函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)65845PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)658452【引言引言】自然界中的許多現(xiàn)象，如氣溫的變化自然界中的許多現(xiàn)象，如氣溫的變化、河水的流動(dòng)、動(dòng)植物的生長(zhǎng)等等都是河水的流動(dòng)、動(dòng)植物的生長(zhǎng)等等都是連續(xù)地變化著的；這種現(xiàn)象在數(shù)學(xué)上連續(xù)地變化著的；這種現(xiàn)象在數(shù)學(xué)上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性. .第1頁/共32頁3.,),(,),()(00000增量增量的的為自變量在點(diǎn)為自變量在點(diǎn)稱稱時(shí)時(shí)終值終值變到變到初值初值從從當(dāng)自變量當(dāng)自變量?jī)?nèi)有定義內(nèi)有定義在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxxxxxUxxUxf 1. .【增量增量】.)(),()(00的增量的增量相應(yīng)于相應(yīng)于稱為函數(shù)稱為函數(shù)x

2、xfxfxxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x xx 00 xx y y )(xfy 【增量的幾何解釋增量的幾何解釋】第2頁/共32頁42. .【連續(xù)的定義連續(xù)的定義】.)(, 0)()(lim 0lim, 0,000000處連續(xù)處連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱或或即即時(shí)時(shí)若當(dāng)若當(dāng)xxfyxfxxfyyxxx 【概念描述概念描述】.)(, 0)()(limlim,),()(0000000稱為連續(xù)點(diǎn)稱為連續(xù)點(diǎn)處連續(xù)處連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱如果如果內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxfyxfxxfyxUxfyxx 【定義定義1 1】,0 xxx 設(shè)設(shè)),()(0 xfxfy ,00 xxx 就

3、就是是).()(00 xfxfy 就就是是:故故定定義義又又可可敘敘述述為為連續(xù)的本質(zhì)連續(xù)的本質(zhì)第3頁/共32頁5.)()(,|, 0, 0)(000 xfxfxxxxxf恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)連續(xù)連續(xù)在在【定義定義2】;)(0的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義在在xxf【注注】f ( (x) )在在x0 0處連續(xù)的三個(gè)條件處連續(xù)的三個(gè)條件（三條缺一不可三條缺一不可）; )(lim0 xfxx).()(lim00 xfxfxx , ),( )( 0如果如果內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) xUxfy )()(lim00 xfxfxx 則稱函數(shù)則稱函數(shù) y = f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn)x0處連續(xù)處連續(xù).

4、第4頁/共32頁6【注解注解】條件條件0lim0 yx 條件條件)()(lim00 xfxfxx 在本質(zhì)上是一樣的，只是形式上的不同在本質(zhì)上是一樣的，只是形式上的不同條件條件式清楚地反映了連續(xù)概念的實(shí)質(zhì)，式清楚地反映了連續(xù)概念的實(shí)質(zhì)，即即自變量產(chǎn)生微小變化時(shí)，函數(shù)自變量產(chǎn)生微小變化時(shí)，函數(shù)的變化也很微小的變化也很微小. .但在證明具體函數(shù)的連續(xù)性以及作理論分但在證明具體函數(shù)的連續(xù)性以及作理論分析時(shí)，常應(yīng)用條件析時(shí)，常應(yīng)用條件式（因?yàn)闂l件式（因?yàn)闂l件要具要具體計(jì)算體計(jì)算y, ,往往很麻煩）往往很麻煩）第5頁/共32頁7【補(bǔ)例補(bǔ)例1】 0, 0, 0, 0,1sin)(處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數(shù)試證

5、函數(shù) xxxxxxf【證證】, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定義由定義2知知 0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf),0()(lim0fxfx f (x) 在在x0的鄰域內(nèi)顯然有定義的鄰域內(nèi)顯然有定義第6頁/共32頁83. .【單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù)】 )()(00處既左連續(xù)又右連續(xù)處既左連續(xù)又右連續(xù)在在處連續(xù)處連續(xù)在在xxfxxf【左連續(xù)左連續(xù)】.)(),()(),()()(lim000000左連續(xù)左連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱即即存在且等于存在且等于若若xxfxfxfxfxfxfxx 【右連續(xù)右連續(xù)】.)(),()(),()()(lim000000右連續(xù)右連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱即即存

