第五章極限定理(3)

1、 多維正態(tài)分布及其性質(zhì)多維正態(tài)分布及其性質(zhì)大數(shù)定律大數(shù)定律 中心極限定理中心極限定理特征函數(shù)是處理概率論問題的有力工具，特征函數(shù)是處理概率論問題的有力工具，其作用在于：其作用在于：可將卷積運(yùn)算化成乘法運(yùn)算；可將卷積運(yùn)算化成乘法運(yùn)算；可將求各階矩的積分運(yùn)算化成微分運(yùn)算；可將求各階矩的積分運(yùn)算化成微分運(yùn)算；可將求隨機(jī)變量序列的極限分布化成一般可將求隨機(jī)變量序列的極限分布化成一般的函數(shù)極限問題；的函數(shù)極限問題；.特征函數(shù)的計(jì)算中用到復(fù)變函數(shù)，為此注意：特征函數(shù)的計(jì)算中用到復(fù)變函數(shù)，為此注意：(1) 歐拉公式歐拉公式：cos( )sin( )itxetxitx(2) 復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的共軛：abiabi

2、(3) 復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)的模：22abiab(4) 復(fù)隨機(jī)變量的期望復(fù)隨機(jī)變量的期望：E(X+iY)=E(X)+iE(Y)定義定義5.1.1 設(shè)設(shè) X 是一是一隨機(jī)變量，稱隨機(jī)變量，稱 (t) = E( eitX )=Ecos(tX)+iEsin(tX) (-t0）。如果）。如果X的分布密度函數(shù)為的分布密度函數(shù)為則稱則稱X服從均值為服從均值為 ，協(xié)方差矩陣為，協(xié)方差矩陣為 的的n維正維正態(tài)分布，態(tài)分布， 記為記為11221( )(2 )|exp()()2nTf xxx定義定義5.2.2 設(shè)設(shè)X為為n維隨機(jī)變量，維隨機(jī)變量，如果其特征函數(shù)如果其特征函數(shù)為為則稱則稱X服從均值為服從均值為 ，協(xié)方差矩陣

3、為，協(xié)方差矩陣為 的的n維正維正態(tài)分布，態(tài)分布， 記為記為1( )exp,2TTnXtittttR( , )nXN 性質(zhì)性質(zhì)5.2.2 若若Xn，則，則 的分量相互獨(dú)立的分量相互獨(dú)立充分必要條件是分量?jī)蓛刹幌嚓P(guān)。充分必要條件是分量?jī)蓛刹幌嚓P(guān)。性質(zhì)性質(zhì)5.2.3 Xn，充分必要條件是對(duì)任意充分必要條件是對(duì)任意,naR1(,).TTTya XN aaa性質(zhì)性質(zhì)5.2.4 若若Xn，則，則 的任意線性變的任意線性變換仍服從正態(tài)分布，即換仍服從正態(tài)分布，即(,).TYBXN BB B主要兩種收斂性：主要兩種收斂性： i) 依概率收斂：依概率收斂：用于大數(shù)定律；用于大數(shù)定律； ii) 依分布收斂依分布收

4、斂(弱收斂）：弱收斂）：用于中心極限定理用于中心極限定理.定義定義5.3.1 （2） (依概率收斂依概率收斂,convergence in probability).lim()1PnnnXXXXP 等價(jià)：為lim() 0nnXXP若對(duì)任意的若對(duì)任意的 0，有，有則稱隨機(jī)變量序列則稱隨機(jī)變量序列Xn依概率收斂于依概率收斂于X, 記為記為1212,., .lim(|)0,X ,.,().nnnnPnXXPXcXXXc n 概 率 收 斂 于 c設(shè) X是 一 個(gè) 隨 機(jī) 變 量 序 列c是 一 個(gè) 常 數(shù) 若 對(duì) 于 任 意 正 數(shù)有則 稱 序 列依記 為意思是意思是: :當(dāng)當(dāng)c而而意思是意思是:

