x10_奈氏判據(jù)

1、第第10節(jié)節(jié) 奈奎斯特判據(jù)奈奎斯特判據(jù)前 傳 柯西是法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西是法國(guó)數(shù)學(xué)家.1789.1789年年 - 1857- 1857年年 一生發(fā)表了一生發(fā)表了789789篇論文，出版專(zhuān)著篇論文，出版專(zhuān)著7 7本，全集本，全集共有十四開(kāi)本共有十四開(kāi)本2424卷卷 柯西對(duì)數(shù)學(xué)的最大貢獻(xiàn)是在微積分中引進(jìn)了柯西對(duì)數(shù)學(xué)的最大貢獻(xiàn)是在微積分中引進(jìn)了清晰和嚴(yán)格的表述與證明方法清晰和嚴(yán)格的表述與證明方法. .另一個(gè)重要另一個(gè)重要貢獻(xiàn)，是發(fā)展了復(fù)變函數(shù)的理論貢獻(xiàn)，是發(fā)展了復(fù)變函數(shù)的理論. . 數(shù)學(xué)中以他的姓名命名的有：柯西積分、柯數(shù)學(xué)中以他的姓名命名的有：柯西積分、柯西公式、柯西不等式、柯西定理、柯西函數(shù)、西公式、

2、柯西不等式、柯西定理、柯西函數(shù)、柯西矩陣、柯西變換、柯西準(zhǔn)則柯西矩陣、柯西變換、柯西準(zhǔn)則. . 映射定理映射定理從螞蟻說(shuō)起愛(ài)德華威爾遜螞蟻王國(guó)的故事I螞蟻多于糧食螞蟻少于糧食螞蟻和糧食一樣多s planeF(s) plane s 平面的封閉軌跡映射為平面的封閉軌跡映射為F(s) 平平面上的封閉軌跡面上的封閉軌跡Sp保角變換保角變換 s 平面包圍平面包圍1個(gè)零點(diǎn)個(gè)零點(diǎn)ABDCF(s) 平面映射軌跡平面映射軌跡 S平面順時(shí)針包圍零點(diǎn)的軌跡映射為平面順時(shí)針包圍零點(diǎn)的軌跡映射為F(s)平面順時(shí)針包圍原點(diǎn)的軌跡。平面順時(shí)針包圍原點(diǎn)的軌跡。 1( )(2)(3)sF sss123bacps試驗(yàn)點(diǎn)試驗(yàn)點(diǎn)1(

3、)(2)(3)ppppsF sss如何求如何求F(sp)的幅值和相角的幅值和相角?1()(2)(3)ppppsF sss幅值幅值cMa b相角相角123ps( )F s()pF s映射映射ABDC s 平面包圍一個(gè)極點(diǎn)平面包圍一個(gè)極點(diǎn)F(s) 平面映射軌跡平面映射軌跡 S平面順時(shí)針包圍極點(diǎn)的軌跡映射為平面順時(shí)針包圍極點(diǎn)的軌跡映射為F(s)平面逆時(shí)針包圍原點(diǎn)的軌跡。平面逆時(shí)針包圍原點(diǎn)的軌跡。 ABDC軌跡不包圍極零點(diǎn)軌跡不包圍極零點(diǎn)F(s) 平面映射軌跡平面映射軌跡Cauchys theorem S平面順時(shí)針包圍平面順時(shí)針包圍 P 個(gè)極點(diǎn)和個(gè)極點(diǎn)和 Z個(gè)零點(diǎn)的個(gè)零點(diǎn)的軌跡映射為軌跡映射為F(s)

4、 平面以順時(shí)針包圍原點(diǎn)平面以順時(shí)針包圍原點(diǎn)N=Z-P圈的軌跡圈的軌跡幅角原理幅角原理幅角原理幅角原理Example1( )1sF ss S 包圍極點(diǎn)包圍極點(diǎn) S 包圍零點(diǎn)包圍零點(diǎn) S包圍極點(diǎn)包圍極點(diǎn)和零點(diǎn)和零點(diǎn) S 不包圍奇不包圍奇點(diǎn)點(diǎn)記住記住 s 平面的軌跡不能通過(guò)任何極平面的軌跡不能通過(guò)任何極點(diǎn)或零點(diǎn)點(diǎn)或零點(diǎn)怎么應(yīng)用這個(gè)怎么應(yīng)用這個(gè)定理進(jìn)行穩(wěn)定定理進(jìn)行穩(wěn)定性的判別呢？性的判別呢？螞蟻王國(guó)的故事II到底有多少螞蟻在工作？多少螞蟻在工作？糧食的數(shù)量糧食的數(shù)量要知道！要知道！穩(wěn)定性判斷的問(wèn)題j+-需要解決的問(wèn)題Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)推導(dǎo)穩(wěn)定判據(jù)推導(dǎo)1212( )( )( )( )( )( )N

