第三章-周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示

1、2022-6-261第三章第三章 周期周期信號(hào)的信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)表示表示說(shuō)明：此課件對(duì)應(yīng)于教材第說(shuō)明：此課件對(duì)應(yīng)于教材第3 3章的章的3.2-3.73.2-3.7節(jié)（其中節(jié)（其中3.43.4節(jié)僅簡(jiǎn)單介紹節(jié)僅簡(jiǎn)單介紹，不作要求）；，不作要求）；3.8-3.113.8-3.11節(jié)關(guān)于節(jié)關(guān)于LTILTI系統(tǒng)分析及濾波器以后再講。系統(tǒng)分析及濾波器以后再講。本章主要內(nèi)容：本章主要內(nèi)容： 連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示及其性質(zhì)及其性質(zhì) 離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示及其性質(zhì)及其性質(zhì)2從時(shí)域分析到頻域分析從時(shí)域分析到頻域分析dtx

2、tx)()()()( )( )()()()()( )(thtdthxtxthtytxLTI基本信號(hào)時(shí)域分析：1( )()2j tx tX jed1( )()()2j ty tX jH jedtjtjejHetx)( )(LTI基本信號(hào)頻域分析：)()()()(21)(jHjXjYdejYtytj（以連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)為例）（以連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)為例）3 頻域分析頻域分析u 周期信號(hào)（離散周期信號(hào)（離散/ /連續(xù)）的傅里葉級(jí)數(shù)（第三章）連續(xù)）的傅里葉級(jí)數(shù)（第三章）u 連續(xù)非周期信號(hào)的傅里葉變換（第四章連續(xù)非周期信號(hào)的傅里葉變換（第四章, ,本課程重點(diǎn)內(nèi)容本課程重點(diǎn)內(nèi)容) )u 離散非周期信號(hào)的傅

3、里葉變換（第五章）離散非周期信號(hào)的傅里葉變換（第五章）43.2. LTI LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)1 1、信號(hào)分解的概念、信號(hào)分解的概念-將一個(gè)信號(hào)表示為一系將一個(gè)信號(hào)表示為一系列基本信號(hào)的線性加權(quán)和列基本信號(hào)的線性加權(quán)和 基本信號(hào)的兩個(gè)性質(zhì)基本信號(hào)的兩個(gè)性質(zhì): : A A. .由這些基本信號(hào)能夠構(gòu)成相當(dāng)廣泛的一類(lèi)有用的信號(hào)由這些基本信號(hào)能夠構(gòu)成相當(dāng)廣泛的一類(lèi)有用的信號(hào). . B B. LTI. LTI系統(tǒng)對(duì)這些基本信號(hào)的響應(yīng)很簡(jiǎn)單，系統(tǒng)對(duì)任意系統(tǒng)對(duì)這些基本信號(hào)的響應(yīng)很簡(jiǎn)單，系統(tǒng)對(duì)任意輸入信號(hào)的響應(yīng)可以表示為每一個(gè)基本信號(hào)的響應(yīng)的線性輸入信號(hào)的響應(yīng)可以表示為每一個(gè)基本

4、信號(hào)的響應(yīng)的線性加權(quán)和加權(quán)和. . 復(fù)指數(shù)信號(hào)滿足這兩個(gè)性質(zhì)：復(fù)指數(shù)信號(hào)滿足這兩個(gè)性質(zhì)： stenz離散時(shí)間：離散時(shí)間： 連續(xù)時(shí)間：連續(xù)時(shí)間：5例：設(shè)一個(gè)連續(xù)時(shí)間例：設(shè)一個(gè)連續(xù)時(shí)間LTILTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t)，當(dāng)輸入信號(hào)，當(dāng)輸入信號(hào)為為 時(shí)，求其輸出？時(shí)，求其輸出？( )stx te()( )( ) ()( )( )s tstsy thx tdhedehed同樣，給定一個(gè)離散同樣，給定一個(gè)離散LTILTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)hn和輸入信號(hào)和輸入信號(hào) ，其輸出為：，其輸出為： nx nz ( )n knknkkky nh k x nkh k zzh

