金融工程 (5)

1、12股票指數(shù)，是運用統(tǒng)計學(xué)中的指數(shù)方法編制而成的、反映股市中總體股價或某類股票價格變動和走勢情況的一種相對指標(biāo)。 如DJIA 、SP500、中國滬深300指數(shù)。以股票指數(shù)作為標(biāo)的資產(chǎn)的股票指數(shù)期貨，則是指交易雙方約定在將來某一特定時間交收“一定點數(shù)的股價指數(shù)”的標(biāo)準(zhǔn)化期貨合約，通常簡稱為股指期貨。如滬深300指數(shù)期貨、SP500指數(shù)期貨。3股指期貨交易特殊性股指期貨交易特殊性 ：（1）現(xiàn)金結(jié)算交割；（2）股指期貨的合約規(guī)模不是固定的，而是按照開立股指期貨頭寸時的價格點數(shù)乘以每個指數(shù)點所代表的金額。 4股價指數(shù)可以近似地看作是支付已知收益率的資產(chǎn) ,在無套利的市場條件下 : (3.7)注意式（3

2、.7）的例外：在CME交易的以美元標(biāo)價的日經(jīng)225指數(shù)期貨無法使用式（3.7）進行定價。5()()r q T tFSe6以買現(xiàn)貨賣期貨套現(xiàn)為例以買現(xiàn)貨賣期貨套現(xiàn)為例:美美元元日本日本美國美國原因在于：該期貨的標(biāo)的資產(chǎn)為在日本大阪證券交易所交易的原因在于：該期貨的標(biāo)的資產(chǎn)為在日本大阪證券交易所交易的以日元計價的日經(jīng)以日元計價的日經(jīng)225股價平均數(shù)，而該期貨是以美元計價的，股價平均數(shù)，而該期貨是以美元計價的，合約規(guī)模為日經(jīng)合約規(guī)模為日經(jīng)225股價平均數(shù)乘以股價平均數(shù)乘以5美元，而且該合約實行現(xiàn)美元，而且該合約實行現(xiàn)金結(jié)算，這樣我們就無法通過無套利定價方法來定價。金結(jié)算，這樣我們就無法通過無套利定價

3、方法來定價。指數(shù)套利指數(shù)套利（ Index Arbitrage ）：當(dāng)股指期貨的實際價格偏離理論價格時，市場就存在著套利機會。l “程序交易”（ Program Trading ） 7若實際的期貨價格高于理論價格，即 ，投資者可以通過買入該股票指數(shù)的成分股并賣出相應(yīng)的股指期貨，期貨到期賣出股票交割股指期貨進行套利；若實際的期貨價格低于理論價格，即 ，則投資者可以賣空該股票指數(shù)的成分股，買入相應(yīng)的股指期貨，期貨到期買回股票交割股指期貨進行套利。注：套利者常常通過交易一些與股指變動同步的代表性股票進行指數(shù)套利。由計算機進行打包交易（程序交易）8()()r q T tGSe()()r q T tGS

4、e1. 多頭套期保值與空頭套期保值股指期貨的標(biāo)的資產(chǎn)是市場股票指數(shù)，因此運用股指期貨進行套期保值，管理的是股票市場的系統(tǒng)性風(fēng)險。 股指期貨的套期保值操作中較多存在交叉套期保值的現(xiàn)象，股指期貨的標(biāo)的資產(chǎn)是特定的市場指數(shù)，而被保值對象則可以是市場中特定的股票、股票組合或市場指數(shù)組合。92. 股指期貨的最優(yōu)套期保值比率一元線性回歸方程CAPM 10HGrab r)(RHfMfrRrHab G 2. 股指期貨的最優(yōu)套期保值比率第四章所推導(dǎo)的最小方差套期保值比率適用于股指期貨： 注意這個式子與CAPM衡量股票系統(tǒng)性風(fēng)險的系數(shù)的公式極為類似： （5.1）11HHGGn2iMiiMMMR RRR RRR如果

5、：（1）所表示的市場指數(shù)組合與我們用于套期保值的股指期貨價格變動一致；（2）套期保值期間，被套期保值的股票組合的系數(shù)能很好地代表其真實的系統(tǒng)性風(fēng)險，則的確是股指期貨最優(yōu)套期保值比率的一個良好近似。 12MR案例案例 ：滬深：滬深300股指期貨套期保值股指期貨套期保值 假設(shè)某投資經(jīng)理管理著一個總價值為 40 000 000 元的多樣化股票投資組合并長期看好該組合，該組合相對于滬深300指數(shù)的 系數(shù)為 1.22 。2012年 3月 14日，該投資經(jīng)理認(rèn)為短期內(nèi)大盤有下跌的風(fēng)險，可能會使投資組合遭受損失，決定進行套期保值。13案例案例 ：滬深：滬深300股指期貨套期保值股指期貨套期保值 假定用 20

