一維射影變換

1、一、一維射影坐標(biāo)系一、一維射影坐標(biāo)系 定義定義. 在射影直線在射影直線 l 上取定一個(gè)有序三點(diǎn)組上取定一個(gè)有序三點(diǎn)組 P*、P0、E，則，則稱稱 P*, P0, E 為為射影坐標(biāo)系射影坐標(biāo)系。直線。直線 l 上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn) P 的的非齊次射影非齊次射影坐標(biāo)坐標(biāo)規(guī)定為規(guī)定為*0(,).xPP EP其中其中P0 叫原點(diǎn)，叫原點(diǎn)，E叫叫單位點(diǎn)單位點(diǎn). 在這坐標(biāo)系下，在這坐標(biāo)系下， P0的非齊次射影坐標(biāo)為的非齊次射影坐標(biāo)為0，E的非齊次射的非齊次射影坐標(biāo)為影坐標(biāo)為1， P*沒有非齊次射影坐標(biāo)。沒有非齊次射影坐標(biāo)。 如果把如果把P*看成是無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，則非齊次射影坐標(biāo)就變成非齊看成是無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，則非齊次

2、射影坐標(biāo)就變成非齊次仿射坐標(biāo)，此時(shí)次仿射坐標(biāo)，此時(shí)0*000(,)().P PxPP EPPEPP E 如果把如果把P*看成是無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，且看成是無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，且P0E=1，則非齊次射影坐標(biāo)，則非齊次射影坐標(biāo)就變成非齊次笛卡兒坐標(biāo)，此時(shí)就變成非齊次笛卡兒坐標(biāo)，此時(shí) x=P0P。 有了非齊次射影坐標(biāo)系，就可定義齊次射影坐標(biāo)系，有了非齊次射影坐標(biāo)系，就可定義齊次射影坐標(biāo)系，P0的的齊次射影坐標(biāo)為齊次射影坐標(biāo)為(0,1)，E的齊次射影坐標(biāo)為的齊次射影坐標(biāo)為(1,1)，并規(guī)定，并規(guī)定P*的的齊次坐標(biāo)系為齊次坐標(biāo)系為(1,0)。二、一維射影變換二、一維射影變換1 1、一維射影變換的定義、一維射影變換的定義 定

3、義定義. 一個(gè)一維基本形到自身的射影對(duì)應(yīng)稱為一個(gè)一維基本形到自身的射影對(duì)應(yīng)稱為一維射影變一維射影變換換.即若即若 : ，且，且 = ，則，則 稱為一維基本形稱為一維基本形 上的一個(gè)上的一個(gè)一維射影變換一維射影變換。 一個(gè)一維射影變換可由不超過一個(gè)一維射影變換可由不超過3次透視對(duì)應(yīng)得到次透視對(duì)應(yīng)得到. 一維射影變換是特殊的射影對(duì)應(yīng)一維射影變換是特殊的射影對(duì)應(yīng). 定理定理. . 在一維非齊次射影坐標(biāo)系下，交比的表達(dá)式為在一維非齊次射影坐標(biāo)系下，交比的表達(dá)式為132412341423()()(,).()()xxxxPP PPxxxx 注記注記. . 交比的這個(gè)表達(dá)式與它在一維非齊次笛卡兒坐標(biāo)系交比的

4、這個(gè)表達(dá)式與它在一維非齊次笛卡兒坐標(biāo)系下的表達(dá)式一樣。下的表達(dá)式一樣。2、一維射影變換的代數(shù)表示、一維射影變換的代數(shù)表示111 11221112221 122221220,0 xa xa xaaxa xa xaa(1). 坐標(biāo)表示坐標(biāo)表示其中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)于一維基本形其中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)于一維基本形 上的同一坐標(biāo)系取得的上的同一坐標(biāo)系取得的.b. 齊次坐標(biāo)表示齊次坐標(biāo)表示,axbxadcbcxd其中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)于一維基本形其中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)于一維基本形 上的同一坐標(biāo)系取得的上的同一坐標(biāo)系取得的.a. 非齊次坐標(biāo)表示非齊次坐標(biāo)表示 定理定理 . 一維基本形上的一個(gè)變換為射影變換一維基本形

5、上的一個(gè)變換為射影變換其對(duì)應(yīng)元素其對(duì)應(yīng)元素的參數(shù)的參數(shù) , , 滿足一個(gè)雙線性方程滿足一個(gè)雙線性方程0(0)(*)abcdadbc即在一維基本形即在一維基本形 上取定基元素上取定基元素A B, 則對(duì)應(yīng)元素為則對(duì)應(yīng)元素為A+ B A+ B. .(2). 參數(shù)表示參數(shù)表示三、一維射影變換的分類與性質(zhì)三、一維射影變換的分類與性質(zhì)1、一維射影變換的分類、一維射影變換的分類 設(shè)有射影變換設(shè)有射影變換若存在若存在0,R使使a 02+(b+c) 0+d=0, 則稱則稱A+ 0B為為 的一個(gè)的一個(gè)不變?cè)夭蛔冊(cè)? 定理定理. . 在實(shí)在實(shí)-復(fù)射影平面上復(fù)射影平面上, 任一個(gè)一維射影變換至少有一個(gè)任一個(gè)一維射

