第八節(jié)正弦定理和余弦定理的應(yīng)用

1、知識(shí)能否憶起知識(shí)能否憶起 1實(shí)際問題中的有關(guān)概念實(shí)際問題中的有關(guān)概念 (1)仰角和俯角：仰角和俯角： 在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖如圖1)(2)方位角：方位角：從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為點(diǎn)的方位角為(如圖如圖2)(3)方向角：方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角相對(duì)于某一正方向的水平角(如圖如圖3)北偏東北偏東即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目到達(dá)目標(biāo)方向標(biāo)方向北偏西北偏西即由指北方

2、向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目到達(dá)目標(biāo)方向標(biāo)方向南偏西等其他方向角類似南偏西等其他方向角類似.(4)坡度：坡度：定義：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)定義：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖如圖4，角角為坡角為坡角)坡比：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比坡比：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比(如圖如圖4，i為坡比為坡比)2解三角形應(yīng)用題的一般步驟解三角形應(yīng)用題的一般步驟(1)審題，理解問題的實(shí)際背景，明確已知和所求，審題，理解問題的實(shí)際背景，明確已知和所求，理清量與量之間的關(guān)系；理清量與量之間的關(guān)系；(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實(shí)際問題抽象成解三根據(jù)題意畫出示意圖，將實(shí)際問題抽象成解三角形模

3、型；角形模型；(3)選擇正弦定理或余弦定理求解；選擇正弦定理或余弦定理求解；(4)將三角形的解還原為實(shí)際問題，注意實(shí)際問題將三角形的解還原為實(shí)際問題，注意實(shí)際問題中的單位、近似計(jì)算要求中的單位、近似計(jì)算要求小題能否全取小題能否全取1從從A處望處望B處的仰角為處的仰角為，從，從B處望處望A處的俯角為處的俯角為，則則，之間的關(guān)系是之間的關(guān)系是()ABC90 D180答案：答案：B2若點(diǎn)若點(diǎn)A在點(diǎn)在點(diǎn)C的北偏東的北偏東30，點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)在點(diǎn)C的南偏東的南偏東60，且且ACBC，則點(diǎn)，則點(diǎn)A在點(diǎn)在點(diǎn)B的的 ()A北偏東北偏東15 B北偏西北偏西15C北偏東北偏東10 D北偏西北偏西10解析：如圖所示，

4、解析：如圖所示，ACB90，又又ACBC，CBA45，而而30，90453015.點(diǎn)點(diǎn)A在點(diǎn)在點(diǎn)B的北偏西的北偏西15.答案：答案：B3.(教材習(xí)題改編教材習(xí)題改編)如圖，設(shè)如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)兩點(diǎn) 在河的兩岸，一測(cè)量者在在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，的同側(cè)， 選定一點(diǎn)選定一點(diǎn)C，測(cè)出，測(cè)出AC的距離為的距離為50 m， ACB45，CAB105，則，則 A、B兩點(diǎn)的距離為兩點(diǎn)的距離為()答案：答案：A4(2011上海高考上海高考)在相距在相距2千米的千米的A、B兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)點(diǎn)C，若，若CAB75，CBA60，則，則A、C兩點(diǎn)兩點(diǎn)之間的距離為之間的距離為_千米千米5(2012

5、泰州模擬泰州模擬)一船向正北航行，看見正東方向有相一船向正北航行，看見正東方向有相距距8海里的兩個(gè)燈塔恰好在一條直線上繼續(xù)航行半小海里的兩個(gè)燈塔恰好在一條直線上繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏東時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏東60，另一燈塔在船，另一燈塔在船的南偏東的南偏東75，則這艘船每小時(shí)航行，則這艘船每小時(shí)航行_海里海里答案：答案：8解三角形應(yīng)用題常有以下兩種情形解三角形應(yīng)用題常有以下兩種情形(1)實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)實(shí)際問題經(jīng)抽

6、象概括后，已知量與未知量涉及到實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組組)，解方程，解方程(組組)得出得出所要求的解所要求的解測(cè)量距離問題測(cè)量距離問題 例例1鄭州市某廣場(chǎng)有一塊不鄭州市某廣場(chǎng)有一塊不規(guī)則的綠地如圖所示，城建部門欲規(guī)則的綠地如圖所示，城建部門欲在該地上建造一個(gè)底座為三角形的在該地上建造一個(gè)底座為三角形的環(huán)境標(biāo)志，小李、

7、小王設(shè)計(jì)的底座環(huán)境標(biāo)志，小李、小王設(shè)計(jì)的底座形狀分別為形狀分別為ABC、ABD，經(jīng)測(cè)量，經(jīng)測(cè)量ADBD7米，米，BC5米，米，AC8米，米，CD. (1)求求AB的長(zhǎng)度；的長(zhǎng)度； (2)若不考慮其他因素，小李、小王誰的設(shè)計(jì)使建若不考慮其他因素，小李、小王誰的設(shè)計(jì)使建造費(fèi)用最低造費(fèi)用最低(請(qǐng)說明理由請(qǐng)說明理由) 若環(huán)境標(biāo)志的底座每平方米造價(jià)為若環(huán)境標(biāo)志的底座每平方米造價(jià)為5 000元，試元，試求最低造價(jià)為多少？求最低造價(jià)為多少？求距離問題要注意：求距離問題要注意：(1)選定或確定要求解的三角形，即所求量所在的選定或確定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接解；若有未知量，則把三