6、12年 4 月到期深滬300股指期貨來為該投資組合未來一個月的價值變動進行套期保值。2012 年 3 月 14 日該股指期貨價格為 2627 點。 如果運用最小方差套期保值比率并以該投資組合的 系數(shù)作為近似，需要賣出的期貨合約數(shù)目應(yīng)等2261.92622627 300份當(dāng)前文所述的兩個條件滿足時，運用系數(shù)進行的股指期貨套期保值往往可以使投資者的整體投資組合的系統(tǒng)性風(fēng)險為零。 假設(shè)某投資者希望將其原有組合中的部分股票轉(zhuǎn)化為短期國庫券，她可以利用股指期貨而無需出售股票達(dá)到這一效果：保留該部分股票，同時根據(jù)系數(shù)出售與該部分股票價值相對應(yīng)的股指期貨空頭，就可以創(chuàng)建一個合成的短

7、期國庫券（Synthetic T-Bill）。股票多頭股指期貨空頭短期國庫券多頭15反過來，投資者同樣也可以利用短期國庫券的多頭和股指期貨的多頭創(chuàng)建一個合成的股票組合（Synthetic Equity Position），達(dá)到將原有的短期國庫券轉(zhuǎn)化為股票組合的目的。163. 改變投資組合的系統(tǒng)性風(fēng)險暴露投資者可以利用股指期貨，根據(jù)自身的預(yù)期和特定的需求改變股票投資組合的系數(shù)，從而調(diào)整股票組合的系統(tǒng)性風(fēng)險與預(yù)期收益。 設(shè)定股票組合的原系數(shù)為，目標(biāo)系數(shù)為。則套期保值比率就應(yīng)該為，需要交易的股指期貨份數(shù)為 （5.2） 和分別代表股票投資組合的總價值與一份股指期貨合約的規(guī)模。17*HGVVHVGV當(dāng)時

8、，意味著投資者希望提高所承擔(dān)的系統(tǒng)性風(fēng)險，獲取更高的風(fēng)險收益，應(yīng)進入股指期貨多頭，式（5.2）大于零； 當(dāng)時，意味著投資者希望降低所承擔(dān)的系統(tǒng)性風(fēng)險，應(yīng)進入股指期貨空頭，式（5.2）小于零。 顯然最優(yōu)套期保值比率是目標(biāo)的特例。 18*0在實際中，人們常常用 （5.3）代替式（5.2）。當(dāng)前文所述的兩個條件不成立時，系數(shù)不是股指期貨最優(yōu)套期保值比率b的一個良好近似，就需要使用式（5.3）進行改善。19*/HGVbV20 普通的遠(yuǎn)期外匯協(xié)議是在當(dāng)前時刻由買賣雙方確定未來某一時刻按約定的遠(yuǎn)期匯率買賣一定金額的某種外匯。 我們采用支付已知收益率資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價公式為直接遠(yuǎn)期外匯協(xié)議定價。 21可以得

9、到直接遠(yuǎn)期外匯協(xié)議的遠(yuǎn)期價值為 （5.4）遠(yuǎn)期匯率為 （5.5）式（5.5）就是國際金融領(lǐng)域著名的利率平價關(guān)系。 u若 , 外匯遠(yuǎn)期貼水；u若 , 外匯遠(yuǎn)期升水。22frrfrr()()frT tr T tfSeKe()()fr rT tFSe遠(yuǎn)期外匯綜合協(xié)議的概念遠(yuǎn)期外匯綜合協(xié)議的概念 遠(yuǎn)期外匯綜合協(xié)議是指從未來某個時點起算的遠(yuǎn)期外匯協(xié)議，即當(dāng)前約定未來某個時點的遠(yuǎn)期匯率，其實質(zhì)是遠(yuǎn)期的遠(yuǎn)期。 交割方式：實物交割 現(xiàn)金結(jié)算23實際中，實物交割是，雙方在當(dāng)前t時刻約定買方在結(jié)算日T時刻按照協(xié)議中規(guī)定的結(jié)算日遠(yuǎn)期匯率K用第二貨幣（本幣）向賣方買入一定名義金額A的原貨幣（外幣），然后在到期日T*時