6、在且等于存在且等于若若xxfxfxfxfxfxfxx 【定理定理】第7頁/共32頁9【補(bǔ)例補(bǔ)例2】連續(xù)性連續(xù)性處的處的在在討論函數(shù)討論函數(shù)0, 0, 2, 0, 2)( xxxxxxf【解解】)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)，右連續(xù)但不左連續(xù)，. 0)(處處不不連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)故故函函數(shù)數(shù) xxf第8頁/共32頁104.【連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間】在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù), ,叫做在該區(qū)間上叫做在該區(qū)間上的的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù), ,或者說或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)函數(shù)

7、在該區(qū)間上連續(xù). . .,)(,),(上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間函數(shù)函數(shù)則稱則稱處左連續(xù)處左連續(xù)在右端點(diǎn)在右端點(diǎn)處右連續(xù)處右連續(xù)并且在左端點(diǎn)并且在左端點(diǎn)內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)如果函數(shù)在開區(qū)間如果函數(shù)在開區(qū)間baxfbxaxba 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線線. .【幾何表現(xiàn)幾何表現(xiàn)】.,)( baCxf 記記閉區(qū)間閉區(qū)間a,b上的上的連續(xù)函數(shù)的集合連續(xù)函數(shù)的集合第9頁/共32頁11【相關(guān)結(jié)論相關(guān)結(jié)論】.),( ) ( 內(nèi)是連續(xù)的內(nèi)是連續(xù)的在區(qū)間在區(qū)間多項(xiàng)式多項(xiàng)式有理函數(shù)有理函數(shù)5中已證多項(xiàng)式中已證多項(xiàng)式 f ( (x) )有有 )()(lim00 xfxf

8、xx )0)( )()()( 0 xQxQxPxF有理分式函數(shù)有理分式函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)在定義域內(nèi)連續(xù). . )()(lim 0)( 000已證已證，時(shí)時(shí)xFxFxQxx ), 0( 內(nèi)是連續(xù)的內(nèi)是連續(xù)的在在函數(shù)函數(shù) xy3 例例5 已證已證明明000lim 0 xxxxx ，時(shí)時(shí)第10頁/共32頁12【例例3】.),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)證證明明 xy【證證】),( x任取任取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 則則,0,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)對(duì)對(duì)任任意意的的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).)

9、,(sin都是連續(xù)的都是連續(xù)的對(duì)任意對(duì)任意函數(shù)函數(shù)即即 xxy【相關(guān)結(jié)論相關(guān)結(jié)論】 . cos sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在及及Rxyxy 第11頁/共32頁13;)(0的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義在在xxf; )(lim0 xfxx).()(lim00 xfxfxx 【描述描述】如果上述三個(gè)條件中只要有一個(gè)不滿足，則如果上述三個(gè)條件中只要有一個(gè)不滿足，則稱函數(shù)稱函數(shù) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處處不連續(xù)不連續(xù)（或（或間斷間斷），），并稱點(diǎn)并稱點(diǎn) x0 為為 f (x) 的的不連續(xù)點(diǎn)不連續(xù)點(diǎn)（或（或間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)）.函數(shù)函數(shù) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn)x0處處連續(xù)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件必須滿足的三個(gè)條

10、件第12頁/共32頁141. 【間斷點(diǎn)定義間斷點(diǎn)定義】設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn)x0的的某去心鄰域內(nèi)某去心鄰域內(nèi)有定義。在有定義。在此此前提下前提下，如果函數(shù)，如果函數(shù) f (x) 有下列三種情形有下列三種情形之一之一：在在 x=x0 沒有定義；沒有定義；雖在雖在 x=x0 有定義，但有定義，但 不存在；不存在；)(lim0 xfxx雖在雖在 x=x0 有定義，且有定義，且 存在，但存在，但)(lim0 xfxx )()(lim00 xfxfxx 則函數(shù)則函數(shù) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處處不連續(xù)不連續(xù)（或（或間斷間斷），并稱），并稱點(diǎn)點(diǎn) x0 為為 f (x) 的的不連續(xù)點(diǎn)不連續(xù)點(diǎn)

