數學建模進行投資最優(yōu)化

1、資產最優(yōu)組合摘要本文在充分分析數據的基礎上，運用了模糊評價評估產品近期表現的優(yōu)劣性，利用線性規(guī)劃模型對多種金融產品進行組合，得到最優(yōu)解，最后對模型進行評價。問題一：基于模糊評價模型。本文使用累計收益率、本月平均漲幅、系數（風險指標）3個指標，建立評估模型，來評估金融產品近期的優(yōu)劣性表現。首先用層次分析法給出各項評估指標的權重并進行對指標一致性檢驗，再用熵權法對權重值進行修正；然后建立評估模型，利用模糊評價法得出景順長城內需增長、中郵戰(zhàn)略新興產業(yè)、華夏現金增利貨幣、工銀貨幣、華能國際（穩(wěn)健型）、萬向錢潮（波動型）、*ST中華A（ST型）、國債、萬業(yè)債的模糊評估指標分別為通過以上數據比較可知，股票

2、的表現明顯優(yōu)于債券和基金。問題二：首先構建線性規(guī)劃模型，通過收益最大目標函數和約束條件，求解出最優(yōu)產品組合。其次求解收益對應的系數，繪出收益和風險的折線圖。根據圖示，找到風險變化一單位得到最大收益處的值，得到最優(yōu)解：選擇華能國際（穩(wěn)健型）、萬向錢潮（波動型）、國債、萬業(yè)債、中郵戰(zhàn)略新興產業(yè)、華夏現金增利貨幣的投資量為：3716.556、3752.874、3819.063、52.10025、109.8907、541.8917、41.32636問題三：本文在對選取的指標運用層次分析法賦予權重后，用熵權法對權值進行修正，使權值更為準確。同時，利用綜合評價得出產品的近期優(yōu)劣性表現。但是，本文系數求解考

3、慮較為單一，系數的計算公式可以根據產品公司進行修改。本文運用EXCEL統(tǒng)計了大量數據，利用SPSS軟件進行數據分析，使用MATLAB進行模型求解，使得模型更具合理性，可行性和科學性。關鍵詞：層次分析，一致性檢驗，熵值取權，模糊評價， 線性規(guī)劃 一、問題重述我國現有多種多樣投資產品，例如銀行理財產品，國債，基金，房產，實物黃金，股票，外匯，期貨等等。對于投資者，其投資的主要目的在于獲得較高的收益，但投資的收益受許多不確定因素的影響，均會影響投資的收益情況。這種收益的不確定性使得投資具有風險性，風險與收益是相伴而生的。投資者通過資產組合，可以一定程度上，減少單一風險資產中與市場總體變化無關的那些風

4、險。因此，進行合理的資產組合以達到“低風險，高收益”目的對投資者是有其積極意義的。在這樣的背景下，我們提出問題：問題一： 對不同商業(yè)銀行推出的基金，對穩(wěn)健型、波動性、ST等不同類型股票以及公司債券、國庫券的近期的表現進行分析評價。問題二：按照10萬元的投資額構建資產組合。，構造有效資產組合，力求形成投資組合的多元化效應，需建立怎樣數學模型對資產組合進行風險收益的定量分析，由此得到怎樣的組合方式？問題三：為更好地研究真實金融市場，還需要哪些信息？有了這些信息，如何建立模型解決問題？二、問題的分析對于問題一：對于問題二：我們通過構建線性規(guī)劃模型，通過收益最大目標函數和約束條件，求解出最優(yōu)產品組合。