10、刻再按合同中規(guī)定的到期日遠(yuǎn)期匯率K*把一定名義金額（在這里假定也為A）的原貨幣出售給賣方。 在這里，所有的匯率均指用第二貨幣表示的一單位原貨幣的匯率。為論述方便，我們把原貨幣簡稱為外幣，把第二貨幣簡稱為本幣。 24遠(yuǎn)期外匯綜合協(xié)議的定價遠(yuǎn)期外匯綜合協(xié)議的定價遠(yuǎn)期外匯綜合協(xié)議多頭的現(xiàn)金流為：T時刻：A 單位外幣減 AK本幣T*時刻：AK*本幣減 A單位外幣 這些現(xiàn)金流的現(xiàn)值即為遠(yuǎn)期外匯綜合協(xié)議多頭的價值f 。（5.6)25*()()()*()()()()()()()*ffffrT trTtr T trTtr rT trrTtr T trTtfASeAKeAK eASeAeSeKAeKSe遠(yuǎn)期匯率

11、就是令合約價值為零的協(xié)議價格 ，因此(5.7) (5.8) 從上述討論中我們可以看到，遠(yuǎn)期外匯綜合協(xié)議可以理解為約定的是未來T時刻到T*時刻的遠(yuǎn)期差價。將 F 和 F* 代入 ERA 價值公式可得甲方的ERA價值為26()()fr rT tFSe*()()*frrTtFSe*r Ttr T tAeFKAeKF27 現(xiàn)金結(jié)算：ERA 約定的是未來 T 到 T* 時刻的遠(yuǎn)期升貼水WK。買賣雙方在T時刻用本幣按照真實升貼水幅度W與WK 的差異結(jié)算外幣升貼水變化帶來的損益。 在任意時刻，合理的升貼水幅度為WF=F*-F 對于甲方而言， 任意t時刻ERA的價值為對于甲方而言，到期T時刻的結(jié)算盈虧為 *t

12、Ktr Ttr TttPVA WWPVAKKFFPVAFKKFA eFKA eKF*r TTTA SKA eKF案例案例 ： ERA 定價定價 2007 年 10 月 10 日，倫敦銀行同業(yè)拆借 3 個月期美元利率為 5.2475% ，1 年期美元利率為 5.0887% ，3 個月期日元利率為 1.0075% ，1 年期日元利率為 1.1487% 。 同時，美元對日元的即期匯率為 0.0085 美元/日元。本金 1 億日元的 3 個月 1 年 ERA 的 3 個月合同遠(yuǎn)期匯率為 0.008615 美元/日元，1 年合同遠(yuǎn)期匯率為 0.008865 美元/日元。 請問該合約理論上的遠(yuǎn)期匯率、遠(yuǎn)期

13、差價和遠(yuǎn)期價值等于多少？28案例案例 ： ERA 定價定價 3 個月期理論遠(yuǎn)期匯率為 1 年期理論遠(yuǎn)期匯率為 3 個月 1 年理論遠(yuǎn)期差價為29日元美元/000251. 0008591. 0008842. 0*FFW(0.052475 0.010075) 0.250.00850.008591/Fe美元 日元(0.050887 0.011487) 1*0.00850.008842/Fe美元 日元案例案例 ： ERA 定價定價 根據(jù)公式（ 5.9），對于合約甲方而言，該 ERA 價值為：300.052475 0.250.050887 10.0085910.0086151182.830.008865

14、0.008842 ee億美元31遠(yuǎn)期利率協(xié)議（FRA）是買賣雙方同意從未來某一商定的時刻開始的一定時期內(nèi)按協(xié)議利率借貸一筆數(shù)額確定、以具體貨幣表示的名義本金的協(xié)議。 (案例5.3）FRA常見的做法是進行現(xiàn)金結(jié)算，即結(jié)算金額為利差的貼現(xiàn)值。因此，F(xiàn)RA中的本金通常被稱為“名義本金”。32注意，F(xiàn)RA的多方為利息支付者，即名義借款人，其訂立FRA的目的主要是為了規(guī)避利率上升的風(fēng)險。相應(yīng)地，F(xiàn)RA的空方則是利息獲得者，即名義貸款人，其訂立FRA的目的主要是為了規(guī)避利率下降的風(fēng)險。 在遠(yuǎn)期利率協(xié)議中，遠(yuǎn)期價格就是遠(yuǎn)期利率協(xié)議中的理論協(xié)議利率，或稱為遠(yuǎn)期利率（Forward Interest Rate）

