概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：1-2 概率的定義及計(jì)算

1、1.2 概率的定義及計(jì)算1.2 概率定義計(jì)算歷史上概率的三次定義 公理化定義 統(tǒng)計(jì)定義 古典定義概率的最初定義基于頻率的定義1930年后由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫給出設(shè)在 n 次試驗(yàn)中，事件 A 發(fā)生了m 次， 頻率則稱 為事件 A 發(fā)生的 頻率頻率的性質(zhì) 事件 A, B互斥，則可推廣到有限個(gè)兩兩互斥事件的和事件非負(fù)性歸一性可加性穩(wěn)定性某一定數(shù) 投一枚硬幣觀察正面向上的次數(shù) n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069 n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.

2、5005頻率穩(wěn)定性的實(shí)例 蒲豐( Buffon )投幣 皮爾森( Pearson ) 投幣例 Dewey G. 統(tǒng)計(jì)了約438023個(gè)英語(yǔ)單詞 中各字母出現(xiàn)的頻率, 發(fā)現(xiàn)各字母出現(xiàn) 的頻率不同：A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987U: 0.028

3、0 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016Y: 0.0202 Z: 0.0006 頻 率 的 應(yīng) 用第五章指出:當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)有事件發(fā)生的概 率事件發(fā)生的頻 率根據(jù)如下百年統(tǒng)計(jì)資料可得世界每年發(fā)生大地震的概率 近百年世界重大地震1905.04.04 克什米爾地區(qū) 8.0 88 萬(wàn)1906.08.17 智利瓦爾帕萊索港地區(qū) 8.4 2 1917.01.20 印度尼西亞巴厘島 1.5 萬(wàn)1920.12.16 中國(guó)甘肅 8.6 10 萬(wàn)1923.09.01 日本關(guān)東地區(qū) 7.9 14.2 萬(wàn)1935.05.30 巴基斯坦基達(dá)地區(qū) 7.5 5 萬(wàn) 時(shí) 間 地 點(diǎn) 級(jí)別死亡“重大”

4、的標(biāo)準(zhǔn) 震級(jí) 7 級(jí)左右 死亡 5000人以上 時(shí) 間 地 點(diǎn) 級(jí)別死亡1948.06.28 日本福井地區(qū) 7.3 0.51 萬(wàn)1970.01.05 中國(guó)云南 7.7 1 萬(wàn)1976.07.28 中國(guó)河北省唐山 7.8 24.2 1978.09.16 伊朗塔巴斯鎮(zhèn)地區(qū) 7.9 1.5 1995.01.17 日本阪神工業(yè)區(qū) 7.2 0.6 萬(wàn)1999.08.17 土耳其伊茲米特市 7.4 1.7 萬(wàn)2003.12.26 伊朗克爾曼省 6.8 3 萬(wàn)2004.12.26 印尼蘇門答臘島附近海域 9.0 15 萬(wàn)世界每年發(fā)生大地震概率約為14% 世界性大流感每30-40年發(fā)生一次 近百年世界重大流感

5、1918年 西班牙型流感 H1N1亞型4億人感染 5000萬(wàn)人死亡1957年 亞洲型流感 H2N2 亞型1968年 香港型流感 H3N2 亞型20天傳遍美國(guó) 半年席卷全球 概率的統(tǒng)計(jì)定義概率的定義在相同條件下重復(fù)進(jìn)行的 n 次試驗(yàn)中, 事件 A 發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù) p 附近擺動(dòng), 且隨 n 越大擺動(dòng)幅度越小, 則稱 p 為事件 A 的概率, 記作 P(A).對(duì)本定義的評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)：直觀 易懂缺點(diǎn)：粗糙 模糊不便使用 設(shè) 是隨機(jī)試驗(yàn)E 的樣本空間，若能找到一個(gè)法則，使得對(duì)于E 的每一事件 A 賦于一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P ( A ), 稱之為事件 A 的概率，這種賦值滿足下面的三條公理： 非負(fù)性：

