三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(二)課件(人教A版必修四)

1、1.3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(二)誘導(dǎo)公式五、六誘導(dǎo)公式五、六1.1.公式的表達(dá)形式公式的表達(dá)形式cos sin sin 2.2.公式的語言概括公式的語言概括(1)(1)函數(shù)名稱：函數(shù)名稱： 的正弦的正弦( (余弦余弦) )函數(shù)值函數(shù)值, ,分別等于分別等于的的_函數(shù)值函數(shù)值. .(2)(2)符號(hào)：函數(shù)值前面加上一個(gè)符號(hào)：函數(shù)值前面加上一個(gè)_原函數(shù)值的符原函數(shù)值的符號(hào)號(hào). .(3)(3)作用：利用誘導(dǎo)公式五、六，可以實(shí)現(xiàn)作用：利用誘導(dǎo)公式五、六，可以實(shí)現(xiàn)_的相互轉(zhuǎn)化的相互轉(zhuǎn)化. .2余弦余弦( (正弦正弦) )把把看成銳角時(shí)看成銳角時(shí)正弦函數(shù)與余弦函正弦函數(shù)與余弦函數(shù)數(shù)思考：思考：由誘導(dǎo)公式五、

2、六，可否得出由誘導(dǎo)公式五、六，可否得出 的關(guān)的關(guān)系？系？提示：提示：因?yàn)橐驗(yàn)樗运?互為負(fù)倒數(shù)互為負(fù)倒數(shù). .tan()tan 2與sin()cos 112tan()sin 2sin tan cos()2cos ，1tan()tan()tan 2tan 2 ，即與【知識(shí)點(diǎn)撥【知識(shí)點(diǎn)撥】1.1.三角形中的誘導(dǎo)公式三角形中的誘導(dǎo)公式由于由于A+B+C=,A+B+C=,所以所以A+B=A+B=C,C,所以所以所以所以sin(A+B)=sin(sin(A+B)=sin(C)=sin CC)=sin C；cos(A+B)=cos(cos(A+B)=cos(C)=C)=coscos C C；ABC.22

3、2ABCCsin sin()cos 2222 ABCCcoscos()sin .2222；2.2.解讀六組誘導(dǎo)公式解讀六組誘導(dǎo)公式(1)(1)誘導(dǎo)公式一至誘導(dǎo)公式六揭示了終邊具有某種對(duì)稱關(guān)系的誘導(dǎo)公式一至誘導(dǎo)公式六揭示了終邊具有某種對(duì)稱關(guān)系的兩個(gè)角的三角函數(shù)之間的關(guān)系兩個(gè)角的三角函數(shù)之間的關(guān)系. .(2)(2)這六組誘導(dǎo)公式可歸納為這六組誘導(dǎo)公式可歸納為 的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系的三角函數(shù)值之間的關(guān)系. .當(dāng)當(dāng)k k為偶數(shù)時(shí)得角為偶數(shù)時(shí)得角的同名三角函的同名三角函數(shù)值數(shù)值, ,當(dāng)當(dāng)k k為奇數(shù)時(shí)得角為奇數(shù)時(shí)得角的異名三角函數(shù)值的異名三角函數(shù)值. .然后前面加上一然后前

4、面加上一個(gè)把角個(gè)把角看成銳角時(shí)原三角函數(shù)值的符號(hào)看成銳角時(shí)原三角函數(shù)值的符號(hào). .可簡(jiǎn)記為可簡(jiǎn)記為“奇變偶奇變偶不變不變, ,符號(hào)看象限符號(hào)看象限”. .k(kZ)2類型類型 一一 利用誘導(dǎo)公式利用誘導(dǎo)公式解決給角解決給角( (或值或值) )求值求值 【典型例題【典型例題】1.sin 951.sin 95+cos 175+cos 175的值為的值為( )( )A.sin 5A.sin 5 B.cos B.cos 5 5 C.0 D.2sin 5 C.0 D.2sin 52.2.已知已知sin 10sin 10=k=k，則，則coscos 620 620的值等于的值等于( )( )A.kA.k

