2013年朝陽一模北京市朝陽區(qū)2013屆高三第一次綜合練習(xí)-理科數(shù)學(xué)

1、PAGE 北京市朝陽區(qū)高三年級第一次綜合練習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)科測試（理工類） 2013.4（考試時(shí)間120分鐘 滿分150分）本試卷分為選擇題（共40分）和非選擇題（共110分）兩部分第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).（1）為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部是A B C D . 【答案】A，所以虛部是，選A.（2）已知集合，則A. B. C. D. 【答案】D，所以，選D.（3）已知向量，.若，則實(shí)數(shù)的值為 A B C D【答案】A,因?yàn)椋?，解得，選A.（4）在極坐標(biāo)系中，直線與曲線相交于兩點(diǎn), 為極點(diǎn)，則的大小為A B

2、 C D【答案】C直線對應(yīng)的直角方程為，由得，即，即。所以圓心為，半徑為1，所以，所以，選C.（5）在下列命題中， “”是“”的充要條件；的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為；設(shè)隨機(jī)變量,若，則其中所有正確命題的序號是A B C D【答案】C由，得，所以錯(cuò)誤。展開式的通項(xiàng)公式為，由得，所以常數(shù)項(xiàng)為，所以正確。因?yàn)?，所以，所以正確。選C.（6）某個(gè)長方體被一個(gè)平面所截，得到的幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為 A. B. C. D. 8【答案】D由三視圖可知，該幾何體的為，其中長方體底面為正方形，正方形的邊長為2.其中,將相同的兩個(gè)幾何體放在一起，構(gòu)成一個(gè)高為4的長方體，所以該幾何體體積為。（7）拋物

3、線（）的焦點(diǎn)為，已知點(diǎn)，為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足.過弦的中點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最大值為A. B. 1 C. D. 2【答案】A（8）已知函數(shù).若，使成立，則稱為函數(shù)的一個(gè)“生成點(diǎn)”.函數(shù)的“生成點(diǎn)”共有A. 1個(gè) B .2個(gè) C .3個(gè) D .4個(gè)【答案】B由題意知，因?yàn)?，所以，。因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，此時(shí)解得，生成點(diǎn)為。當(dāng)時(shí)，此時(shí)解得，生成點(diǎn)為。所以函數(shù)的“生成點(diǎn)”共有2個(gè)，選B.第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡上. （9）在等比數(shù)列中，則 ，為等差數(shù)列，且，則數(shù)列的前5項(xiàng)和等于 . 【答案】，在等比數(shù)列中，解得。

4、在等差數(shù)列中，所以。（10）在中， ，分別為角， ，C所對的邊.已知角為銳角，且,則 .【答案】由得，所以,，即.（11）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果S= .【答案】第一次循環(huán)，；第二次循環(huán)，；第三次循環(huán)，；第四次循環(huán)，；此時(shí)滿足條件輸出，.（12）如圖，圓是的外接圓，過點(diǎn)C作圓的切線交的延長線于點(diǎn).若，則線段的長是 ；圓的半徑是 . 【答案】1,，設(shè)，則，即，所以，解得，即.所以三角形為直角三角形，且所以,所以三角形為正三角形，所以半徑.（13）函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且滿足.當(dāng)時(shí)，.若在區(qū)間上方程恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .【答案】由得函數(shù)的周期是2.由得，設(shè)，作出

5、函數(shù)的圖象，如圖，要使方程恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則直線的斜率滿足，由題意可知，所以，所以，即。（14）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)是半圓（）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長線上當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是 【答案】由圖象可知，當(dāng)點(diǎn)A位于點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)最大。當(dāng)點(diǎn)A位于點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)最小由圖象可知,。當(dāng)點(diǎn)A位于點(diǎn)B時(shí)，因?yàn)?，所以此時(shí).由相似性可知，解得，同理當(dāng)點(diǎn)A位于點(diǎn)D時(shí)，解得，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是，即。三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.（15）（本小題滿分13分）已知函數(shù)（）的最小正周期為.（）求的值及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（）當(dāng)時(shí)，求

