研究生入學(xué)考試全微分方程實用教案

1、會計學(xué)1研究生入學(xué)考試研究生入學(xué)考試(r xu ko sh)全微分方全微分方程程第一頁，共41頁。2 容易證明，如果 是微分方程（1）的一個原函數(shù)，則（1）的通積分為( , )u x y( , ),u x yC其中C為任意(rny)常數(shù)。 于是(ysh)，求解全微分方程的關(guān)鍵在于求出它的一個原函數(shù)。220;xdxydyxyC11積為22的通分例如(lr)0;xdyydxxyC積為的通分220arctan.ydxxdyxCyxy積為的通分第1頁/共41頁第二頁，共41頁。3222()0.xydxxydy例例1 1求求解解微微分分方方程程 我們通過觀察尋找(xnzho)方程的一個原函數(shù)。22222

2、2323211()()().33xydxx dyy dyydxx dyy dyd x ydyd x yy左左端端2313x yyC積為。原方程的通分 對于一個一般的方程，怎樣(znyng)判斷它是否是恰當(dāng)方程呢？若是，又怎樣(znyng)求原函數(shù)？第2頁/共41頁第三頁，共41頁。4二、全微分方程判定定理(dngl)與不定積分法 定理：設(shè)函數(shù) M(x,y)、N(x,y) 在 xoy 平面上的單連通區(qū)域 D 內(nèi)連續(xù)(linx)可微，那么方程(1)是全微分方程的充要條件是在 D 內(nèi)恒成立.MNyx這是數(shù)學(xué)分析中的結(jié)論(jiln)，我們不詳細證明。222222 (1-)-0,2 (1-), - .-

3、,-xxy dxxydyMxxyNxyMxNyxxy例如： 對對于于方方程程 從從而而第3頁/共41頁第四頁，共41頁。5即方程為全微分方程?，F(xiàn)在，我們來求方程的即方程為全微分方程?，F(xiàn)在，我們來求方程的一個原函數(shù)。一個原函數(shù)。 222 (1-),(*)- .)( , )(*uMxxyxuNxyyu x y ，設(shè)設(shè)是是方方程程的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)則則有有23222( , )2 (1-)( )2()( ).3*u x yxxy dxyxxyxyy先先就就（ ）兩兩端端對對 積積分分（視視 為為常常數(shù)數(shù)）有有第4頁/共41頁第五頁，共41頁。6( , )( , )0M x y dxN x y d

4、y一般地，若 為全微分方程，則它的通積分為 12/22/()( ),( )0.*xyyxyyyCx ，（ ） 再再利利用用（）（視視 為為常常數(shù)數(shù)）有有即于是 從而(cng r)求得一個原函數(shù)32222( , )() .3u x yxxy000( , )( , )(, )xyxyu x yP x y dxQ xy dy000( , )( ,).yxyxQ x y dyP x y dx第5頁/共41頁第六頁，共41頁。7.0)3()3(2323的通解的通解求方程求方程 dyyxydxxyx解6,MNxyyx 是全微分方程(wi fn fn chn), yxdyyxdxyxyxu03023)3()

5、,(.42344224Cyyxx 原方程(fngchng)的通解為,42344224yyxx 例2 第6頁/共41頁第七頁，共41頁。8.0324223的通解的通解求方程求方程 dyyxydxyx解46,MxNyyx 是全微分方程(wi fn fn chn),將左端重新組合)32(14232dyyxdxyxdyy )()1(32yxdyd .132Cyxy 原方程(fngchng)的通解為),1(32yxyd 例3第7頁/共41頁第八頁，共41頁。9定義(dngy):問題: 如何求方程(fngchng)的積分因子?3、積分(jfn)因子法 前面我們討論了全微分方程的求解問題，而對于給定微分方程

6、（）未必都是全微分方程，但其中有些則可利用積分因子化為全微分方程。顯然，若(x,y)0,則（1）與（2）同解。顯然，若(x,y)0,則（1）與（2）同解。第8頁/共41頁第九頁，共41頁。10我們用反推的辦法(bnf)來求積分因子()(),MNyxMNMNyyxxMNNMxyyx（） 為了求出積分因子(ynz)，必須求解上式，不容易。但對于某些特殊情況，上式可求解。;.有關(guān)時有關(guān)時只與只與當(dāng)當(dāng)xa , 0 y ,dxdx （2）為全微分方程(wi fn fn chn)第9頁/共41頁第十頁，共41頁。11;.有關(guān)時有關(guān)時只與只與當(dāng)當(dāng)yb 11()dMNdxNyx)(xf .)()( dxxfe