15、，這是金融工程中最重要的概念之一。 33 遠(yuǎn)期利率是指現(xiàn)在時刻的將來一定期限的利率， 而即期利率是指當(dāng)前時刻起一定期限的利率。2007.9.12007.10.12007.11.112007.12.12008.1.112遠(yuǎn)期利率23遠(yuǎn)期利率34遠(yuǎn)期利率1個月即期利率2個月即期利率24遠(yuǎn)期利率34遠(yuǎn)期利率如何決定？ 遠(yuǎn)期利率是由一系列即期利率決定的。 假設(shè)現(xiàn)在時刻為 t，T 時刻到期的即期利率為 r，T*時刻（）到期的即期利率為，則t時刻的期間的遠(yuǎn)期利率 應(yīng)滿足以下等式: （5.11）若式（5.11）不成立，就存在套利空間。*r35Fr*TT*TT*FrTTrTtr T teee*FrTTrTtr

16、 Tt對（5.11） 變形可得： （5.12）這是遠(yuǎn)期利率的常用計算公式，進一步變形可得 （5.13）36*FrTtr TtrTT*FrTTrTtr TtTtrrrrTTTT 如果即期利率期限結(jié)構(gòu)在期間是向上傾斜的，即，則； 如果即期利率期限結(jié)構(gòu)在期間是向下傾斜的，即，則。37*TT*TT*rr*Frr*rr*Frr考慮時刻 t 的兩個遠(yuǎn)期利率協(xié)議，它們的名義本金均為A，約定的未來期限均為，第一個FRA的協(xié)議利率采用市場遠(yuǎn)期利率，第二個FRA的協(xié)議利率為。顯然，這兩個FRA之間的唯一不同就是時刻的利息支付。換句話說，t時刻第二個FRA與第一個FRA的價值差異就是 時刻不同利息支付的現(xiàn)值（5.1

17、4） 38*TTFrKr*T*T*( *)( *)KFrTtrTTrTTAeAee 由于第一個FRA中的協(xié)議利率為理論遠(yuǎn)期利率，其遠(yuǎn)期價值應(yīng)為零。則第二個FRA的價值就等于式（5.14）。式（5.14）適合于任何協(xié)議利率為 的遠(yuǎn)期利率協(xié)議價值的計算。 39Kr40利率期貨是指以利率敏感證券作為標(biāo)的資產(chǎn)的期貨合約。人們通常按合約標(biāo)的期限，將利率期貨分為短期利率期貨和長期利率期貨。41 短期利率期貨是以（期貨合約到期時）期限不超過1年的貨幣市場利率工具為交易標(biāo)的的利率期貨，其典型代表為在CME交易的3個月歐洲美元期貨；長期利率期貨是以（期貨合約到期時）期限超過1年的資本市場利率工具為交易標(biāo)的的利率

18、期貨，其典型代表為在CBOT交易的長期美國國債期貨（30 Year U.S. Treasury Bonds Futures）。42利率遠(yuǎn)期和利率期貨在本質(zhì)上是相同的，但交易所對利率期貨的交易制度安排使得它們之間出現(xiàn)了一定的差異，主要體現(xiàn)在： 第一，遠(yuǎn)期利率協(xié)議報出的是遠(yuǎn)期利率，而利率期貨所報出的通常并非期貨利率，而是與期貨利率反向變動的特定價格，期貨利率隱含在報價中。第二，由于上述區(qū)別，利率期貨結(jié)算金額為期貨到期T時刻協(xié)議價與市場結(jié)算價之差，遠(yuǎn)期利率協(xié)議的結(jié)算金額則為計息期末 時刻利差的貼現(xiàn)值。*T43 第三，利率期貨存在每日盯市結(jié)算與保證金要求，加上結(jié)算金額計算方式的不同，決定了遠(yuǎn)期利率與期

19、貨利率的差異。 第四，遠(yuǎn)期利率協(xié)議中的多頭是規(guī)避利率上升風(fēng)險的一方，而利率期貨的多頭則是規(guī)避期貨價格上升風(fēng)險，即規(guī)避利率下跌風(fēng)險的一方。 第五，遠(yuǎn)期利率協(xié)議通常采用現(xiàn)金結(jié)算，而利率期貨可能需要實物交割，期貨交易所通常規(guī)定多種符合標(biāo)準(zhǔn)的不同證券均可用以交割，使得利率期貨相對復(fù)雜。44 在CME交易的歐洲美元期貨，其標(biāo)的資產(chǎn)是自期貨到期日起3個月期的歐洲美元定期存款。 表5-3列出了CME場內(nèi)交易的歐洲美元期貨合約的主要規(guī)定。 在 CME 集團交易，短期利率期貨中交易最活躍的品種知識點提示：所謂“歐洲美元”，是指存放于美國境外的非美國銀行或美國銀行境外分支機構(gòu)的美元存款，3個月期的歐洲美元存款利率

