數(shù)學(xué)物理方法：第十二章 格林函數(shù)法

1、第十二章 格林函數(shù)法數(shù)學(xué)物理方法 d 函數(shù) 數(shù)學(xué)物理方法由物理學(xué)家狄拉克首先引進(jìn)。討論物理學(xué)中的一切點(diǎn)量質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)電荷瞬時(shí)力脈沖等定義 d 函數(shù)是指具有以下性質(zhì)的函數(shù)：物理意義：集中的量的密度函數(shù)以一維舉例討論如圖，設(shè)在無窮直線上 區(qū)間內(nèi)有均勻的電荷分布，總電量為一個(gè)單位，在區(qū)間外無電荷，則電荷密度函數(shù)為把 d 函數(shù)看作弱收斂函數(shù)的弱極限。若 f(x) 在 內(nèi)連續(xù)，由中值定理有對(duì)于 有對(duì)于 在 連續(xù)，有或者表示的是任意階可微函數(shù)的極限，通常意義下沒有意義，只在積分運(yùn)算中才有意義。當(dāng) 時(shí)，得到點(diǎn)電荷的密度函數(shù)此積分應(yīng)理解為 從數(shù)學(xué)角度看，d 函數(shù)的引入簡(jiǎn)化了先對(duì)函數(shù)序列進(jìn)行微積分計(jì)算，后取極限的過程

2、。對(duì)于任意一個(gè)在 x = 0 點(diǎn)連續(xù)并且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，f(x) 有 有關(guān)d 函數(shù)的等式應(yīng)該在積分意義下理解。令兩邊微商，得因?yàn)楦道锶~反演，得拉普拉斯變換以上是一維情況下的 d 函數(shù)。二維： 處有一個(gè)單位點(diǎn)電荷，密度分布函數(shù)為 線電荷三維： 處有一個(gè)單位點(diǎn)電荷，密度分布函數(shù)為 面電荷 例題求證： ，其中 為拉普拉斯算符， ， 。要證明 ，就是要證明積分意義下證明 當(dāng) 時(shí)，有三式相加，可得 當(dāng) 時(shí)， 不可導(dǎo)，將 V 取為整個(gè)三維空間令 ，上式積分與 a 無關(guān)可知因此即定解問題的解 定解條件 方程的非齊次項(xiàng) 理論物理研究中的常用方法之一 若函數(shù) u (x, y, z) = u ( r ) ，v

3、(x, y, z) = v ( r ) ， dr = dxdydz 在 區(qū)域 V 及其邊界面 S 上連續(xù)，規(guī)定 S 的外法線方向?yàn)檎?。預(yù)備知識(shí) 格林第一公式格林第二公式證明格林第一公式高斯公式 方向?qū)?shù) 證明由格林第一公式知： 將上式中的 u 和 v 交換位置得： 格林第二公式(1)(2)： 格林公式通常指格林第二公式，在格林函數(shù)法求解定解問題時(shí)常要用到。在區(qū)間 a, b 上，考慮邊值問題：定義 格林函數(shù)12.1 格林函數(shù)的概念（i）G1和 G2 在所定義的區(qū)間上滿足方程： （ii）G 滿足邊界條件（iii）G 在 x0 點(diǎn)連續(xù)（iv）G以 x = x0為一不連續(xù)點(diǎn)，其跳躍是滿足條件（i）（i

4、v）所定義的函數(shù) G 稱為與該邊值問題相聯(lián)系的格林函數(shù)。以上是以微分方程為例定義的格林函數(shù)，下面從偏微分方程的角度理解格林函數(shù)的概念。非齊次方程的定解問題以靜電場(chǎng)為例，靜電勢(shì)的定解問題為： 非齊次項(xiàng)為 d 函數(shù)的非齊次方程的定解問題穩(wěn)定問題的 G 函數(shù) = 定解問題的解非齊次項(xiàng)為 d 函數(shù)的原數(shù)理方程同類型邊界條件的邊界條件對(duì)稱性12.2 穩(wěn)定問題格林函數(shù)的一般性質(zhì)證明為了便于討論，將格林函數(shù)分為兩部分：點(diǎn)源附近的發(fā)散行為三維情況二維情況一維情況一維情況二維情況三維情況格林函數(shù)在點(diǎn)源附近的發(fā)散行為隨著維數(shù)的降低而減弱用傅里葉積分變換法求解解一記 12.3 三維無界空間亥姆霍茲方程的格林函數(shù)對(duì)方

5、程實(shí)施三重傅里葉積分變換，可得：則 則其中又知： 可寫為： 兩邊同乘以 r ：解二亥姆霍茲方程是波動(dòng)方程分離掉時(shí)間因子 得到的 12.4 圓內(nèi)泊松方程第一邊值問題的格林函數(shù)一些基本概念：（1）稱定解問題 的解為 三維泊松方程的格林函數(shù)。通過積分直接求解，可 得三維泊松方程的格林函數(shù)為（2）稱定解問題 的解為 二維泊松方程的格林函數(shù)。通過積分直接求解，可 得二維泊松方程的格林函數(shù)為（4）稱定解問題 的解為二維泊松方程 的迪利科萊格林函數(shù)。易知（3）稱定解問題 的解為三維泊松 方程的迪利科萊格林函數(shù)。易推得迪利科萊格林函數(shù)可用本征函數(shù)展開法和電像法求解一些已求得的迪利科萊格林函數(shù)：下面以圓域的迪利科萊格林函數(shù)為例，求解過程本征函數(shù)展開法電像法本征函數(shù)展開法解一將展開式代入原方程，問題轉(zhuǎn)化為求解圓內(nèi)泊松方程第一邊值問題格林函數(shù)的級(jí)數(shù)解為：解二對(duì)空間的幾何形狀有相當(dāng)嚴(yán)格的限制電像法：將邊界上產(chǎn)生的感生電荷等價(jià)為一個(gè)點(diǎn)電荷將接地圓內(nèi)的點(diǎn)電荷問題等價(jià)的轉(zhuǎn)化為無界空間中的兩個(gè)點(diǎn)電荷優(yōu)點(diǎn)：可以給出有限形式的解缺點(diǎn)：適用范圍有限若等價(jià)電荷位于 r1(x1, y1) 處，則 r1 必在真實(shí)電荷 r0 的半徑延長線上，位于圓外（感生電荷的電勢(shì)在圓內(nèi)出處連續(xù)）設(shè)等價(jià)電荷的電量為 e ，則圓內(nèi)的電勢(shì)為與電勢(shì)零點(diǎn)的選擇有關(guān)采用極坐標(biāo)