5、:時(shí)時(shí),Xn落在落在內(nèi)的概率越來越大內(nèi)的概率越來越大. .pnXc nXn(,)cc00,nnncc00, n0nn|nXcnP-c1Xnlim=cnX補(bǔ)例補(bǔ)例: : 1(2)(0, )(0)(0, ),max,.,.nnPnnnXUb bX iid UbYXXYb 設(shè)為獨(dú)立觀測(cè)結(jié)果，此時(shí)求證：(2)(0, ),1,0( )0,nnXiidUbxbXfxbelsewhere證明：證明：1(1)(,),.PnnNn 設(shè)X則X(1) 用定義或者切比雪夫不等式。用定義或者切比雪夫不等式。0(),(|)()0(),.()nnnPnbPYbP YbnYbbb 性質(zhì)性質(zhì) 若若,PnXa PnYb 即即Xn

6、與與Yn的加、減、乘、除、函數(shù)的加、減、乘、除、函數(shù)依概率收斂到依概率收斂到 a 與與 b 的加、減、乘、除、函數(shù)的加、減、乘、除、函數(shù)./0( )( )PnnPnnPnnPnnPnPnXYabXYabX YabXYa b bXcag xXg a （1）； （2）； （3）； （4）（）(5) c。(6)連續(xù)，g(則有,22nnXaYb0,()()nnXYab ()()nnXaYb0(,)()nnPXYab因此22nnPXaP Yb0,n 證畢證畢 證明：只證第證明：只證第(1)式。式。對(duì)分布函數(shù)列對(duì)分布函數(shù)列 Fn(x)而言，點(diǎn)點(diǎn)收斂要求太高而言，點(diǎn)點(diǎn)收斂要求太高.定義定義5.3.1 (1)

7、（若在若在 F(x) 的連續(xù)點(diǎn)上都有的連續(xù)點(diǎn)上都有l(wèi)im( )( )nnF xF x則稱則稱Fn(x) 弱收斂于弱收斂于(weakly convergence) F(x) ，記為記為( )( )WnxFF x；相應(yīng)記相應(yīng)記LnXX 依分布收斂依分布收斂 (convergence in law( )( ),X( ):nLet XF xF xn補(bǔ)例補(bǔ)例: : 1(0,1),(0,1),1(1),(1),LnnLnnNXNXnExpXExpXn （1）設(shè)X則X；（2）設(shè)X則X。證明：證明： 用定義。用定義。定義定義5.3.1 （3） (r階收斂階收斂).2.rnXXr 常見lim0,rnnE XX則

8、稱隨機(jī)變量序列則稱隨機(jī)變量序列Xn r 階收斂于階收斂于X, 記為記為定義定義5.3.1 （4） (幾乎處處收斂，以概率幾乎處處收斂，以概率1收斂收斂). .a snXX=:( )( ) =1,limlimnnnnPXXPXX則稱隨機(jī)變量序列則稱隨機(jī)變量序列Xn 幾乎處處收斂（以概幾乎處處收斂（以概率率1收斂）于收斂）于X, 記為記為定理定理5.3.1 PLnnXXXX (0)lim( )lim( )(0)nnnnF xF xF xF x證明證明: 設(shè)隨機(jī)變量序列設(shè)隨機(jī)變量序列Xn和隨機(jī)變量和隨機(jī)變量X的分布函數(shù)的分布函數(shù)分別為分別為Fn(x)和和F(x),只須證明對(duì)任意的只須證明對(duì)任意的xR

9、，有，有對(duì)任意的對(duì)任意的yx,X y Xn x |Xn-X|x-y 從而從而F(y)Fn(x)+P( |Xn-X|x-y)由隨機(jī)變量序列由隨機(jī)變量序列Xn依概率收斂于依概率收斂于X知知P( |Xn-X|x-y)0, (n)(y)lim( )nnFFx同理同理,當(dāng)當(dāng)x0有有P(|Xn -c| )= P(Xn c+)+ P(Xn c-) P(Xn c+/2)+ P(Xn c-)1-Fn(c+/2)+ Fn(c-)由于由于Fn(x)弱收斂于弱收斂于F(x), 并注意到并注意到F(x)的表達(dá)式只的表達(dá)式只在在c點(diǎn)不連續(xù)點(diǎn)不連續(xù),從而從而lim(|)1-1+0=0nnPXc即即Xn依概率收斂于常數(shù)依概率

