數(shù)學(xué)物理方法第1章2012

1、2022-7-512022-7-52教材：教材：2022-7-53參考書參考書 梁昆淼編，梁昆淼編，數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)物理方法，第四版，高，第四版，高等教育出版社，等教育出版社，20102010年年1 1月月 姚端正等編著，姚端正等編著，數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)物理方法，第三版，第三版，武漢大學(xué)出版社，武漢大學(xué)出版社，20102010年年3 3月月吳崇試吳崇試 編著，編著，數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)物理方法，第二版，第二版， 北北京大學(xué)出版社，京大學(xué)出版社，2003年年12月月2022-7-54成績(jī)測(cè)定：作業(yè)30%上課出席參與10% 考試60%聯(lián)系方式：2022-7-55 數(shù)學(xué)物理方法是理工科類專業(yè)的一門重要基數(shù)

2、學(xué)物理方法是理工科類專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，既是數(shù)學(xué)課程，又是物理課程，其教學(xué)目礎(chǔ)課，既是數(shù)學(xué)課程，又是物理課程，其教學(xué)目的是進(jìn)一步系統(tǒng)的提高和培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)理模型，的是進(jìn)一步系統(tǒng)的提高和培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)理模型，解決物理問(wèn)題的能力，是用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)解決物理問(wèn)題的能力，是用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的方法。題的方法。 數(shù)學(xué)物理方法既是理論物理學(xué)的基礎(chǔ)，又是數(shù)學(xué)物理方法既是理論物理學(xué)的基礎(chǔ)，又是物理學(xué)與數(shù)學(xué)聯(lián)系的橋梁。如果能結(jié)合物理學(xué)與數(shù)學(xué)聯(lián)系的橋梁。如果能結(jié)合“四大力四大力學(xué)學(xué)”，把數(shù)學(xué)物理方法的知識(shí)和技能牢固掌握的，把數(shù)學(xué)物理方法的知識(shí)和技能牢固掌握的話，就能為以后的學(xué)習(xí)和工作帶來(lái)極大的方便。話，

3、就能為以后的學(xué)習(xí)和工作帶來(lái)極大的方便。引引 言言2022-7-56學(xué)習(xí)的必要性學(xué)習(xí)的必要性 前導(dǎo)課程前導(dǎo)課程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)的延伸，為后繼開設(shè)的的延伸，為后繼開設(shè)的量子力學(xué)量子力學(xué)、信息光學(xué)信息光學(xué)、通信原理通信原理等等課程提供必需的數(shù)學(xué)理論知識(shí)和計(jì)算工具。課程提供必需的數(shù)學(xué)理論知識(shí)和計(jì)算工具。學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)方法 不必過(guò)分追求一些定理的嚴(yán)格證明，復(fù)雜公式不必過(guò)分追求一些定理的嚴(yán)格證明，復(fù)雜公式的精確推導(dǎo)，更不能死記硬背，而應(yīng)重視其應(yīng)用的精確推導(dǎo)，更不能死記硬背，而應(yīng)重視其應(yīng)用技巧和處理方法。技巧和處理方法。2022-7-57參考書：參考書： Lars V.Ahlfors 著，趙志勇等譯，著，趙志

4、勇等譯，復(fù)分析復(fù)分析 機(jī)械機(jī)械工業(yè)出版社，工業(yè)出版社，2005。： 把微積分延伸到復(fù)域。使微分和積分獲得新的深度和意把微積分延伸到復(fù)域。使微分和積分獲得新的深度和意義。義。2022-7-58主要內(nèi)容: 1 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù) 2 2 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分 3 3 冪級(jí)數(shù)展開冪級(jí)數(shù)展開 4 4 留數(shù)定理留數(shù)定理 5 5 傅立葉變換傅立葉變換 6 6 拉普拉斯變換拉普拉斯變換2022-7-592022-7-510目的與要求：目的與要求：掌握掌握復(fù)變函數(shù)的基本概念、極限和連續(xù)復(fù)變函數(shù)的基本概念、極限和連續(xù)的概念、的概念、掌握解析函數(shù)的概念、函數(shù)解掌握解析函數(shù)的概念、函數(shù)解析的充要條件、初等函數(shù)

5、的定義析的充要條件、初等函數(shù)的定義教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：極限和連續(xù)的概念、極限和連續(xù)的概念、解析函數(shù)的概念；函解析函數(shù)的概念；函數(shù)解析性的判別數(shù)解析性的判別教學(xué)難點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)：映射、映射、解析函數(shù)的概念、解析函數(shù)的概念、 初等函數(shù)中的多初等函數(shù)中的多值函數(shù)及主值的概念值函數(shù)及主值的概念2022-7-511復(fù)變函數(shù)論（復(fù)變函數(shù)論（theory of complex functionstheory of complex functions）：）： 研究自變量是復(fù)數(shù)的函數(shù)的基本理論及應(yīng)用的數(shù)學(xué)分研究自變量是復(fù)數(shù)的函數(shù)的基本理論及應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支，主要研究對(duì)象是解析函數(shù)。支，主要研究對(duì)象是解析函數(shù)。復(fù)數(shù)函

6、數(shù)發(fā)展簡(jiǎn)史復(fù)數(shù)函數(shù)發(fā)展簡(jiǎn)史 早在早在1616世紀(jì)，一元二次、一元三次代數(shù)方程求解時(shí)就引世紀(jì)，一元二次、一元三次代數(shù)方程求解時(shí)就引入了虛數(shù)的基本思想，給出了虛數(shù)的符號(hào)和運(yùn)算法則。入了虛數(shù)的基本思想，給出了虛數(shù)的符號(hào)和運(yùn)算法則。1復(fù)數(shù)起源于代數(shù)方程求根復(fù)數(shù)起源于代數(shù)方程求根 意大利的卡丹諾意大利的卡丹諾（G.Cardano,1501-1576）在解三次方程在解三次方程時(shí)首先產(chǎn)生了負(fù)數(shù)開平方的思想。如時(shí)首先產(chǎn)生了負(fù)數(shù)開平方的思想。如40(515)(515)但，由于但，由于 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)意義，在很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)，直到在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)意義，在很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)，直到1919世紀(jì)中葉，這類數(shù)仍然是不合法的。世紀(jì)中葉，這

7、類數(shù)仍然是不合法的。1 法國(guó)的笛卡爾法國(guó)的笛卡爾（R.Descartes,1596-1690）稱其為虛數(shù)稱其為虛數(shù)(“虛幻數(shù)虛幻數(shù)” imaginary number)2022-7-5122 Bernoulli：負(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)是實(shí)數(shù)負(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)是實(shí)數(shù)d()d ln()lnxxxxxxLeibniz ：不可能有負(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)不可能有負(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)ddlnxxx只對(duì)正數(shù)成立只對(duì)正數(shù)成立3 Euler： 在在17471747年指出年指出ln(), lnxx差一常數(shù)差一常數(shù)1740年年，Euler 給給Bernoulli的信中說(shuō)的信中說(shuō)：2cosyx11xxyee 和和是同一個(gè)微分方程的解，因此應(yīng)該相等是同一個(gè)微分