5、其次求解收益對應的系數，繪出收益和風險的折線圖。根據圖示，找到風險變化一單位得到最大收益處的值，得到最優(yōu)解：三、基本假設1. 建模收集數據真實可靠；。2. 建模中涉及主觀分析的結論基本與事實相符。3.假設產品表現主要受累計收益率、本月平均漲幅、系數的影響。4.假設路段交通需求穩(wěn)定，沒有什么特殊情況。若還有其他特殊的假設,會在后面的建模中聲明.四、主要變量符號說明 為了便于描述問題，我們用一些符號來代替問題中涉及的一些基本變量，如表1所示。表1 主要變量符號說明一覽表系統(tǒng)風險系數權重矩陣模糊關系矩陣E(x)期望值（均值）投資量指標矩陣權重矩陣【注】其余沒有列出的符號，我們將在文章第一次出現時給出

6、具體說明五、問題模型的建立和求解5.1圖表評估本文選取了景順長城內需增長、中郵戰(zhàn)略新興產業(yè)、華夏現金增利貨幣、工銀貨幣這四個基金，華能國際（穩(wěn)健型）、萬向錢潮（波動型）、*ST中華A（ST型）這三種股票，國債、萬業(yè)債這兩種債券，根據上海證券公司，搜集到基金、股票、國債的收益及其漲幅數據。（基金收益數據見表1，其余數據見附錄一）表 1 基金收益狀況基金名稱景順長城內需增長中郵戰(zhàn)略新興產業(yè)華夏現金增利貨幣工銀貨幣日期累計收益當日收益率累計收益當日收益率年化收益年化收益4/1-7.870%0.760%21.630%3.110%5.142%5.414%4/2-8.600%-0.730%20.840%-

7、0.790%5.120%5.481%4/3-8.650%-0.050%20.550%-0.290%5.112%5.523%4/4-7.620%1.030%23.150%2.600%5.119%5.553%4/8-6.780%0.840%22.590%-0.560%5.096%5.474%4/9-5.880%0.900%23.430%0.840%5.138%5.475%4/10-5.230%0.650%22.920%-0.510%5.153%5.519%4/11-5.640%-0.410%21.010%-1.910%5.141%5.491%4/14-5.020%0.620%20.500%-0.5

8、10%5.094%5.394%4/15-5.710%-0.690%20.550%0.050%5.069%5.358%4/16-6.460%-0.750%19.820%-0.730%5.050%5.331%4/17-6.290%0.170%20.840%1.020%5.040%5.336%4/18-5.920%0.370%22.020%1.180%5.032%5.423%4/21-6.990%-1.070%23.770%1.750%5.006%5.334%4/22-9.100%-2.110%22.470%-1.300%4.996%5.284%4/23-10.170%-1.070%22.980%0

9、.510%4.969%5.227%4/24-10.430%-0.260%24.620%1.640%4.951%5.103%4/25-11.390%-0.960%21.570%-3.050%4.932%4.947%根據以上數據，作出基金收益率折線圖（表2），大致觀察收益情況以及波動情況。（股票和債券收益折線圖見附錄一）圖 1 基金收益率折線圖通過計算得到各類產品的平均收益率和波動系數（表2）。波動系數用方差來衡量。表 2 類型名稱平均收益率波動系數基金景順長城內需增長-.1733315.984中郵戰(zhàn)略新興產業(yè)-.5755543.315華夏現金增利貨幣4.2291043.702工銀貨幣4.1969

10、085.206股票華能國際1.84960540.405萬向錢潮1.40275112.862*ST中華A-.91818830.334債券21國債0.07920696.15509萬業(yè)債0.04166962.015從上面的圖表可以得出，在近期，基金的平均收益最高，波動遠小于股票，但大于債券。債券的收益率和年利率較為接近，波動較小。股票雖然平均收益不高，波動系數較大。投資者常常利用它的不穩(wěn)定性，賺取其中的入股與投出時的差價。5.2指標評估表現優(yōu)劣5.1.2層次分析法求權重在定量評估各類投資產品優(yōu)劣的過程中我們考慮到投資產品涉及的直接影響因素，例如產品類型、本月累計收益率、本月平均漲幅、系數、預期收益率