6、歸一性： 可列可加性：其中 為兩兩互斥事件， 概率的公理化定義公理化定義概率的性質(zhì) 有限可加性: 設(shè) 兩兩互斥 若 對(duì)任意兩個(gè)事件A, B, 有 BAB=AB+(B A)P(B)=P(AB)+ P(B AB) B - ABAB 加法公式：對(duì)任意兩個(gè)事件A, B, 有 推廣：一般：右端共有 項(xiàng).例1 小王參加“智力大沖浪”游戲, 他能答出甲、乙二類問(wèn)題的概率分別為0.7和0.2, 兩類問(wèn)題都能答出的概率為0.1. 求小王解 事件A , B分別表示“能答出甲,乙類問(wèn)題”(1)(1) 答出甲類而答不出乙類問(wèn)題的概率 (2) 至少有一類問(wèn)題能答出的概率 (3) 兩類問(wèn)題都答不出的概率(2)(3)例1例

7、2 設(shè)A , B滿足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何條件下， P(AB) 取得最大(小)值？ 最大(小)值是多少？解最小值在 時(shí)取得 最小值 最大值最大值在 時(shí)取得 例2最小值是否正確？ 例2 中回答當(dāng) 時(shí), 取得這相當(dāng)于問(wèn)如下命題是否成立答：不成立 ！式是“羊肉包子打狗 ”有去路,沒(méi)回路為什么呢？學(xué)了幾何概型便會(huì)明白.設(shè) 隨機(jī)試驗(yàn)E 具有下列特點(diǎn)： 基本事件的個(gè)數(shù)有限 每個(gè)基本事件等可能性發(fā)生則稱 E 為 古典(等可能)概型古典概型中概率的計(jì)算：記 則古典（等可能）概型 概率的古典定義古典概型排列組合有關(guān)知識(shí)復(fù)習(xí)加法原理：完成一件事情有n 類方法，第 i 類

8、方法中有 mi 種具體的方法，則完成這件事情 種不同的方法乘法原理：完成一件事情有n 個(gè)步驟，第 i 個(gè)步驟中有 mi 種具體的方法，則完成這件事情 種不同的方法共有 共有 排列 從 n 個(gè)不同的元素中取出 m 個(gè) (不放 回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有全排列可重復(fù)排列 從 n 個(gè)不同的元素中可重復(fù)地 取出 m 個(gè)排成一排, 不同的排法有種不盡相異元素的全排列 n 個(gè)元素中有 m 類，第 i 類中有 個(gè)相同的元素，將這 n 個(gè)元素按一定的次序排成一排，種不同的排法共有，不同的分法共有多組組合 把 n 個(gè)元素分成 m 個(gè)不同的組（組編號(hào)）， 各組分別有 個(gè)元素， 種組合 從 n 個(gè)不

9、同的元素中取出 m 個(gè)(不放 回地）組成一組， 不同的分法共有例3 袋中有a 只白球，b 只紅球，從袋中按不放回與放回兩種方式取m個(gè)球（ ),求其中恰有 k 個(gè) （ ）白球的概率解 （1）不放回情形E: 球編號(hào)，任取一球，記下顏色，放在一邊， 重復(fù) m 次:記事件 A 為m個(gè)球中有k個(gè)白球，則例3又解 E1: 球編號(hào), 一次取 m 個(gè)球,記下顏色1:記事件 A 為m個(gè)球中有k個(gè)白球，則不放回地逐次取 m 個(gè)球, 與一次任取 m 個(gè)球算得的結(jié)果相同.則因此稱超幾何分布（2）放回情形E2: 球編號(hào), 任取一球, 記下顏色, 放回去, 重復(fù) m 次2:記 B 為取出的 m 個(gè)球中有 k 個(gè)白球, 則