5、 k zz H z( )( )sH shed( ) kkH zh k z( )( )sty te H s其中其中 是個(gè)與是個(gè)與t無(wú)關(guān)的量，記其為無(wú)關(guān)的量，記其為 ，即，即 則有：則有：( )shed( )H s 其中：其中：62 2、LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)是一個(gè)同樣的系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)是一個(gè)同樣的 復(fù)指數(shù)信號(hào)，只是在幅度上有變化復(fù)指數(shù)信號(hào)，只是在幅度上有變化 ( )ststeH s e( )nnzH z z復(fù)振幅因子復(fù)振幅因子H(s)或或H(z)一般來(lái)說(shuō)是復(fù)變量一般來(lái)說(shuō)是復(fù)變量s或或z的的函數(shù)函數(shù), ,它們跟它們跟h(t)或或hn有如下的關(guān)系：有如下的關(guān)系：dehsHs)()( )

6、kkH zhk z離散時(shí)間：離散時(shí)間： 連續(xù)時(shí)間：連續(xù)時(shí)間：73 3、系統(tǒng)的特征函數(shù)、系統(tǒng)的特征函數(shù)(Eigenfunction)若系統(tǒng)對(duì)一個(gè)輸入信號(hào)的輸出響應(yīng)僅是一個(gè)幅度因子若系統(tǒng)對(duì)一個(gè)輸入信號(hào)的輸出響應(yīng)僅是一個(gè)幅度因子常數(shù)（可能是復(fù)數(shù)）乘以該輸入信號(hào)，則稱(chēng)該信號(hào)為常數(shù)（可能是復(fù)數(shù)）乘以該輸入信號(hào)，則稱(chēng)該信號(hào)為系統(tǒng)的系統(tǒng)的特征函數(shù)特征函數(shù)，而該幅度因子常數(shù)稱(chēng)為系統(tǒng)的，而該幅度因子常數(shù)稱(chēng)為系統(tǒng)的特征特征值值( (eigenvalue )。對(duì)一個(gè)特定對(duì)一個(gè)特定 sk 或或 zk , 或或 就是對(duì)應(yīng)的特征值就是對(duì)應(yīng)的特征值。)(ksH)(kzHste是連續(xù)是連續(xù)LTILTI系統(tǒng)的特征函數(shù)系統(tǒng)的特征

7、函數(shù)是離散是離散LTILTI系統(tǒng)的特征函數(shù)系統(tǒng)的特征函數(shù)nz8如果一個(gè)如果一個(gè)LTI系統(tǒng)的輸入信號(hào)（連續(xù)系統(tǒng)的輸入信號(hào)（連續(xù)/ /離散）可以分解離散）可以分解為復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性加權(quán)和：為復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性加權(quán)和： ktskkeatx )( nkkkx na z那么根據(jù)特征函數(shù)的性質(zhì)和那么根據(jù)特征函數(shù)的性質(zhì)和LTILTI系統(tǒng)的疊加特性，系統(tǒng)的疊加特性，系統(tǒng)的輸出有如下形式：系統(tǒng)的輸出有如下形式：ktskkkesHaty)()( ()nkkkky na H zz4 4、將一個(gè)信號(hào)分解為特征函數(shù)、將一個(gè)信號(hào)分解為特征函數(shù)( (復(fù)指數(shù)信號(hào)復(fù)指數(shù)信號(hào)) )的線性加權(quán)和的線性加權(quán)和A. A. 什么樣的信號(hào)可

8、以分解為復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性加權(quán)和？什么樣的信號(hào)可以分解為復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性加權(quán)和？B. B. sk, zk取何值？取何值？C. C. 如何確定系數(shù)如何確定系數(shù)ak？93.3. 連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示1、復(fù)指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)復(fù)指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)一個(gè)周期為一個(gè)周期為T(mén)的周期信號(hào)的周期信號(hào)x(t) 的復(fù)指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)：Teatxtjkkk/2)(00成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)集成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)集 , 2, 1, 0,0ketjktjNNtjeaNkeakak00 : :1 :010-基波分量或一次諧波分量基波分量或一次諧波分量-N次諧波分量次諧波分量