11、等。此處我們考慮到分析實際問題的基本準則是對于最重要因素進行分析，我們可以根據體現產品收益風險的變化性，進一步將其簡化歸類為四個主要因子產品類型、本月累計收益率、本月平均漲幅、系統(tǒng)風險系數。系統(tǒng)風險系數：單項資產系統(tǒng)風險用系數來計量，通過以整個市場作為參照物，用單項資產的風險收益率與整個市場的平均風險收益率作比較。系數可以衡量股票收益相對于業(yè)績評價基準收益的總體波動性。 越高，意味著股票相對于業(yè)績評價基準的波動性越大。其中無風險收益率為中國銀行一年定期利率。若 =1，表示該單項資產的風險收益率與市場組合平均風險收益率呈同比例變化，其風險情況與市場投資組合的風險情況一致;若 >1，說明該單

12、項資產的風險收益率高于市場組合平均風險收益率，則該單項資產的風險大于整個市場投資組合的風險;若 <1，說明該單項資產的風險收益率小于市場組合平均風險收益率，則該單項資產的風險程度小于整個市場投資組合的風險。此處我們利用層次分析法對上述4個因子進行權重分析，基本的層次結構如圖2所示：圖 2 層次分析法示意圖層次分析法是一種定性分析和定量計算相結合的方法，根據相關文獻資料，構造因素間的成對比較矩陣本月累計收益率、本月平均漲幅、系統(tǒng)風險系數比較矩陣首先將矩陣做歸一化處理，然后做按行求和最后將求和結果進行歸一化處理得權重向量又由 可得一致性指標：該結果滿足一致性要求。5.1.3熵值取權法對權重的

13、校正由于層次分析法成對比較矩陣的給出存在一定的主觀因素，于是我們想到了利用熵值取權法進行校正。熵值取權法的優(yōu)勢在于，它是通過判斷各個因素的變化劇烈程度來決定該因素在最終目標中所占的權重。比如累計收益率對于產品的表現影響很大，但是如果在一個時間段里產品累計收益率保持基本不變，但是風險系數卻因市場導致不斷的變化，這樣從熵值取權法的角度來看這對產品表現的影響就比累計收益率大，這與人們的想法也是一樣，同時它和層次分析法得出的結論是互補的且是客觀的。據此，我們利用熵值取權法客觀地給出一個3個因素的1×3的權重矩陣，對層次分析法給出的1×3的權重矩陣，以0.3:0.7的比例進行校正，從

14、而給出最終4個因素對合理化指標的組合權重值矩陣，然后對矩陣進行歸一化處理得到最終的組合權重值矩陣此處我們選取華夏現金增利貨幣、華能國際、國債的基本分析數據建立的指標矩陣：現在對每一個指標的列向量做歸一化處理，其中，于是歸一化后的指標矩陣：計算出中每一個元素的熵值，利用公式，算得一個未加工的權重矩陣，現在利用公式求出權重矩陣：我們利用基本分析數據求解得到：則最終4個因素對合理化指標的組合權重值矩陣：5.1.4建立模糊評價模型在模糊評價模型中我們選取9個產品進行分析對比，具體的分析數據如表3所示：表 3類型產品名稱本月累計收益率本月平均漲幅系數基金景順長城內需增長0.0352 -0.0010 1.

15、3948 中郵戰(zhàn)略新興產業(yè)-0.0006 -0.0041 0.1133 華夏現金增利貨幣0.0033 -0.0001 0.0258 工銀貨幣0.0035 -0.0002 0.0343 股票華能國際0.1500 0.3333 9.5384 萬象錢潮0.1144 -0.3650 9.6481 *ST中華A0.0637 -0.1239 9.8039 債券21國債0.079207 0.0094 0.4486 09萬業(yè)債0.041670 0.0167 1.0583 由上面權重分析我們已經得到了3個的直接影響因素的權重，此處我們利用模糊數學公式將3個評價指標的數字進行模糊處理，建立模糊關系矩陣：由權重分析