8、方程的解，因此應(yīng)該相等1743年，發(fā)表了年，發(fā)表了Euler公式公式11111cos21sin21xxxxxeexee 2022-7-513Euler Euler 認(rèn)為復(fù)數(shù)僅在想象中存在，認(rèn)為復(fù)數(shù)僅在想象中存在，17771777年，年，EulerEuler采用采用 i i 代表代表15十九世紀(jì)，有三位代表性人物：十九世紀(jì)，有三位代表性人物：柯西柯西(Cauchy(Cauchy，178917891857)1857)維爾斯特拉斯維爾斯特拉斯(Weierstrass(Weierstrass，181518151897)1897)黎曼黎曼(Rieman(Rieman，182618261866)1866)

9、經(jīng)過(guò)他們的不懈努力，終于建立了系統(tǒng)的復(fù)變函數(shù)論經(jīng)過(guò)他們的不懈努力，終于建立了系統(tǒng)的復(fù)變函數(shù)論4 復(fù)數(shù)真正被接受主要?dú)w功于德國(guó)數(shù)學(xué)家復(fù)數(shù)真正被接受主要?dú)w功于德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯高斯(C.F.Gauss,1777-1855), 1799(C.F.Gauss,1777-1855), 1799年，他把復(fù)年，他把復(fù)數(shù)的思想融入到對(duì)代數(shù)學(xué)基本定理的證明中。數(shù)的思想融入到對(duì)代數(shù)學(xué)基本定理的證明中。2022-7-514一一. 復(fù)變函數(shù)的內(nèi)容復(fù)變函數(shù)的內(nèi)容：、將、將“實(shí)函實(shí)函”中中, 函數(shù)、極限、連續(xù)、微商、積分、級(jí)數(shù)推函數(shù)、極限、連續(xù)、微商、積分、級(jí)數(shù)推廣至廣至“復(fù)函復(fù)函”中；中；、解除了實(shí)數(shù)領(lǐng)域中若干禁令：、解除

10、了實(shí)數(shù)領(lǐng)域中若干禁令：實(shí)函實(shí)函()ax復(fù)函復(fù)函()az2不存在不存在2iln( 2)不存在不存在ln2(21)in|cos|sin|aa11, 1aexx bee2zz i nee2022-7-515復(fù)變函數(shù)的內(nèi)容復(fù)變函數(shù)的內(nèi)容：、將、將“實(shí)函實(shí)函”中中, 函數(shù)、極限、連續(xù)、微商、積分、級(jí)數(shù)推函數(shù)、極限、連續(xù)、微商、積分、級(jí)數(shù)推廣至廣至“復(fù)函復(fù)函”中；中；、解除了實(shí)數(shù)領(lǐng)域中若干禁令：、解除了實(shí)數(shù)領(lǐng)域中若干禁令：、建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，雙曲函數(shù)的關(guān)系、建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，雙曲函數(shù)的關(guān)系cossin ,ixexixsin( ),ixishxcos( ),ixchxshx為雙曲正弦為雙曲正

11、弦chx為雙曲余弦為雙曲余弦11()()22xxxxshxee chxee2022-7-516二二. 復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用：復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用： 1、解偏微分方程的邊值問(wèn)題解偏微分方程的邊值問(wèn)題，如：保角變換法、，如：保角變換法、復(fù)變函數(shù)法；復(fù)變函數(shù)法；2、解偏微分方程的初值問(wèn)題解偏微分方程的初值問(wèn)題，如：積分變換法、，如：積分變換法、行波法；行波法；3、計(jì)算實(shí)積分計(jì)算實(shí)積分，如：留數(shù)定理。，如：留數(shù)定理。2022-7-517 1. 1. 虛單位虛單位對(duì)虛數(shù)單位的規(guī)定對(duì)虛數(shù)單位的規(guī)定: :2(1)1;1ii .1 :2在實(shí)數(shù)集中無(wú)解在實(shí)數(shù)集中無(wú)解方程方程實(shí)例實(shí)例 x.)2(四則運(yùn)算四則運(yùn)算樣的法則進(jìn)行樣

12、的法則進(jìn)行可以與實(shí)數(shù)在一起按同可以與實(shí)數(shù)在一起按同i.,稱為虛數(shù)單位稱為虛數(shù)單位引入一個(gè)新數(shù)引入一個(gè)新數(shù)為了解方程的需要為了解方程的需要i2022-7-5182.2.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的定義復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的定義: : . ,0 , 0 xixzy我們把它看作實(shí)數(shù)我們把它看作實(shí)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) i-虛單位虛單位滿足滿足：i2=- -1虛部虛部記做記做：Imz=x實(shí)部實(shí)部記做記做：Rez=x ; , 0 , 0 稱為純虛數(shù)稱為純虛數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)iyzyx 稱稱為為復(fù)數(shù)集為為復(fù)數(shù)集,|RyxiyxzzC. , 為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)稱稱對(duì)于對(duì)于iyxzRyx 復(fù)數(shù)的本質(zhì)復(fù)數(shù)的本質(zhì)：有序?qū)崝?shù)對(duì)：有序?qū)崝?shù)對(duì) ( (x, y)

13、) z=x+iy2022-7-519 兩復(fù)數(shù)相等兩復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分它們的實(shí)部和虛部分別相等別相等. . 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) z 等于等于0當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)它的實(shí)部和虛部同時(shí)它的實(shí)部和虛部同時(shí)等于等于0.說(shuō)明說(shuō)明 兩個(gè)數(shù)如果都是實(shí)數(shù)兩個(gè)數(shù)如果都是實(shí)數(shù), ,可以比較它們的大可以比較它們的大小小, , 如果不全是實(shí)數(shù)如果不全是實(shí)數(shù), , 就不能比較大小就不能比較大小, , 也就也就是說(shuō)是說(shuō): :121212z =z,xxyy設(shè)：設(shè)：z1=x1+iy1 z2=x2+iy22022-7-5203.復(fù)數(shù)的幾何表示xyxyoiyxz 復(fù)數(shù)的向量表示法復(fù)數(shù)的向量表示法. ),( 表示表示面上的

14、點(diǎn)面上的點(diǎn)可以用復(fù)平可以用復(fù)平復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)yxiyxz+=. 向量向量 表示表示面上的點(diǎn)面上的點(diǎn)可以用復(fù)平可以用復(fù)平復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)oziyxz . . . . , , , , , , . . ) ), ,( ( 面面面叫復(fù)平面叫復(fù)平這種用來(lái)表示復(fù)數(shù)的平這種用來(lái)表示復(fù)數(shù)的平軸軸叫虛軸或叫虛軸或縱軸縱軸軸軸通常把橫軸叫實(shí)軸或通常把橫軸叫實(shí)軸或用來(lái)表示復(fù)數(shù)用來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面可以的平面可以一個(gè)建立了直角坐標(biāo)系一個(gè)建立了直角坐標(biāo)系因此因此對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)成一一成一一與有序?qū)崝?shù)對(duì)與有序?qū)崝?shù)對(duì)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)yxyxiyxz+ += =2022-7-521（1 1）復(fù)數(shù)的模）復(fù)數(shù)的模( (或絕對(duì)值或絕對(duì)值) )22z = =x +

