一維射影變換

1、一、一維射影坐標系一、一維射影坐標系 定義定義. 在射影直線在射影直線 l 上取定一個有序三點組上取定一個有序三點組 P*、P0、E，則，則稱稱 P*, P0, E 為為射影坐標系射影坐標系。直線。直線 l 上任意一點上任意一點 P 的的非齊次射影非齊次射影坐標坐標規(guī)定為規(guī)定為*0(,).xPP EP其中其中P0 叫原點，叫原點，E叫叫單位點單位點. 在這坐標系下，在這坐標系下， P0的非齊次射影坐標為的非齊次射影坐標為0，E的非齊次射的非齊次射影坐標為影坐標為1， P*沒有非齊次射影坐標。沒有非齊次射影坐標。 如果把如果把P*看成是無窮遠點，則非齊次射影坐標就變成非齊看成是無窮遠點，則非齊次

2、射影坐標就變成非齊次仿射坐標，此時次仿射坐標，此時0*000(,)().P PxPP EPPEPP E 如果把如果把P*看成是無窮遠點，且看成是無窮遠點，且P0E=1，則非齊次射影坐標，則非齊次射影坐標就變成非齊次笛卡兒坐標，此時就變成非齊次笛卡兒坐標，此時 x=P0P。 有了非齊次射影坐標系，就可定義齊次射影坐標系，有了非齊次射影坐標系，就可定義齊次射影坐標系，P0的的齊次射影坐標為齊次射影坐標為(0,1)，E的齊次射影坐標為的齊次射影坐標為(1,1)，并規(guī)定，并規(guī)定P*的的齊次坐標系為齊次坐標系為(1,0)。二、一維射影變換二、一維射影變換1 1、一維射影變換的定義、一維射影變換的定義 定

3、義定義. 一個一維基本形到自身的射影對應稱為一個一維基本形到自身的射影對應稱為一維射影變一維射影變換換.即若即若 : ，且，且 = ，則，則 稱為一維基本形稱為一維基本形 上的一個上的一個一維射影變換一維射影變換。 一個一維射影變換可由不超過一個一維射影變換可由不超過3次透視對應得到次透視對應得到. 一維射影變換是特殊的射影對應一維射影變換是特殊的射影對應. 定理定理. . 在一維非齊次射影坐標系下，交比的表達式為在一維非齊次射影坐標系下，交比的表達式為132412341423()()(,).()()xxxxPP PPxxxx 注記注記. . 交比的這個表達式與它在一維非齊次笛卡兒坐標系交比的

4、這個表達式與它在一維非齊次笛卡兒坐標系下的表達式一樣。下的表達式一樣。2、一維射影變換的代數表示、一維射影變換的代數表示111 11221112221 122221220,0 xa xa xaaxa xa xaa(1). 坐標表示坐標表示其中對應點的坐標是關于一維基本形其中對應點的坐標是關于一維基本形 上的同一坐標系取得的上的同一坐標系取得的.b. 齊次坐標表示齊次坐標表示,axbxadcbcxd其中對應點的坐標是關于一維基本形其中對應點的坐標是關于一維基本形 上的同一坐標系取得的上的同一坐標系取得的.a. 非齊次坐標表示非齊次坐標表示 定理定理 . 一維基本形上的一個變換為射影變換一維基本形

5、上的一個變換為射影變換其對應元素其對應元素的參數的參數 , , 滿足一個雙線性方程滿足一個雙線性方程0(0)(*)abcdadbc即在一維基本形即在一維基本形 上取定基元素上取定基元素A B, 則對應元素為則對應元素為A+ B A+ B. .(2). 參數表示參數表示三、一維射影變換的分類與性質三、一維射影變換的分類與性質1、一維射影變換的分類、一維射影變換的分類 設有射影變換設有射影變換若存在若存在0,R使使a 02+(b+c) 0+d=0, 則稱則稱A+ 0B為為 的一個的一個不變元素不變元素. 定理定理. . 在實在實-復射影平面上復射影平面上, 任一個一維射影變換至少有一個任一個一維射

6、影變換至少有一個不變元素不變元素. 非恒同的一維射影變換至多有兩個相異的不變元素非恒同的一維射影變換至多有兩個相異的不變元素. 證明證明 在在(*)中中, 令令 = . 則有一維射影變換的則有一維射影變換的不變元素方程不變元素方程2()0,(0)abcdadbc立刻可得結論立刻可得結論. 據此可得一維射影變換的分類：據此可得一維射影變換的分類：00(*)(*)0 相異實根相異實不變元雙曲型有兩個相同實根有兩個相同實不變元稱為拋物型共軛虛根共軛虛不變元橢圓型0(0)(*)abcdadbc2、一維射影變換的性質、一維射影變換的性質(1). 雙曲型、橢圓型射影變換雙曲型、橢圓型射影變換 定理定理.

7、對于雙曲、橢圓型射影變換，任一對相異的對應元對于雙曲、橢圓型射影變換，任一對相異的對應元素與兩個不變元素的交比為定值，該定值稱為雙曲、橢圓型射素與兩個不變元素的交比為定值，該定值稱為雙曲、橢圓型射影變換的影變換的特征不變量特征不變量. 證明證明 設設X, Y為兩個不變元素為兩個不變元素, P P為任一對相異的對應元為任一對相異的對應元素素. 設設X, Y, P, P的坐標依次為的坐標依次為x, y, x+y, x+ y. 則這四元素的參則這四元素的參數依次為數依次為0, , 1, . 于是于是0000.abcdd11100.abcda 10.bbcc 從而從而,1(,)cXY PPb 常數。常

8、數。(2). 拋物型射影變換拋物型射影變換 定理定理. 拋物型射影變換的不變元參數拋物型射影變換的不變元參數 與任一對相異的對應與任一對相異的對應元素的參數元素的參數 , 滿足滿足11.k證明證明.211()()0.kk0.abcd2()0bcd2,2.dbcaa 2(2)0,ccaa2()()0,ccaa 1cka 要證明的式子等價于要證明的式子等價于令射影變換式為令射影變換式為所以是方程所以是方程的重根，因此有的重根，因此有因為因為是自對應元的參數，是自對應元的參數，代入射影對應式得代入射影對應式得即即于是于是是常數。是常數。 例例1 設設A, B, C為相異的共線點且有為相異的共線點且有

9、(A, B, C, P, Q, R)(B, C, A, Q, R, X).求證：求證：X=P. 證明證明. . 因為因為A B C P Q RB C A Q R X(AB, CP) =(BC, AQ) =(CA, BR) = (AB, CX) .所以所以從而有從而有X=P. 例例2 設設P, P與與 Q, Q為點列為點列l(wèi)(P)上射影變換的兩對對應點上射影變換的兩對對應點, E是不變點是不變點, V, V是過是過E的直線的直線l上任意兩點上任意兩點. PV PV=P, QV QV=Q. 求證：求證：PQ l=F為另一個不變點為另一個不變點. 證明證明. 如圖有如圖有( ,)P Q E F(V)(,)P QF F(V)(,)P Q E F所以所以, E, F為兩個不變點為兩個不變點. 思考思考. 已知已知P, P; Q, Q為點列為點列l(wèi)(P)上雙曲上雙曲型射影變換型射影變換 的兩對相的兩對相異的對應點，異的對應點， E為為 一一個不變點個不變點, 如何作如何作 的的另一個不變點另一個不變點F？ 例例3. 設點列設點列l(wèi)(P)上射影變換上射影變換 為拋物型的為拋物型的, E是不變點是不變點, P, P為為一對相異的對應點一對相異的對應點, 且且 (P)=R. 求證：求證：(EP, PR)=