16、可知4個影響指標的權重為：把W與模糊關系矩陣相乘得模糊綜合評價結果:對矩陣進行歸一化處理得到最終的模糊綜合評價結果矩陣，即5.1.4結果分析及說明將上述結果整理成表見表4表 4 模糊綜合評價結果產品景順長城內需增長中郵戰(zhàn)略新興產業(yè)華夏現金增利貨幣工銀貨幣華能國際權重0.009710.004840.000720.000900.34040產品萬象錢潮*ST中華A21國債09萬業(yè)債權重0.457850.172050.003320.01022此處將上表模糊結果用餅狀圖表示：從上示餅形圖我們可以清楚地看出股票在產品各個方面的影響優(yōu)于其他類型，從累計收益率上看股票都有著明顯的優(yōu)勢。我們最終利用累計收益率、

17、本月平均漲幅、系統(tǒng)風險系數三個指標綜合評價產品，得到產品表現優(yōu)劣順序（從優(yōu)到劣進行排序）：萬象錢潮>華能國際>*ST中華A>09萬業(yè)債>景順長城內需增長>中郵戰(zhàn)略新興產業(yè)>21國債>工銀貨幣>華夏現金增利貨幣5.2問題二的求解5.2.1數據分析一般來說，人們投資時的收益是不確定的，因此是一個隨機變量，所以除了考慮收益的期望值外，還應當考慮風險。風險用什么衡量？在投資上，常用系數用來衡量個別股票或股票基金相對于整個股市的價格波動情況。系數是一種評估證券系統(tǒng)性風險的工具，用以度量一種證券或一個投資證券組合相對總體市場的波動性，在股票、基金等投資術語中

18、常見。在一定的假設下，用收益的方差（或標準差）來衡量風險確實是合適的。為此，我們先對表6中給出的數據計算出三種股票收益的均值和方差（包括協(xié)方差）備用，得到表7。一種股票收益的均值衡量的是這種股票的平均收益狀況，而系數衡量的是這種股票收益的波動幅度，系數越大則波動越大（收益越不穩(wěn)定）。兩種股票收益的協(xié)方差表示的則是它們之間的相關程度：（1）協(xié)方差為0時兩者不相關。（2）協(xié)方差為正數表示兩者正相關，協(xié)方差越大則正相關性越強（越有可能一賺皆賺，一賠俱賠）。（3）協(xié)方差為負數表示兩者負相關，絕對值越大則負相關性越強（越有可能一個賺，另一個賠）表 5 選取產品股票1股票2股票3債券1債券2基金1基金2華

19、能國際萬向錢潮*ST中華A21國債09萬業(yè)債中郵華夏表 6ABCDEFG時期股票1股票2股票3債券1債券2基金1基金215.0659.636.3399.4899.842.1542.41525.1059.76.2199.4499.882.142.29135.119.7856.1298.8999.942.1352.33345.0659.886.1399.14 99.97 2.1812.37955.1310.066.18598.8299.982.1412.38765.18510.326.1998.9100.172.1862.37475.3210.676.2698.95100.172.1772.368

20、5.44510.9056.2699.27100.151.1432.3695.39511.236.1799.38100.142.1342.343105.3611.4056.1599.55100.041.1352.341115.37510.9556.15599.48100.152.1222.34125.3611.146.0799.7100.132.142.341135.30511.4455.97599.83100.172.1612.342145.2611.355.9999.97100.232.1922.324155.2310.9356.07599.78100.192.1692.321165.325

21、10.276.23599.83100.152.1782.29175.35510.0156.3599.48100.152.2072.31185.369.656.25599.78100.162.1532.307表 7ABCDEFG時期股票1股票2股票3債券1債券2基金1基金2期望值E(x)5.26410.5206.1727799.426100.0892.0472.342方差Var(X)0.0150.4410.01070.1320.0140.1160.001標準方差S(x)0.1240.6640.1030.3630.11630.3400.033相關系數CORREL股票1與股票2股票1與股票3股票1與