10、收斂于常數(shù)c. 討論討論 “概率是頻率的穩(wěn)定值概率是頻率的穩(wěn)定值”的確切含義；的確切含義； 給出幾種大數(shù)定律：給出幾種大數(shù)定律： 伯努利大數(shù)定律、切比雪夫大數(shù)定律、伯努利大數(shù)定律、切比雪夫大數(shù)定律、 馬爾可夫大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律馬爾可夫大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律.引入：引入：(1)頻率的穩(wěn)定性頻率的穩(wěn)定性; (2)測(cè)量值的算術(shù)平均值有穩(wěn)定性。測(cè)量值的算術(shù)平均值有穩(wěn)定性。隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加, , 事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù)定于某個(gè)常數(shù). .測(cè)量啟示測(cè)量啟示: :從實(shí)踐中人們發(fā)現(xiàn)從實(shí)踐中人們發(fā)現(xiàn)大量測(cè)量值的大量測(cè)量值的算術(shù)算術(shù)平均值有穩(wěn)定性平均值有穩(wěn)定性.

11、 .單擊圖形播放單擊圖形播放/ /暫停暫停ESCESC鍵退出鍵退出 大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性 大數(shù)定律的客觀背景大數(shù)定律的客觀背景:大量拋擲硬幣大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率正面出現(xiàn)頻率字母使用頻率字母使用頻率生產(chǎn)過程中的生產(chǎn)過程中的廢品率廢品率 大數(shù)定律一般形式大數(shù)定律一般形式： 若隨機(jī)變量序列若隨機(jī)變量序列Xn滿足：滿足：11lim1nininXnPa則稱則稱Xn 服從大數(shù)定律（服從大數(shù)定律（law of large numberas）.定理定理5.4.0(書推論書推論5.4.1）（伯努利大數(shù)定律）（伯努利大數(shù)定律）設(shè)設(shè) n 是是n重伯努利試驗(yàn)中事件重伯努

12、利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)，每次試驗(yàn)中每次試驗(yàn)中 P(A) = p, 則對(duì)任意的則對(duì)任意的 0，有，有l(wèi)im()1nPnnpnpnP 即證明用到切比雪夫不等式證明用到切比雪夫不等式.Jacob BernoulliBorn: 27 Dec. 1654 in Basel, SwitzerlandDied: 16 Aug. 1705 in Basel, Switzerland關(guān)于伯努利大數(shù)定律的說明關(guān)于伯努利大數(shù)定律的說明: : 故而當(dāng)故而當(dāng) n 很大時(shí)很大時(shí), , 事件事件A A發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率 與與概率概率P(A)=p P(A)=p 有較大偏差有較大偏差 的可能性的可能性很小很小,

13、,它以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了頻率的穩(wěn)定性它以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了頻率的穩(wěn)定性. . 在實(shí)際應(yīng)用中在實(shí)際應(yīng)用中, , 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí), , 便可以用便可以用事件事件發(fā)生的頻率來代替事件的概率發(fā)生的頻率來代替事件的概率. . 伯努利大數(shù)定律提供了通過試驗(yàn)來確定事件概伯努利大數(shù)定律提供了通過試驗(yàn)來確定事件概率的方法率的方法. .（理論保障）（理論保障）nn|npn蒲豐投針問題中解法的蒲豐投針問題中解法的理論依據(jù)就是大數(shù)定律理論依據(jù)就是大數(shù)定律 當(dāng)投針次數(shù)當(dāng)投針次數(shù)n n很大時(shí)，用針與線相交的頻率很大時(shí)，用針與線相交的頻率m m/ /n n近近似針與線相交的概率似針與線相交的概率p p

14、，從而求得，從而求得的近似值的近似值. .針長針長L L線距線距a2Lnam另一形式：另一形式： 引入隨機(jī)變量引入隨機(jī)變量0,1,1,2,.iiAXiAi若在第 次試驗(yàn)中不發(fā)生若在第 次試驗(yàn)中發(fā)生伯努利大數(shù)定律伯努利大數(shù)定律- -形式二形式二: :12,nXXX因?yàn)槭窍嗷オ?dú)立的， (01),iXp且服從以為參數(shù)的分布12,nnXXX顯然顯然(),()(1),1,2,.iiE XpVar Xppi所以根據(jù)定理根據(jù)定理5.4.0有有1111lim()1.nniiniiPXE Xnn 大數(shù)定律一般形式大數(shù)定律一般形式： 若隨機(jī)變量序列若隨機(jī)變量序列Xn滿足：滿足：1111()lim1nniiiinX