20、主要基于3個月期的LIBOR利率。 45歐洲美元期貨合約條款歐洲美元期貨合約條款46歐洲美元期貨報價歐洲美元期貨報價47 歐洲美元期貨報價中的所謂“貼現(xiàn)率”實際上就是期貨利率。 而歐洲美元期貨的報價Q則是以“100期貨利率100”給出的，市場稱之為“IMM指數(shù)” 。 由于IMM指數(shù)與市場利率反向變動，一個規(guī)避利率上升風(fēng)險者應(yīng)進入歐洲美元期貨的空頭，而一個規(guī)避利率下跌風(fēng)險者應(yīng)進入歐洲美元期貨的多頭。 一份歐洲美元期貨合約的合約價格： 10, 000 (100 0.25 (100 Q) 48例，2007年7月20日，將于2007年9月17日到期的歐洲美元期貨合約EDU07結(jié)算報價為94.6650，

21、對應(yīng)的合約價格為10000 (100 0.25 (100 94.6650)=986662.5相應(yīng)的貼現(xiàn)率(Discount)為5.3350。這意味著市場認(rèn)為2007年9月17日的LIBOR年利率將為5.3350，也就是說，3個月貼現(xiàn)率約為 495.3350%1.3375%4在對歐洲美元期貨進行結(jié)算時，關(guān)鍵在于計算IMM指數(shù)變動量（或期貨利率變動量）。 期貨利率每個基點(0.01)的變動，意味著期貨報價（IMM指數(shù)）變動0.01，一份合約價值變動 50110000 0.01254美元對于一份歐洲美元期貨合約來說，期貨利率每下降0.01，IMM指數(shù)就上升0.01，期貨多頭盈利（期貨空頭虧損）25美

22、元；期貨利率每上升0.01,IMM指數(shù)下跌0.01，期貨多頭虧損（期貨空頭盈利）25美元。歐洲美元期貨的到期結(jié)算價為到期多頭盈虧為5110013LIBOR實際 個月期1001100 2510000 25Q期貨利率LIBORLIBOR知識點提示：多頭總是規(guī)避價格上升風(fēng)險的交易者 ，而利率期貨的多頭則是規(guī)避期貨價格的上升風(fēng)險，即規(guī)避利率下跌風(fēng)險的一方。 案例案例 2011 年 9 月 19 日 EDU11 到期時，3 個月期美元LIBOR 年利率為 0.25% ，相應(yīng)地 EDU11 最后結(jié)算價為 99.75 。 如果忽略持有期間的盯市結(jié)算與保證金要求，一個于2011年 9 月 6 日以 99.62

23、 買入 EDU11 的交易者在該筆交易上盈利： (99.75 99.62) 100 25 = 325 美元52 歐洲美元期貨合約與遠(yuǎn)期利率協(xié)議都鎖定了未來一定期限的利率。 1 年以下的到期期限， 期貨利率 遠(yuǎn)期利率 長期：差異不能忽略 53 對于更長期限的期貨合約和遠(yuǎn)期合約來說，它們之間在交易機制上的差異就不能忽略了。具體來看主要有兩個差異：（1）遠(yuǎn)期利率協(xié)議一次性到期，而歐洲美元期貨每日盯市結(jié)算且有保證金要求；（2）遠(yuǎn)期利率協(xié)議的利息結(jié)算是在計息期末時刻進行的,而歐洲美元期貨的利息結(jié)算則是在計息期初時刻T進行的。 54*T在CBOT交易的長期美國國債期貨是長期利率期貨中交易最活躍的品種之一。

24、其標(biāo)的資產(chǎn)是從交割月的第一天算起剩余期限長于（包括等于）15年小于25年且在15年內(nèi)不可贖回的面值為100 000美元的任何美國長期國債。其到期月份為3月季度循環(huán)月。美國長期國債屬于附息債券，在期貨存續(xù)期內(nèi)常常會定期支付現(xiàn)金收益。55美國長期國債期貨合約條款美國長期國債期貨合約條款56長期國債期貨的報價方式是以美元和美元報出每100美元面值債券的價格。由于合約規(guī)模為面值100 000美元，因此80-16的報價意味著一份長期美國國債期貨的合約價格是美元。 132161000 80805003257注意，無論是現(xiàn)貨還是期貨，附息票債券報價與多方實際支付（或空方實際收到）的現(xiàn)金是不同的。附息票債券現(xiàn)

25、貨或期貨交割時多方實際支付和空方實際收到的價格是全價，又被稱為現(xiàn)金價格或發(fā)票價格；而債券報價時通常報出凈價?，F(xiàn)金價格=報價（凈價）+上一個付息日以來的應(yīng)計利息58案例案例 ：附息票債券的現(xiàn)金價格與報價：附息票債券的現(xiàn)金價格與報價 2007 年 10 月 3 日，將于 2027 年 11 月 15 日到期、息票率為 6.125% 的長期國債 A 收盤報價為 118.11 ?？梢耘袛?，該債券上一次付息日為 2007 年 5 月 15 日，下一次付息日為 2007 年 11 月 15 日。59案例：附息票債券的現(xiàn)金價格與報價案例：附息票債券的現(xiàn)金價格與報價 由于 2007 年 5 月 15 日到 2

