動(dòng)態(tài)電路方程及其解

1、第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析1. 電容元件電容元件 電容的電容的VARdtduCdtdqi tdiCtdu)(1)(電容元件的特點(diǎn)電容元件的特點(diǎn)*電壓有變化，才有電流。電電壓有變化，才有電流。電容具有隔直流作用。容具有隔直流作用。*電容電壓具有連續(xù)性，不能電容電壓具有連續(xù)性，不能 躍變。躍變。*電容有電容有“記憶記憶”電壓的作電壓的作用。電容是無(wú)源元件。用。電容是無(wú)源元件。上上 節(jié)節(jié) 回回 顧顧第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析2. 電感元件電感元件 電感的電感的VAR電感元件的特點(diǎn)電感元件的特點(diǎn)*電流有變化，才有電壓。電流有變化，才有電壓。*電感的電流具有連續(xù)性，不電感的電流具有連續(xù)性，不能躍變。能躍

2、變。*電感有電感有“記憶記憶”電流的作電流的作用。電感是無(wú)源元件。用。電感是無(wú)源元件。dttdiLtudtdtutLit)()()()()( duLtit )(1)(第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析包含包含至少一個(gè)動(dòng)態(tài)元件至少一個(gè)動(dòng)態(tài)元件（電容或電感）的（電容或電感）的電路為動(dòng)態(tài)電路。電路為動(dòng)態(tài)電路。 含有含有一個(gè)獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件的電路一個(gè)獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件的電路為一階電路。為一階電路。（電路方程為一階常系數(shù)微分方程）（電路方程為一階常系數(shù)微分方程）含有含有二個(gè)獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件的電路二個(gè)獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件的電路為二階電路。為二階電路。（電路方程為二階常系數(shù)微分方程）（電路方程為二階常系數(shù)微分方程）含有三個(gè)或三個(gè)

3、以上獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件的含有三個(gè)或三個(gè)以上獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件的電路電路為高階電路。（電路方程為高階常系數(shù)微分為高階電路。（電路方程為高階常系數(shù)微分方程）方程）3.2 動(dòng)態(tài)電路方程及其解動(dòng)態(tài)電路方程及其解 第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析換路、暫態(tài)與穩(wěn)態(tài)的概念換路、暫態(tài)與穩(wěn)態(tài)的概念ucUSRC(t=0)(t=t1)+-換路：電路換路：電路結(jié)構(gòu)或參數(shù)結(jié)構(gòu)或參數(shù)發(fā)生突然變化。發(fā)生突然變化。穩(wěn)態(tài)：在指定條件下電路中的電壓、電流已穩(wěn)態(tài)：在指定條件下電路中的電壓、電流已達(dá)到穩(wěn)定值。有兩類穩(wěn)態(tài)電路：達(dá)到穩(wěn)定值。有兩類穩(wěn)態(tài)電路：直流穩(wěn)態(tài)電路：電路中電流電壓均為直流穩(wěn)態(tài)電路：電路中電流電壓均為恒定量恒定量。正弦穩(wěn)態(tài)電路：電路

4、中電流電壓均為正弦穩(wěn)態(tài)電路：電路中電流電壓均為正弦交流量正弦交流量。第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析暫態(tài)：電路換路后從一種穩(wěn)態(tài)到另一種穩(wěn)態(tài)暫態(tài)：電路換路后從一種穩(wěn)態(tài)到另一種穩(wěn)態(tài)的過(guò)渡過(guò)程。的過(guò)渡過(guò)程。過(guò)渡過(guò)程產(chǎn)生的原因：過(guò)渡過(guò)程產(chǎn)生的原因：外因外因換路換路；內(nèi)因；內(nèi)因有儲(chǔ)能元件有儲(chǔ)能元件。uctt1US穩(wěn)態(tài)暫態(tài)暫態(tài)ucUSRC(t=0)(t=t1)+-第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析3.2.1 動(dòng)態(tài)電路方程動(dòng)態(tài)電路方程)()()(tututusCR dtduRCRiudtduCiCRC ,dtduRCRiudtduCiCRC ,sCCuRCuRCdtdu11 一階常系數(shù)微分方程一階常系數(shù)微分方程1. RC

