薄透鏡相位變換器

1、光電科學(xué)與工程學(xué)院第第4章章 傅立葉光學(xué)基礎(chǔ)傅立葉光學(xué)基礎(chǔ)物理光學(xué)課程光電科學(xué)與工程學(xué)院光電科學(xué)與工程學(xué)院透鏡的相位變換函數(shù)透鏡的相位變換函數(shù)透鏡的屏函數(shù)透鏡的屏函數(shù)2( , )22 ( , )( , )ix yUx yA x y e出射場1( , )11 ( , )( , )ix yU x yA x y e入射場21)2211( , ) ( , ) ( , )iUx yAt x yeU x yA屏函數(shù)4.2 4.2 薄透鏡相位變換器薄透鏡相位變換器4.2.1 4.2.1 薄透鏡的相位變換函數(shù)薄透鏡的相位變換函數(shù)光電科學(xué)與工程學(xué)院薄透鏡條件薄透鏡條件: : 光線在從透鏡入射面上（光線在從透鏡入

2、射面上（x x，y y）點(diǎn)入射，在出）點(diǎn)入射，在出射面以近似相同的坐標(biāo)點(diǎn)出射。射面以近似相同的坐標(biāo)點(diǎn)出射。 忽略薄透鏡的吸收，則其透射函數(shù)可表示為忽略薄透鏡的吸收，則其透射函數(shù)可表示為4.2 4.2 薄透鏡相位變換器薄透鏡相位變換器4.2.1 4.2.1 薄透鏡的相位變換函數(shù)薄透鏡的相位變換函數(shù)( , )( , )ix yLtx ye 2112( , )( , )( , )( , ) x yx yx yknx y其中，其中， 為出射波相位為出射波相位 與入射波與入射波相位相位 之差，它與光程差的關(guān)系為：之差，它與光程差的關(guān)系為：( , )x y2( , )x y1( , )x y光電科學(xué)與工程

3、學(xué)院012( , )(1)() x yknk n 012( , ) x y222221111222222222( , )()2( , )()()2 xyx yrrxyrxyx yrrxyr2201221111 ( , )()()xyx yknkFnrr 其其中中： F F4.2 4.2 薄透鏡相位變換器薄透鏡相位變換器光電科學(xué)與工程學(xué)院220( , )2 xyx yknkF ( , )( , )ix yLtx ye 代入代入將將略去常數(shù)相位因子，得略去常數(shù)相位因子，得 222( , )xyikFLtx ye4.2 4.2 薄透鏡相位變換器薄透鏡相位變換器薄透鏡的相位變換函數(shù)薄透鏡的相位變換函數(shù)

4、光電科學(xué)與工程學(xué)院平面波入射平面波入射, ,出射波函數(shù)表達(dá)式為：出射波函數(shù)表達(dá)式為：(1)F0(1)F0，球面波將在透鏡右側(cè)距透鏡，球面波將在透鏡右側(cè)距透鏡F F處一點(diǎn)匯聚；處一點(diǎn)匯聚；(2)F0(2)F0，出射波為發(fā)散球面波，球心在透鏡的左側(cè)，距透鏡，出射波為發(fā)散球面波，球心在透鏡的左側(cè)，距透鏡距離為距離為 。 F F為幾何光學(xué)中透鏡的焦距為幾何光學(xué)中透鏡的焦距2222( , )xyikFLUAtx yAe4.2 4.2 薄透鏡相位變換器薄透鏡相位變換器F光電科學(xué)與工程學(xué)院光電科學(xué)與工程學(xué)院(1)(1)衍射屏緊貼透鏡衍射屏緊貼透鏡 屏函數(shù)：屏函數(shù)： 入射至透鏡上的光波：入射至透鏡上的光波：

5、透鏡出射面上的光波：透鏡出射面上的光波：4.2.2 4.2.2 透鏡衍射的傅立葉變換性質(zhì)透鏡衍射的傅立葉變換性質(zhì)圖圖4. 5 衍射屏衍射屏(a)緊貼透鏡和緊貼透鏡和(b)在透鏡前在透鏡前d處時(shí)衍射場分析光路圖處時(shí)衍射場分析光路圖( , )t x y( , )oUAt x y222( , )( , )xyikFloLoUU P x y tU P x y e4.2 4.2 薄透鏡相位變換器薄透鏡相位變換器光電科學(xué)與工程學(xué)院光電科學(xué)與工程學(xué)院其中，其中， 為光瞳函數(shù)：為光瞳函數(shù)：由菲涅耳衍射公式，透鏡后焦面上的衍射場為：由菲涅耳衍射公式，透鏡后焦面上的衍射場為：10 ( , )P x y透透鏡鏡孔孔