15、E XnnP則稱則稱Xn 服從大數(shù)定律服從大數(shù)定律. 定理定理5.4.2Xn兩兩不相關(guān)，且兩兩不相關(guān)，且Xn方差存在，有共方差存在，有共同的上界同的上界c，則，則 Xn服從大數(shù)定律服從大數(shù)定律.證明用到切比雪夫不等式證明用到切比雪夫不等式.Pafnuty ChebyshevBorn: 16 May. 1821 in Okatovo, RussiaDied: 8 Dec. 1894 In St Petersburg, Russia1221,(),()1(1, 2,),.niinPiiXXXE XVar XiXn 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立且具有相同的分布,期望方差存在：則定理定理5.4.2特殊情形特殊情

16、形: 即在定理?xiàng)l件下即在定理?xiàng)l件下, n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均, 當(dāng)當(dāng)n無限增加時(shí)無限增加時(shí), 幾乎變成一個(gè)常數(shù)幾乎變成一個(gè)常數(shù). 切比曉夫大數(shù)定律表明，獨(dú)立同分布隨機(jī)切比曉夫大數(shù)定律表明，獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列變量序列 X Xn n ，如果方差存在，則，如果方差存在，則niiXn11與其數(shù)學(xué)期望與其數(shù)學(xué)期望11()niiE Xn 偏差很小的概率接近于偏差很小的概率接近于1.1. niiXn11取值接近于其數(shù)學(xué)期望的概率接取值接近于其數(shù)學(xué)期望的概率接近于近于1.1.即當(dāng)即當(dāng)n n充分大時(shí)，充分大時(shí)，差不多不再是差不多不再是隨機(jī)的了，隨機(jī)的了，切比曉夫大數(shù)定律給出了切比曉夫大數(shù)

17、定律給出了平均值穩(wěn)定性的科學(xué)描述平均值穩(wěn)定性的科學(xué)描述12,01211?nnXXXXnnPnnn設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立具有如下分布列：?jiǎn)柺欠穹拇髷?shù)律解解獨(dú)立顯然不相關(guān)獨(dú)立顯然不相關(guān), , 檢驗(yàn)是否具有數(shù)學(xué)期望？檢驗(yàn)是否具有數(shù)學(xué)期望？121()0 (1)0,nE Xnnnnn 例例5.4.15.4.1說明每一個(gè)隨機(jī)變量都有數(shù)學(xué)期望說明每一個(gè)隨機(jī)變量都有數(shù)學(xué)期望, ,檢驗(yàn)是否具有有限方差？檢驗(yàn)是否具有有限方差？2222112()(-)()0 (1)2;nE Xnnnnn22()() ()2.nnnVar XE XE X說明離散型隨機(jī)變量有有限方差說明離散型隨機(jī)變量有有限方差, ,故滿足切比雪夫定理的

18、條件故滿足切比雪夫定理的條件, ,服從大數(shù)律服從大數(shù)律. . 定理定理5.4.3若隨機(jī)變量序列若隨機(jī)變量序列Xn滿足：滿足：則則 Xn服從大數(shù)定律服從大數(shù)定律.211Var0niiXn(馬爾可夫條件馬爾可夫條件)證明用到切比雪夫不等式證明用到切比雪夫不等式.121133,111322?nnnXXXXnnP設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立具有如下分布列( =)：?jiǎn)朮 是否服從大數(shù)律解解檢驗(yàn)是否具有數(shù)學(xué)期望？檢驗(yàn)是否具有數(shù)學(xué)期望？113311()0,22nE Xnn 例例5.4.25.4.2檢驗(yàn)方差？檢驗(yàn)方差？11222233311()()(-)(),22nnVar XE Xnnn 2321332211211=