5、s NsG s H sD sDsF(s)和系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的關(guān)系和系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的關(guān)系設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為121212( )( )( )( )1( )( )( )( )( )( )N s D sG ssG s H sD s D sN s Ns121212( )( )( )( )( )1( )( )( )( )D s D sN s NsF sG s H sD s D s 閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為( )1( )( )FsGs Hs令（1）F(s)的零點(diǎn)與閉環(huán)傳遞函數(shù)(s)的極點(diǎn)相同。（2）F(s)的極點(diǎn)和開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的極點(diǎn)相同。結(jié)論結(jié)論:如果知道！如果知道！有多少

6、糧食呢？閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定(s)(s)在在ss右半平面沒(méi)有極點(diǎn)右半平面沒(méi)有極點(diǎn)F(s)F(s)在在ss平面右半平面沒(méi)有零點(diǎn)平面右半平面沒(méi)有零點(diǎn) 判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以歸結(jié)為判判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以歸結(jié)為判斷斷F(s)的零點(diǎn)是否在右半平面。的零點(diǎn)是否在右半平面。j+- S S右半平面封閉曲線和其映射曲線右半平面封閉曲線和其映射曲線（a）F(s) /G(s)沒(méi)有極點(diǎn)在原點(diǎn)上沒(méi)有極點(diǎn)在原點(diǎn)上 包圍包圍S右半平面的封閉曲線在右半平面的封閉曲線在F(s)平面映射為平面映射為F(j).ImRe0+-ImRe0+-j+-ReIm+-0+0-(b) F(s)/G(s)有極點(diǎn)在原點(diǎn)有極點(diǎn)在原點(diǎn) 當(dāng)F(

7、s)含有積分環(huán)節(jié)時(shí)，其映射軌跡含有積分環(huán)節(jié)時(shí)，其映射軌跡應(yīng)當(dāng)用從應(yīng)當(dāng)用從0-到到0+順時(shí)針的圓弧來(lái)補(bǔ)全。順時(shí)針的圓弧來(lái)補(bǔ)全。結(jié)論結(jié)論1、包圍、包圍s右半平面的封閉軌跡經(jīng)右半平面的封閉軌跡經(jīng)F(s)映射后映射后的軌跡實(shí)際上就是的軌跡實(shí)際上就是F(j)當(dāng)當(dāng)從從-到到+變變化時(shí)的化時(shí)的頻率特性曲線。頻率特性曲線。2 2、當(dāng)、當(dāng)G(s)G(s)含有積分環(huán)節(jié)時(shí)，包圍含有積分環(huán)節(jié)時(shí)，包圍s s右半平面右半平面的封閉軌跡經(jīng)的封閉軌跡經(jīng)F(s)F(s)映射后的軌跡由映射后的軌跡由F(jF(j) )的頻率特性曲線和補(bǔ)充軌跡組成。的頻率特性曲線和補(bǔ)充軌跡組成。有多少糧食？有三粒糧食有三粒糧食在右平面！在右平面！是

8、否有糧食？右半平面右半平面沒(méi)有糧食！沒(méi)有糧食！是否有糧食？右半平右半平面沒(méi)有面沒(méi)有糧食！糧食！ 若若F(s)F(s)在在ss右半平面有右半平面有P P個(gè)極個(gè)極點(diǎn)點(diǎn), ,則當(dāng)則當(dāng)由由-變到變到+,+,若若F(jF(j) )的軌跡逆時(shí)針包圍原點(diǎn)的軌跡逆時(shí)針包圍原點(diǎn)P P圈圈, ,則閉環(huán)則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定. .F(j)和和G(j)H(j)軌跡的關(guān)系軌跡的關(guān)系G(j)H(j)ImRe(-1,j0)ImReF(j)=1+G(j)H(j) 若若F(s)F(s)在在ss右半平面有右半平面有P P個(gè)極點(diǎn)個(gè)極點(diǎn), ,則當(dāng)則當(dāng)由由-變到變到+,+,若若 F(jF(j) ) 的軌跡逆時(shí)針包圍的軌跡逆時(shí)針包圍 原

9、點(diǎn)原點(diǎn) P P圈圈, ,則閉則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定. . F(j F(j) )包圍原點(diǎn)的情況等效于包圍原點(diǎn)的情況等效于G(jG(j)H(j)H(j) )包圍包圍(-1,j0)(-1,j0)點(diǎn)的情況點(diǎn)的情況若若G(s)H(s)G(s)H(s)在在ss右半平面有右半平面有P P個(gè)極點(diǎn)個(gè)極點(diǎn)G(jG(j)H(j)H(j) )(-1,j0)(-1,j0) 乃氏判據(jù) 若若G(s)H(s)G(s)H(s)在在ss右半平面有右半平面有P P個(gè)極個(gè)極點(diǎn)點(diǎn), ,當(dāng)當(dāng)由由-變到變到+,+,若若G(jG(j)H(j)H(j) )逆時(shí)針包圍逆時(shí)針包圍(-1,j0)(-1,j0)點(diǎn)點(diǎn)P P圈圈, ,則閉環(huán)系統(tǒng)則閉環(huán)系