11、（或（或間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)）.第13頁/共32頁15【特別強(qiáng)調(diào)特別強(qiáng)調(diào)】連續(xù)點(diǎn)要求在連續(xù)點(diǎn)要求在x0的的某鄰域內(nèi)某鄰域內(nèi)有定義；有定義；間斷點(diǎn)要求在間斷點(diǎn)要求在x0的的某去心鄰域內(nèi)某去心鄰域內(nèi)有定義；有定義； 失去這個(gè)前提，則不能研究點(diǎn)失去這個(gè)前提，則不能研究點(diǎn)x0的連續(xù)性的連續(xù)性.例如例如 , 1cos)( xxf ,2:ZkkxD 定義域是一些離散的點(diǎn)的集合，在這些點(diǎn)的定義域是一些離散的點(diǎn)的集合，在這些點(diǎn)的某去心鄰域某去心鄰域 f (x) 無定義無定義,則這些點(diǎn)既則這些點(diǎn)既不是不是f (x)的的連續(xù)點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)，也，也不是不是它的它的間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)x0與間斷點(diǎn)與間斷點(diǎn)x0的共性是：的共性是

12、： 均要求在均要求在x0的的某去心鄰域內(nèi)有定義（某去心鄰域內(nèi)有定義（ 【思考思考】 為什么？為什么？），），在這個(gè)前提下才有在這個(gè)前提下才有“f (x)的不連續(xù)點(diǎn)就是它的間的不連續(xù)點(diǎn)就是它的間斷點(diǎn)斷點(diǎn)”成立成立.第14頁/共32頁16跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn).)(),()( ,)(0000的跳躍間斷點(diǎn)的跳躍間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)但但存在存在右極限都右極限都處左處左在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxfxfxxf 【補(bǔ)例補(bǔ)例4】 0, 0,1, 0,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論討論 xxxxxxf【解解】, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff . 0為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)為函數(shù)的跳

13、躍間斷點(diǎn) x2.【函數(shù)間斷點(diǎn)的幾種常見類型函數(shù)間斷點(diǎn)的幾種常見類型】(1).【第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)】( (左右極限都存在的點(diǎn)左右極限都存在的點(diǎn)).).oxy1第15頁/共32頁17可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn).)()(),()(lim,)(00000的可去間斷點(diǎn)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)義則稱點(diǎn)義則稱點(diǎn)處無定處無定在點(diǎn)在點(diǎn)或或但但處的極限存在處的極限存在在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxxfxfxfxxfxx 【補(bǔ)例補(bǔ)例5】.1, 1,11, 10, 1,2)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 第16頁/共32頁18【解解】, 1)1( f, 2)01( f

14、, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f 【說明說明】 可去間斷點(diǎn)只要可去間斷點(diǎn)只要改變改變（原來有定義時(shí)）（原來有定義時(shí)）或者或者補(bǔ)充補(bǔ)充（原來無定義時(shí)）（原來無定義時(shí)）間斷點(diǎn)處函數(shù)的間斷點(diǎn)處函數(shù)的定義定義, , 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)，故稱其為則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)，故稱其為可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn). . . 1 為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)的可去間斷點(diǎn) xoxy112第17頁/共32頁19如例如例5中中, , 2)1( f令令. 1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxf跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn). .【特點(diǎn)特點(diǎn)】.0

15、處的左、右極限都存在處的左、右極限都存在函數(shù)在間斷點(diǎn)函數(shù)在間斷點(diǎn) xoxy112可去型可去型 ： 左右極限存在且左右極限存在且相等相等. .跳躍型跳躍型： 左右極限存在但左右極限存在但不相等不相等. .第18頁/共32頁20(2)【第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)】的的第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)在在右右極極限限至至少少有有一一個(gè)個(gè)不不存存處處的的左左、在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果)(,)(00 xfxxxf【補(bǔ)例補(bǔ)例6】.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf【解解】oxy, 0)00( f,)00( f為為函函數(shù)數(shù)的的第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)1 x【