10、稱二項(xiàng)分布 設(shè)有 k 個(gè)不同的球, 每個(gè)球等可能地落入 N 個(gè)盒子中（ ）, 設(shè)每個(gè)盒子容球數(shù)無(wú)限, 求下列事件的概率:（1）某指定的 k 個(gè)盒子中各有一球；（4）恰有 k 個(gè)盒子中各有一球；（3）某指定的一個(gè)盒子沒(méi)有球；（2）某指定的一個(gè)盒子恰有 m 個(gè)球( )（5）至少有兩個(gè)球在同一盒子中；（6）每個(gè)盒子至多有一個(gè)球.例4 （分房模型）例4解設(shè) (1) (6)的各事件分別為則例4的“分房模型”可應(yīng)用于很多類似場(chǎng)合“球”可視為人“盒子”相應(yīng)視為房子信封信鑰匙門鎖女舞伴生日人男舞伴例5 “分房模型”的應(yīng)用生物系二年級(jí)有 n 個(gè)人，求至少有兩人生日相同（設(shè)為事件A ) 的概率.解為 n 個(gè)人的生

11、日均不相同,這相當(dāng)于本問(wèn)題中的人可被視為“球”，365天為365只“盒子”.若 n = 64，每個(gè)盒子至多有一個(gè)球. 由例4（6）例5解例6 在0,1,2,3, ,9中不重復(fù)地任取四個(gè)數(shù)，求它們能排成首位非零的四位偶數(shù)的概率.設(shè) A為“能排成首位非零的四位偶數(shù)” 四位偶數(shù)的末位為偶數(shù), 故有 種可能而前三位數(shù)有 種取法,由于首位為零的四 位數(shù)有 種取法,所以有利于A發(fā)生的取 法共有 種.例631解 設(shè) A 表示事件 “n 次取到的數(shù)字的乘積能被10整除”設(shè) A1 表示事件 “n 次取到的數(shù)字中有偶數(shù)” A2表示事件 “n 次取到的數(shù)字中有5”A = A1 A2例7 在1,2,3, ,9中重復(fù)地

12、任取 n ( )個(gè)數(shù), 求 n 個(gè)數(shù)字的乘積能被10整除的概率.例7 將15 名同學(xué)(含3 名女同學(xué)), 平均分成三組. 求(1) 每組有1 名女同學(xué)(設(shè)為事件A)的概率；(2) 3 名女同學(xué)同組(設(shè)為事件B)的概率解（1）（2）例8 把標(biāo)有 1,2,3,4 的 4 個(gè)球隨機(jī)地放入標(biāo)有 1,2,3,4 的 4 個(gè)盒子中，每盒放一球，求至少有一個(gè)盒子的號(hào)碼與放入的球的號(hào)碼一致的概率。解 設(shè) A 為所求的事件設(shè) Ai 表示 i 號(hào)球入 i 號(hào)盒， i = 1,2,3,4則例9( 類似于教材 P.18 例13 )由廣義加法公式1o 明確所作的試驗(yàn)是等可能概型,有時(shí)需設(shè)計(jì)符合問(wèn)題要求的隨機(jī)試驗(yàn), 使其

13、成為等可能概型.3o 計(jì)算古典概率時(shí)須注意應(yīng)用概率計(jì)算的有關(guān)公式, 將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化. 如例7.2o 同一題的樣本空間的基本事件總數(shù) 隨試驗(yàn)設(shè)計(jì)的不同而不同, 如 例3不放回試驗(yàn)的兩種不同設(shè)計(jì). 一般 越小越好.計(jì)算古典概率注意事項(xiàng)若P(A) 0.01 , 則稱A為小概率事件.小概率事件 一次試驗(yàn)中小概率事件一般是不會(huì)發(fā)生的. 若在一次試驗(yàn)中居然發(fā)生了,則可懷疑該事件并非小概率事件.小概率原理小概率原理( 即實(shí)際推斷原理 )例10 區(qū)長(zhǎng)辦公室某一周內(nèi)曾接待過(guò)9次來(lái) 訪, 這些來(lái)訪都是周三或周日進(jìn)行的,是否 可以斷定接待時(shí)間是有規(guī)定的？解 假定辦公室每天都接待，則P( 9次來(lái)訪都在周三、日) =