9、其中系數(shù)其中系數(shù) ak一般來(lái)說(shuō)是一般來(lái)說(shuō)是 的復(fù)函數(shù)。的復(fù)函數(shù)。0k-直流分量直流分量00=,0, 1, 2,kks tjktsjkeek ，即:10dtetxTaTtjkk0)(1 傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的確定傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的確定: :,)()/2(0tTjkkktjkkkeaeatx綜合公式: (synthesis equation)TtTjkTtjkkdtetxTdtetxTa)/2()(1)(10分析公式:(analysis equation)傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)或傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)或x(t)的頻譜系數(shù)的頻譜系數(shù) kakaarg相位譜相位譜幅度譜幅度譜kax(t)的直流分量（一個(gè)周期內(nèi)的均值） dt

10、txTaT)(10TttT/2T/2-T0TT00分，即表示在一個(gè)周期內(nèi)求積這里11dtetxTaTtjkk0)(1證明：證明： nknkTdttnkjdttnkdtedteadteeadteeadtetxeeaetxeatxTTTtnkjkTtnkjkkTtjntjkkTktjntjkkTtjnktjntjkktjnktjkk, 0,)sin()cos()(tT0)()( 00000)(0)(00000000000000其中：求積分：對(duì)兩邊都從本證明供學(xué)有余力同學(xué)參考本證明供學(xué)有余力同學(xué)參考)0)(000)sin()cos(,01)sin()cos(,0000000000的積分為正弦信號(hào)在一

11、個(gè)周期內(nèi)當(dāng)當(dāng)jdttnkjdttnknkTdtjdtdttnkjdttnknkTTTTTTT0110)(00000)(1)(1 00000 )(dtetxTdtetxTaTaaaaaadteadtetxtjnTtjnnnnnnkTtnkjkTtjn所以有：12,)()/2(0tTjkkktjkkkeaeatx綜合公式綜合公式: : 綜合公式說(shuō)明：任意周期為綜合公式說(shuō)明：任意周期為T(mén) T的信號(hào)可以由一個(gè)直流信號(hào)和一系列周期為的信號(hào)可以由一個(gè)直流信號(hào)和一系列周期為T(mén) T的約數(shù)的約數(shù)(T,T/2,T/3,(T,T/2,T/3,) )的周期復(fù)指數(shù)信號(hào)合成的周期復(fù)指數(shù)信號(hào)合成如何理解傅里葉級(jí)數(shù)？如何理解

12、傅里葉級(jí)數(shù)？如右圖所示，周如右圖所示，周期分別為期分別為T(mén),T/2, T,T/2, T/3,T/3,的周期信的周期信號(hào)相加后仍然是號(hào)相加后仍然是一個(gè)周期為一個(gè)周期為T(mén) T的信的信號(hào)號(hào)下面的問(wèn)題是：下面的問(wèn)題是：如何能夠保證這如何能夠保證這些信號(hào)相加后得些信號(hào)相加后得到的波形和到的波形和x(t)一一樣？樣？13分析公式分析公式: : 分析公式說(shuō)明：為了令這些周期信號(hào)相加后等于分析公式說(shuō)明：為了令這些周期信號(hào)相加后等于x(t), ,各個(gè)信號(hào)各個(gè)信號(hào)的振幅的振幅ak必須滿足上式必須滿足上式TtTjkTtjkkdtetxTdtetxTa)/2()(1)(10例如對(duì)如圖所示周期方波信號(hào)例如對(duì)如圖所示周期

13、方波信號(hào), ,其在一個(gè)周期其在一個(gè)周期(-1,1)(-1,1)內(nèi)的信號(hào)內(nèi)的信號(hào)表達(dá)式為表達(dá)式為: : 15.0,05.0, 1tttx -2 -1 -0.5 0.5 1 2tx(t)1kkkkekjdteatjktjkk)2/sin()2/sin(21121005 . 05 . 005 . 05 . 0005 . 01215 . 05 . 00dtateaeaxtjteaktjteakteaeaxjteaktjteakteaeaxtjteaktjteaktjtjtjtjtjtjtjtjtjtjtjtj5cos525sin515cos51:55sin515cos51:53cos323sin313