6、內(nèi)內(nèi)透透鏡鏡孔孔外外2222()()()22()( , )，kkkikfiuvixyiux vyFFFflieUuveUx y eedxdyF ( ,)P x y4.2 4.2 薄透鏡相位變換器薄透鏡相位變換器222( , )( , )xyikFloLoUU P x y tU P x y eF光電科學(xué)與工程學(xué)院光電科學(xué)與工程學(xué)院將將 代入上式，得代入上式，得2222()()()22()( , )，kkkikfiuvixyiux vyFFFflieUuveUx y eedxdyF 22()()2()( , ) ( , )，kkikFiuviux vyFFfoieUuveUx y P x y ed

7、xdyF 222( , )( , )xyikFloLoUU P x y tU P x y e焦平面上的衍射場與入射焦平面上的衍射場與入射場的傅里葉變換成正比。場的傅里葉變換成正比。4.2 4.2 薄透鏡相位變換器薄透鏡相位變換器(/,/)xyfuF fvF 對應(yīng)變換頻率為：對應(yīng)變換頻率為：光電科學(xué)與工程學(xué)院光電科學(xué)與工程學(xué)院以入射場的傅立葉變換頻率：以入射場的傅立葉變換頻率： 描述描述焦平面上的衍射場的分布為：焦平面上的衍射場的分布為：(/,/)xyfuF fvF 22()2 ()(,)( , )xyxyikFi F ffif xf yfxyoieUffeUx y edxdyF 4.2 4.2

8、 薄透鏡相位變換器薄透鏡相位變換器夫瑯禾費(fèi)衍射裝置實(shí)際上是一個(gè)空間頻譜分析儀夫瑯禾費(fèi)衍射裝置實(shí)際上是一個(gè)空間頻譜分析儀 夫瑯禾費(fèi)衍射的強(qiáng)度分布等于屏函數(shù)的功率譜夫瑯禾費(fèi)衍射的強(qiáng)度分布等于屏函數(shù)的功率譜 光電科學(xué)與工程學(xué)院光電科學(xué)與工程學(xué)院 有限光學(xué)孔徑將入射的光衍射到各個(gè)方向，每個(gè)方向有限光學(xué)孔徑將入射的光衍射到各個(gè)方向，每個(gè)方向都可以看成一個(gè)平面波分量。都可以看成一個(gè)平面波分量。（1) 1) 傅立葉變換展開與衍射過程傅立葉變換展開與衍射過程 傅里葉光學(xué)的基本思想傅里葉光學(xué)的基本思想22()2 ()(,)( , )xyxyikFi F ffif xf yfxyoieUffeUx y edxdy

9、F 光電科學(xué)與工程學(xué)院光電科學(xué)與工程學(xué)院 焦平面上不同的點(diǎn)對應(yīng)著不同平面波的傳播方向，如焦平面上不同的點(diǎn)對應(yīng)著不同平面波的傳播方向，如（x, y) 點(diǎn)對應(yīng)的平面波在點(diǎn)對應(yīng)的平面波在x 方向的空間頻率為：方向的空間頻率為：sin xxuf（2)傅立葉變換的光學(xué)實(shí)現(xiàn)夫瑯禾費(fèi)衍射傅立葉變換的光學(xué)實(shí)現(xiàn)夫瑯禾費(fèi)衍射光電科學(xué)與工程學(xué)院光電科學(xué)與工程學(xué)院傅立葉光學(xué)的基本思想傅立葉光學(xué)的基本思想 傅立葉光學(xué)的基本思想是，對衍射屏（或物點(diǎn)的圖像）傅立葉光學(xué)的基本思想是，對衍射屏（或物點(diǎn)的圖像）產(chǎn)生的復(fù)雜波前進(jìn)行傅里葉變換，衍射場分解為一系列不同產(chǎn)生的復(fù)雜波前進(jìn)行傅里葉變換，衍射場分解為一系列不同方向、不同振幅的

10、平面衍射波；特定方向的平面衍射波，出方向、不同振幅的平面衍射波；特定方向的平面衍射波，出現(xiàn)在夫瑯禾費(fèi)衍射場的相應(yīng)位置，實(shí)現(xiàn)了分譜，若在衍射場現(xiàn)在夫瑯禾費(fèi)衍射場的相應(yīng)位置，實(shí)現(xiàn)了分譜，若在衍射場平面對頻譜進(jìn)行選擇，就實(shí)現(xiàn)了空間濾波操作，因此傅立葉平面對頻譜進(jìn)行選擇，就實(shí)現(xiàn)了空間濾波操作，因此傅立葉光學(xué)也是空間濾波和光學(xué)信息處理的理論基礎(chǔ)。光學(xué)也是空間濾波和光學(xué)信息處理的理論基礎(chǔ)。 2200()()20000( , )(,)kkikzixyixxyyzzieU x yeU xy edx dyz光電科學(xué)與工程學(xué)院4.2.3 4.2.3 余弦光柵的衍射場余弦光柵的衍射場0100( , )cos(2)t