26、007 年 10 月 3 日之間的天數(shù)為 141 天，2007 年 5 月 15 日到 2007 年 11 月 15 日之間的天數(shù)為 184 天，因此 2007 年 10 月 3 日，該債券每100 美元面值的應(yīng)計利息等于 因此該國債的現(xiàn)金價格為606.1251412.3472184美元美元457.120347. 211.118長期國債期貨空頭可以選擇從交割月第一天起剩余期限長于（包括等于）15年且在15年內(nèi)不可贖回的任何美國長期國債進行交割。為了使不同的可交割債券價值具有可比性，交易所引入了標(biāo)準(zhǔn)券和轉(zhuǎn)換因子的概念。 61標(biāo)準(zhǔn)券標(biāo)準(zhǔn)券是一種虛擬的證券，其面值為1美元，息票率為6，在交割月的第一

27、天時的剩余到期期限為15年整。CBOT交易的長期國債期貨合約報價就是該標(biāo)準(zhǔn)券的期貨報價。實際的可交割債券報價均按照一定的轉(zhuǎn)換比率折算成該標(biāo)準(zhǔn)券的報價，從而使得不同可交割的債券價值具有了可比性。62轉(zhuǎn)換因子（Conversion Factor）具體來看，各種可交割債券報價與上述標(biāo)準(zhǔn)券報價的轉(zhuǎn)換是通過轉(zhuǎn)換因子（Conversion Factor）來實現(xiàn)的。該轉(zhuǎn)換因子等于面值每1美元的可交割債券的未來現(xiàn)金流按6%的年到期收益率（每半年計復(fù)利一次）貼現(xiàn)到交割月第一天的價值，再扣掉該債券1美元面值的應(yīng)計利息后的余額。 63在計算轉(zhuǎn)換因子時，債券的剩余期限只取3個月的整數(shù)倍，多余的月份舍掉。如果取整數(shù)后，

28、債券的剩余期限為半年的倍數(shù)，就假定下一次付息是在6個月之后，否則就假定在3個月后付息。（有關(guān)轉(zhuǎn)換因子的進一步理解與計算詳見案例5.6的第一部分）64案例案例 ：轉(zhuǎn)換因子的計算：轉(zhuǎn)換因子的計算 2007 年 12 月，代碼為 USZ7 的長期國債期貨到期。由于案例 5.4 中的債券 A 在 2007 年 12 月 1 日時的剩余期限為 19 年 11 個月又 15 天且不可提前贖回，因而是該國債期貨的可交割債券。根據(jù)計算規(guī)則，在計算轉(zhuǎn)換因子時應(yīng)取 3 個月的整數(shù)倍，從而該債券在 2007 年 12月 1 日的剩余期限近似為 19 年 9 個月，下一次付息日近似假設(shè)為 2008 年 3 月 1 日

29、。65案例：轉(zhuǎn)換因子的計算案例：轉(zhuǎn)換因子的計算 面值每 1 美元的該債券未來現(xiàn)金流按 6% 到期收益率貼現(xiàn)至 2007 年 12 月 1 日的價值為66393906.125%121.031.031.02951 ( 1.031)i案例：轉(zhuǎn)換因子的計算案例：轉(zhuǎn)換因子的計算 根據(jù)轉(zhuǎn)換因子的定義，轉(zhuǎn)換因子等于該現(xiàn)值減去應(yīng)計利息，在計算轉(zhuǎn)換因子的假設(shè)條件下，該債券有 3 個月的應(yīng)計利息。故此對于 2007 年 12 月到期的長期國債期貨而言，這個債券的轉(zhuǎn)換因子等于676.125%1.02951.01424 在實際中，轉(zhuǎn)換因子是由交易所計算并公布的。 算出轉(zhuǎn)換因子后，我們就可算出期貨空方交割100美元面值