14、cos31:33sin313cos31:3cos2sin1cos1:1sin1cos1:10000000000005555555553333333331111100:40:400:20:200000000444444444222222222tjtjtjtjtjtjtjtjeaeaxeakeakeaeaxeakeak)()()()(5310txtxtxatx即：,) ()/2 (0tTjkkktjkkkeaeat x151 x310 xxa19 x9 x5 x3 x5310 xxxa710 xxa1910 xxa)(9910txxxa可見(jiàn)，周期信號(hào)確實(shí)可以按傅里葉級(jí)數(shù)形式分解為一系列可見(jiàn)，周期信

15、號(hào)確實(shí)可以按傅里葉級(jí)數(shù)形式分解為一系列復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性加權(quán)和復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性加權(quán)和2、三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)因?yàn)橐驗(yàn)閤(t)是是實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)，即：，即： 故有故有( )( )x tx t0( )jktkkx ta e由復(fù)指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)：由復(fù)指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)：所以所以 或者或者*kkaa*kkaa000( ) jktjmtkmkmjktkkx ta em-kaekma e00jktjktkkkka ea e由上例可見(jiàn)，周期方波信號(hào)又可以分解為成諧波關(guān)系的正弦由上例可見(jiàn)，周期方波信號(hào)又可以分解為成諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的線性加權(quán)和。實(shí)際上，信號(hào)的線性加權(quán)和。實(shí)際上，實(shí)周期信號(hào)總是可

16、以寫(xiě)成三角實(shí)周期信號(hào)總是可以寫(xiě)成三角函數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)。函數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)。| | |kkkaaax(t)的共軛信號(hào)的共軛信號(hào)x*(t)的的復(fù)復(fù)指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)：指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)：實(shí)信號(hào)的幅度譜是偶信號(hào)實(shí)信號(hào)的幅度譜是偶信號(hào)17001( )2cos()kkkx taAkt00*01jktjktkkkaa ea e00001( )jktjktjktkkkkkx ta eaa ea e00*,jktjktkka ea e 因?yàn)橐驗(yàn)?為共軛復(fù)數(shù)，所以為共軛復(fù)數(shù)，所以001( )2Rejktkkx taa e 表示信號(hào)的實(shí)部Re則有極坐標(biāo)形式一般是復(fù)數(shù)，可以寫(xiě)成,kjkkkeAaa三角函數(shù)形式的傅里葉

17、級(jí)數(shù)三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù): :18例例1 1：已知一個(gè)周期為：已知一個(gè)周期為2的實(shí)周期信號(hào)的實(shí)周期信號(hào)x(t), 其復(fù)指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)其復(fù)指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)為：為：其中，其中，求其三角函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)求其三角函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)332)(ktjkkeatx31,21,41, 13322110aaaaaaatjtjtjtjtjtjeeeeeetx6644223121411)(tttttt6cos324cos2cos2116cos2314cos2212cos2411 注：大多數(shù)情況下，復(fù)指數(shù)和三角函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)間的互換可以通過(guò)歐拉公式來(lái)完成xjxexjxejeexeexjxjxjxjxjxjxsincos,

18、sincos2sin ,2cos3102cos2kktkaa19例例1 1中由成諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的線性組合來(lái)構(gòu)成中由成諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的線性組合來(lái)構(gòu)成x(t)的圖解的圖解20例例2: 2: 畫(huà)出信號(hào)畫(huà)出信號(hào))42cos(cos2sin1)(000ttttx 的幅度譜和相位譜的幅度譜和相位譜 tjjtjjtjtjeeeeejejtx00002)4(2)4(21212112111)(因此，該信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)為因此，該信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)為: :,25211211,25211211, 1)21arctan(1)21arctan(10jjejjaejjaa. 2, 0,21,21)4(2)

19、4(2kaeaeakjjjeexeexjxjxjxjx2sin ,2cos解：利用歐拉公式：解：利用歐拉公式：2111/2 -3 -2 -1 0 1 2 3k25ka/4karctan(1/2) -2 1 -3 -1 0 2 3kaarg 幅度譜幅度譜 相位譜相位譜幅度譜左右對(duì)稱(chēng)（偶信號(hào)），相位譜關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（奇信號(hào)）幅度譜左右對(duì)稱(chēng)（偶信號(hào)），相位譜關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（奇信號(hào)）22111021,TTTadtTT110110011TTtjkTTtjkkeTjkdteTa0,sinsin210010kkTkTkTkak例例3: 3: 周期方波信號(hào)如圖所示周期方波信號(hào)如圖所示, ,其在一個(gè)周期其在一個(gè)周期