6、影變換至少有一個(gè)不變?cè)夭蛔冊(cè)? 非恒同的一維射影變換至多有兩個(gè)相異的不變?cè)胤呛阃囊痪S射影變換至多有兩個(gè)相異的不變?cè)? 證明證明 在在(*)中中, 令令 = . 則有一維射影變換的則有一維射影變換的不變?cè)胤匠滩蛔冊(cè)胤匠?()0,(0)abcdadbc立刻可得結(jié)論立刻可得結(jié)論. 據(jù)此可得一維射影變換的分類：據(jù)此可得一維射影變換的分類：00(*)(*)0 相異實(shí)根相異實(shí)不變?cè)p曲型有兩個(gè)相同實(shí)根有兩個(gè)相同實(shí)不變?cè)Q為拋物型共軛虛根共軛虛不變?cè)獧E圓型0(0)(*)abcdadbc2、一維射影變換的性質(zhì)、一維射影變換的性質(zhì)(1). 雙曲型、橢圓型射影變換雙曲型、橢圓型射影變換 定理定理.

7、對(duì)于雙曲、橢圓型射影變換，任一對(duì)相異的對(duì)應(yīng)元對(duì)于雙曲、橢圓型射影變換，任一對(duì)相異的對(duì)應(yīng)元素與兩個(gè)不變?cè)氐慕槐葹槎ㄖ?，該定值稱為雙曲、橢圓型射素與兩個(gè)不變?cè)氐慕槐葹槎ㄖ?，該定值稱為雙曲、橢圓型射影變換的影變換的特征不變量特征不變量. 證明證明 設(shè)設(shè)X, Y為兩個(gè)不變?cè)貫閮蓚€(gè)不變?cè)? P P為任一對(duì)相異的對(duì)應(yīng)元為任一對(duì)相異的對(duì)應(yīng)元素素. 設(shè)設(shè)X, Y, P, P的坐標(biāo)依次為的坐標(biāo)依次為x, y, x+y, x+ y. 則這四元素的參則這四元素的參數(shù)依次為數(shù)依次為0, , 1, . 于是于是0000.abcdd11100.abcda 10.bbcc 從而從而,1(,)cXY PPb 常數(shù)。常

8、數(shù)。(2). 拋物型射影變換拋物型射影變換 定理定理. 拋物型射影變換的不變?cè)獏?shù)拋物型射影變換的不變?cè)獏?shù) 與任一對(duì)相異的對(duì)應(yīng)與任一對(duì)相異的對(duì)應(yīng)元素的參數(shù)元素的參數(shù) , 滿足滿足11.k證明證明.211()()0.kk0.abcd2()0bcd2,2.dbcaa 2(2)0,ccaa2()()0,ccaa 1cka 要證明的式子等價(jià)于要證明的式子等價(jià)于令射影變換式為令射影變換式為所以是方程所以是方程的重根，因此有的重根，因此有因?yàn)橐驗(yàn)槭亲詫?duì)應(yīng)元的參數(shù)，是自對(duì)應(yīng)元的參數(shù)，代入射影對(duì)應(yīng)式得代入射影對(duì)應(yīng)式得即即于是于是是常數(shù)。是常數(shù)。 例例1 設(shè)設(shè)A, B, C為相異的共線點(diǎn)且有為相異的共線點(diǎn)且有

9、(A, B, C, P, Q, R)(B, C, A, Q, R, X).求證：求證：X=P. 證明證明. . 因?yàn)橐驗(yàn)锳 B C P Q RB C A Q R X(AB, CP) =(BC, AQ) =(CA, BR) = (AB, CX) .所以所以從而有從而有X=P. 例例2 設(shè)設(shè)P, P與與 Q, Q為點(diǎn)列為點(diǎn)列l(wèi)(P)上射影變換的兩對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)上射影變換的兩對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn), E是不變點(diǎn)是不變點(diǎn), V, V是過是過E的直線的直線l上任意兩點(diǎn)上任意兩點(diǎn). PV PV=P, QV QV=Q. 求證：求證：PQ l=F為另一個(gè)不變點(diǎn)為另一個(gè)不變點(diǎn). 證明證明. 如圖有如圖有( ,)P Q E F(V)(,)P QF F(V)(,)P Q E F所以所以, E, F為兩個(gè)不變點(diǎn)為兩個(gè)不變點(diǎn). 思考思考. 已知已知P, P; Q, Q為點(diǎn)列為點(diǎn)列l(wèi)(P)上雙曲上雙曲型射影變換型射影變換 的兩對(duì)相的兩對(duì)相異的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，異的對(duì)應(yīng)點(diǎn)， E為為 一一個(gè)不變點(diǎn)個(gè)不變點(diǎn), 如何作如何作 的的另一個(gè)不變點(diǎn)另一個(gè)不變點(diǎn)F？ 例例3. 設(shè)點(diǎn)列設(shè)點(diǎn)列l(wèi)(P)上射影變換上射影變換 為拋物型的為拋物型的, E是不變點(diǎn)是不變點(diǎn), P, P為為一對(duì)相異的對(duì)應(yīng)點(diǎn)一對(duì)相異的對(duì)應(yīng)點(diǎn), 且且 (P)=R. 求證：求證：(EP, PR)=