《計算物理(本科)》[第3章]

1、第第三三章章實實驗驗數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的插插值值法法合肥工業(yè)大學電子科學與應用物理學院第三章第三章 實驗數(shù)據(jù)的插值法實驗數(shù)據(jù)的插值法插值法應用：插值法應用：物理實驗中常用數(shù)據(jù)處理方法。如電物理實驗中常用數(shù)據(jù)處理方法。如電表校正曲線、物理常數(shù)表相鄰間的數(shù)據(jù)的獲得等。表校正曲線、物理常數(shù)表相鄰間的數(shù)據(jù)的獲得等。在一系列觀測點上，函數(shù)值與理論曲線相一致。即在一系列觀測點上，函數(shù)值與理論曲線相一致。即 yi=f(xi)nnyyyxxx.1010插值法原則：插值法原則：若兩個物理量若兩個物理量x,y之間存在理論上的之間存在理論上的函數(shù)關系函數(shù)關系y=f(x)，而具體形式并不知道。但通過實，而具體形式并不知道。但

2、通過實驗可以測得一組實驗數(shù)據(jù)驗可以測得一組實驗數(shù)據(jù)(離散離散)：第第三三章章實實驗驗數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的插插值值法法合肥工業(yè)大學電子科學與應用物理學院y(x) 經(jīng)常取經(jīng)常取x的多項式，作為代數(shù)插值。的多項式，作為代數(shù)插值。構(gòu)造出的代數(shù)多項式構(gòu)造出的代數(shù)多項式y(tǒng)(x)，必須滿足下列條件，必須滿足下列條件：（1）y(x)是一個不超過是一個不超過n次的多項式。這樣有次的多項式。這樣有n +1個個待定系數(shù)，對應待定系數(shù)，對應n +1個測量點。個測量點。（2）在插值點）在插值點xi (i =0,1,2,n)上，上， 確保確保f(x)的插值函的插值函數(shù)數(shù)y(x)與與f(x)相等，即相等，即 yi=y(xi) i

3、=0,1,2,n插值法就是依據(jù)這些關系，尋找插值法就是依據(jù)這些關系，尋找f(x)的近似表達的近似表達式式y(tǒng)(x)： y=y(x)注意注意：yi 測量點函數(shù)值；測量點函數(shù)值； y(x) ，y(xi)插值函數(shù)及其插值函數(shù)及其值；值；f(x) ， f(xi) ：理論上的函數(shù)及其值。：理論上的函數(shù)及其值。第第三三章章實實驗驗數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的插插值值法法合肥工業(yè)大學電子科學與應用物理學院3.1 拉格朗日（拉格朗日（Lagrange)插值法插值法一、一、 Lagrange線性插值（兩點）線性插值（兩點） 線性插值就是兩點插值。設已知兩節(jié)點。線性插值就是兩點插值。設已知兩節(jié)點。)()(110010 xfyxfy

4、xx構(gòu)造線性插值函數(shù)構(gòu)造線性插值函數(shù) y(x)= a0+a1x將節(jié)點數(shù)據(jù)代入得方程組并求得將節(jié)點數(shù)據(jù)代入得方程組并求得010110101100)( , )()()()(xxxxxAxxxxxAyxAyxAxy其中第第三三章章實實驗驗數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的插插值值法法合肥工業(yè)大學電子科學與應用物理學院二、二、 Lagrange拋物線插值（三點）拋物線插值（三點）利用三個節(jié)點的測量數(shù)據(jù)來構(gòu)造插值函數(shù)。利用三個節(jié)點的測量數(shù)據(jù)來構(gòu)造插值函數(shù)。設三個設三個節(jié)點為節(jié)點為構(gòu)造拋物線（二次）插值函數(shù)構(gòu)造拋物線（二次）插值函數(shù) y(x)= a0+a1x+a2x2 221010 yxyyxx)()()( , )()()(

5、, )()()()()()()(120210221012012010210221100 xxxxxxxxxAxxxxxxxxxAxxxxxxxxxAyxAyxAyxAxy其中將節(jié)點數(shù)據(jù)代入，可得方程組，并求得將節(jié)點數(shù)據(jù)代入，可得方程組，并求得第第三三章章實實驗驗數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的插插值值法法合肥工業(yè)大學電子科學與應用物理學院三、三、 Lagrange n次多項式插值次多項式插值推廣到推廣到n次多項式插值。次多項式插值。設設n +1個節(jié)點個節(jié)點nnyxyyxx 1010構(gòu)造構(gòu)造n次多項式插值函數(shù)次多項式插值函數(shù) y(x)=a0+a1x+a2x2 +anxn將節(jié)點數(shù)據(jù)代入，可得方程組，并求得將節(jié)點數(shù)據(jù)代

