 7688. 582)1()1(222212222112 nnsnsnsw 2121025. 011)2(nnsnntyxw由由 得所求得所求21 的一個(gè)置信水的一個(gè)置信水平為平為0.95的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為, )63/166.712.144839.63-(43.71 即即 （4.087.25）（）（3.17，11.33）.

7、 .11)2(21212/ nnSnntYXw 例例2 測得兩個(gè)民族中各測得兩個(gè)民族中各5位成年人的身高位成年人的身高（以（以cm計(jì)）如下計(jì)）如下A民族162.6170.2172.7165.1157.5B民族175.3177.8167.6180.3182.9, ),( , ),(2221 NN,1 22, 21 設(shè)樣本分別來自總體設(shè)樣本分別來自總體，未知，兩樣本獨(dú)立，求未知，兩樣本獨(dú)立，求的置信水的置信水平為平為0.90的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。 ,05. 02/,90. 01,521 nn 解解 現(xiàn)在現(xiàn)在.8595. 1)255(05. 0 t經(jīng)計(jì)算經(jīng)計(jì)算 ,78.176,05. 6,62.1

8、651 ysx,11.16 ,86. 52 yxs222212)96. 5(8)(4 sssw21 得得 的一個(gè)置信水平為的一個(gè)置信水平為0.90的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為)01. 716.11(515196. 58595. 116.11 即 （18.17，4.15）.這個(gè)區(qū)間的上限小于零，在實(shí)際中我們就認(rèn)為 比 小。1 2 例例3為比較為比較, 兩種型號步槍子彈的槍口速度兩種型號步槍子彈的槍口速度,隨機(jī)地取隨機(jī)地取型子彈型子彈10發(fā)發(fā), 得到槍口速度的平均值為得到槍口速度的平均值為),s/m(5001 x),s/m(10. 1 1 s標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)地取隨機(jī)地取型子彈型子彈20發(fā)發(fā), 得槍口速

9、度平均值為得槍口速度平均值為),s/m(4962 x),s/m(20. 1 2 s標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差假設(shè)兩總體都可認(rèn)為近似假設(shè)兩總體都可認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布地服從正態(tài)分布,且由生產(chǎn)過程可認(rèn)為它們的方差且由生產(chǎn)過程可認(rèn)為它們的方差相等相等, 求兩總體均值差求兩總體均值差 .950 21的置的置的置信度為的置信度為 信區(qū)間信區(qū)間.解解由題意由題意, 兩總體樣本獨(dú)立且方差相等兩總體樣本獨(dú)立且方差相等(但未知但未知), 0.025,2 ,20,1021 nn,28221 nn : )1( 分布表可知分布表可知查查 nt,0484. 2)28(025. 0 t,2820. 11910. 19 222 ws,

10、1688. 12 wwSs .950 21的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信度為的一個(gè)置信度為于是得于是得 201101)28(025. 021tSxxw),93. 04( ).93. 4,07. 3( 即所求置信區(qū)間為即所求置信區(qū)間為 . , 21為未知的情況為未知的情況僅討論總體均值僅討論總體均值 1 2221的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信度為的一個(gè)置信度為 .)1, 1(1,)1, 1(1212/12221212/2221 nnFSSnnFSS推導(dǎo)過程如下推導(dǎo)過程如下: ),1()1( 1221211 nSn 由于由于 ),1()1(2222222 nSn 2221的置信區(qū)間的置信區(qū)間兩個(gè)總

11、體方差比兩個(gè)總體方差比 2. , )1( )1( 2222221211相互獨(dú)立相互獨(dú)立與與且由假設(shè)知且由假設(shè)知 SnSn 根據(jù)根據(jù)F分布的定義分布的定義, 知知 ),1, 1(2122222121 nnFSS 22222121 SS即即 )1()1()1()1(222222121211 nSnnSn ),1, 1(21 nnF,1 )1, 1()1, 1(212/22222121212/1 nnFSSnnFP ,1)1, 1(1)1, 1(1212/122212221212/2221 nnFSSnnFSSP 1 2221的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信度為的一個(gè)置信度為于是得于是得 .)1, 1

12、(1,)1, 1(1212/12221212/2221 nnFSSnnFSS 例例4 分別由工人和機(jī)器人操作鉆孔機(jī)在綱部件分別由工人和機(jī)器人操作鉆孔機(jī)在綱部件上鉆孔，今測得所鉆的孔的深度（以上鉆孔，今測得所鉆的孔的深度（以cm計(jì)）如下計(jì)）如下 工人 操作4.023.644.034.023.954.064.00機(jī)器人操作4.014.034.024.014.003.994.024.00涉及的兩總體分別為涉及的兩總體分別為 2221212221,),(),( NN和和均未知，兩樣本相互獨(dú)立，均未知，兩樣本相互獨(dú)立， 求求2221/ 的置信水平為的置信水平為0.90的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。,05. 0

13、2/,9 . 01,8,721 nn解解 現(xiàn)在現(xiàn)在,12. 41)6 , 7(1)7 , 6(,87. 3)7 , 6(05. 005. 0105. 0 FFF經(jīng)計(jì)算得經(jīng)計(jì)算得 ,00017. 0,00189. 02221 ss所求的所求的 2221/ 的置信水平為的置信水平為0.90的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為).81.46,87. 2()7 , 6(1,)7 , 6(195. 0222105. 02221 FssFss21 22 這個(gè)區(qū)間的下限大于這個(gè)區(qū)間的下限大于1，在實(shí)際中，我們就認(rèn)為，在實(shí)際中，我們就認(rèn)為比比大。大。解解,181 n,132 n例例5研究由機(jī)器研究由機(jī)器 A 和機(jī)器和機(jī)器

14、 B 生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑, 隨隨機(jī)抽取機(jī)器機(jī)抽取機(jī)器 A 生產(chǎn)的管子生產(chǎn)的管子 18 只只, 測得樣本方差為測得樣本方差為均未知均未知, 求方差比求方差比 .900 的置的置的置信度為的置信度為區(qū)間區(qū)間.設(shè)兩樣本相互獨(dú)設(shè)兩樣本相互獨(dú));mm(34. 0 221 s).mm(29. 0 222 s抽取機(jī)器抽取機(jī)器B生產(chǎn)的管子生產(chǎn)的管子 13 只只, 測測得樣本方差為得樣本方差為立立,且設(shè)由機(jī)器且設(shè)由機(jī)器 A 和機(jī)器和機(jī)器 B 生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑分別服生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑分別服從正態(tài)分布從正態(tài)分布),(),(222211 NN)2 , 1(,2 iii 2221 信信,10. 0 ),mm(34. 0 221 s),mm(29. 0 222 s,59. 2)12,17()1, 1(05. 0212/ FnnF )12,17()12,17(95. 02/1FF ,38. 21)17,12(105. 0 F .900 2221的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信度為的一個(gè)置信度為于是得于是得 38. 229. 034. 0,59. 2129. 034. 0 .79. 2,45. 0 . )1321的置