2013年朝陽一模北京市朝陽區(qū)2013屆高三第一次綜合練習(xí)-理科數(shù)學(xué)

1、PAGE 北京市朝陽區(qū)高三年級第一次綜合練習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)科測試（理工類） 2013.4（考試時間120分鐘 滿分150分）本試卷分為選擇題（共40分）和非選擇題（共110分）兩部分第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.（1）為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部是A B C D . 【答案】A，所以虛部是，選A.（2）已知集合，則A. B. C. D. 【答案】D，所以，選D.（3）已知向量，.若，則實數(shù)的值為 A B C D【答案】A,因為，所以，解得，選A.（4）在極坐標系中，直線與曲線相交于兩點, 為極點，則的大小為A B

2、 C D【答案】C直線對應(yīng)的直角方程為，由得，即，即。所以圓心為，半徑為1，所以，所以，選C.（5）在下列命題中， “”是“”的充要條件；的展開式中的常數(shù)項為；設(shè)隨機變量,若，則其中所有正確命題的序號是A B C D【答案】C由，得，所以錯誤。展開式的通項公式為，由得，所以常數(shù)項為，所以正確。因為，所以，所以正確。選C.（6）某個長方體被一個平面所截，得到的幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為 A. B. C. D. 8【答案】D由三視圖可知，該幾何體的為，其中長方體底面為正方形，正方形的邊長為2.其中,將相同的兩個幾何體放在一起，構(gòu)成一個高為4的長方體，所以該幾何體體積為。（7）拋物

3、線（）的焦點為，已知點，為拋物線上的兩個動點，且滿足.過弦的中點作拋物線準線的垂線，垂足為，則的最大值為A. B. 1 C. D. 2【答案】A（8）已知函數(shù).若，使成立，則稱為函數(shù)的一個“生成點”.函數(shù)的“生成點”共有A. 1個 B .2個 C .3個 D .4個【答案】B由題意知，因為，所以，。因為，所以當時，此時解得，生成點為。當時，此時解得，生成點為。所以函數(shù)的“生成點”共有2個，選B.第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡上. （9）在等比數(shù)列中，則 ，為等差數(shù)列，且，則數(shù)列的前5項和等于 . 【答案】，在等比數(shù)列中，解得。

4、在等差數(shù)列中，所以。（10）在中， ，分別為角， ，C所對的邊.已知角為銳角，且,則 .【答案】由得，所以,，即.（11）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果S= .【答案】第一次循環(huán)，；第二次循環(huán)，；第三次循環(huán)，；第四次循環(huán)，；此時滿足條件輸出，.（12）如圖，圓是的外接圓，過點C作圓的切線交的延長線于點.若，則線段的長是 ；圓的半徑是 . 【答案】1,，設(shè)，則，即，所以，解得，即.所以三角形為直角三角形，且所以,所以三角形為正三角形，所以半徑.（13）函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且滿足.當時，.若在區(qū)間上方程恰有四個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是 .【答案】由得函數(shù)的周期是2.由得，設(shè)，作出

5、函數(shù)的圖象，如圖，要使方程恰有四個不相等的實數(shù)根，則直線的斜率滿足，由題意可知，所以，所以，即。（14）在平面直角坐標系中，已知點是半圓（）上的一個動點，點在線段的延長線上當時，則點的縱坐標的取值范圍是 【答案】由圖象可知，當點A位于點B時，點C的縱坐標最大。當點A位于點D時，點C的縱坐標最小由圖象可知,。當點A位于點B時，因為，所以此時.由相似性可知，解得，同理當點A位于點D時，解得，所以點的縱坐標的取值范圍是，即。三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.（15）（本小題滿分13分）已知函數(shù)（）的最小正周期為.（）求的值及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（）當時，求

6、函數(shù)的取值范圍.（16）（本小題滿分13分）盒子中裝有四張大小形狀均相同的卡片，卡片上分別標有數(shù)字稱“從盒中隨機抽取一張，記下卡片上的數(shù)字后并放回”為一次試驗（設(shè)每次試驗的結(jié)果互不影響） （）在一次試驗中，求卡片上的數(shù)字為正數(shù)的概率；（）在四次試驗中，求至少有兩次卡片上的數(shù)字都為正數(shù)的概率；（）在兩次試驗中，記卡片上的數(shù)字分別為，試求隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望（17）（本小題滿分14分）PDABCFE如圖，在四棱錐中，平面平面，且， 四邊形滿足，點分別為側(cè)棱上的點，且（）求證：平面；（）當時，求異面直線與所成角的余弦值； （）是否存在實數(shù)，使得平面平面？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由