6、函數(shù)的取值范圍.（16）（本小題滿分13分）盒子中裝有四張大小形狀均相同的卡片，卡片上分別標(biāo)有數(shù)字稱“從盒中隨機(jī)抽取一張，記下卡片上的數(shù)字后并放回”為一次試驗(yàn)（設(shè)每次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響） （）在一次試驗(yàn)中，求卡片上的數(shù)字為正數(shù)的概率；（）在四次試驗(yàn)中，求至少有兩次卡片上的數(shù)字都為正數(shù)的概率；（）在兩次試驗(yàn)中，記卡片上的數(shù)字分別為，試求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望（17）（本小題滿分14分）PDABCFE如圖，在四棱錐中，平面平面，且， 四邊形滿足，點(diǎn)分別為側(cè)棱上的點(diǎn)，且（）求證：平面；（）當(dāng)時(shí)，求異面直線與所成角的余弦值； （）是否存在實(shí)數(shù)，使得平面平面？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由

7、（18）（本小題滿分13分）已知函數(shù)，其中（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（19）（本小題滿分14分）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓過點(diǎn),離心率為，點(diǎn)為其右頂點(diǎn).過點(diǎn)作直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，直線，與直線分別交于點(diǎn)，.（）求橢圓的方程；（）求的取值范圍.（20）（本小題滿分13分）設(shè)是數(shù)的任意一個(gè)全排列，定義，其中.（）若，求的值；（）求的最大值；（）求使達(dá)到最大值的所有排列的個(gè)數(shù).北京市朝陽區(qū)高三年級第一次綜合練習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)科測試答案（理工類） 2013.4一、選擇題：題號（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案ADACCD AB二、填空題：

8、題號（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案，1,（注：兩空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答題：（15）（本小題滿分13分）解：（） . 4分因?yàn)樽钚≌芷跒?，所? 6分所以.由，得.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，. 8分（）因?yàn)?，所以?10分所以. 12分所以函數(shù)在上的取值范圍是. 13分（16）（本小題滿分13分）解：（）設(shè)事件A：在一次試驗(yàn)中，卡片上的數(shù)字為正數(shù)，則 答：在一次試驗(yàn)中，卡片上的數(shù)字為正數(shù)的概率是3分（）設(shè)事件B：在四次試驗(yàn)中，至少有兩次卡片上的數(shù)字都為正數(shù)由（）可知在一次試驗(yàn)中，卡片上的數(shù)字為正數(shù)的概率是 所以 答：在四次試驗(yàn)中，至少有兩次卡片上的數(shù)字都

9、為正數(shù)的概率為7分（）由題意可知，的可能取值為，所以隨機(jī)變量的可能取值為 ； ； ； ； ； 所以隨機(jī)變量的分布列為所以13分（17）（本小題滿分14分）證明：（）由已知，所以 因?yàn)?，所以而平面，平面，所以平?4分（）因?yàn)槠矫嫫矫妫?平面平面，且，所以平面.所以，又因?yàn)?，所以兩兩垂?5分如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，PDABCFExyxzx因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，為中點(diǎn)，所以,所以 設(shè)異面直線與所成的角為，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為9分（）設(shè)，則 由已知，所以， 所以 所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?所以 即 令，得設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?所以 即 令，則若平面平面，則，所以，解得所

10、以當(dāng)時(shí)，平面平面14分（18）（本小題滿分1 3分）解：函數(shù)定義域?yàn)椋?且2分當(dāng)，即時(shí)，令，得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，令，得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.當(dāng)，即時(shí)，令，得或，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.令，得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)，即時(shí)，恒成立，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為. 7分()當(dāng)時(shí)，由()可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，在單調(diào)遞增.所以在上的最小值為，由于，要使在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，需滿足或解得或.當(dāng)時(shí)，由()可知，（）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；且，所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).（）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，總有. 因?yàn)?，所?所以在區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn).又因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，從而當(dāng)時(shí)，

11、在上有且只有一個(gè)零點(diǎn). 綜上所述，或或時(shí)，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn). 13分（19）（本小題滿分14分）解：（）設(shè)橢圓的方程為，依題意得解得，. 所以橢圓的方程為. 4分（）顯然點(diǎn).（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，易得，所以. 6分（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由題意可設(shè)直線的方程為，顯然時(shí)，不符合題意.由得. 設(shè),則. 直線，的方程分別為：，令，則. 所以，. 10分所以 . 12分 因?yàn)?，所以，所以，? 綜上所述，的取值范圍是. 14分（20）（本小題滿分13分）解：（）. 3分（）數(shù)的倍與倍分別如下：其中較大的十個(gè)數(shù)之和與較小的十個(gè)數(shù)之和的差為，所以.對于排列，此時(shí)，所以的最大值為. 8分（）由于數(shù)所產(chǎn)生的個(gè)數(shù)都是較小的數(shù)，而數(shù)所產(chǎn)生的個(gè)數(shù)都是較大的數(shù)，所以使取最大值的排列中，必須保證數(shù)互不相鄰，