6、入，可得方程組，并求得 )()(.)()()(nji0i1100ijijnnxxxxxAyxAyxAyxAxy其中第第三三章章實實驗驗數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的插插值值法法合肥工業(yè)大學電子科學與應用物理學院MATLAB中實現(xiàn)中實現(xiàn)Lagrange n次多項式插值次多項式插值：% lagrange.m% lagrange insertfunction y=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:m%求插值點的值求插值點的值 z=x(i);s=0.0; for k=1:n%對對Ai的下標的下標i循環(huán)循環(huán) p=1.0; for j=1:n%對對Ai公式求

7、積循環(huán)公式求積循環(huán) if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=p*y0(k)+s;%最終插值公式最終插值公式 end y(i)=s;end 【實例【實例jswlx_3_2_1.m 】給出】給出f(x)=lnx的函數(shù)表如下。用的函數(shù)表如下。用Lagrange插值法插值法計算計算ln(0.54)近似值。近似值。 x 0.4 0.5 0.6 lnx -0.916291 -0.693147 -0.510826 0.7 0.8 -0.357765 -0.223144在在MATLAB命令窗口中輸入命令窗口中輸入x=0.4 0.5 0.6 0.7 0.8y=-0

8、.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144lagrange(x,y,0.54)ans= -0.616143說明：同精確解說明：同精確解ln(0.54)=-0.616186誤誤差不大，特別是在工程應用中。差不大，特別是在工程應用中。第第三三章章實實驗驗數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的插插值值法法合肥工業(yè)大學電子科學與應用物理學院3.2 分段線性插值分段線性插值一、高次多項式插值的龍格一、高次多項式插值的龍格(Runge)現(xiàn)象現(xiàn)象對于多項式插值對于多項式插值, 次數(shù)隨節(jié)點個數(shù)的增加而升高，次數(shù)隨節(jié)點個數(shù)的增加而升高，但次數(shù)越高，則逼近但次數(shù)越高，則逼近f(x)的精度

9、卻不一定越好。的精度卻不一定越好。211)(xxf 在在 -5，5區(qū)間各階導數(shù)存在，但在此區(qū)間上取區(qū)間各階導數(shù)存在，但在此區(qū)間上取n個個等分節(jié)點所構(gòu)造的等分節(jié)點所構(gòu)造的Lagrange插值多項式并非收斂，插值多項式并非收斂，在兩端會發(fā)生激烈振蕩，這就是在兩端會發(fā)生激烈振蕩，這就是Runge現(xiàn)象現(xiàn)象。19世紀世紀Runge就給出了一個等距節(jié)點插值多項式不就給出了一個等距節(jié)點插值多項式不收斂的例子，此函數(shù)為收斂的例子，此函數(shù)為第第三三章章實實驗驗數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的插插值值法法合肥工業(yè)大學電子科學與應用物理學院注意注意：Runge現(xiàn)象說明，在大范圍內(nèi)使用高次插值，現(xiàn)象說明，在大范圍內(nèi)使用高次插值，逼近的效

10、果往往是不理想的。逼近的效果往往是不理想的。%jswlx_3_2_2.m自編程序自編程序x=-5:1:5;%-5,5中中x的的11個取個取點點y=1./(1+x.2); %-5,5中的中的11個個節(jié)點節(jié)點yx0=-5:0.1:5;y0=lagrange(x,y,x0);%插值后插值后的函數(shù)值的函數(shù)值y1=1./(1+x0.2);plot(x0,y0,-r)%繪制插值曲線繪制插值曲線hold on%圖窗口保留上次曲線圖窗口保留上次曲線plot(x0,y1,-b) %繪制原曲線繪制原曲線211)(xxf【實例【實例】取】取n=10,用用Lagrange插值進行計算插值進行計算第第三三章章實實驗驗數(shù)

11、數(shù)據(jù)據(jù)的的插插值值法法合肥工業(yè)大學電子科學與應用物理學院二、分段插值的概念二、分段插值的概念若運用低次插值法，則往往能避免若運用低次插值法，則往往能避免Runge現(xiàn)象?，F(xiàn)象。分段插值：分段插值：將研究區(qū)間將研究區(qū)間a,b分成若干子區(qū)間分成若干子區(qū)間xi,xi+1，在每個子區(qū)間構(gòu)造低次的插值多項式函，在每個子區(qū)間構(gòu)造低次的插值多項式函數(shù)，然后將其進行拼接。這種選取分段多項式作數(shù)，然后將其進行拼接。這種選取分段多項式作為插值函數(shù)的方法稱為為插值函數(shù)的方法稱為分段插值法分段插值法。三、分段線性插值三、分段線性插值分段線性插值：分段線性插值：通過插值節(jié)點用折線段連接起來逼通過插值節(jié)點用折線段連接起來逼