10、統(tǒng)穩(wěn)定穩(wěn)定. . 若系統(tǒng)開(kāi)環(huán)穩(wěn)定若系統(tǒng)開(kāi)環(huán)穩(wěn)定, ,則當(dāng)開(kāi)環(huán)頻率特則當(dāng)開(kāi)環(huán)頻率特性性G(j)H(j)G(j)H(j)不包圍不包圍(-1, j0)(-1, j0)點(diǎn)點(diǎn), ,閉閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定. .閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定閉環(huán)極點(diǎn)不在閉環(huán)極點(diǎn)不在s右右半平面半平面1+G(s)H(s)的零的零點(diǎn)不在點(diǎn)不在s右半平面右半平面1+G(j)H(j)的的軌跡逆時(shí)針包圍軌跡逆時(shí)針包圍原點(diǎn)圈數(shù)為原點(diǎn)圈數(shù)為PG(j)H(j)的軌的軌跡逆時(shí)針包圍跡逆時(shí)針包圍（-1，j0)圈數(shù)為圈數(shù)為P奈氏判據(jù)的其他表述奈氏判據(jù)的其他表述 若若G(s)H(s)G(s)H(s)在在ss右半平右半平面有面有P P個(gè)極點(diǎn)個(gè)極點(diǎn), ,

11、當(dāng)當(dāng)由由0 0變到變到+,+,若若G(jG(j)H(j)H(j) )逆時(shí)針逆時(shí)針包圍包圍(-1,j0)(-1,j0)點(diǎn)點(diǎn)P/2P/2圈圈, ,則閉環(huán)則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定. . ( I )( I )根據(jù)根據(jù)由由 0到+的開(kāi)環(huán)頻率特性進(jìn)的開(kāi)環(huán)頻率特性進(jìn)行判斷行判斷（II) 根據(jù)正負(fù)穿越進(jìn)行判斷根據(jù)正負(fù)穿越進(jìn)行判斷穿越：開(kāi)環(huán)軌跡穿越：開(kāi)環(huán)軌跡G(jG(j)H(j)H(j) )穿過(guò)穿過(guò)（-1-1，j0)j0)點(diǎn)以左的負(fù)實(shí)軸。點(diǎn)以左的負(fù)實(shí)軸。正穿越：開(kāi)環(huán)軌跡自上而下穿過(guò)。正穿越：開(kāi)環(huán)軌跡自上而下穿過(guò)。負(fù)穿越：開(kāi)環(huán)軌跡自下而上穿過(guò)。負(fù)穿越：開(kāi)環(huán)軌跡自下而上穿過(guò)。正穿越一次記為正穿越一次記為+1，負(fù)穿越一

12、次記為，負(fù)穿越一次記為-1。若開(kāi)環(huán)軌跡終止于負(fù)實(shí)軸上，記為若開(kāi)環(huán)軌跡終止于負(fù)實(shí)軸上，記為1/2穿越。穿越。（-1，j0)（-1，j0)正穿越正穿越負(fù)穿越負(fù)穿越（-1，j0)半次正穿越半次正穿越（-1，j0)半次負(fù)穿越半次負(fù)穿越 若若G(s)H(s)G(s)H(s)在在ss右半平右半平面有面有P P個(gè)極點(diǎn)個(gè)極點(diǎn), ,當(dāng)當(dāng)由由0 0變到變到+,+,若若G(jG(j)H(j)H(j) )軌跡在軌跡在(-1,j0)(-1,j0)點(diǎn)以左的負(fù)實(shí)軸上的點(diǎn)以左的負(fù)實(shí)軸上的正負(fù)穿越次數(shù)代數(shù)和為正負(fù)穿越次數(shù)代數(shù)和為P/2,P/2,則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定. . 乃氏判據(jù)：乃氏判據(jù)：（III)含積分環(huán)節(jié)時(shí)半閉合曲線的繪制含積分環(huán)節(jié)時(shí)半閉合曲線的繪制若系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為若系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為11( )( )vG sG ss 對(duì)于- 到到+ + 的開(kāi)環(huán)軌跡，其補(bǔ)充的開(kāi)環(huán)軌跡，其補(bǔ)充圓弧為從圓弧為從G(0G(0- -) )點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)v v 到到G(0G(0+ +) )點(diǎn)點(diǎn) 對(duì)于從從0 0到到+ + 的開(kāi)環(huán)軌跡，其補(bǔ)充軌跡的開(kāi)環(huán)軌跡，其補(bǔ)充軌跡為從為從G(0G(0+ +) )開(kāi)始逆開(kāi)始逆時(shí)針做的時(shí)針做的v v /2/2的圓弧。的圓弧。V=1V=2(四）四） 例題例題123( )(1)(1)(1)KG sTsT sT