15、y .xyxyoiyxz P顯然下列各式成立顯然下列各式成立, zx , zy ,yxz .22zzzz , 表示表示可以用復(fù)平面上的向量可以用復(fù)平面上的向量復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)OPiyxz , 的?；蚪^對(duì)值的?；蚪^對(duì)值向量的長(zhǎng)度稱為向量的長(zhǎng)度稱為 z2022-7-522（2 2）復(fù)數(shù)的輻角）復(fù)數(shù)的輻角說(shuō)明說(shuō)明輻角不確定輻角不確定. . . Arg , , , 0 zzOPzz記作記作的輻角的輻角稱為稱為為終邊的角的弧度數(shù)為終邊的角的弧度數(shù)的向量的向量以表示以表示以正實(shí)軸為始邊以正實(shí)軸為始邊的情況下的情況下在在1,0有無(wú)窮多個(gè)輻角有無(wú)窮多個(gè)輻角任何一個(gè)復(fù)數(shù)任何一個(gè)復(fù)數(shù) z , 是其中一個(gè)輻角是其中一個(gè)輻角

16、如果如果的全部輻角為的全部輻角為那么那么 z1 ).( 2Arg為為任意任意整數(shù)整數(shù)kkz , 0 , 0 , zz時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)特殊地特殊地2022-7-523輻角主值的定義輻角主值的定義: : zarg,arctanxy)2arctan2( xy其中其中輻角的主值輻角的主值0 zz在第在第I象限象限z在第在第II象限象限z在第在第III象限象限z在第在第IV象限象限,2arctanxyarctan,yx.arg , Arg 20 , )0( 0zzz 記作記作的主值的主值稱為稱為 的的把滿足把滿足的輻角中的輻角中在在arctany+ ,x2022-7-524利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系利用直角坐標(biāo)

17、與極坐標(biāo)的關(guān)系cos ,sin ,xy復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)可以表示成(cossin)zi復(fù)數(shù)的三角表示式復(fù)數(shù)的三角表示式再利用歐拉公式再利用歐拉公式cossin,iei 復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)可以表示成ize 復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式4.4.復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示2022-7-525設(shè)設(shè)z1=x1+iy1和和 z2=x2+iy2是兩個(gè)復(fù)數(shù)是兩個(gè)復(fù)數(shù)加減運(yùn)算加減運(yùn)算z1 z2 =(x1+y1) i(x2 + y2 ) =(x1 x2) +i(y1 y2 )5.復(fù)數(shù)的運(yùn)算交換律、結(jié)合律、分配律成立交換律、結(jié)合律、分配律成立1212zzzz1212zzzz2022-7-5

18、26乘法運(yùn)算12121212211212121212()()cos()sin()exp ()z zx xy yx yx yi i i 兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘等于它們的模相乘，等于它們的模相乘，幅角相加幅角相加除法運(yùn)算11212122122222222222112122211220cos()sin()0exp ()zx xy yx yx yxiyzxyxyi i i 兩個(gè)復(fù)數(shù)相除等兩個(gè)復(fù)數(shù)相除等于它們的模相除，于它們的模相除，幅角相減幅角相減2022-7-527222cos()sin(),(0,1,2,1)knnnkkkennknii w冪（n整數(shù)）nninze 根/innnze 逼近000,

19、yyxxzz2022-7-5286.6.共軛復(fù)數(shù)及其性質(zhì)共軛復(fù)數(shù)及其性質(zhì): :共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù):實(shí)部相同而虛部絕對(duì)值相等符號(hào)相實(shí)部相同而虛部絕對(duì)值相等符號(hào)相反的兩個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù)反的兩個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù). .例例2 2解解)(yixyix 22)(yix .22yx 222.zzzxy即 ：.,的積是實(shí)數(shù)的積是實(shí)數(shù)兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)zz結(jié)論：結(jié)論：.的積的積與與計(jì)算共軛復(fù)數(shù)計(jì)算共軛復(fù)數(shù)yixzyixz , 的的zz共軛復(fù)數(shù)記為共軛復(fù)數(shù)記為. , iyxziyxz 則則若若222()2izxyxy2022-7-529共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì):;)1(2121zzzz ;2121zzz

20、z ;2121zzzz ;)2(zz ;)Im()Re()3(22zzzz (4),2Re.m)(I)2(zzzizzz以上各式證明略以上各式證明略. .2022-7-530例例3 3證證21(1)zz)( )(2121zzzz )(2121zzzz )(2211zzzz .21zz 221(2)zz )( )(2121zzzz )(2121zzzz 21212211zzzzzzzz 21212221zzzzzz .(2);(1) : , , 2121212121zzzzzzzzzz 證明證明為兩個(gè)任意復(fù)數(shù)為兩個(gè)任意復(fù)數(shù)設(shè)設(shè)2022-7-531 221zz 2221zz )Re(221zz21

21、22212zzzz 2122212zzzz ,)(221zz , )Re(2 212121zzzzzz 因?yàn)橐驗(yàn)閮蛇呁瑫r(shí)開方得兩邊同時(shí)開方得.2121zzzz 1212.zzzz同理可證：同理可證：2022-7-5322022-7-5332022-7-534(一) 區(qū)域的概念 定義：定義：由不等式由不等式(為任意的正數(shù)為任意的正數(shù)) )所確定的平面點(diǎn)集所確定的平面點(diǎn)集( (簡(jiǎn)稱點(diǎn)集簡(jiǎn)稱點(diǎn)集) )，就，就是以是以z0為中心的為中心的鄰域或鄰域或鄰域鄰域。 而稱由不等式而稱由不等式0zz00zz 所確定的點(diǎn)集為所確定的點(diǎn)集為z0的去心的去心鄰域或鄰域或去心鄰域去心鄰域。0z0z 為了給出區(qū)域的嚴(yán)格

22、定義，下面先介紹：為了給出區(qū)域的嚴(yán)格定義，下面先介紹：鄰域、鄰域、內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)，邊界點(diǎn)和開集等概念。內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)，邊界點(diǎn)和開集等概念。 由復(fù)變函數(shù)的定義我們知道，函數(shù)的定義由復(fù)變函數(shù)的定義我們知道，函數(shù)的定義域是一域是一個(gè)滿足一定條件的點(diǎn)集，我們稱之為個(gè)滿足一定條件的點(diǎn)集，我們稱之為區(qū)域區(qū)域。鄰域鄰域2022-7-535定義：定義： 設(shè)設(shè)E為點(diǎn)集為點(diǎn)集（如圖），（如圖），z0為為E E中的一點(diǎn)。則：中的一點(diǎn)。則： 如果存在如果存在z0的一個(gè)鄰域，該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于的一個(gè)鄰域，該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于點(diǎn)集點(diǎn)集E，則則稱稱z0為為E的的內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)； 若點(diǎn)若點(diǎn)z0的某一個(gè)鄰域內(nèi)的點(diǎn)都不屬于的某一個(gè)鄰域內(nèi)