7、（18）（本小題滿分13分）已知函數(shù)，其中（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)在上有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍.（19）（本小題滿分14分）已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓過點,離心率為，點為其右頂點.過點作直線與橢圓相交于兩點，直線，與直線分別交于點，.（）求橢圓的方程；（）求的取值范圍.（20）（本小題滿分13分）設(shè)是數(shù)的任意一個全排列，定義，其中.（）若，求的值；（）求的最大值；（）求使達到最大值的所有排列的個數(shù).北京市朝陽區(qū)高三年級第一次綜合練習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)科測試答案（理工類） 2013.4一、選擇題：題號（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案ADACCD AB二、填空題：

8、題號（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案，1,（注：兩空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答題：（15）（本小題滿分13分）解：（） . 4分因為最小正周期為，所以. 6分所以.由，得.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，. 8分（）因為，所以， 10分所以. 12分所以函數(shù)在上的取值范圍是. 13分（16）（本小題滿分13分）解：（）設(shè)事件A：在一次試驗中，卡片上的數(shù)字為正數(shù)，則 答：在一次試驗中，卡片上的數(shù)字為正數(shù)的概率是3分（）設(shè)事件B：在四次試驗中，至少有兩次卡片上的數(shù)字都為正數(shù)由（）可知在一次試驗中，卡片上的數(shù)字為正數(shù)的概率是 所以 答：在四次試驗中，至少有兩次卡片上的數(shù)字都

9、為正數(shù)的概率為7分（）由題意可知，的可能取值為，所以隨機變量的可能取值為 ； ； ； ； ； 所以隨機變量的分布列為所以13分（17）（本小題滿分14分）證明：（）由已知，所以 因為，所以而平面，平面，所以平面 4分（）因為平面平面， 平面平面，且，所以平面.所以，又因為，所以兩兩垂直 5分如圖所示，建立空間直角坐標系，PDABCFExyxzx因為，所以當時，為中點，所以,所以 設(shè)異面直線與所成的角為，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為9分（）設(shè)，則 由已知，所以， 所以 所以設(shè)平面的一個法向量為，因為,所以 即 令，得設(shè)平面的一個法向量為，因為,所以 即 令，則若平面平面，則，所以，解得所

10、以當時，平面平面14分（18）（本小題滿分1 3分）解：函數(shù)定義域為， 且2分當，即時，令，得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，令，得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.當，即時，令，得或，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.令，得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.當，即時，恒成立，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為. 7分()當時，由()可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，在單調(diào)遞增.所以在上的最小值為，由于，要使在上有且只有一個零點，需滿足或解得或.當時，由()可知，（）當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；且，所以在上有且只有一個零點.（）當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；又因為，所以當時，總有. 因為，所以.所以在區(qū)間內(nèi)必有零點.又因為在內(nèi)單調(diào)遞增，從而當時，

11、在上有且只有一個零點. 綜上所述，或或時，在上有且只有一個零點. 13分（19）（本小題滿分14分）解：（）設(shè)橢圓的方程為，依題意得解得，. 所以橢圓的方程為. 4分（）顯然點.（1）當直線的斜率不存在時，不妨設(shè)點在軸上方，易得，所以. 6分（2）當直線的斜率存在時，由題意可設(shè)直線的方程為，顯然時，不符合題意.由得. 設(shè),則. 直線，的方程分別為：，令，則. 所以，. 10分所以 . 12分 因為，所以，所以，即. 綜上所述，的取值范圍是. 14分（20）（本小題滿分13分）解：（）. 3分（）數(shù)的倍與倍分別如下：其中較大的十個數(shù)之和與較小的十個數(shù)之和的差為，所以.對于排列，此時，所以的最大值為. 8分（）由于數(shù)所產(chǎn)生的個數(shù)都是較小的數(shù)，而數(shù)所產(chǎn)生的個數(shù)都是較大的數(shù)，所以使取最大值的排列中，必須保證數(shù)互不相鄰，