20、 (-T/2,T/2)(-T/2,T/2)內(nèi)的信號(hào)表達(dá)式為內(nèi)的信號(hào)表達(dá)式為: : 2,0,111TtTTttx -T -T/2 -T1 T1 T/2 Ttx(t)求其傅里葉級(jí)數(shù)求其傅里葉級(jí)數(shù) kTTk12sin 0,sinsin21 001 0kkTkTkTkak0,2/), 2, 1( ,/211kaTnTknnTTk時(shí)即其中，當(dāng)若若 T = 8T1 有有: : ; 0 ;142-;61- ;102- ; 0;62;21;22 1/4; 88776655443322110aaaaaaaaaaaaaaaaakTTkak12sin若若 T = 4 4T1 有：有：0 ;5/10 ;3/1-0 ;

21、/1; 2/1 6655443322110aaaaaaaaaaaaa0106, 4, 222 kaTnTkT時(shí)，譜線間隔 -2 0 2k (a) T=4 T1 周期方波信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)kak -8 0 8(c) T=16 T101024,16, 822 kaTnTkT時(shí)，譜線間隔k -4 0 401012, 8, 422 kaTnTkT時(shí)，譜線間隔(b) T=8 T1保持保持T不變，縮小不變，縮小T1 1：243.4 傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性( (簡(jiǎn)單了解即可簡(jiǎn)單了解即可) )理論上周期信號(hào)的傅里葉理論上周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)有無(wú)窮多項(xiàng)級(jí)數(shù)有無(wú)窮多項(xiàng)實(shí)際中可以用一個(gè)有限項(xiàng)的傅實(shí)

22、際中可以用一個(gè)有限項(xiàng)的傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)近似里葉級(jí)數(shù)來(lái)近似x(t)：NNktjkkNeatx0)(誤差為誤差為: :0( )( )( )( )NjktNNkkNe tx tx tx ta e在一個(gè)周期內(nèi)的誤差能量為在一個(gè)周期內(nèi)的誤差能量為: :2( )NNTEe tdt當(dāng)當(dāng) , , EN 最小最小. .dtetxTaTtjkk0)(1且隨著且隨著N的增大，的增大，EN減小，減小，ktjkkeatx0)(0NEN時(shí)，當(dāng)25在一個(gè)周期內(nèi)x(t) 絕對(duì)可積，即：Tdttx )(傅里葉級(jí)數(shù)的收斂條件傅里葉級(jí)數(shù)的收斂條件 狄里赫利條件狄里赫利條件(Dirichlet conditions)：傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性

23、：傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性：對(duì)于一個(gè)周期信號(hào)對(duì)于一個(gè)周期信號(hào)x(t)，存在存在一個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)，一個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)， , ,即即x(t)的傅里葉的傅里葉級(jí)數(shù)收斂于級(jí)數(shù)收斂于x(t) 0NEN時(shí)，當(dāng)絕大多數(shù)周期信號(hào)都滿足狄里赫利條件，也就是說(shuō)，絕大多數(shù)周期信號(hào)都滿足狄里赫利條件，也就是說(shuō)，存在傅里葉級(jí)數(shù)存在傅里葉級(jí)數(shù)26吉伯斯現(xiàn)象吉伯斯現(xiàn)象(Gibbs phenomenon):對(duì)于一個(gè)有不連續(xù)點(diǎn)對(duì)于一個(gè)有不連續(xù)點(diǎn)的周期信號(hào)的周期信號(hào)x(t),有限項(xiàng)的傅里葉級(jí)數(shù)近似有限項(xiàng)的傅里葉級(jí)數(shù)近似xN(t) 在其不在其不連續(xù)點(diǎn)處會(huì)產(chǎn)生高頻起伏和超量為連續(xù)點(diǎn)處會(huì)產(chǎn)生高頻起伏和超量為9%9%的尖峰的尖峰 。NNktjkkN