16、特點(diǎn)特點(diǎn)】 . )( )(00稱之稱之，中至少有一個(gè)是中至少有一個(gè)是與與 xfxf這種情況稱為這種情況稱為無窮間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)第19頁/共32頁21【例例7】.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf【解解】xy1sin ,0處沒有定義處沒有定義在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0為第二類間斷點(diǎn)為第二類間斷點(diǎn) x這種情況稱為這種情況稱為振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn). .【特點(diǎn)特點(diǎn)】 )( )(00中至少有一個(gè)因函數(shù)中至少有一個(gè)因函數(shù)與與 xfxf振蕩而不存在，但均不為振蕩而不存在，但均不為，稱之，稱之. .第20頁/共32頁22 , 0, 1)(是無理數(shù)時(shí)是無理數(shù)

17、時(shí)當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxDy狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)在定義域在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷, ,且都是第二類間且都是第二類間斷點(diǎn)斷點(diǎn). . ,)(是無理數(shù)時(shí)是無理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxxf僅在僅在x = 0 處連續(xù)處連續(xù), , 其余各點(diǎn)處處間斷其余各點(diǎn)處處間斷. .特別地特別地課后習(xí)題課后習(xí)題P P65 5（3）反例）反例【注意注意】 不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn)不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn). .第21頁/共32頁23o1x2x3xyx xfy , 1, 1)(是無理數(shù)時(shí)是無理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxf在定義域在定義域R內(nèi)

18、每一點(diǎn)處都間斷內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷, , 但其絕對(duì)值但其絕對(duì)值處處連續(xù)處處連續(xù). .【觀察練習(xí)觀察練習(xí)】立即說出下列間斷點(diǎn)類型立即說出下列間斷點(diǎn)類型: :課后習(xí)題課后習(xí)題P P65 5（2）反例）反例第22頁/共32頁24又如:xytan) 1 (2x0 xxy1sin) 2(1x11)3(2xxyxoy1xytan2xyoxyxy1sin0無窮間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)第23頁/共32頁25【補(bǔ)例補(bǔ)例8】.0, 0, 0,cos)(,處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)取何值時(shí)取何值時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxaxxxfa【解解】xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(l

19、im00 xaxfxx ,a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,1 時(shí)時(shí)故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng) a.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf, 1 a第24頁/共32頁26【典型補(bǔ)充例題典型補(bǔ)充例題】備用機(jī)動(dòng)題備用機(jī)動(dòng)題【補(bǔ)充補(bǔ)充1】 . )( 的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)判斷函數(shù)判斷函數(shù)xxxfy 【解解】x的間斷點(diǎn)為的間斷點(diǎn)為, 2, 1, 0 x則則xx的間斷點(diǎn)為的間斷點(diǎn)為, 2, 1 x 0 是連續(xù)點(diǎn)是連續(xù)點(diǎn) x)0(0lim 0fxxx , 2, 1 時(shí)是間斷點(diǎn)時(shí)是間斷點(diǎn)當(dāng)當(dāng) N因?yàn)橐驗(yàn)?1(lim NNxxNx2limNxxNx 所所以以, 2, 1 x是是 的第一類間斷點(diǎn)（跳躍型）的第一類間斷點(diǎn)（跳躍型）)(xf第25頁/共32頁27【補(bǔ)充補(bǔ)充2】 . )( 的連續(xù)性的連續(xù)性判斷函數(shù)判斷函數(shù)xxxfy 【解解】 kxkxkxf011)( Zk 1)(lim kx xf1)(limkx xf0)( kf則則)( Zkkx 是是 的第一類（可去）間斷的第一類（可去）間斷點(diǎn)點(diǎn). . )(xf第26頁/共32頁28右連續(xù)右連續(xù))()(lim00 xfxf