5、電路電路 第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析)()()(tititisLR sLLiLRiLRdtdi dtdiLuRuCiLLL ,RuRuiLRR 一階常系數(shù)微分方程一階常系數(shù)微分方程2. RL電路電路 第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析)()()()(tutututusCRL ,dtduCiC sCCCuLCuLCdtduLRdtud1122 二階常系數(shù)微分方程二階常系數(shù)微分方程RiuR dtdiLuL ,dtduRCC 22dtudLCC 3. RLC電路電路 第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析 一般而言，若電路中含有一般而言，若電路中含有n個(gè)獨(dú)立的動(dòng)態(tài)個(gè)獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件，那么描述該電路的微分方程是元件，那么描

6、述該電路的微分方程是n階的，階的，稱為稱為n階電路。階電路。 第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析例：例：求解方程求解方程,05 xdtdx2)0( x05 s5 sttseKeKtx5)(22)0(Kx解：解： 特征方程特征方程特征根特征根通解通解代入初始條件，得代入初始條件，得原問(wèn)題的解為原問(wèn)題的解為tetx52)( 3.2.2 動(dòng)態(tài)電路方程解動(dòng)態(tài)電路方程解 1. 初始值的計(jì)算初始值的計(jì)算第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析討論初始值的原因討論初始值的原因: 初始值用來(lái)完全確定微分方程的解初始值用來(lái)完全確定微分方程的解。動(dòng)態(tài)電。動(dòng)態(tài)電路中，要得到待求量，就必須知道待求量的初始路中，要得到待求量，就必須知道待求

7、量的初始值。而相應(yīng)的微分方程的初始條件為值。而相應(yīng)的微分方程的初始條件為電流或電壓電流或電壓的初始值的初始值。第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析動(dòng)態(tài)電路的初始狀態(tài)與初始值動(dòng)態(tài)電路的初始狀態(tài)與初始值t0+ 和和 t0- t0 時(shí)刻換路，則時(shí)刻換路，則 t0- 為換路前的瞬間，為換路前的瞬間， t0+ 為換路后為換路后的瞬間（稱為換路后的初始時(shí)刻）。的瞬間（稱為換路后的初始時(shí)刻）。 獨(dú)立初始值獨(dú)立初始值uC(t)和和 iL(t)為電路的獨(dú)立狀態(tài)變量。為電路的獨(dú)立狀態(tài)變量。 T0+ 時(shí)刻的時(shí)刻的uC(0)和和 iL(0)為電路的原始狀態(tài)，它們反映了換路前電為電路的原始狀態(tài)，它們反映了換路前電路所儲(chǔ)存的能量。

8、路所儲(chǔ)存的能量。獨(dú)立初始值：獨(dú)立初始值： uC(0), iL(0)非獨(dú)立初始值：非獨(dú)立初始值：t0+ 時(shí)刻其它時(shí)刻其它u (0), i (0)值。值。第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析 t0時(shí)刻換路，換路前一瞬間記為時(shí)刻換路，換路前一瞬間記為t0-，換路后一瞬間記為，換路后一瞬間記為t0+。當(dāng)。當(dāng)t=t0+時(shí)，電容電壓時(shí)，電容電壓uC和電感電流和電感電流iL分別為分別為 0000)(1)()()(1)()(0000ttLLLttCCCduLtitidiCtutu )()()()(0000tititutuLLCC換路定律換路定律 注意注意：除：除uC(0)和和iL(0)外，其他各電流和電壓在換外，其他各

9、電流和電壓在換路前后可以躍變。路前后可以躍變。第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析求初始值的簡(jiǎn)要步驟如下：求初始值的簡(jiǎn)要步驟如下：(1) 0- 的獨(dú)立初始值。由的獨(dú)立初始值。由t0時(shí)的電路，時(shí)的電路， 求出求出uC(0-), iL(0-)； 畫(huà)出畫(huà)出0+等效電路；在等效電路；在t=0+時(shí)，時(shí)，用電壓等于用電壓等于uC( 0+) 的電壓源的電壓源替代電容元件，用電流等于替代電容元件，用電流等于iL(0+)的電流源替代電感元件，的電流源替代電感元件，獨(dú)立電源均取獨(dú)立電源均取t=0+時(shí)的值。時(shí)的值。(3) 由由0+等效電路，求出非獨(dú)立初始值（各電流、電壓的等效電路，求出非獨(dú)立初始值（各電流、電壓的初始值）。初