30、的特定債券應(yīng)收到的現(xiàn)金：空方收到的現(xiàn)金空方收到的現(xiàn)金=期貨報價期貨報價 交割債券的轉(zhuǎn)換因子交割債券的轉(zhuǎn)換因子+交割債券的應(yīng)計交割債券的應(yīng)計利息利息 （5.16）上式中，期貨報價是指標(biāo)準(zhǔn)券的期貨報價，而空方收到的現(xiàn)金實際上就是期貨合約的實際現(xiàn)金價格或發(fā)票價格。注意，式中的應(yīng)計利息是交割債券在實際交割日的真實應(yīng)計利息。 68案例案例 ：國債期貨現(xiàn)金價格的計算：國債期貨現(xiàn)金價格的計算 2007 年 10 月 3 日，上述 USZ7 國債期貨報價為 111.27美元。假設(shè)空方定于 2007 年 12 月 3 日用債券 A 進行交割，一份 USZ7 國債期貨的實際現(xiàn)金價格應(yīng)為69.1000111 27

31、1 0142+應(yīng)計利息案例案例 ：國債期貨現(xiàn)金價格的計算：國債期貨現(xiàn)金價格的計算 交割日 2007 年 12 月 3 日距上一次付息日 2007 年 11 月15 日天數(shù)為 18 天，前后兩次付息日 2007 年 11 月 15 日與 2008 年 5 月 15 日之間的天數(shù)為 182 天。因此 2007年 12 月 3 日，債券 A 每 100 美元面值的應(yīng)計利息等于 因此，空方交割債券 A 可得到的實際現(xiàn)金收入應(yīng)為70.6 125180 3032182美元1000 (111.27 1.01420.303)113153美元 轉(zhuǎn)換因子的不足轉(zhuǎn)換因子的不足 理想的轉(zhuǎn)換因子應(yīng)是兩種債券的真實價格之

32、比，才能保證轉(zhuǎn)換之后所有可交割券之間完全平等 由于轉(zhuǎn)換因子諸多假設(shè)，天然導(dǎo)致不同債券之間并非完美公平轉(zhuǎn)換相對合算和不合算 作為有選擇權(quán)的賣方，會選哪個券交割？71轉(zhuǎn)換因子制度固有的缺陷和市場定價的差異決定了用何種國債交割實際上是存在差異的。這樣，市場空方必然選擇最合算的債券進行交割，從而出現(xiàn)了“交割最合算的債券”（Cheapest-to-Deliver Bond）。 交割最合算的債券就是購買交割券所付的價格與交割期貨時空方收到的現(xiàn)金之差最小的那個債券。 交割成本交割成本=債券報價債券報價+應(yīng)計利息（期貨報價應(yīng)計利息（期貨報價 轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換 因子因子+應(yīng)計利息）應(yīng)計利息） =債券報價（期貨報價債券報

33、價（期貨報價 轉(zhuǎn)換因子）轉(zhuǎn)換因子） 72 確定最便宜可交割券（確定最便宜可交割券（CTD券）券） 交割日之前，IRR最高：CTD券 隱含回購利率（Implied Repo Rate，IRR）：無付息情形73365約定的期貨全價今天現(xiàn)貨全價今天現(xiàn)貨全價IRRIRRTtTt支付現(xiàn)貨全價今天交易日t未來交割日T收到期貨全價確定最便宜可交割券（確定最便宜可交割券（CTD券）券） 付息情形365365ttIR RTtTt時刻期貨全價時刻現(xiàn)券全價期貨期限內(nèi)現(xiàn)券付息時刻現(xiàn)券全價期貨期限內(nèi)現(xiàn)券付息美國長期國債的例子美國長期國債的例子由于國債期貨的空方擁有交割時間選擇權(quán)和交割券種選擇權(quán)，因此要精確地計算國債期貨

34、的理論價格是比較困難的。但是，如果假定交割最合算的國債和交割日期是已知的，那么可以通過以下四個步驟來確定長期國債期貨價格：1根據(jù)交割最合算的國債現(xiàn)貨的報價，算出該交割券的現(xiàn)金價格。762運用支付已知現(xiàn)金收益的遠(yuǎn)期定價公式根據(jù)交割券的現(xiàn)金價格算出交割券期貨理論上的現(xiàn)金價格。3反向運用式（5.16），根據(jù)交割券期貨的現(xiàn)金價格算出交割券期貨的理論報價。4將交割券期貨的理論報價除以轉(zhuǎn)換因子即為標(biāo)準(zhǔn)券期貨理論報價，也是標(biāo)準(zhǔn)券期貨的理論現(xiàn)金價格。（詳見案例5.8）77()()r TtFSI e案例案例 延續(xù)案例 5.6 ，2007 年 10 月 3 日，針對 USZ7 期貨而言交割最合算的債券是息票率為