24、eatx0)( N=1: N=3: N=5:EE05. 01EE02. 02EE01. 030 EN，但是在不連續(xù)點(diǎn)，但是在不連續(xù)點(diǎn)，9%9%的的超量仍然存在超量仍然存在E為x(t)在一個(gè)周期內(nèi)的能量273.5 連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)周期信號(hào)周期信號(hào)x(t)與其與其傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)ak之間的關(guān)系一般表示為之間的關(guān)系一般表示為kFSatx)(1) 線性線性.( ), ( )FSFSkkx tay tbIf then kkkFSBbAactBytAxtz)()()(2) 時(shí)移時(shí)移If ,)(kFSatxthen ktTjkktjkFSaeaett x000

25、)/2 (0)( 周期信號(hào)在時(shí)間上的移位，對(duì)應(yīng)于相位譜的變化，幅度譜周期信號(hào)在時(shí)間上的移位，對(duì)應(yīng)于相位譜的變化，幅度譜保持不變保持不變ktjkkeatx0)(283) 時(shí)域反轉(zhuǎn)時(shí)域反轉(zhuǎn)If ,)(kFSatxthen kFSatx )(連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)間反轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)于傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)序列的反轉(zhuǎn)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)間反轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)于傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)序列的反轉(zhuǎn) x(t) 是偶函數(shù)是偶函數(shù) :kkaax(t) 是奇函數(shù)是奇函數(shù): kkaa4) 時(shí)域尺度變換時(shí)域尺度變換tjkkkeatx0)(If then ktjkkeatx)(0)(經(jīng)尺度變換后，信號(hào)的周期改變了。其傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)雖然經(jīng)尺度變換后，信號(hào)的周期改變了

26、。其傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)雖然不變，但是其基波頻率改變了，每個(gè)系數(shù)對(duì)應(yīng)的諧波頻率也隨不變，但是其基波頻率改變了，每個(gè)系數(shù)對(duì)應(yīng)的諧波頻率也隨之改變了之改變了. . 295) 共軛及共軛對(duì)稱(chēng)性共軛及共軛對(duì)稱(chēng)性If ,)(kFSatxthen *( )FSkx tax(t) 為實(shí)函數(shù)為實(shí)函數(shù)： a0 是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù)，ak是共軛對(duì)稱(chēng)的是共軛對(duì)稱(chēng)的*kkaax(t) 為實(shí)偶函數(shù)：為實(shí)偶函數(shù)： ak也是實(shí)偶函數(shù)也是實(shí)偶函數(shù)x(t) 為實(shí)奇函數(shù)為實(shí)奇函數(shù)：ak是虛奇函數(shù)是虛奇函數(shù) kkkaaakkkaaa30所以，本定理的物理意義是：所以，本定理的物理意義是：一個(gè)周期信號(hào)的平均功率一個(gè)周期信號(hào)的平均功率等于它的全部

27、諧波分量的平均功率之和。等于它的全部諧波分量的平均功率之和。 （傅立葉分析也遵循能量守恒定律）（傅立葉分析也遵循能量守恒定律）由于：由于：022211jktkkkTTa edtadtaTT6) 帕斯瓦爾帕斯瓦爾(Parseval)定理定理22)(1kkTadttxTIf ,)(kFSatxthen 第第k k個(gè)諧波分量的平均功率個(gè)諧波分量的平均功率對(duì)該定理的進(jìn)一步說(shuō)明：對(duì)該定理的進(jìn)一步說(shuō)明：317) 微分特性微分特性If ,)(kFSatxthen kFSajktx0)( 000000( )( ): ( )jktkkjktjktjktkkkkkkFSkx ta ex ta eaejka ex

28、tjka即32例例4:4:求右圖所示信號(hào)周期信號(hào)求右圖所示信號(hào)周期信號(hào) g(t)的傅里葉級(jí)數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) g(t)= x(t-1)1/2, 其中x(t)是P.22例3中的方波信號(hào)(T=4,T1=1). 時(shí)移特性:2/) 1(jkkkFSeabtx -1/2 是g(t)的一個(gè)直流偏置分量，所以0 , 00,)2/sin(2/kkekkbjkk21; 0,2sin2sin)(01akkkkTTkatxkFS02100 ab -2 -1 1 2-1/2 g(t)t1/233x(t)t -2 212)(0kkFSajkajktx0,)()2/sin(2222/2kekjkjkbaajkbjkkkkk因