10、始值）。(2) 0+ 的獨(dú)立初始值。根據(jù)換路定律求出的獨(dú)立初始值。根據(jù)換路定律求出 uC( 0+)、iL ( 0+) 。第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析初始值的確定初始值的確定例例1解：解：(1)由換路前電路求由換路前電路求)0(),0( LCiu由已知條件知由已知條件知0000)(,)(LCiu(2)根據(jù)換路定律得：根據(jù)換路定律得：0)0()0( CCuu0)0 ()0 (LL已知：換路前電路處穩(wěn)態(tài)，已知：換路前電路處穩(wěn)態(tài)，C、L 均未儲(chǔ)能。均未儲(chǔ)能。試求：電路中各電壓和電試求：電路中各電壓和電流的初始值。流的初始值。S(a)CU R2R1t=0+-L第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析11)0()0(RU

11、C 0)0(2 uUuuL )0()0(1iC 、uL 產(chǎn)生突變產(chǎn)生突變 (3)由由t=0+電路，求其余各電流、電壓的初始值電路，求其余各電流、電壓的初始值SCU R2R1t=0+-L(a) 電路電路iL(0+ )U iC (0+ )uC (0+)uL(0+)_u2(0+)u1(0+)i1(0+ )R2R1+_+-(b) t = 0+等效電路等效電路, 0)0(Cu電容元件可視為短路電容元件可視為短路, 0)0(Li電感元件可視為開(kāi)路電感元件可視為開(kāi)路第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析例例2 電路如圖所示。在開(kāi)關(guān)閉合前，電路如圖所示。在開(kāi)關(guān)閉合前， 電路已處于穩(wěn)定。當(dāng)電路已處于穩(wěn)定。當(dāng)t=0時(shí)開(kāi)關(guān)閉合

12、，求初始值時(shí)開(kāi)關(guān)閉合，求初始值i1(0+)，i2(0+)和和iC(0+)。 第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析解：解： (1) 求求uC(0-)。由于開(kāi)關(guān)閉合。由于開(kāi)關(guān)閉合前電路穩(wěn)定，前電路穩(wěn)定，duC/dt=0，故，故iC=0，電容可看作開(kāi)路。電容可看作開(kāi)路。t=0-時(shí)電路如時(shí)電路如圖，圖，VuC12)0( (2) 根據(jù)換路定律有根據(jù)換路定律有 VuuCC12)0()0( 12V第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析(3) 由由0+等效電路，計(jì)算各電流的初始值。等效電路，計(jì)算各電流的初始值。 )0()0()0(21Ciii041212)0(1 RuUCsARuC5 . 1812)0(2 Aii5 . 1)0()

13、0(21 第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析例例3：已知換路前已達(dá)穩(wěn)態(tài)，求已知換路前已達(dá)穩(wěn)態(tài)，求 uL(0) 、i (0)、 i1(0) 和和iL(0)。 110V4(t=0)uL+-ii1iL解：解：)(24110)0(AiL AiiLL2)0()0( 110V4+-i1(0+)2Ai (0+)uL(0+)(3)由由0等效電路可求得等效電路可求得Ai10)0( Ai8)0(1 VuL8)0( (1)換路前換路前(2)根據(jù)換路定律根據(jù)換路定律第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析例例4 電路如圖所示，電路如圖所示，t=0時(shí)開(kāi)關(guān)時(shí)開(kāi)關(guān)S由由1扳向扳向2，在，在t0時(shí)電路已時(shí)電路已處于穩(wěn)定。求初始值處于穩(wěn)定。求初始值

14、i2(0+)，iC(0+)。 解：解： (1) 換路前換路前 )0()0(CLuiViRL2045)0(2 ARRUs4512421 第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析AiiVuuLLCC4)0()0(20)0()0( (3) 由由0+等效電路，計(jì)算其余初始值。等效電路，計(jì)算其余初始值。 044)0()0()0(4520)0()0(222 iiiARUiLCC044)0()0()0(4520)0()0(222 iiiARUiLCC(2) 根據(jù)換路定律有根據(jù)換路定律有 第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析uC (0 -) =U0sRU+_C+_i0tuc實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)：RC電路的充電過(guò)程電路的充電過(guò)程2. 微分方程經(jīng)典

15、解法微分方程經(jīng)典解法0UU 第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析sCCUudtduRCsCRUuu(方程的通解方程的通解 =方程的特解方程的特解 + 對(duì)應(yīng)齊次方程的通解對(duì)應(yīng)齊次方程的通解)()()(tututuCCC 即1. uC的變化規(guī)律的變化規(guī)律(1) 列列 KVL方程方程uC (0 -) = U0sRUs+_C+_i0tuc(2) 解方程解方程求特解求特解 ：CusCCUudtduRCsCsUtuUK)( 即：解得：KdtdKRCUKusC, 代入方程設(shè)：第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析 求對(duì)應(yīng)齊次微分方程的通解求對(duì)應(yīng)齊次微分方程的通解Cu tAUtututusCCC e)()()(0ddCCutuRC