5、B. B.k C.k C.k k D. D.不能確定不能確定3.3.已知已知 求下列各式的值：求下列各式的值：2cos()63 ， 21 sin(). 2 sin().33【解題探究【解題探究】1.1.哪組誘導(dǎo)公式可以實(shí)現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)哪組誘導(dǎo)公式可以實(shí)現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)之間的轉(zhuǎn)化？之間的轉(zhuǎn)化？2.6202.620與與1010有何聯(lián)系？有何聯(lián)系？3.3.角角 分別與角分別與角 有何聯(lián)系？有何聯(lián)系？2,33 6探究提示：探究提示：1.1.誘導(dǎo)公式五、六實(shí)現(xiàn)了正弦函數(shù)與余弦函數(shù)之間的轉(zhuǎn)化，誘導(dǎo)公式五、六實(shí)現(xiàn)了正弦函數(shù)與余弦函數(shù)之間的轉(zhuǎn)化，即：即：2.6202.620=720=720-100-

6、100, ,而而1010=100=100-90-90. .3.3.sin()cos cos()sin ,22 ，cos()sin .2 ()()3622()().362 ； 【解析【解析】1.1.選選C.C.原式原式=sin(90=sin(90+5+5)+cos(180)+cos(1805 5) )=cos=cos 5 5coscos 5 5=0.=0.2.2.選選B.cosB.cos 620 620=cos(720=cos(720100100) )=cos=cos 100 100=cos(90=cos(90+10+10) )= =sin 10sin 10= =k.k.3. (1)3. (1)

7、(2)(2)sin()sin()326 2cos().63 2sin()sin()326sin()262cos().63 【拓展提升【拓展提升】角的轉(zhuǎn)化方法角的轉(zhuǎn)化方法(1)(1)對(duì)于負(fù)角的三角函數(shù)求值，可先利用誘導(dǎo)公式三，化為正對(duì)于負(fù)角的三角函數(shù)求值，可先利用誘導(dǎo)公式三，化為正角的三角函數(shù)角的三角函數(shù). .若轉(zhuǎn)化了以后的正角大于若轉(zhuǎn)化了以后的正角大于360360，再利用誘導(dǎo)，再利用誘導(dǎo)公式一，化為公式一，化為0 0到到360360間的角的三角函數(shù)間的角的三角函數(shù). .(2)(2)當(dāng)化成的角是當(dāng)化成的角是9090到到180180間的角時(shí)，再利用間的角時(shí)，再利用180180-的的誘導(dǎo)公式化為誘導(dǎo)

8、公式化為0 0到到9090間的角的三角函數(shù)間的角的三角函數(shù). .(3)(3)當(dāng)化成的角是當(dāng)化成的角是270270到到360360間的角，則利用間的角，則利用360360-及及-的誘導(dǎo)公式化為的誘導(dǎo)公式化為0 0到到9090間的角的三角函數(shù)間的角的三角函數(shù). .(4)(4)善于發(fā)現(xiàn)類似善于發(fā)現(xiàn)類似 間的互余關(guān)系，間的互余關(guān)系，間的互補(bǔ)關(guān)系，利用角的變換結(jié)合誘導(dǎo)公式做題間的互補(bǔ)關(guān)系，利用角的變換結(jié)合誘導(dǎo)公式做題. .36 與233 與【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】(2013(2013廣東高考廣東高考) )已知已知 那么那么coscos =( ) =( )【解題指南【解題指南】本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，可以

9、直接利用本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，可以直接利用公式計(jì)算公式計(jì)算. .【解析【解析】選選C.C.51sin()25 ，2112A.B.C.D.55555sin()sin(2)22 1sin()cos .25 類型類型 二二 利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn) 【典型例題【典型例題】1.sin1.sin2 21 1+sin+sin2 22 2+sin+sin2 23 3+sin+sin2 28888+sin+sin2 28989+sin+sin2 29090的值等于的值等于_2.2.化簡(jiǎn)：化簡(jiǎn)：2233sin() sin() tan222cos() cos() cos ()22【解題探究【解題探究】

10、1.sin 1.sin 與與coscos 有怎樣的關(guān)系？有怎樣的關(guān)系？2.2.誘導(dǎo)公式一六用語言可怎樣概括？誘導(dǎo)公式一六用語言可怎樣概括？探究提示：探究提示：1. sin1. sin2 2+cos+cos2 2=1.=1.2.2.奇變偶不變，符號(hào)看象限奇變偶不變，符號(hào)看象限. .【解析【解析】1.1.因?yàn)橐驗(yàn)閟insin2 21 1+sin+sin2 28989=sin=sin2 21 1+cos+cos2 21 1=1=1，sinsin2 22 2+sin+sin2 28888=sin=sin2 22 2+cos+cos2 22 21 1，sinsin2 2x x+sin+sin2 2(90