12、近原曲線的方法。近原曲線的方法。計算機繪圖的基本原理就是分段線性插值得到的。計算機繪圖的基本原理就是分段線性插值得到的。第第三三章章實實驗驗數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的插插值值法法合肥工業(yè)大學電子科學與應用物理學院四、分段三次插值四、分段三次插值分段線性插值分段線性插值的算法簡單，計算量小，但精度不的算法簡單，計算量小，但精度不高，插值曲線不光滑。高，插值曲線不光滑。分段三次插值：分段三次插值：選擇四個節(jié)點，實現(xiàn)三次多項式選擇四個節(jié)點，實現(xiàn)三次多項式插值函數(shù)的計算。插值函數(shù)的計算。三次條樣插值三次條樣插值：更為常用的一種插值方法。：更為常用的一種插值方法。第第三三章章實實驗驗數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的插插值值法法合肥工業(yè)大

13、學電子科學與應用物理學院MATLAB實現(xiàn)：實現(xiàn)：分段線性插值在分段線性插值在MATLAB中不需中不需要自編程序，自身提供了一個一維分段插值函數(shù)：要自編程序，自身提供了一個一維分段插值函數(shù)： interp1(x,y,xi,method) 其中其中 (x,y)：一組節(jié)點；：一組節(jié)點；xi：插值點；：插值點； method：插值方：插值方法法可選可選nearest：線性最近項插值；：線性最近項插值；linear：線性：線性插值（默認）；插值（默認）；spline：三次條樣插值；：三次條樣插值；cubic：三：三次插值次插值。第第三三章章實實驗驗數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的插插值值法法合肥工業(yè)大學電子科學與應用物理學

14、院3.3 二元函數(shù)的二元函數(shù)的Lagrange多點插值法多點插值法物理學中有很多用二元函數(shù)描述的物理量。物理學中有很多用二元函數(shù)描述的物理量。二元函數(shù)插值方法：如果已知二元函數(shù)插值方法：如果已知(xi,yj)點上的函數(shù)值點上的函數(shù)值 fij =f (xi,yj)，要求出某點，要求出某點(x,y)處的函數(shù)值處的函數(shù)值f(x,y)，則，則可以采用與之相鄰的九個節(jié)點可以采用與之相鄰的九個節(jié)點(xi,yi)的的fij數(shù)據(jù)來計數(shù)據(jù)來計算。這就是二元三點算。這就是二元三點Lagrange插值法。插值法。),( , )( , )()()( ),( 11111111,srr,sjsljllslsirkikkr

15、kriirjjssrsryxfZyyyyyAxxxxxAzyAxAyxz 其中構(gòu)造二元插值函數(shù)，則其構(gòu)造二元插值函數(shù)，則其Lagrange多點插值公式多點插值公式第第三三章章實實驗驗數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的插插值值法法合肥工業(yè)大學電子科學與應用物理學院實驗二實驗二 Matlab環(huán)境和實驗數(shù)據(jù)的插值環(huán)境和實驗數(shù)據(jù)的插值一、實驗目的一、實驗目的1進一步熟悉進一步熟悉Matlab程序設計環(huán)境；程序設計環(huán)境；2拉格朗日插值和牛頓插值方法；拉格朗日插值和牛頓插值方法；3Hermite插值和三次樣條插值方法。插值和三次樣條插值方法。二、實驗內(nèi)容二、實驗內(nèi)容1. 繪圖命令，主要有繪圖命令，主要有plot()、figur

16、e()、grid on/off、hold on/off、axis()、text()、等。、等。2. 程序文件和函數(shù)文件的編寫；變量運用；輯運算程序文件和函數(shù)文件的編寫；變量運用；輯運算符運用；條件語句和循環(huán)語句運用。符運用；條件語句和循環(huán)語句運用。3. 矩陣的操作，提取矩陣元素或子塊矩陣的操作，提取矩陣元素或子塊A(m,n)、A(:,n)、A(m,:)、A(m1:m2,n1:n2)第第三三章章實實驗驗數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的插插值值法法合肥工業(yè)大學電子科學與應用物理學院三、練習題三、練習題1、簡述實驗數(shù)據(jù)插值法的基本原則、簡述實驗數(shù)據(jù)插值法的基本原則。2、什么是高次多項式插值的龍格、什么是高次多項式插值的龍格(Runge)現(xiàn)象？簡述現(xiàn)象？簡述分段線性插值法。解釋分段線性插值法。解釋Matlab 實現(xiàn)分段三次插值函實現(xiàn)分段三次插值函數(shù)程序的用法？數(shù)程序的用法？3、編寫、編寫Lagrange n次多項式插值函數(shù)程序，用計算次多項式插值函數(shù)程序，用計算器求器求30個個x=0.523.5之間的之間的y=lnx數(shù)值（保留三位有效數(shù)值（保留三位有效數(shù)字），再用此數(shù)列進行插值求數(shù)字），再用此數(shù)列進行插值求x=0.523.5之間的值之間的值進行驗證，并繪圖比較（三條曲線）。進行驗證，并繪圖比較（三條曲線）。4. 實現(xiàn)實現(xiàn) Lagr