23、的點(diǎn)都不屬于點(diǎn)集點(diǎn)集E，則稱則稱點(diǎn)點(diǎn)z0為為E E的的外點(diǎn)外點(diǎn)。 若在點(diǎn)若在點(diǎn)z0的任意一個(gè)鄰域內(nèi)，既有屬于的任意一個(gè)鄰域內(nèi)，既有屬于點(diǎn)集點(diǎn)集E的點(diǎn)，的點(diǎn)，也有不屬于也有不屬于E的點(diǎn)，則稱點(diǎn)的點(diǎn)，則稱點(diǎn)z0為為E的的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn)，點(diǎn)集點(diǎn)集E的的全部邊界點(diǎn)稱為全部邊界點(diǎn)稱為E的邊界的邊界。 注意注意 區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點(diǎn)所組成的。一些孤立的點(diǎn)所組成的。定義：定義： 若點(diǎn)集若點(diǎn)集E的點(diǎn)皆為的點(diǎn)皆為內(nèi)點(diǎn)，則稱內(nèi)點(diǎn)，則稱E為為開集。開集。Ez0區(qū)域區(qū)域2022-7-536定義：定義：點(diǎn)集點(diǎn)集E稱為一個(gè)區(qū)域，如果它滿足稱為一個(gè)區(qū)域，如果它滿足： (1)(1

24、)E是一個(gè)開集是一個(gè)開集； (2)(2)E是連通的，就是說(shuō)是連通的，就是說(shuō)E中任何兩點(diǎn)中任何兩點(diǎn)z1和和z2都可都可以用完全屬于以用完全屬于E的一條折線連接起來(lái)的一條折線連接起來(lái)。 通常稱具有性質(zhì)通常稱具有性質(zhì)(2)(2)的的集為集為連通連通的，的，區(qū)域區(qū)域E加上它的邊界加上它的邊界C(p)稱為稱為閉區(qū)域閉區(qū)域或或閉域閉域，記記為為 . .EEz1z2p區(qū)域區(qū)域2022-7-537 設(shè)設(shè)B為復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域，如果在其中作一為復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域，如果在其中作一條簡(jiǎn)單的閉曲線（自身不相交的閉合曲線），而曲條簡(jiǎn)單的閉曲線（自身不相交的閉合曲線），而曲線內(nèi)部總屬于線內(nèi)部總屬于B ，則稱，則稱B為為單

25、連通區(qū)域單連通區(qū)域，否則稱為，否則稱為多連通區(qū)域多連通區(qū)域。BB單連通域多連通域2022-7-538例例1 1 指明下列不等式所確定的區(qū)域指明下列不等式所確定的區(qū)域, , 是有界的是有界的還是無(wú)界的還是無(wú)界的, ,單連通的還是多連通的單連通的還是多連通的. .解解 , )1(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)iyxz ,)Re(222yxz , 11)Re(222 yxz無(wú)界的單連通域無(wú)界的單連通域(如圖如圖).; 411)4(; 31)3(;3arg)2(; 1)Re()1(2 zzzzz2022-7-5393arg)2( z,3arg33arg zz是角形域是角形域, 無(wú)界的單連通域無(wú)界的單連通域(如圖如圖).31

26、)3( z,3131 zz, 31 ,的圓的外部的圓的外部半徑為半徑為是以原點(diǎn)為中心是以原點(diǎn)為中心無(wú)界的多連通域無(wú)界的多連通域. arg3z 是二條幅角分別為是二條幅角分別為/3的線的線(如圖如圖).2022-7-540411)4( zz表示到表示到1, 1的距離之和為定值的距離之和為定值4的點(diǎn)的軌跡的點(diǎn)的軌跡,是橢圓是橢圓,2222114114zzxyxy ,411表表示示該該橢橢圓圓內(nèi)內(nèi)部部 zz有界的單連通域有界的單連通域.2022-7-541(二) 復(fù)變函數(shù)()定義 E z = x+ iy . , , E z, w = u+ iv , w z (), w = f(z).設(shè)設(shè)是是一一個(gè)個(gè)

27、復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)的的集集合合 如如果果有有一一個(gè)個(gè)確確定定的的法法則則存存在在 按按這這個(gè)個(gè)法法則則 對(duì)對(duì)于于集集合合中中的的每每一一個(gè)個(gè)復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)就就有有一一個(gè)個(gè)或或幾幾個(gè)個(gè)復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)與與之之對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng) 那那末末稱稱復(fù)復(fù)變變數(shù)數(shù)是是復(fù)復(fù)變變數(shù)數(shù) 的的函函數(shù)數(shù) 簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)記記作作. )( , 是單值的是單值的我們稱函數(shù)我們稱函數(shù)那末那末的值的值的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著一個(gè)的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著一個(gè)如果如果zfwz. )( , 是多值的是多值的那末我們稱函數(shù)那末我們稱函數(shù)的值的值兩個(gè)以上兩個(gè)以上的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著兩個(gè)或的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著兩個(gè)或如果如果zfwz是函數(shù)是函數(shù) w= f(z )的的。E2022-7-542oxy

28、(z)Gouv(w)EE*w=f(z)在幾何上，在幾何上， w=f(z)可以看作：可以看作：( )*()(). w f zzEzwE w平平面面平平面面）的的映映射射 變變換換的的原原象象。稱稱為為，而而映映象象的的象象點(diǎn)點(diǎn)為為稱稱wzzw)( 定義域定義域函數(shù)值集合函數(shù)值集合 映射的概念映射的概念復(fù)變函數(shù)的幾何意義復(fù)變函數(shù)的幾何意義zw=f(z)w2022-7-543映射的觀點(diǎn)映射的觀點(diǎn): : )( 描述。描述。函數(shù)函數(shù)這個(gè)映射通常簡(jiǎn)稱為由這個(gè)映射通常簡(jiǎn)稱為由zfw . ),( , * )( 的原象的原象稱為稱為而而映象映象的象的象稱為稱為那末那末中的點(diǎn)中的點(diǎn)映射成映射成被映射被映射中的點(diǎn)中

29、的點(diǎn)如果如果wzzwwEzfwzE ).()(函數(shù)函數(shù) )( )( 而用另而用另, 或變換或變換的映射的映射值集合值集合變到變到w平面上的一個(gè)點(diǎn)集平面上的一個(gè)點(diǎn)集E *定義集合定義集合在幾何上就可以看作在幾何上就可以看作是把是把z平面上的一個(gè)點(diǎn)平面上的一個(gè)點(diǎn)的的值值, ,那末函數(shù)那末函數(shù)平面上的點(diǎn)表示函數(shù)平面上的點(diǎn)表示函數(shù)一個(gè)平面一個(gè)平面的值的值平面上的點(diǎn)表示自變量平面上的點(diǎn)表示自變量如果用如果用集集Ezfw=wwzz 2022-7-544xyouvoiz321 iw321 iz212 iw212 ABCA B C ,11wz ,22wz .CBAABC 例：例：. ibawwibazz 的點(diǎn)