11、(90 x x)=sin2x)=sin2x+cos2x+cos2x=1 (1x44,=1 (1x44,xNxN) )，所以原式所以原式=(sin=(sin2 21 1+sin+sin2 28989)+(sin)+(sin2 22 2+sin+sin2 28888) )+ +(sin+(sin2 24444+sin+sin2 24646)+sin)+sin2 29090+sin+sin2 24545答案：答案：229145().229122.2.原式原式22sin() sin() tan (2)22cos() cos() cos ()2222222cos( cos ) tansin( sin )

12、 costan1.sincos 【互動(dòng)探究【互動(dòng)探究】本題本題1 1若改為若改為coscos2 21 1+cos+cos2 22 2+cos+cos2 23 3+coscos2 28888+cos+cos2 28989+cos+cos2 29090，又如何求解呢？，又如何求解呢？【解題指南【解題指南】利用利用sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1進(jìn)行計(jì)算進(jìn)行計(jì)算. .【解析【解析】coscos2 21 1+cos+cos2 28989=cos=cos2 21 1+sin+sin2 21 1=1,=1,coscos2 22 2+cos+cos2 28888=cos=cos2 22 2+

13、sin+sin2 22 2=1,=1,即即coscos2 2x x+cos+cos2 2(90(90 x x)=cos)=cos2 2x x+sin+sin2 2x x=1(1x44,=1(1x44,xNxN),),所以原式所以原式=(cos=(cos2 21 1+cos+cos2 28989)+(cos)+(cos2 22 2+cos+cos2 28888)+)+(cos+(cos2 24444+cos+cos2 24646)+cos)+cos2 29090+cos+cos2 24545228944().22【拓展提升【拓展提升】用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值的方法用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值的方法(1)(1)對(duì)

14、于三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)求值問題對(duì)于三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)求值問題, ,一般遵循誘導(dǎo)公式先行一般遵循誘導(dǎo)公式先行的原則的原則, ,即先用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)變形即先用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)變形, ,達(dá)到角的統(tǒng)一達(dá)到角的統(tǒng)一, ,再進(jìn)行三角再進(jìn)行三角函數(shù)名稱轉(zhuǎn)化函數(shù)名稱轉(zhuǎn)化, ,以保證三角函數(shù)名稱最少以保證三角函數(shù)名稱最少. .(2)(2)對(duì)于對(duì)于kk和和 這兩套誘導(dǎo)公式這兩套誘導(dǎo)公式, ,切記運(yùn)用前一套公切記運(yùn)用前一套公式不變名式不變名, ,而后一套公式必須變名而后一套公式必須變名. .2【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)【解析【解析】tan(3tan(3)=)=tan tan ，sin(sin()=sin )=sin ， 7

15、sin 2cos()tan 32.33sinsin()sin()cos 2223sin()cos sin 2sin 27cos()cos()sin 223sin()cos 2cos 2cos ，所以，原式所以，原式sin sin tan sin cos cos cos 22222221sincoscos1 sincos1.coscos類型類型 三三 利用誘導(dǎo)公式證明等式利用誘導(dǎo)公式證明等式 【典型例題【典型例題】1.1.求證：求證：2.2.求證：求證：sin5cos()sin()221.3cos 3cos()sin423tan 2cos()cos 62tan .33sin()cos()22【解

16、題探究【解題探究】1.1.證明三角恒等式時(shí)，從一邊開始化簡(jiǎn)使它等證明三角恒等式時(shí)，從一邊開始化簡(jiǎn)使它等于另一邊，遵循的原則是什么？于另一邊，遵循的原則是什么？2.2.有關(guān)正切的誘導(dǎo)公式有哪些？有關(guān)正切的誘導(dǎo)公式有哪些？探究提示：探究提示：1.1.一般遵循由繁到簡(jiǎn)的化簡(jiǎn)原則一般遵循由繁到簡(jiǎn)的化簡(jiǎn)原則. .2.tan(+)=tan 2.tan(+)=tan ；tan(tan()=)=tan tan ；tan(tan()=)=tan .tan .【證明【證明】1.1.左邊左邊故原式得證故原式得證. .2.2.左邊左邊所以原式成立所以原式成立. .sin 5sin cos cossin sin 4si