22、債券1股票1與債券2股票2與股票3股票2與債券1股票2與債券20.61970.02980.39100.7405-0.61010.38500.6237股票3與債券1股票3與債券2股票1與基金1股票1與基金2股票2與基金1股票2與基金2股票3與基金1股票3與基金2-0.3197-0.2788-0.4054-0.3664-0.3495-0.3495-0.10330.1099系數股票1股票2股票3國債1國債2基金1基金29.53849.64819.80390.44861.05831.39480.1133收益率y0.15000.11440.06377.92074.16700.0352-0.00065.2

23、.2線性規(guī)劃模型建立本問題的決策變量是各投資項目的投資比例。本問題的目標函數是投資組合的風險最小，即投資組合總回報率的方差最小。建立線性規(guī)劃模型如下：設7個理財產品的投資量分別為產品的投資價（這里視為均價）為 風險用系數進行估計，各產品風險為。本文設定目標函數為：約束條件為：5.2.2模型求解模型采用excel進行線性規(guī)劃求解：得到目標函數和風險表如圖3和表8所示圖 3 單個收益與風險表表 8 收益-風險表收益值風險值收益值風險值5000197.0487505600002364.5850061000003940975009400001576.390004500001970.4875054500

24、01773.4387541000002406.8017421020002349.3855778000315.27800081080002177.13759620000788.19500191100002119.721431利用SPSS進行數據處理，畫出折現圖（圖4）：圖 4 收益-風險圖由圖4，可以看到在風險在1900-2100之間收益和風險所成比例大于其他位置處的比例。由此，我們可以判斷出，在此處風險改變一點，但是收益會有巨大改變，因此我們選擇最高點風險為2119.721，此處收益達到最大值。最后得到如下解目標收益為：110000風險為2119.721比例為： 選擇華能國際（穩(wěn)健型）、萬向錢

25、潮（波動型）、國債、萬業(yè)債、中郵戰(zhàn)略新興產業(yè)、華夏現金增利貨幣的投資量為：3716.556、3752.874、3819.063、52.10025、109.8907、541.8917、41.32636六、模型評價與改進6.1模型優(yōu)點評述：1）本文根據累計收益率、本月平均漲幅、系數來評價產品近期的優(yōu)劣性，更加直觀。2）在問題一中，對選取的指標運用層次分析法賦予權重后，用熵權法對權值進行修正，使權值更為準確。2）SPSS、EXCEL數據統(tǒng)計，MATLAB嚴格地對模型求解，具有科學性。6.2模型缺點及改進方向：1）問題一中，系數求解考慮較為單一。系數和產品上市公司有直接關系。所以在系數計算公式中應該能

26、夠體現出公司自身特點。公司成立年限，近期累計收益和近期漲幅直接影響投資風險。所以可以用上面三個因素加權替換原來的同類市場收益率。2）產品的收益計算欠妥。股票收益可能來源于買入和賣出的差價，而不僅僅是最終的分紅。3）未考慮投資者的心理因素變量。參考文獻：1 趙清斌， 劉東波， 高廣闊，股票組合投資一個優(yōu)化模型構建研究，科技與管理，第14卷第2期，2012年3月 2 榮喜民，張喜彬，張世英.組合證券投資模型研究J. 系統(tǒng)工程學報，1998，13（1）：81- 88.3蘇潔，改進熵值法問題的初探，浙江理工大學4 董小平，資產投資的多目標規(guī)劃模型，甘肅教育學院學報，2000，14（4）：9- 13.5

27、 馬永開，基于因素模型的組合投資決策方法研究，成都：電子科技大學，2004：4- 5.6 上海交易所， 附錄一基金國債附錄二一、熵值取權法 clccleara=0.0033  -0.0001  0.0258     0.1500  0.3333  9.5384;    0.079207  0.0094  0.4486 s=zeros(1,3);for j=1:3    for i=1:3        s(j)=s(j)+a(i,j);for m=1:3    for n=1:3        b(n,m)=a(n,