30、的點(diǎn)平面上平面上映射成映射成平面上的點(diǎn)平面上的點(diǎn)將將 . 構(gòu)成的映射構(gòu)成的映射函數(shù)函數(shù)zw 2022-7-545xyouvoiz321 iw321 iz212 iw212 ABCA B C ,11wz ,22wz .CBAABC o1w 2w 1z 2z 且是全同圖形且是全同圖形. . . , 映射映射是關(guān)于實(shí)軸的一個(gè)對(duì)稱是關(guān)于實(shí)軸的一個(gè)對(duì)稱不難看出不難看出重疊在一起重疊在一起平面平面平面平面和和如果把如果把zwwz 2022-7-546(三）、函數(shù)的極限1.1.函數(shù)極限的定義函數(shù)極限的定義: :. )( )(,)0(0 )( , 0 , , 0 )( 0000時(shí)的極限時(shí)的極限趨向于趨向于當(dāng)當(dāng)

31、為為那末稱那末稱有有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng)相應(yīng)地必有一正數(shù)相應(yīng)地必有一正數(shù)對(duì)于任意給定的對(duì)于任意給定的存在存在如果有一確定的數(shù)如果有一確定的數(shù)內(nèi)內(nèi)的去心鄰域的去心鄰域定義在定義在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)zzzfAAzfzzAzzzzfw )( .)(lim 00AzfAzfzzzz 或或記作記作注意注意: : . 0的方式是任意的的方式是任意的定義中定義中zz 2022-7-5472. 2. 極限計(jì)算的定理極限計(jì)算的定理定理一定理一.),(lim,),(lim )(lim , , ),(),()( 000000000000vyxvuyxuAzfiyxzivuAyxivyxuzfyyxxyyxxzz 的充要條件是

32、的充要條件是那末那末設(shè)設(shè). ),( ),( , ),(),()( 的極限問(wèn)題的極限問(wèn)題和和函數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)二元實(shí)變轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)二元實(shí)變的極限問(wèn)題的極限問(wèn)題該定理將求復(fù)變函數(shù)該定理將求復(fù)變函數(shù)yxvyxuyxivyxuzf 2022-7-548定理二定理二).0()()(lim (3);)()(lim (2);)()(lim (1) ,)(lim ,)(lim 00000 BBAzgzfABzgzfBAzgzfBzgAzfzzzzzzzzzz那末那末設(shè)設(shè)與實(shí)變函數(shù)的極限運(yùn)算法則類似與實(shí)變函數(shù)的極限運(yùn)算法則類似. .2022-7-549例例1 1證證, 0),(,),(22 yxvyxxyxu

33、2200lim),(limyxxyxukxyxkxyx 220)(limkxxxx . 0 )Re()( 不存在不存在時(shí)的極限時(shí)的極限當(dāng)當(dāng)證明函數(shù)證明函數(shù) zzzzf,)( 22yxxzf 則則, iyxz 令令2022-7-550)1(lim220kxxx ,112k , 0),(lim00 yxvyyxx根據(jù)定理一可知根據(jù)定理一可知, , , , 值的變化而變化值的變化而變化隨隨 k , ),(lim 00不存在不存在所以所以yxuyyxx . )(lim0不存在不存在zfz2022-7-551 例例2 試求下列函數(shù)的極限.（1） （2）解解（1）法法1 設(shè) ，則 ，且 得 zziz1li

34、m11lim1zzzz zziyxziyxzzziyxiyx2222222xyxyixyxy1limzizz iyxxyiyxyxyyxx221222212limlim112022-7-552法法2 （2） 設(shè) ，則 ，得 1limzizz iiizziziz11limlim11iyxziyxz11lim1zzzzzz 1) 1)(1(lim1zzzz1lim(1)2zz2022-7-553（四）、函數(shù)的連續(xù)性1. 連續(xù)的連續(xù)的定義定義:000 lim( )(), ( ) . ( ) , ( ) . zzf zf zf zzf zBf zB如如果果那那末末我我們們就就說(shuō)說(shuō)在在點(diǎn)點(diǎn)處處連連續(xù)續(xù)

35、如如果果在在區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)處處處處連連續(xù)續(xù)我我們們說(shuō)說(shuō)在在內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù). , )()(lim )( 000CzzfzfzCzfzz 處連續(xù)的意義是處連續(xù)的意義是上上在曲線在曲線函數(shù)函數(shù)2022-7-554定理三定理三.) ,( ),( ),( : ),(),()( 00000處連續(xù)處連續(xù)在在和和連續(xù)的充要條件是連續(xù)的充要條件是在在函數(shù)函數(shù)yxyxvyxuiyxzyxivyxuzf 例如例如, ,),()ln()(2222yxiyxzf , )ln(),(22處連續(xù)處連續(xù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處yxyxu , ),(22在復(fù)平面內(nèi)處處連續(xù)在復(fù)平面內(nèi)處處連續(xù)yxyxv . ),( 處

36、連續(xù)處連續(xù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處故故yxf2022-7-555定理四定理四. ) ( )( )( (1)000處仍連續(xù)處仍連續(xù)在在不為零不為零分母在分母在積、商積、商的和、差、的和、差、和和連續(xù)的兩個(gè)函數(shù)連續(xù)的兩個(gè)函數(shù)在在zzzgzfz. )( , )( )( , )( (2)0000連續(xù)連續(xù)處處在在那么復(fù)合函數(shù)那么復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)連續(xù)連續(xù)在在如果函數(shù)如果函數(shù)zzgfwzghhfwzzgh 2022-7-556例例證證 ),(),()( yxivyxuzf 設(shè)設(shè) ),(),()( yxivyxuzf 則則 , )( 0連續(xù)連續(xù)在在由由zzf,) ,( ),( ),

37、( 00處都連續(xù)處都連續(xù)在在和和知知yxyxvyxu ,) ,( ),( ),( 00處連續(xù)處連續(xù)也在也在和和于是于是yxyxvyxu . )( 0連續(xù)連續(xù)在在故故zzf. )( , )( :00也連續(xù)也連續(xù)在在那么那么連續(xù)連續(xù)在在如果如果證明證明zzfzzf2022-7-557 通過(guò)此二節(jié)的學(xué)習(xí)通過(guò)此二節(jié)的學(xué)習(xí), , 熟悉復(fù)變函數(shù)的熟悉復(fù)變函數(shù)的定義定義、極限極限、連續(xù)性連續(xù)性的運(yùn)算法則與性質(zhì)的運(yùn)算法則與性質(zhì). . 注意注意:復(fù)變函數(shù)極限的定義與一元實(shí)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)極限的定義與一元實(shí)變函數(shù)極限的定義雖然在形式上相同極限的定義雖然在形式上相同, , 但在實(shí)質(zhì)上有很但在實(shí)質(zhì)上有很大的差異大的差異