17、nsin cos sin 1cos sin sin sin 右邊，tancos()cos2sin()cos()22 tan sin cos tan cos sin 右邊，【拓展提升【拓展提升】證明等式的常用方法證明等式的常用方法利用誘導(dǎo)公式證明等式問題，關(guān)鍵在于公式的靈活應(yīng)用，其利用誘導(dǎo)公式證明等式問題，關(guān)鍵在于公式的靈活應(yīng)用，其證明的常用方法有：證明的常用方法有：(1)(1)從一邊開始，使得它等于另一邊，一般由繁到簡(jiǎn)從一邊開始，使得它等于另一邊，一般由繁到簡(jiǎn). .(2)(2)左右歸一法：即證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子左右歸一法：即證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子. .(3)(3)針對(duì)題設(shè)與結(jié)論間

18、的差異，有針對(duì)性地進(jìn)行變形，以消除針對(duì)題設(shè)與結(jié)論間的差異，有針對(duì)性地進(jìn)行變形，以消除其差異，即化異為同其差異，即化異為同. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】求證：求證：【證明【證明】因?yàn)橐驗(yàn)樗栽匠闪⑺栽匠闪? .5cos(x)21.5sin(x)tan 6x2 5cos(x)25sin(x)tan(6x)2cos(2x)2sin(x2 )tan( x)2cos(x)sin x21.cos xtan xsin(x)tan x2 右邊【規(guī)范解答【規(guī)范解答】誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用【典例【典例】【條件分析【條件分析】【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1) (1) 4 4分分 3sin3cos 2s

19、in()2fcossin() (sin ) cos(cos )(cos )cos .sin (2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)樗运?6 6分分又又是第三象限的角，是第三象限的角，所以所以所以所以 8 8分分3cos()sin 2，1sin 5 ，211 ()52cos 6.5 2f6.5 (3)(3)因?yàn)橐驗(yàn)樗运?1010分分所以所以 1212分分31,356 23 3131f()cos()335cos( 6 2)3 51cos cos ,332 1f.2 【失分警示【失分警示】【防范措施【防范措施】1.1.準(zhǔn)確把握誘導(dǎo)公式準(zhǔn)確把握誘導(dǎo)公式對(duì)于六組誘導(dǎo)公式，理解對(duì)于六組誘導(dǎo)公式，理解“奇變偶不變，符

20、號(hào)看象限奇變偶不變，符號(hào)看象限”，即，即掌握好三角函數(shù)名稱和符號(hào)掌握好三角函數(shù)名稱和符號(hào). .如本例中在如本例中在，處的化簡(jiǎn)處的化簡(jiǎn). .2.2.三角函數(shù)值符號(hào)的確定三角函數(shù)值符號(hào)的確定對(duì)于三角函數(shù)值的符號(hào)的準(zhǔn)確判定，要記準(zhǔn)在四個(gè)象限內(nèi)的對(duì)于三角函數(shù)值的符號(hào)的準(zhǔn)確判定，要記準(zhǔn)在四個(gè)象限內(nèi)的不同的三角函數(shù)值的符號(hào)，即不同的三角函數(shù)值的符號(hào)，即“一全正，二正弦，三正切，一全正，二正弦，三正切，四余弦四余弦”，否則就會(huì)在求解時(shí)出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤，如本例在，否則就會(huì)在求解時(shí)出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤，如本例在處處求解求解coscos 的值時(shí)，若忽略的值時(shí)，若忽略是第三象限的角這一條件或符是第三象限的角這一條件或符號(hào)記錯(cuò)，

21、都會(huì)導(dǎo)致失誤號(hào)記錯(cuò)，都會(huì)導(dǎo)致失誤. . 【類題試解【類題試解】已知：已知： (1)(1)化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)f(f().).(2)(2)若若的終邊在第二象限且的終邊在第二象限且 求求f(f().). sincoscos()2f.cos()sin 2tan 3sin 5 ，【解析【解析】(1)(1)(2)(2)由題意知由題意知所以所以 sincoscos()2fcossin 2tan() sin cos sin cos .cos sin tan 24cos 1 sin5 ， 4fcos .5 1.sin 4801.sin 480的值是的值是( )( )【解析【解析】選選A.sinA.sin 480 480=sin(360=sin(360+120+120)=sin(90)=sin(90+30+30) )3311A.B.C.D.22223cos 30.2 2.2.已知已知 且且是第四象限角，則是第四象限角，則coscos( (3+)3+)的值為的值為( )( )【解析【解析】選選B. B. 因?yàn)橐驗(yàn)?則則所以所以33cos()25 ，4443A.