彈塑性力學(xué)第3章

1、3.1應(yīng)力張量應(yīng)力張量在彈塑性問題中經(jīng)常用到的物理量空間一點的應(yīng)力： 第第3章章 應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變z zx yz yx y xy xz x zy xxyxzijyxyyzzxzyz 每一點的每一點的6 6個應(yīng)力分量確定一個應(yīng)力張量個應(yīng)力分量確定一個應(yīng)力張量每一點的每一點的6 6個應(yīng)變分量確定一個應(yīng)變張量個應(yīng)變分量確定一個應(yīng)變張量可知我們同樣可以對其在不同的方向上進(jìn)行轉(zhuǎn)換，可知我們同樣可以對其在不同的方向上進(jìn)行轉(zhuǎn)換，實際上也可稱之為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。實際上也可稱之為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。應(yīng)力張量的性質(zhì)應(yīng)力張量的性質(zhì)應(yīng)力張量應(yīng)力張量為對稱張量為對稱張量應(yīng)力張量應(yīng)力張量具有主平面、主軸、主應(yīng)力具有主平面、主軸、主應(yīng)

2、力求解主應(yīng)力的基本公式；求解主應(yīng)力的基本公式；求解主應(yīng)力方向的基本公式；求解主應(yīng)力方向的基本公式；應(yīng)力三個不變量的求解公式；應(yīng)力三個不變量的求解公式；應(yīng)力的分解；應(yīng)力的分解；主應(yīng)力空間中的應(yīng)力分解圖形；主應(yīng)力空間中的應(yīng)力分解圖形；明確明確：對應(yīng)的三個主應(yīng)力的方向稱之為主軸對應(yīng)的三個主應(yīng)力的方向稱之為主軸. .物體內(nèi)任一點應(yīng)力均具有三個主平面。物體內(nèi)任一點應(yīng)力均具有三個主平面。求解一點的主應(yīng)力及主應(yīng)力方向的基本公式求解一點的主應(yīng)力及主應(yīng)力方向的基本公式xxyxzijyxyyzzxzyz 已知一點的應(yīng)力為：已知一點的應(yīng)力為：設(shè)一點應(yīng)力：設(shè)一點應(yīng)力：xxyxzijyxyyzzxzyz 四面體在所有力

3、的作用下保持力的平衡四面體在所有力的作用下保持力的平衡x0y0z0 xx xyx yzx zp A=l Al A+l A xx xyx yzx zp =ll +l yxy xy yzy zp =ll +l zxz xyz yz zp =ll +l iijjpl ni iijj ip ll l222222nnxyznp=ppp3.2.1 一點的應(yīng)力狀態(tài)一點的應(yīng)力狀態(tài)例題：例題：已知受力物體中的某點的應(yīng)力分量為已知受力物體中的某點的應(yīng)力分量為 試求作用在過此點的平面試求作用在過此點的平面x+3y+z=1上的沿坐標(biāo)軸上的沿坐標(biāo)軸方向的應(yīng)力分量，以及該平面上的正應(yīng)力和剪方向的應(yīng)力分量，以及該平面上的正

4、應(yīng)力和剪應(yīng)力應(yīng)力0,2 ,0,2xyzxyyzzxaaaa坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換：111112213322112222333311322333xl xl xl xxl xl xl xxl xl xl x ijijlcosx ,x 坐標(biāo)變換后應(yīng)力張量變換：坐標(biāo)變換后應(yīng)力張量變換：ijij1j2j3jl ,l ,l設(shè)：設(shè)：x軸在舊坐標(biāo)系中的方向余弦軸在舊坐標(biāo)系中的方向余弦：1j1mjnmnll 新坐標(biāo)系與舊坐標(biāo)系坐標(biāo)平面上應(yīng)力張量的轉(zhuǎn)換公式新坐標(biāo)系與舊坐標(biāo)系坐標(biāo)平面上應(yīng)力張量的轉(zhuǎn)換公式：iij 1jpl 若將這三個方向轉(zhuǎn)換為在新坐標(biāo)系三個方向的應(yīng)力若將這三個方向轉(zhuǎn)換為在新坐標(biāo)系三個方向的應(yīng)力xi1i1i