38、, , 它較之后者的要求苛刻得多它較之后者的要求苛刻得多. .2022-7-558思考題思考題?)( , )( 00有無(wú)關(guān)系有無(wú)關(guān)系徑徑選取的路選取的路所采取的方式所采取的方式趨于趨于此極限值與此極限值與時(shí)的極限存在時(shí)的極限存在當(dāng)當(dāng)設(shè)復(fù)變函數(shù)設(shè)復(fù)變函數(shù)zzzzzf答：沒有關(guān)系答：沒有關(guān)系. , 0zz以任何方式趨于以任何方式趨于極限值都是相同的極限值都是相同的.2022-7-559思考題思考題復(fù)數(shù)為什么不能比較大?。繌?fù)數(shù)為什么不能比較大小？答：答： ,0 iii 則則 ,0 iii 則則由此可見由此可見, , 在復(fù)數(shù)中在復(fù)數(shù)中無(wú)法定義大小關(guān)系無(wú)法定義大小關(guān)系. 0, 和和觀察復(fù)數(shù)觀察復(fù)數(shù) i

39、, 0 i由復(fù)數(shù)的定義可知由復(fù)數(shù)的定義可知 . , 01 矛盾矛盾同樣有同樣有 ; , 01 矛盾矛盾即即 , 0 )1( i若若 , 0 )2( i若若2022-7-5601.1.導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義: :（一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義為一個(gè)特殊一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義為一個(gè)特殊的極限）的極限）( ), wf zBBzBzw設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)是是在在區(qū)區(qū)域域上上定定義義的的即即對(duì)對(duì)于于 上上的的每每一一個(gè)個(gè) 值值 有有且且只只有有一一個(gè)個(gè) 值值與與之之對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng), ,在在上上的的某某點(diǎn)點(diǎn)單單值值函函數(shù)數(shù)若若極極限限 0(,) fzzwzzf z在在 點(diǎn)點(diǎn)或或存存在在函函數(shù)數(shù), ,并并且且與與的的方方可可單單式式無(wú)無(wú)

40、在在關(guān)關(guān), ,則則稱稱函函數(shù)數(shù), ,此此極極導(dǎo)導(dǎo)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)限限稱稱為為( (演演的的或或微微商商) )點(diǎn)點(diǎn)0()( )( )lim.ddzz zwf zzf zfzzz 0()( )lim zf zzf zz 記為：2022-7-561例例1 zzfzzfzfz )()(lim)(0解解zzzzz 220)(lim)2(lim0zzz .2z zz2)(2 .)(2的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求zzf ( ),( ). f zfBBz如如果果函函數(shù)數(shù)處處在在區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)在在區(qū)區(qū)處處可可導(dǎo)導(dǎo)域域內(nèi)內(nèi)我我們們稱稱可可導(dǎo)導(dǎo)就就2022-7-562例例2 zzfzzfzf )()(解解zzzz Im)Im(zzzz

41、ImImImzz Imyixyix )Im(,yixy (0)0, yz當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)沿沿平平行行于于實(shí)實(shí)軸軸的的方方向向而而使使時(shí)時(shí).Im)(的可導(dǎo)性的可導(dǎo)性討論連續(xù)函數(shù)討論連續(xù)函數(shù)zzf 2022-7-563zzfzzfzfzz )()(limlim00, 0lim00 yixyyx(0)0, xz當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)沿沿平平行行于于虛虛軸軸的的方方向向而而使使時(shí)時(shí)zzfzzfzfzz )()(limlim00,1lim00iyixyxy ,0極限值不同極限值不同時(shí)時(shí)當(dāng)點(diǎn)沿不同的方向使當(dāng)點(diǎn)沿不同的方向使 z( )Im.f zz故故在在復(fù)復(fù)面面上上處處處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)平平2022-7-564微分的概念微分的概

42、念: : 復(fù)變函數(shù)微分的概念在形式上與一元實(shí)變復(fù)變函數(shù)微分的概念在形式上與一元實(shí)變函數(shù)的微分概念完全一致函數(shù)的微分概念完全一致. .00( ),()( )()(),lim()0()( )( ) , , .zwf zzwf zzf zfzzzzzzzzfzzwf zw 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在可可導(dǎo)導(dǎo) 則則: :式式中中是是的的高高階階無(wú)無(wú)窮窮小小是是函函數(shù)數(shù)的的改改變變量量的的線線性性部部分分0(.()() , dwfzzzwf zzfz稱稱為為微微記記函函分分作作數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)的的定義定義2022-7-565( ) , .f zzz函函數(shù)數(shù)在在的的則則微微分分存存如如果果稱稱函函數(shù)數(shù)在在可可微微在在特

43、別地特別地, , )( 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)zzf zwdd ( )fzz, z ( )( ),ddwfzzfzz 0dd)( 0zzzwzf 即即( )( )( ), . B Bwf zzzf zf z函函數(shù)數(shù)在在 點(diǎn)點(diǎn)的的可可導(dǎo)導(dǎo)與與在在 的的可可數(shù)數(shù)是是等等價(jià)價(jià)的的. .如如果果函函數(shù)數(shù)則則稱稱在在區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)可可在在域域處處微微區(qū)區(qū)內(nèi)內(nèi)處處可可微微2022-7-5662.2.可導(dǎo)與連續(xù)可導(dǎo)與連續(xù): : 函數(shù)函數(shù) f (z) 在在 z0 處可導(dǎo)則在處可導(dǎo)則在 z0 處一定連續(xù)處一定連續(xù), 但函但函數(shù)數(shù) f(z) 在在 z0 處連續(xù)不一定在處連續(xù)不一定在 z0 處可導(dǎo)處可導(dǎo).證證, 0, 0 ,)(

44、 )(0zzzzf 0可導(dǎo)可導(dǎo)( (特殊極限特殊極限) )的定義來(lái)證，的定義來(lái)證，依據(jù)在依據(jù)在 z , |0 時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng) z,)()()( 000 zfzzfzzf有有. 0)(lim 0 zz 則則)()()()( 000zfzzfzzfz )()( 00zfzzf 由由 , )()(lim 000zfzzfz 所以所以 . )(0連續(xù)連續(xù)在在即即zzf2022-7-5673.3.求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則: : 2022-7-568 ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf )0)(.)()()()()()()()5(2 zgzgzgz

45、fzgzfzgzf )( ).()()()6(zgwzgwfzgf 其中其中求導(dǎo)公式與法則求導(dǎo)公式與法則: . , 0)()1(為復(fù)常數(shù)為復(fù)常數(shù)其中其中cc .,)()2(1為正整數(shù)為正整數(shù)其中其中nnzznn 2022-7-569對(duì)任何方向的對(duì)任何方向的，極限都存在并唯一。極限都存在并唯一。xyzzz zz復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)： z沿任一曲線沿任一曲線逼近零。逼近零。4.4.柯西柯西黎曼方程黎曼方程（復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)必要條件）（復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)必要條件）0 xx實(shí)數(shù)x實(shí)變數(shù)實(shí)變數(shù)： x沿實(shí)軸逼近零。沿實(shí)軸逼近零。因此，復(fù)函數(shù)的可因此，復(fù)函數(shù)的可導(dǎo)性是比實(shí)函數(shù)的導(dǎo)性是比實(shí)函數(shù)的可導(dǎo)性條件強(qiáng)得多?？?/p>