8、角形，若其他量已知?jiǎng)t直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解未知量放在另一確定三角形中求解(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理就選擇更便于計(jì)算的定理1.如圖所示，某河段的兩岸可視為平如圖所示，某河段的兩岸可視為平 行，為了測(cè)量該河段的寬度，在河行，為了測(cè)量該河段的寬度，在河 段的一岸邊選取兩點(diǎn)段的一岸邊選取兩點(diǎn)A、B，觀察對(duì)，觀察對(duì) 岸的點(diǎn)岸的點(diǎn)C，測(cè)得，測(cè)得CAB105，CBA45，且，且 AB100 m. (1)求求sin CAB的值；的值； (2)求該河段的寬度求該河段的寬度測(cè)量高度問題測(cè)量高度問題 例

9、例2(2012九江模擬九江模擬)如圖，在如圖，在坡度一定的山坡坡度一定的山坡A處測(cè)得山頂上一建處測(cè)得山頂上一建筑物筑物CD(CD所在的直線與地平面垂直所在的直線與地平面垂直)對(duì)于山坡的斜度為對(duì)于山坡的斜度為，從，從A處向山頂前進(jìn)處向山頂前進(jìn)l米到達(dá)米到達(dá)B后，后，又測(cè)得又測(cè)得CD對(duì)于山坡的斜度為對(duì)于山坡的斜度為，山坡對(duì)于地平面的坡，山坡對(duì)于地平面的坡角為角為. (1)求求BC的長(zhǎng)；的長(zhǎng)； (2)若若l24，15，45，30，求建，求建筑物筑物CD的高度的高度求解高度問題應(yīng)注意：求解高度問題應(yīng)注意：(1)在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念，仰在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是

10、在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾角；角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾角；(2)準(zhǔn)確理解題意，分清已知條件與所求，畫出示準(zhǔn)確理解題意，分清已知條件與所求，畫出示意圖；意圖；(3)運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解問題的答案，注意方程思想的運(yùn)用逐步求解問題的答案，注意方程思想的運(yùn)用2(2012西寧模擬西寧模擬)要測(cè)量底部不能到達(dá)的電視塔要測(cè)量底部不能到達(dá)的電視塔AB的的 高度，在高度，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是的仰角是45，在，在D點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)測(cè)得 塔頂塔頂A的仰角是的仰角是30，并測(cè)得水平面上的，并測(cè)得水平面上的BCD 120

11、，CD40 m，求電視塔的高度，求電視塔的高度測(cè)量角度問題測(cè)量角度問題 例例3(2012太原模擬太原模擬)在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45方向，相距方向，相距12 n mile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10 n mile的速度沿南偏東的速度沿南偏東75方向前進(jìn)，若偵察艇以每小時(shí)方向前進(jìn)，若偵察艇以每小時(shí)14 n mile的速度，沿北偏東的速度，沿北偏東45方向攔截藍(lán)方的小方向攔截藍(lán)方的小艇若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需艇若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)

12、間和角的時(shí)間和角的正弦值的正弦值 自主解答自主解答如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過x小時(shí)后在小時(shí)后在C處處追上藍(lán)方的小艇，追上藍(lán)方的小艇，1測(cè)量角度，首先應(yīng)明確方位角，方向角的含義測(cè)量角度，首先應(yīng)明確方位角，方向角的含義2在解應(yīng)用題時(shí)，分析題意，分清已知與所求，再在解應(yīng)用題時(shí)，分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題中也要注意體會(huì)正、余為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題中也要注意體會(huì)正、余弦定理綜合使用的特點(diǎn)弦定理綜合使用的特點(diǎn)3.(2012無錫模擬無錫模擬)如圖，兩座

13、相距如圖，兩座相距 60 m的建筑物的建筑物AB、CD的高度分的高度分 別為別為20 m、50 m，BD為水平面，為水平面， 則從建筑物則從建筑物AB的頂端的頂端A看建筑物看建筑物 CD的張角的張角CAD的大小是的大小是_答案：答案：45典例典例某港口某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口行的輪船上在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西北偏西30且與且與該港口相距該港口相距20海里的海里的A處，并正以處，并正以30海里海里/小時(shí)的航行速度沿正小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛假設(shè)該小艇沿直線方向以東方向勻速行駛假設(shè)該小艇沿

14、直線方向以v海里海里/小時(shí)的航行小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過速度勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇小時(shí)與輪船相遇(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？大小應(yīng)為多少？(2)為保證小艇在為保證小艇在30分鐘內(nèi)分鐘內(nèi)(含含30分鐘分鐘)能與輪船相遇，試確能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值定小艇航行速度的最小值題后悟道題后悟道解答本題利用了函數(shù)思想，求解時(shí)，把解答本題利用了函數(shù)思想，求解時(shí)，把距離和速度分別表示為時(shí)間距離和速度分別表示為時(shí)間t的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求其最值，第二問應(yīng)注意其最值，第二問應(yīng)注意t的范圍關(guān)于三角形中的最值問的范圍關(guān)于三角形中的最值問題，有時(shí)把所求