14、 = 0.0000127這是小概率事件,一般在一次試驗(yàn)中不會(huì)發(fā) 發(fā)生. 現(xiàn)居然發(fā)生了, 故可認(rèn)為假定不成立,從而推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的. 例10 柯爾莫哥洛夫 ( A. H. 1903-1987 ) 1939年任蘇聯(lián)科學(xué)院院士.先后當(dāng)選美,法,意,荷,英,德 等國(guó)的外籍院士 及皇家學(xué)會(huì)會(huì)員. 為 20 世紀(jì)最有影響的俄國(guó)數(shù)學(xué)家.俄國(guó)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫 柯爾莫哥洛夫?yàn)殚_創(chuàng)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一系列重要分支作出重大貢獻(xiàn). 他建立了在測(cè)度論基礎(chǔ)上的概率論公理系統(tǒng), 奠定了近代概率論的基礎(chǔ). 他又是隨機(jī)過(guò)程論的奠基人之一,其主要工作包括: 20年代 關(guān)于強(qiáng)大數(shù)定律、重對(duì)數(shù)律的基本工作; 1933年在概率論的基本

15、概念一文中提出的概率論公理體系(希爾伯特第6問(wèn)題) 30年代建立的馬爾可夫過(guò)程的兩個(gè)基本方程; 用希爾伯特空間的幾何理論建立弱平穩(wěn)序列的線性理論; 40年代完成獨(dú)立和的弱極限理論,經(jīng)驗(yàn)分布的柯爾莫哥洛夫統(tǒng)計(jì)量等; 在動(dòng)力系統(tǒng)中開創(chuàng)了關(guān)于哈密頓系統(tǒng)的微擾理論與K系統(tǒng)遍歷理論; 50年代中期開創(chuàng)了研究函數(shù)特征的信息論方法, 他的工作及隨后阿諾爾德的工作解決并深化了希爾伯特第13問(wèn)題用較少變量的函數(shù)表示較多變量的函數(shù) ;60年代后又創(chuàng)立了信息算法理論; 1980年由于它在調(diào)和分析, 概率論,遍歷理論 及 動(dòng)力系統(tǒng)方面 出色的工作獲沃爾夫獎(jiǎng); 他十分重視數(shù)學(xué)教育,在他的指引下,大批數(shù)學(xué)家在不同的領(lǐng)域內(nèi)

16、取得重大成就.其中包括.M.蓋爾范德,B.阿諾爾德, .西奈依等人. 他還非常重視基礎(chǔ)教育, 親自領(lǐng)導(dǎo)了中學(xué) 數(shù)學(xué)教科書的編寫工作. 問(wèn) 題 2問(wèn)題2 已知 P ( A ) = P ( B ) = P(C) = 1/4 , P(AB) = 0 , P(AC) = P(BC) = 1/6 則事件A，B，C 全不發(fā)生的概率為 .通過(guò)做此題 你能發(fā)現(xiàn)什么問(wèn)題？ （此題是1992年考研填空題） 設(shè)樣本空間為有限區(qū)域 , 若樣本點(diǎn)落入 內(nèi)任何區(qū)域 G 中的概率與區(qū)域G 的測(cè)度成正比, 則樣本點(diǎn)落入G內(nèi)的概率為1.3 幾何概型例11 某人的表停了，他打開收音機(jī)聽電臺(tái)報(bào)時(shí)，已知電臺(tái)是整點(diǎn)報(bào)時(shí)的，問(wèn)他等待報(bào)時(shí)的時(shí)間短于十分鐘的概率9點(diǎn)10點(diǎn)10分鐘幾何概型 (等可能概型的推廣)例11例12 兩船欲停同一碼頭, 兩船在一晝夜內(nèi)獨(dú)立隨機(jī)地到達(dá)碼頭. 若兩船到達(dá)后需在碼頭停留的時(shí)間分別是 1 小時(shí)與 2 小 時(shí)，試求在一晝夜內(nèi)，任一船到達(dá)時(shí)，需 要等待空出碼頭的概率.解 設(shè)船1 到