46、導(dǎo)性條件強(qiáng)得多。2022-7-570,w xx yw x ywzxu xx yu x yv xx yv x yixxuvixx000limlim zxywuvuviizxxxx 下面分析下面分析 z分別分別沿沿（ y 0）和）和（ x 0）趨于零的）趨于零的：2022-7-571,w x yyw x ywzi yu x yyu x yv x yyv x yii yi yuvii yi y000limlim zyxwuvvuiizi yi yyy;uvuvxyyx 00lim zywuvizxx2022-7-572可導(dǎo)的充分條件是可導(dǎo)的充分條件是:f(z)的的 存在，存在，,uuvvxyxy連續(xù)

47、且滿足柯西連續(xù)且滿足柯西黎曼方程。黎曼方程。證：證：偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則二元函數(shù)u 和和v 的增量可分別寫為的增量可分別寫為12uuuxyxyxy 34vvvxyxyxy 隨著隨著則則0z 0i5.復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充分條件：復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充分條件：2022-7-573000()limlimlimzzzvuvxyixyfui vxxzuzzyy 0()()limzuvxi yixi yxxz uvixx uyuvyxvx0z 2022-7-574 函數(shù)函數(shù)f(z)在在點(diǎn)點(diǎn)z0的的處處可導(dǎo)處處可導(dǎo)，則稱，則稱函數(shù)函數(shù)f(z)在在點(diǎn)點(diǎn)z0處解析處解析；又又f(z)在區(qū)域在區(qū)域B內(nèi)的每一

48、點(diǎn)解析，內(nèi)的每一點(diǎn)解析，則稱則稱f(z)在區(qū)域在區(qū)域B內(nèi)是解析函數(shù)內(nèi)是解析函數(shù)1.解析與解析與可導(dǎo)不等價(jià)可導(dǎo)不等價(jià) 函數(shù)在某點(diǎn)解析，則必在該點(diǎn)函數(shù)在某點(diǎn)解析，則必在該點(diǎn)可導(dǎo)；反之不然可導(dǎo)；反之不然 在區(qū)域在區(qū)域B內(nèi)的解析函數(shù)必內(nèi)的解析函數(shù)必在在B內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo) 例例：函數(shù)：函數(shù)222( )f zzxy只在只在z=0z=0點(diǎn)可導(dǎo)，因而在復(fù)平面上處處不解析點(diǎn)可導(dǎo)，因而在復(fù)平面上處處不解析2022-7-5752. 稱函數(shù)的不解析點(diǎn)為稱函數(shù)的不解析點(diǎn)為奇點(diǎn)奇點(diǎn)f(z)在點(diǎn)在點(diǎn)z0 無(wú)定義或無(wú)確定值；無(wú)定義或無(wú)確定值；f(z)在點(diǎn)在點(diǎn)z0 不連續(xù)；不連續(xù)；f(z)在點(diǎn)在點(diǎn)z0 不可導(dǎo)；不可導(dǎo)；f(z)在點(diǎn)

49、在點(diǎn)z0 可導(dǎo)可導(dǎo), ,但找不到某個(gè)鄰域在其內(nèi)處處可導(dǎo)但找不到某個(gè)鄰域在其內(nèi)處處可導(dǎo)3. 解析函數(shù)的充分必要條件設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在在區(qū)域區(qū)域B內(nèi)解析當(dāng)且僅當(dāng)：內(nèi)解析當(dāng)且僅當(dāng)：(1)(1)實(shí)部和虛部在實(shí)部和虛部在B內(nèi)可導(dǎo)；內(nèi)可導(dǎo)；(2)(2)實(shí)部和虛部在實(shí)部和虛部在B內(nèi)每一點(diǎn)滿足內(nèi)每一點(diǎn)滿足條件條件2022-7-576例例1 1 判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo)判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo), , 在何處解析在何處解析:(1).; (2).( )e (cossin ); (3).Re( )xwzf zyiywzz1, 0, 0, 1yvxvyuxu解解 （1） 因?yàn)橐驗(yàn)閡=x

50、, v=- -y, 可知柯西可知柯西- -黎曼方程不滿足黎曼方程不滿足, , 所以所以 w = z 在復(fù)平在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo)面內(nèi)處處不可導(dǎo), , 處處不解析處處不解析（2） 因?yàn)橐驗(yàn)閡=excos y, v=exsin y,yyvyxvyyuyxuxxxxcose,sinesine,cose2022-7-577 柯西柯西- -黎曼方程成立黎曼方程成立, , 由于上面四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都是由于上面四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)的連續(xù)的, , 所以所以f(z)在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo), , 處處解處處解析析, , 且根據(jù)且根據(jù)(2.2.2)(2.2.2)式有式有f (z)=ex(cos y+isin y

51、)=f(z) 這個(gè)函數(shù)就是指數(shù)函數(shù)這個(gè)函數(shù)就是指數(shù)函數(shù)ez.3 3 由由w=zRe(z)=x2+ixy, , 得得u=x2, v=xy, , 所以所以xyvyxvyuxxu,0,2 容易看出容易看出, , 這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù)這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù), , 但僅當(dāng)?shù)珒H當(dāng)x=y=0時(shí)時(shí), , 它們才滿足柯西它們才滿足柯西- -黎曼方程黎曼方程, , 因而函數(shù)僅在因而函數(shù)僅在z=0可導(dǎo)可導(dǎo), , 但在復(fù)平面內(nèi)任何地方都不解析但在復(fù)平面內(nèi)任何地方都不解析. .2022-7-578 1.1.調(diào)和函數(shù)與共軛調(diào)和函數(shù)概念調(diào)和函數(shù)與共軛調(diào)和函數(shù)概念2022-7-579 若兩實(shí)函數(shù)若兩實(shí)函數(shù)u(x,y)及及v(x

52、,y)均為區(qū)域均為區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，且滿足柯西黎曼條件，即且滿足柯西黎曼條件，即 則稱則稱v為為u的共軛調(diào)和函數(shù)的共軛調(diào)和函數(shù). , uuxyyx vv( , )( , )i ( , )f x yu x yx y v2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)之間的關(guān)系解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)之間的關(guān)系 任何在區(qū)域任何在區(qū)域 D 內(nèi)內(nèi)解析的函數(shù)解析的函數(shù)，其實(shí)部和虛部都是，其實(shí)部和虛部都是D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)內(nèi)的調(diào)和函數(shù). .且虛部為且虛部為實(shí)部的共軛調(diào)實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù)和函數(shù). 2022-7-580由柯西由柯西黎曼方程黎曼方程2222()()()uuvxxxxyuuvyyyyx 22220uuxy, uuxy