7、x , 0 x ,dydy ln1()dNMdyMxy)(yg .)()( dyygey 第10頁/共41頁第十一頁，共41頁。12( )1()1()( )( )f x dxxxxfMNNyxMNNyxxex 。 。事事實實上上，我我們們有有只只與與 有有關(guān)關(guān)只只是是 的的函函數(shù)數(shù)因因此此，對對于于方方程程（1 1）雖雖不不是是全全微微分分方方程程，但但只只是是 的的函函數(shù)數(shù)（設(shè)設(shè)為為），則則方方程程（1 1）有有積積分分因因子子注：( )1()( )g y dyNMMxyye。 類類似似地地，若若只只與與y y有有關(guān)關(guān)（設(shè)設(shè)為為g(y)g(y)）, ,則則方方程程（1 1）有有積積分分因因子

8、子以上求積分因子(ynz)的方法稱為公式法。第11頁/共41頁第十二頁，共41頁。13思考(sko)與練習(xí)：試求一階線性方程(fngchng)和Bernoulli方程(fngchng)的積分因子2322(32)()0.x yxyy dxxydy例1: 求解微分方程：3222(1)0.xy dxx ydy例2: 求解微分方程：第12頁/共41頁第十三頁，共41頁。14.0)()3(22的通解的通解求微分方程求微分方程 dyxyxdxyxy例3解11(),MNNyxx dxxex1)( .x 則原方程(fngchng)化為, 0)()3(2322 dyyxxdxxyyx)(332xdyydxxyd

9、yxydxx )(21(23xyyxd , 0 可積組合法第13頁/共41頁第十四頁，共41頁。15原方程的通解為.)(2123Cxyyx (公式法)觀察法:憑觀察湊微分得到),(yx 常見(chn jin)的全微分表達式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xydyxydxxdyarctan22 xydxyydxxdyln )ln(212222yxdyxydyxdx yxyxdyxydxxdyln2122第14頁/共41頁第十五頁，共41頁。16受上述結(jié)論的啟發(fā)通常我們經(jīng)常可以選用(xunyng)的積分因子有：.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx 這種方法

10、給我們又提供了一種求解(qi ji)微分方程的方法-可積（微）組合法，請看下面的例子：第15頁/共41頁第十六頁，共41頁。17.0)1(222的通解的通解 dyyxdxyxx解將方程(fngchng)左端重新組合,有例4 求微分方程(wi fn fn chn), 02222 dyyxdxyxxxdx, 0)()(2222 dyyxxdyxxd, 0)()(222 yxdyxxd原方程(fngchng)的通解為.)(322322Cyxx 第16頁/共41頁第十七頁，共41頁。18.0)1(ln2222的通解的通解 dyyyxydxxy解將方程(fngchng)左端重新組合,有, 01)ln22

11、22 dyyydyxydxxy（,1),(yyx 易知易知, 01)ln2(22 dyyydyyxydxx則則. 0)1(31)ln(2322 ydyxd即即原方程(fngchng)的通解為.)1(31ln2322Cyyx 可積組合法例5 求微分方程(wi fn fn chn)第17頁/共41頁第十八頁，共41頁。19.132的通解的通解求微分方程求微分方程xyxxdxdy 解1整理(zhngl)得,112xyxdxdy A 常數(shù)(chngsh)變易法:B 公式(gngsh)法:.4343Cxxxyy 通解為通解為.1xCy 對應(yīng)齊方通解對應(yīng)齊方通解.1)(xxCy 設(shè)設(shè).43)(43Cxxx

12、C ,11211Cdxexeydxxdxx 例6一題多解：第18頁/共41頁第十九頁，共41頁。20解2整理(zhngl)得, 0)1()(32 dyxdxyxx,1xQyP .是全微分方程是全微分方程A 用公式(gngsh):,)(),(0032 yxdydxyxxyxuB 湊微分(wi fn)法:, 0)(32 dxxdxxydxxdydy，043)(43 xdxdxyddy. 0)43(43 xxxyyd第19頁/共41頁第二十頁，共41頁。21C 不定積分(b dn j fn)法:,32yxxxu dxyxx)(32),(4343yCxyxx ),(yCxyu ,1xyu 又又,1)(

13、xyCx , 1)( yC,)(yyC 原方程(fngchng)的通解為.4343Cxxxyy 第20頁/共41頁第二十一頁，共41頁。22作業(yè)(zuy)：P38 T1（1）（3）（5） , T2, T5拓展思維(swi)訓(xùn)練題：22()( , )0(), ()(). M xy dxN x y dyxyxyxy試導(dǎo)出微分方程，有形如，的積分因子的充要條件第21頁/共41頁第二十二頁，共41頁。23 若能從(1)解出 y 的一階導(dǎo)數(shù)，那么會得到一個或幾個顯式方程，用前面(qin mian)的辦法求解。 前面討論的方程都是可解出一階導(dǎo)數(shù)的微分方程，即顯式方程（ ）/( , )yf x y一階隱式微