5、ij 1jp lllxyi2i2iij 1j1j 2iijp llll lxzi3i3iij 1j1j 3iijp llll lijimjnmnl l 3.2.2坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換1jl設(shè)主應(yīng)力方向在目前坐標(biāo)系中的方向數(shù)分別為設(shè)主應(yīng)力方向在目前坐標(biāo)系中的方向數(shù)分別為：主應(yīng)力為：主應(yīng)力為：iijjpl 在此法線的平面上的應(yīng)力在三個坐標(biāo)軸方向上的投影：在此法線的平面上的應(yīng)力在三個坐標(biāo)軸方向上的投影：在此平面的法線上的投影就是主應(yīng)力：在此平面的法線上的投影就是主應(yīng)力：ni iiijjp lll1xyzI 2222xyyzzxxyyzzxI 2223xyzxyyzzxxyzyzxzxyI2 3.2.3

6、主平面、主軸、主應(yīng)力主平面、主軸、主應(yīng)力三個應(yīng)力不變量：三個應(yīng)力不變量：jln 例題：已知物體中某點應(yīng)力分量為例題：已知物體中某點應(yīng)力分量為aaaaaij2001001001000010000求該點應(yīng)力張量的三不變量。求該點應(yīng)力張量的三不變量。32123-III0求解主應(yīng)力的公式為：求解主應(yīng)力的公式為：應(yīng)當(dāng)有三個解，按數(shù)值大小可寫為：應(yīng)當(dāng)有三個解，按數(shù)值大小可寫為：123,分別將分別將 代入：代入：123, xx xxy yxz zyyx xy yyz zzzx xzy yz zllllllllllll求解主應(yīng)力對應(yīng)的方向公式求解主應(yīng)力對應(yīng)的方向公式1 xx xxy y13 z1 yyx xy

7、 yyz z1 zzx xzy yz zllllllllllll得到法線方向得到法線方向x1y1z1l,l,l1n 2 xx xxy y13 z2 yyx xy yyz z2 zzx xzy yz zllllllllllll得到法線方向得到法線方向x2y2z2l,l,l2n 3 xx xxy y13 z3 yyx xy yyz z3 zzx xzy yz zllllllllllll得到法線方向得到法線方向x3y3z3l,l,l3n 三個主軸均可得出三個主軸均可得出三個主軸均互相正交。主應(yīng)力坐標(biāo)系：由三個主軸構(gòu)成的坐標(biāo)系稱之為主應(yīng)力坐標(biāo)系：由三個主軸構(gòu)成的坐標(biāo)系稱之為 主應(yīng)力坐標(biāo)系主應(yīng)力坐標(biāo)系。

8、主應(yīng)力空間：主應(yīng)力空間：該坐標(biāo)對應(yīng)的空間稱之為該坐標(biāo)對應(yīng)的空間稱之為主應(yīng)力空間主應(yīng)力空間： 為了討論問題方便我們常常主應(yīng)力空間中討論一為了討論問題方便我們常常主應(yīng)力空間中討論一點應(yīng)力的特點。點應(yīng)力的特點。例題：例題：求以下應(yīng)力張量（單位：求以下應(yīng)力張量（單位：MPa）所表征的應(yīng)力狀態(tài)）所表征的應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力值及主軸方向的主應(yīng)力值及主軸方向0030()002030200ij應(yīng)力張量分解為球應(yīng)力張量、偏應(yīng)力張量xxyxzxmxyxzmyxyyzmyxymyzmzxzyzzxzyzm000000 ijmijijij1ijs0ij *任意應(yīng)力狀態(tài)都可以是應(yīng)力偏量與球應(yīng)力張量之和；*塑性變形只與應(yīng)力偏

9、張量有關(guān)；*球應(yīng)力張量表示各向均值應(yīng)力狀態(tài)，也就是靜水應(yīng)力狀態(tài)；3.3應(yīng)力張量的分解及應(yīng)力偏張量應(yīng)力張量的分解及應(yīng)力偏張量明確：偏應(yīng)力張量的不變量及偏應(yīng)力的主軸方向偏應(yīng)力張量的不變量及偏應(yīng)力的主軸方向xxyxzxmxyxzijyxyyzyxymyzzxzyzzxzyzmssssssssss xxmyymzzmsss11m22m33msss 偏應(yīng)力的主軸方向與應(yīng)力張量的主軸方向一致偏應(yīng)力的主軸方向與應(yīng)力張量的主軸方向一致1xyzJsss0 2222xyyzzxxyyzzxJs ss ss ssss 2223xyzxyyzzxxyzyzxzxyJs s s2s s ss ss ss s 2ijij