53、yxvv2222()()()vvuxxxxyvvuyyyyx 22220vvxy2022-7-5813 3 曲線族曲線族21),(),(CyxvCyxu相互正交。相互正交。 u vu vxxyy即由柯西由柯西黎曼方程黎曼方程0 u vu vuvxxyy兩族曲線的梯度正交兩族曲線的梯度正交兩族曲線正交兩族曲線正交舉例紅紅: :實(shí)部實(shí)部蘭蘭: :虛部虛部zezf)(2)(zzf, uuyyxxvv2022-7-582 由上述討論可知，由上述討論可知，如果在區(qū)域內(nèi)如果在區(qū)域內(nèi)任選任選兩個(gè)調(diào)兩個(gè)調(diào)和函數(shù)和函數(shù) ，則函數(shù)，則函數(shù) 在區(qū)域內(nèi)不在區(qū)域內(nèi)不一定是解析函數(shù)一定是解析函數(shù). .只有當(dāng)只有當(dāng)u和和v

54、還滿足相應(yīng)的還滿足相應(yīng)的C-R條條件，對(duì)應(yīng)函數(shù)件，對(duì)應(yīng)函數(shù) 在區(qū)域內(nèi)才解析（而在區(qū)域內(nèi)才解析（而 卻不一定解析）。卻不一定解析）。 由此提供了構(gòu)成一個(gè)解析函數(shù)的方法，由此提供了構(gòu)成一個(gè)解析函數(shù)的方法，( , ), ( , )u x yx yviu viu viv+ u2022-7-583 已知一個(gè)調(diào)和函數(shù)，要構(gòu)成一個(gè)解析函數(shù)的具體方已知一個(gè)調(diào)和函數(shù)，要構(gòu)成一個(gè)解析函數(shù)的具體方法如下：法如下： (1)(1)不定積分法；不定積分法； （2 2）全微分法；）全微分法； （3 3）利用導(dǎo)數(shù)公式；）利用導(dǎo)數(shù)公式； （4 4）曲線積分法）曲線積分法. . ：作此類題時(shí)，首先一定要驗(yàn)證給定的：作此類題時(shí)，首

55、先一定要驗(yàn)證給定的函數(shù)是否是調(diào)和函數(shù)函數(shù)是否是調(diào)和函數(shù). . 下面分別以四種方法來(lái)說(shuō)明解析函數(shù)的構(gòu)建下面分別以四種方法來(lái)說(shuō)明解析函數(shù)的構(gòu)建方法方法. .具體解題時(shí)選其中最簡(jiǎn)單的方法即可具體解題時(shí)選其中最簡(jiǎn)單的方法即可. .2022-7-584 例例2 2 已知已知 ，求解析函，求解析函數(shù)數(shù) ，并滿足，并滿足 . . 解解 首先驗(yàn)證首先驗(yàn)證 是否為調(diào)和函數(shù)，容易得到是否為調(diào)和函數(shù)，容易得到 故為故為 調(diào)和函數(shù)，因此只需找到它的共軛調(diào)調(diào)和函數(shù)，因此只需找到它的共軛調(diào)和函數(shù)和函數(shù) ，即可構(gòu)建解析函數(shù)，即可構(gòu)建解析函數(shù). .由由C-RC-R條件得條件得 所以所以 22( , )u x yxyxy( )

56、( , ) i ( , )f zu x yx yv(0) 0f( , )u x y2, 2xyuxyuxy2, 20 xxyyxxyyuuuu( , )u x y, x yv2yxuxyv21(2)(d22)x yx y yxyyxv,2022-7-58522( )yxuxyyx v( )xx 由由C-R條件得條件得從而從而 由此得由此得 由由 得得 ，最后得，最后得21( )2xxc 22( , )22yxx yxycv222211( )ii 2 iii22f zuxyxyyxyxc v(0) 0f0c 222211( )(i )i(2i)(1i)22f zxyxyxyz2022-7-586

57、22( , )u x yxyxy(0) 0f2022-7-587 解解 容易驗(yàn)證所給函數(shù)容易驗(yàn)證所給函數(shù) 為調(diào)和函數(shù)為調(diào)和函數(shù). . 要構(gòu)要構(gòu)建解析函數(shù)建解析函數(shù) ，故其導(dǎo)數(shù)存在，且，故其導(dǎo)數(shù)存在，且 將上式兩邊對(duì)將上式兩邊對(duì)z z積分得到積分得到 根據(jù)條件根據(jù)條件 ，故得，故得 ( , )u x y( )fz( )ii(2) i(2)2(i ) i(i ) 2i(2 i)xxxyf zuuux yy xxyxyzzzv2i( )(2 i) d(1)2f zz zzc(0)0f21( )(1i)2f zz22( , )u x yxyxy(0) 0f2022-7-5882022-7-589 可以

58、證明該積分與路徑無(wú)關(guān)可以證明該積分與路徑無(wú)關(guān) 解解 首先容易驗(yàn)證給定函數(shù)首先容易驗(yàn)證給定函數(shù) 是調(diào)和函是調(diào)和函數(shù)數(shù). . 根據(jù)根據(jù)C-R條件條件 若積分路徑選為若積分路徑選為 ，則得到，則得到 根據(jù)條件根據(jù)條件 ，故得，故得 .( ,)u x y2, 2yxxyux yuy x vv(0,0)(0, )( , )xx y( , )(0,0)0022( , )(2)d(2)d (2 0)d(2)d222x yxyx yyx xxyycx xxyycxyxyc v(0)0f21( )(1i)2f zz.22( , )u x yxyxy(0) 0f2022-7-590已知一調(diào)和函數(shù)已知一調(diào)和函數(shù).)

59、sincos(),(yxyxyyeyxvx求解析函數(shù)求解析函數(shù)f(z)=u+iv。使。使f(0)=0f(0)=0 例例21)sinsincos(yyxyyexvx1)cossin(cosyxyyyeyvx1)cossin(cosyxyyyeyvxux所以所以dxyxyyyedxxuyxux 1)cossin(cos),( )()sincos(zfxyyyxex解解2022-7-591又因?yàn)橛忠驗(yàn)閥uxv有有 1)sinsincos(yyxyyex)( )cossinsin(yfyyyyxex)( )cossinsin(yfyyyyxex所以所以1)( yfcyyf)(故有故有cyxyyyxey

60、xux)sincos(),()sincos()sincos()(yxyxyyeicyxyyyxezfxx2022-7-592ciiyixyiyiyeyiyxexx)1 ()1 ()sin(cos)sin(cosciyxiiyexeiyxiyx)(1 (cziiyexezz)1 (czizez)1 (由于由于所以所以f(0)=0,得得c=0czizezfz)1 ()( 2022-7-593 若用若用 和和 分別表示分別表示 的模和輻角，的模和輻角，若函數(shù)若函數(shù) 可導(dǎo)，則可導(dǎo)，則 與與 滿足滿足 且導(dǎo)數(shù)可寫成且導(dǎo)數(shù)可寫成 z( )( , ) i ( , )f zuv( , )u ( , ) v11