11、 x yttf x沿沿x x軸方向的一維余弦光柵的屏函數(shù)（或透過率函數(shù)）：軸方向的一維余弦光柵的屏函數(shù)（或透過率函數(shù)）：式中式中f f0 0為空間頻率，空間周期為空間頻率，空間周期d d1/f1/f0 0。000120( , )(1cos(2)1sinsinI x yIf xfd乳膠干版上記錄兩束相干乳膠干版上記錄兩束相干平行光的干涉場平行光的干涉場經(jīng)化學(xué)處理，使干版透過率與干涉強(qiáng)度成正比即得余弦光柵。經(jīng)化學(xué)處理，使干版透過率與干涉強(qiáng)度成正比即得余弦光柵。4.2 4.2 薄透鏡相位變換器薄透鏡相位變換器光電科學(xué)與工程學(xué)院210100( , )(cos(2)Ux ytUA ttf x 考慮單色平

12、行光垂直照射余弦光柵，設(shè)入射波的波函數(shù)考慮單色平行光垂直照射余弦光柵，設(shè)入射波的波函數(shù)為為 ，透射波波函數(shù)為：透射波波函數(shù)為：1UA應(yīng)用歐拉公式，并取應(yīng)用歐拉公式，并取 ，上表達(dá)式可分解為：，上表達(dá)式可分解為：0000002()00112()111;212if xik fxif xikfxUAtUAt eAt eUAt eAt e20( , )Ux yUUU其中：其中： 正出射平面波正出射平面波向上斜出向上斜出射平面波射平面波0sinf向下斜出射平面波向下斜出射平面波0sinf4.2 4.2 薄透鏡相位變換器薄透鏡相位變換器光電科學(xué)與工程學(xué)院在透鏡后焦平面觀測到在透鏡后焦平面觀測到這三列平面波

13、的像，即這三列平面波的像，即余弦光柵的夫瑯禾費(fèi)衍余弦光柵的夫瑯禾費(fèi)衍射場分布。射場分布。 若考慮光柵寬度或透鏡孔徑尺度若考慮光柵寬度或透鏡孔徑尺度D D時(shí)，三列衍射波的在時(shí)，三列衍射波的在透鏡后焦平面上的衍射斑，具有半角寬度分別為透鏡后焦平面上的衍射斑，具有半角寬度分別為: :0,cosDD 4.2 4.2 薄透鏡相位變換器薄透鏡相位變換器00002()00112()111;212if xik fxif xikfxUAtUAt eAt eUAt eAt e光電科學(xué)與工程學(xué)院光電科學(xué)與工程學(xué)院三列平面波透鏡透過率三列平面波透鏡透過率函數(shù)乘積。函數(shù)乘積。4.2 4.2 薄透鏡相位變換器薄透鏡相位變

14、換器222000( , );xyikFLUU tx yAt e 222( , )xyikFLtx ye222200() 222111( , )2xyxyikikfxif xFFLUU tx yAt eeAt e 222200() 222111( , )2xyxyikikfxif xFFLUU tx yAt eeAt e 光電科學(xué)與工程學(xué)院1011120222: ( , )cos(2): ( , )cos(2)Gt x yttf xGt x yttf y 例：兩個(gè)正交的余弦光柵例：兩個(gè)正交的余弦光柵12GG和和010202 111 0221 2121 212( , )( , ) ( , )cos

15、2cos211cos2 ()cos2 ()22合tx yt x y t x yttt tf xt tf yt tf xf yt tf xf y則組合光柵屏函數(shù)為：則組合光柵屏函數(shù)為：4.2 4.2 薄透鏡相位變換器薄透鏡相位變換器光電科學(xué)與工程學(xué)院上式屏函數(shù)的夫瑯禾費(fèi)衍射場含上式屏函數(shù)的夫瑯禾費(fèi)衍射場含9 9列平面衍射波，在焦平面列平面衍射波，在焦平面上將出現(xiàn)上將出現(xiàn)9 9個(gè)衍射斑，其方位角分別為：個(gè)衍射斑，其方位角分別為：12121212(sin ,sin)(0,0),(,0),(0,), (,),(,)ffffff圖圖4.8 4.8 正交密接余弦光柵和衍射場分布正交密接余弦光柵和衍射場分布

16、4.2 4.2 薄透鏡相位變換器薄透鏡相位變換器光電科學(xué)與工程學(xué)院光電科學(xué)與工程學(xué)院 （2 2）衍射屏位于透鏡之前）衍射屏位于透鏡之前d d處處一垂直入射的平面波照射衍射屏，光波從衍射屏傳播到透鏡一垂直入射的平面波照射衍射屏，光波從衍射屏傳播到透鏡前的波函數(shù)為：前的波函數(shù)為：( , )( , )( , )loUx yUx yh x y其中其中 ，( , )oUAt x y( , )h x y4.2 4.2 薄透鏡相位變換器薄透鏡相位變換器光電科學(xué)與工程學(xué)院光電科學(xué)與工程學(xué)院光波光波 通過透鏡后的波函數(shù)為：通過透鏡后的波函數(shù)為：( , )lU x y222222( , ) ( , )( , )(