16、通解即：通解即： 的解的解微分方程的通解為微分方程的通解為）（令令RC RCtptAAtuC ee)(其解：確定積分常數(shù)確定積分常數(shù)A0)0(UuC根據(jù)換路定則在根據(jù)換路定則在 t=0+時(shí)，時(shí)，sUUA0則RCtCUsUut )esU-0()(第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析（3） uC的變化規(guī)律的變化規(guī)律)0()( e1(e0ttRCtRCtsUUuC穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量Cu僅存在僅存在于暫態(tài)于暫態(tài)過(guò)程中過(guò)程中)(tuCtU0+UsoRCtCUsUut )esU-0()(零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析3. 、 變化曲線變化曲線CuCiCiCutCuCittUUusC

17、e)e1(02. 電流電流 iC 的變化規(guī)律的變化規(guī)律0 edd0tRUUtuCitsCCUsRUUs0U0第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析3. 直流電源作用一階動(dòng)態(tài)電路的三要素法直流電源作用一階動(dòng)態(tài)電路的三要素法sLLsCCuLiLRtiuCRuCRtu1dd11dd000第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析如果用f(t)表示激勵(lì)us, 用y(t)表示響應(yīng)uC或iL )()(1d)(dtbftytty)(e)()()(tyAtytytyptph設(shè)全響應(yīng)y(t)的初始值為y(0+)A=y(0+)-yp(0+) 電路全響應(yīng)解為 0e)0()0()()(tyytytytpp第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析當(dāng)激勵(lì)f(t)

18、為直流時(shí)，微分方程的特解是常數(shù)。令yp(t)=C, 顯然有yp(0+)=C, 得 tCyCtye )0()(通常情況下，電路時(shí)間常數(shù)0，稱這種電路為正電路。對(duì)于正電路，當(dāng)t時(shí)，由上式可解得 )()(ytyIimCt0)()0()()(teyyytyt自由響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)y()、 y(0)、 稱為三要素。稱為三要素。利用求三要素的方法求利用求三要素的方法求解暫態(tài)過(guò)程，稱為解暫態(tài)過(guò)程，稱為三要素法三要素法第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析V555510)( Cu6666)( LimA3 (1) 穩(wěn)態(tài)值的計(jì)算穩(wěn)態(tài)值的計(jì)算uC+-t=0C10V 1 FS例：例：5k +-Lit =03 6 6 6

19、mAS第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析1) 由由t=0- 電路求電路求)0()0( LCiu、2) 根據(jù)換路定律求出根據(jù)換路定律求出)0()0()0()0( LLCCiiuu3) 由由t=0+時(shí)時(shí)的電路，求所需其它各量的的電路，求所需其它各量的)0( i)0( u或或 注意：注意：(2) 初始值的計(jì)算初始值的計(jì)算 第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析CR0 0RL 注意：注意：第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析R03210)/(RRRR U0+-CR0CR0 R1U+-t=0CR2R3SR1R2R3第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析解：解： teuuuuCCCC )()0()(cuCi2i電路如圖，電路如圖，t=0時(shí)合上開(kāi)關(guān)

20、時(shí)合上開(kāi)關(guān)S，合，合S前電路已處于前電路已處于穩(wěn)態(tài)。試求電容電壓穩(wěn)態(tài)。試求電容電壓 和電流和電流 、 。)0( CuV54106109)0(33 CuV54)0()0( CCuut=0-等效電路等效電路)0( Cu9mA+-6k RS9mA6k 2 F3k t=0Ci2iCu+-C R第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析S9mA6k 2 F3k t=0Ci2iCu+-C R)( cu由換路后電路求穩(wěn)態(tài)值由換路后電路求穩(wěn)態(tài)值)( cu(33 Cus3630104102103636 CR )( Cut 電路電路9mA+-6k R 3k 第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析V54)0( CuV18)( Cus3104 )0V(3618)1854(182503104 tuttCeettuCiCC250e )250(36102dd6 )0A(018. 0t250 te18V54VtCuO第四章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析用三要素法求用三要素法求CiS9mA6k 2 F3k t=0Ci2iCu+-C R3k 6k )0( Ci54 V9mAt=0+等效電路等效電路 tCCCCiiii e)()0()(0)( CimAe126250t 32103)()( tutiCmAe18)(250ttiC mA18102