35、7.125% 、將于 2023年 2 月 15 日到期的長期國債。其轉(zhuǎn)換因子為 1.1103 ，現(xiàn)貨報價為 126.40 。 假設(shè)我們已知空方將在 2007 年 12 月 3 日交割，市場上 2 個月期的美元無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利年利率為 3.8% 。試求出 USZ7 期貨的理論報價。78案例案例1. 計算該交割券的現(xiàn)金價格。 根據(jù)到期日推算，該交割券的上一次付息日應(yīng)為 2007 年 8 月 15 日，下一次付息日應(yīng)為 2008 年 2 月 15 日。則該交割券每 100 美元面值的應(yīng)計利息等于 則該國債的現(xiàn)金價格為.7 125490 9492184美元126. 400. 949127. 349美元案

36、例案例 2. 計算期貨有效期內(nèi)交割券支付利息的現(xiàn)值。 由于 2007 年 10 月 3 日到 2007 年 12 月 3 日期間 該交割券不會支付利息，因此 I = 0 。3. 在 12 月 3 日交割之前，USZ7 期貨有效期還有 61 天（ 0.1671 年），可以計算出交割券期貨理論上的現(xiàn)金價格為3. 8% 0. 1671127. 349128. 160Fe美元案例案例 3. 計算該交割券期貨的理論報價。 2007 年 12 月 3 日交割時，該交割券的應(yīng)計利息為則該交割券期貨的理論報價為4. 求出標(biāo)準(zhǔn)券的理論期貨報價.7 1251102 1302184美元128. 1602. 1301

37、26. 030美元126. 030113. 5101. 1103美元資產(chǎn)的利率風(fēng)險一般被表述為資產(chǎn)價格變動的百分比對到期收益率變動的敏感性：（5.18）822221112!nnndPdPd Pd PdydydyPP dyP dynP dy現(xiàn)代的久期（Duration）就被定義為利率敏感性資產(chǎn)價格變動的百分比對到期收益率變動的一階敏感性，： （5.19）由于一階導(dǎo)數(shù)捕捉了函數(shù)價值敏感性變動中的主要部分，所以久期反映了資產(chǎn)價格利率風(fēng)險的主要部分。久期越大，資產(chǎn)的利率風(fēng)險越大；反之則越小。注意久期一般為正 。83dPPDdy 貨幣久期（貨幣久期（Dollar Duration）貨幣久期：到期收益率變

38、動引起的價值變動金額1 個基點的貨幣久期往往被稱為基點價格值(DV01 或BPV）。84dPDPdy傳統(tǒng)不含權(quán)債券的久期對傳統(tǒng)的不含權(quán)債券：（5.20） 求導(dǎo)可得 （5.21） 式（5.21）就是傳統(tǒng)的修正久期(Modified Duration)。它由 和麥考利久期(Macaulay Duration)兩個部分組成 。111mimiCAPyy2311111231111111mmdPdy PyCCCmCmAyyPyyyy麥考利久期1(1)y85麥考利久期的概念麥考利久期可以解釋為付息期1，2，3直至m的一種加權(quán)平均，其權(quán)重為各期現(xiàn)金流現(xiàn)值占債券價格（所有現(xiàn)金流現(xiàn)值之和）的比重，權(quán)重之和為1。從

39、這個意義上說，麥考利久期是期限的加權(quán)平均，其單位仍然是年，這是久期名稱的最初來源。但真正考察債券價格對利率敏感程度時，我們?nèi)匀槐仨毷褂眯拚闷诙躯溈祭闷凇?86注意，（5.21）對久期的定義取決于債券定價模型（5.20），僅適用于普通的不含權(quán)債券，而無法普遍適用于一些更復(fù)雜的利率敏感性資產(chǎn)如含權(quán)債券和利率期權(quán)等。相比較之下，目前式（5.19）已成為最具一般性、最能反映久期作為利率敏感性衡量指標(biāo)這一性質(zhì)的定義與公式。 dPPDdy 87在實際當(dāng)中，人們通常用式（5.19）的下述差分形式計算定價模型比較復(fù)雜的利率敏感性資產(chǎn)的久期：（5.22）其中和分別代表到期收益率下跌和上升時所達(dá)到的資產(chǎn)價格。 2PPDPy PP88利率遠(yuǎn)期和利率期貨的久期取決于其標(biāo)的資產(chǎn)的久期和遠(yuǎn)期（期貨）本身價值變化的計算方式。例如，歐洲美元期貨合約的價值變動源于期貨報價的變動，而期貨報價等于100期貨利率。因此歐洲美元期貨的久期就是期貨利率的久期，而后者的久期取決于LIBOR利率對特定到期收益率dy的敏感性，如果這兩者是一對一變動的，歐洲美元期貨的久期就等于1。89另外，由于長期國債期貨的報價取決于標(biāo)的資產(chǎn)長期國債的價格，長期國債本身的久期一般都比較大，而長期國債期貨本身的到期期