14、分方程(wi fn fn chn)是指/( , ,)0(1)F x y y第六講 一階隱式方程(fngchng)的解法2(3) 30.yxy yxy例1: 試求解微分方程：第22頁/共41頁第二十三頁，共41頁。24 本節(jié)主要介紹三種類型隱式微分方程(wi fn fn chn)的求解方法。 （1）不含 y （或 x）的方程(fngchng) （2）可解出 x 的方程(fngchng) （3）可解出 y 的方程(fngchng) 若不能從(1)解出 y 的一階導(dǎo)數(shù)，或者即使(jsh)能解出，但很難求解，則需要借助于其它辦法進行討論。第23頁/共41頁第二十四頁，共41頁。25 1、若方程（1）不

15、含y，即 /( ,)0.F x y/( )( )xttyt,( 為)為參數(shù)參數(shù)若原方程可表示形式( )( ).ytt dtC/從而從而/( ),( )( )( ),dxt dtdyt dxtt dt那么第24頁/共41頁第二十五頁，共41頁。26( )( )( )xttytt dtC/參.( 為參)數(shù)數(shù)故得原方程形式的解222) (1)0yxx求方程求方程( (的通解.的通解.例1/cos ,cot ,xtyt 設(shè)解： 代入原方程第25頁/共41頁第二十六頁，共41頁。27sin( ),cos( )sin.,dxt dtdyt dtytC從那么而 cos( )sin( )xttyt dtC參數(shù)

16、.( 為參數(shù))故得原方程形式的解/cos( )cot.( )xtyt 為參數(shù)原方程可表示形式22()1.xyC參 數(shù)積上 式 消 去得 通 分第26頁/共41頁第二十七頁，共41頁。283330.xyxy求方程的通解例2： 若方程（1）不含 x，即 則完全類似求解。/( ,)0,F y y53-( ) -( ) 50.yyyy解方程例3：22(1-)(2) .yyy求解方程例4：第27頁/共41頁第二十八頁，共41頁。29 2、若可從方程(fngchng)（1）解出 x，即 /( ,).(4)xf y y 解法(ji f)： /( , ).xf y pypyp引入?yún)?shù), 于是（4）等價于引入?yún)?/p>

17、數(shù), 于是（4）等價于/( , )1( , )( , ).ypdpfy pfy pxf ydypyp對關(guān)于 求導(dǎo)，得對關(guān)于 求導(dǎo)，得 這個方程(fngchng)可化為顯式形式，用前面類似的方法能求出（1）的解。 第28頁/共41頁第二十九頁，共41頁。30/(ln)1yxy求方程的通解.求方程的通解.例5/1ln.1ln.xyydypxpdxpx由原方程解出 得：即有解解 令, 令, .1dppdyp得得整理2111,dpdppdyp dypy 兩端關(guān)于 求導(dǎo)得兩端關(guān)于 求導(dǎo)得第29頁/共41頁第三十頁，共41頁。311lnlnxpppyppC.( 為參數(shù))參數(shù)則則原方程有形式的通解ln,yp

18、pC變用分離量法求解上式得第30頁/共41頁第三十一頁，共41頁。32 3、若可從方程(fngchng)（1）解出 y，即 /( ,).(2)yf x y 解法(ji f)： /( , ).yf x pypyp引入?yún)?shù), 于是（2）等價于引入?yún)?shù), 于是（2）等價于/( , )( , ).( ,xpyf x pxdppfx pfx pdx對關(guān)于 求導(dǎo)，得對關(guān)于 求導(dǎo)，得第31頁/共41頁第三十二頁，共41頁。33( ,),( , ( ,).pp x Cyf xdpdxp x C從上式解出,若能求得解從上式解出,若能求得解則（2）有通解則（2）有通解這/ 里p = p(x,C)只能代入y = f

19、(x,p),不能代入y= p.第32頁/共41頁第三十三頁，共41頁。34( , ,)0,( , )( , ,)0Gp x Cyf x pGpdxxpdCp， 若只能從關(guān)于的方程求得通積分若只能從關(guān)于的方程求得通積分則可通過聯(lián)立方程則可通過聯(lián)立方程再消去 ，得到原方程的通積分。再消去 ，得到原方程的通積分。( ,),( ,)( ( ,), )xp Cxp Cyfdp Cppdx參數(shù).(p為參數(shù)) 若只能從關(guān)于的方程求得解若只能從關(guān)于的方程求得解則則原方程有形式的通解第33頁/共41頁第三十四頁，共41頁。35求方程的通解.求方程的通解.222()2xyxyy例6解令,原方程寫為解令,原方程寫為2/22( ) .2ypxyxpp(12)0,dppxdx（）化簡得化簡得1.2dppxdx 或者222,dpdpppxxpdxdxx兩端關(guān)于 求導(dǎo)得兩端關(guān)于 求導(dǎo)得第34頁/共41頁第三十五頁，共41頁。36222( )21-.2xyxpppxyx 將將代入方程得到特解得到特解222211,22112 ()()2221.4dppxCdxxyxxCxCxC xC 為 由方程知于是原方程的通解第35頁/共41頁第三十六頁，共41頁。37()()yxyy此方程稱為克萊洛方程求方程的通解.求方程的通解.例7/(