10、222222xyyzzxxyyzzx1Js s2166 2ijij2221223311223311Js s216s ss ss s 應(yīng)力偏張量的第二不變量應(yīng)力偏張量的第二不變量主應(yīng)力空間主應(yīng)力空間3.4 3.4 八面體及應(yīng)力強度八面體及應(yīng)力強度八面體（等斜面）的概念八面體（等斜面）的概念： 在主坐標(biāo)系中與三個主在主坐標(biāo)系中與三個主坐標(biāo)軸呈相同傾斜角的平面坐標(biāo)軸呈相同傾斜角的平面稱之為八面體面。稱之為八面體面。其法線方向的余弦為：其法線方向的余弦為：111,333三個應(yīng)力主方向投影到等斜面上，相互之間夾角三個應(yīng)力主方向投影到等斜面上，相互之間夾角120120312128 3 111l,m,n,3

11、33 123 等斜面的法向應(yīng)力：等斜面的法向應(yīng)力： 2228123123mlmn13 該傾斜面上的總應(yīng)力該傾斜面上的總應(yīng)力2222123pppp 22212313切向應(yīng)力切向應(yīng)力： 2288222122331p13顯然：等斜面上的切向應(yīng)力是總應(yīng)力在斜面上的投影與偏應(yīng)力顯然：等斜面上的切向應(yīng)力是總應(yīng)力在斜面上的投影與偏應(yīng)力張量的第二不變量有一定的關(guān)系，表達(dá)了其塑性特性。張量的第二不變量有一定的關(guān)系，表達(dá)了其塑性特性。等斜面的法向應(yīng)力等斜面的法向應(yīng)力就是平均正應(yīng)力：就是平均正應(yīng)力：等斜面上的法向應(yīng)力及切向應(yīng)力等斜面上的法向應(yīng)力及切向應(yīng)力ni iiijjp lll i8222122331222123

12、32123sss2 應(yīng)力強度應(yīng)力強度若單向應(yīng)力狀態(tài)若單向應(yīng)力狀態(tài)ix 無論應(yīng)力狀態(tài)如何，應(yīng)力強度永遠(yuǎn)是個正無論應(yīng)力狀態(tài)如何，應(yīng)力強度永遠(yuǎn)是個正值，與平均法向應(yīng)力無關(guān)，其在塑性力學(xué)值，與平均法向應(yīng)力無關(guān)，其在塑性力學(xué)理論中是很重要的。理論中是很重要的。1xyzI 2222xyyzzxxyyzzxI 2223xyzxyyzzxxyzyzxzxyI2 3.5 應(yīng)變張量的性質(zhì)應(yīng)變張量的性質(zhì)xxyxzijyxyyzzxzyz 應(yīng)變張量二階張量應(yīng)變張量二階張量：具有三個不變量，同樣具有應(yīng)變主軸及主應(yīng)變具有三個不變量，同樣具有應(yīng)變主軸及主應(yīng)變3.5.1 應(yīng)變張量的概念應(yīng)變張量的概念3.5.2 應(yīng)變張量的性質(zhì)

13、應(yīng)變張量的性質(zhì)單位體積應(yīng)變單位體積應(yīng)變xyz xyzxxyyzzx y zx y z xyz1111xyzxyyzzxxyz 加載前后微元體體積的改變量加載前后微元體體積的改變量 xyz1231mI333 應(yīng)變張量同樣分解為平均應(yīng)變張量、偏應(yīng)變張量應(yīng)變張量同樣分解為平均應(yīng)變張量、偏應(yīng)變張量xxyxzxmxyxzmyxyyzmyxymyzmzxzyzzxzyzm000000 ijmijijij1ije0ij 3.5.3應(yīng)變張量的分解及應(yīng)變偏張量應(yīng)變張量的分解及應(yīng)變偏張量xmxyxz111213ij212223yxymyz313233zxzyzmeeeeeeeeee 應(yīng)變偏張量為對稱二階張量，同樣存在三個主軸，以及三個主值應(yīng)變偏張量為對稱二階張量，同樣存在三個主軸，以及三個主值應(yīng)變偏張量性質(zhì)：應(yīng)變偏張量性質(zhì)：11m22m33meee存在三個不變量，存在三個不變量， 偏應(yīng)變的主軸方向與應(yīng)變張量的主軸方向一致偏應(yīng)變的主軸方向與應(yīng)變張量的主軸方向一致1xyz123Jeeeeee0 2222xyyzzxxyyzzx222122331Je ee ee eeee16 2223xyzxyyzzxxyzyzxzxy123Je e e2e