17、 , ) ( , )xyxyikikFFlloUUx y P x y eUx yh x y P x y e得到透鏡后焦平面的衍射場：得到透鏡后焦平面的衍射場：2222()()2()2()( , )( , )( , )( , )，kkikFiuviux vyFFfokikFiuvFoieUuveUx yh x y edxdyFieeUx yh x yF F 這里沒有考慮透鏡孔徑的有限大小效應(yīng)。上式中積分這里沒有考慮透鏡孔徑的有限大小效應(yīng)。上式中積分是一個(gè)傅立葉變換，被積函數(shù)為兩個(gè)函數(shù)的卷積。是一個(gè)傅立葉變換，被積函數(shù)為兩個(gè)函數(shù)的卷積。4.2 4.2 薄透鏡相位變換器薄透鏡相位變換器光電科學(xué)與工程

18、學(xué)院光電科學(xué)與工程學(xué)院根據(jù)傅里葉變換性質(zhì)，兩個(gè)卷積函數(shù)的傅里葉變換等于它們根據(jù)傅里葉變換性質(zhì)，兩個(gè)卷積函數(shù)的傅里葉變換等于它們分別傅立葉變換的乘積，因此有分別傅立葉變換的乘積，因此有: :22()( , )( , )(,)xyid ffooxyUx yh x yFff eF22()(,)( , ) ,(,)( , )xyid ffoxyoxyFffUAt x yH ffh x yeF= FF其中其中有有：2222(1)()2(1)()()2()(,)( , )，kdikFiuvFFfoxykdkikFiuviuvFFFieUuveFffFAieeted dF 4.2 4.2 薄透鏡相位變換器薄

19、透鏡相位變換器(/,/)xyfuF fvF 光電科學(xué)與工程學(xué)院光電科學(xué)與工程學(xué)院焦平面的衍射場是衍射屏的傅立葉變換，焦平面的衍射場是衍射屏的傅立葉變換，當(dāng)當(dāng)d dF F時(shí)，衍射屏函數(shù)與衍射場是完全的傅里葉變換關(guān)系。時(shí)，衍射屏函數(shù)與衍射場是完全的傅里葉變換關(guān)系。 通過兩種較為簡單情形，在認(rèn)為透鏡孔徑足夠大時(shí)，得通過兩種較為簡單情形，在認(rèn)為透鏡孔徑足夠大時(shí)，得到透鏡焦平面上的衍射場與衍射屏函數(shù)的傅立葉變換成正比到透鏡焦平面上的衍射場與衍射屏函數(shù)的傅立葉變換成正比，更一般的情形這里不作討論，同樣可得到相似的關(guān)系。，更一般的情形這里不作討論，同樣可得到相似的關(guān)系。2222(1)()2(1)()()2(

20、)(,)( , )kdikFiuvFFfoxykdkikFiuviuvFFFieUuveFffFAieeted dF ，4.2 4.2 薄透鏡相位變換器薄透鏡相位變換器光電科學(xué)與工程學(xué)院本節(jié)習(xí)題本節(jié)習(xí)題1 1導(dǎo)出透明薄楔形棱鏡的相位變換函數(shù)和透過率函數(shù)，設(shè)導(dǎo)出透明薄楔形棱鏡的相位變換函數(shù)和透過率函數(shù)，設(shè)棱鏡的楔角為棱鏡的楔角為 ，棱鏡材料的折射率為，棱鏡材料的折射率為n。4.2 4.2 薄透鏡相位變換器薄透鏡相位變換器光電科學(xué)與工程學(xué)院本節(jié)習(xí)題2 2一個(gè)衍射屏，具有下述圓對稱的振幅透過率函一個(gè)衍射屏，具有下述圓對稱的振幅透過率函數(shù)數(shù)211( )cos() circ22rT rrl （1 1）說明衍射屏，具有類似透鏡的性質(zhì)。）說明衍射屏，具有類似透鏡的性質(zhì)。（2 2）給出此屏的焦距表達(dá)式。）給出此屏的焦距表達(dá)式。3 3若用題若用題2 2中的衍射屏作為成像元件有什么缺點(diǎn)中的衍射屏作為成像元件有什么缺點(diǎn)4.2 4.2 薄透鏡相位變換器薄透鏡相位變換器光電科學(xué)與工程學(xué)院習(xí)題答案習(xí)題答案1 1解：解： 由題圖由題圖: : 光在坐