29、此 k = 0, a0 為信號(hào)的直流分量為1/2例例5:5:求右圖所示三角波信求右圖所示三角波信號(hào)號(hào)x(t)的傅里葉級(jí)數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) x(t) 和上例中的 g(t) 有如下關(guān)系：)( )(txtg根據(jù)微分特性：設(shè)kFSkFSatxbtg)( )(:343.6. 離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)1、離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)周期為N的離散時(shí)間周期信號(hào) xn的傅里葉級(jí)數(shù)是一系列成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào) 的線性加權(quán)和:0(2/) jknjkN nkkkkx na ea e如何確定如何確定k的取值？的取值？對(duì)任意整數(shù)n,序列 中k僅有N個(gè)獨(dú)立取值,即： 因此xn可以分解

30、為N個(gè)不同的特征函數(shù)的線性加權(quán)和，其傅里葉級(jí)數(shù)只需對(duì)連續(xù)N個(gè)獨(dú)立k值求和，記為Nk nNjkNkknjkNkkeaeanx)/2( 0有限項(xiàng)求和有限項(xiàng)求和 nNjke)/2(nNNkjnNjkee)/2)()/2(所以：所以：0njke352、傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的確定傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的確定 NnNknNrkjknNjrNneaenx)/2)()/2(NnnNrkjNkkea)/2)(nNjkNkkeanx)/2(rNnnNrkjNkkNaea)/2)(所以：nNjrNnrenxNa)/2(122()21()()0,2()011j k rNjk rnjk rnNNNj k rn NnNeeee 而而

31、兩邊同乘以 并在n=內(nèi)求和NrnrenNjr:, )/2(即范圍同的取值其中rkNrk,0) (, 0周期內(nèi)求和為一個(gè)周期正弦信號(hào)在NnnNjkNnnjkkenxNenxNa)/2(110以下推導(dǎo)供學(xué)有余力同學(xué)參考以下推導(dǎo)供學(xué)有余力同學(xué)參考36nNjkNkknjkNkkeaeanx)/2(0NnnNjkNnnjkkenxNenxNa)/2(110周期信號(hào)周期信號(hào) Nkkaa離散時(shí)間周期信號(hào)（周期為離散時(shí)間周期信號(hào)（周期為N）的傅里葉級(jí)數(shù)是一個(gè)有限項(xiàng)級(jí)數(shù)）的傅里葉級(jí)數(shù)是一個(gè)有限項(xiàng)級(jí)數(shù)（N個(gè)不同的復(fù)指數(shù)信號(hào)求和），個(gè)不同的復(fù)指數(shù)信號(hào)求和），但但ak本身是一個(gè)周期為本身是一個(gè)周期為N的周的周期信號(hào)期

32、信號(hào)。綜合公式綜合公式: : (synthesis equation)分析公式分析公式: :(analysis equation)離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)是一個(gè)有限項(xiàng)的級(jí)數(shù)，確定離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)是一個(gè)有限項(xiàng)的級(jí)數(shù)，確定 的關(guān)系式也是有限項(xiàng)的和式，因而不存在收斂問(wèn)題，也不會(huì)產(chǎn)的關(guān)系式也是有限項(xiàng)的和式，因而不存在收斂問(wèn)題，也不會(huì)產(chǎn)生生Gibbs現(xiàn)象?，F(xiàn)象。ka37例例6 6：求：求xn = sin (6 6 n/5/5) 的傅里葉級(jí)數(shù)并畫(huà)出其系數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)并畫(huà)出其系數(shù)xn是周期信號(hào) N = 5. nNjkNkknjnjeaejejnx)/2(5)5/2(3)5/2(3 21212

33、3321,21ajaja0140aaak1/2 -9-8-7 -5-4-3 0 1 2 3 4 5 6 78 91011 -6 -2-1 12 ka幅度譜-/2/2 -9 -8 -6-5-4-3 -1 0 1 2 4 5 6 7 9 10 11 -7 -2 3 8 kkaarg相位譜 38例例7 7：如下圖所示周期離散方波信號(hào)：如下圖所示周期離散方波信號(hào)xn的傅里葉級(jí)數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)系數(shù),20,10, 0 ,21,20,10, 0,)10/sin()10/5sin(1011101 1221022kkkkeenxNanknjNnknNjkNnknNjkeanx2-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n x n1-