19、10.nniiiVarXin nnnnn 故滿足故滿足MarkovMarkov定理的條件定理的條件, ,服從大數(shù)律服從大數(shù)律. . 定理定理5.4.1若隨機(jī)變量序列若隨機(jī)變量序列Xn獨(dú)立同分布，且獨(dú)立同分布，且Xn的的數(shù)學(xué)期望存在為數(shù)學(xué)期望存在為a。則。則 Xn服從大數(shù)定律服從大數(shù)定律.11.nPiiXan 即Aleksandr Yakovlevich KhinchinBorn: 19 Jul. 1894 in Kondrovo, Kaluzhskaya guberniya, RussiaDied: 18 Nov. 1959 in Moscow, USSR引理引理5.4.1 （特征函數(shù)的連續(xù)性

20、定理）特征函數(shù)的連續(xù)性定理）( )( )( )F(x)( )( )nnXXnXXttF xttLnWXX 或者注：注：由于此定理表明了分布函數(shù)與特征函數(shù)的由于此定理表明了分布函數(shù)與特征函數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系有連續(xù)性一一對(duì)應(yīng)關(guān)系有連續(xù)性, ,因此該定理稱為因此該定理稱為特征函特征函數(shù)的連續(xù)性定理數(shù)的連續(xù)性定理補(bǔ)例補(bǔ)例: : 1(0,1),(0,1),1(1),(1),LnnLnnNXNXnExpXExpXn （1）設(shè)X則X；（2）設(shè)X則X。證明：證明： 用特征函數(shù)。用特征函數(shù)。欲證欲證: 11nnnkkPLXaanYY 只須證只須證： ( )( )niatYatte證明證明111nnknkkkXYX

21、nn記,( )nXt同分布 它們有相同的特征函數(shù)這個(gè)相同的特征函數(shù)記為(0)()kaE Xi( )(0)(0)( )1( )tto tiato t 1( )1( )nnYntttiaonnn,tR 有1lim( )lim 1( )niatYnnnttiaoenn(|)1limnnPYa 123,1,| 1,|( )0,| 1.?nnnXXXxxXf xx設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立有相同的分布:問X 是否服從大數(shù)律解解3| | 11|( )|2,|xx f x dxxdxx 例例故滿足辛欽大數(shù)律的條件故滿足辛欽大數(shù)律的條件, 服從大數(shù)律服從大數(shù)律.3| | 11()( )0,|nxE Xxf x dxx

22、dxx122221,()0,(),1,2,1lim1.niininiXXXE XVar XiPXn 設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布且證明對(duì)任意正數(shù)有解解12,nX XX因?yàn)槭窍嗷オ?dú)立同分布的，22212,nXXX所以也是相互獨(dú)立同分布的，例例222 ()() (),iiiE XVar XE X得由辛欽大數(shù)律知由辛欽大數(shù)律知2211,lim1.niniPXn對(duì)于任意正數(shù)有()( )baIf x dx 用蒙特卡洛法計(jì)算定積分 平均值法解解( , ),(),XU a b Yf X設(shè)則1( ()( )() ( ().baIE f Xf x dxIba E f Xbaba:具體做法如下(1)( , ).ia bn

23、x由計(jì)算機(jī)在上均勻產(chǎn)生 個(gè)隨機(jī)數(shù)(2)( ),1,2, .if xin計(jì)算11(3)()()niiIbaf xn例例5.4.3011cos( ):cos()0.niiIx dxxn用蒙特卡洛法計(jì)算定積分例(1) 伯努利大數(shù)定律是切比雪夫大數(shù)定律的特例伯努利大數(shù)定律是切比雪夫大數(shù)定律的特例.(2) 切比雪夫大數(shù)定律是馬爾可夫大數(shù)定律的特例切比雪夫大數(shù)定律是馬爾可夫大數(shù)定律的特例.(3) 伯努利大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特例伯努利大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特例. 討論討論獨(dú)立隨機(jī)變量部分和獨(dú)立隨機(jī)變量部分和的的極限分布極限分布, 本指出極限分布為本指出極限分布為正態(tài)分布正態(tài)分布.設(shè)設(shè) Xn 為獨(dú)立隨機(jī)

24、變量序列，記其部分為獨(dú)立隨機(jī)變量序列，記其部分和為和為1niinSX 例如，例如，對(duì)某物的長度進(jìn)行測(cè)量對(duì)某物的長度進(jìn)行測(cè)量, ,在測(cè)量時(shí)有許多在測(cè)量時(shí)有許多隨機(jī)因素影響測(cè)量的結(jié)果隨機(jī)因素影響測(cè)量的結(jié)果. .如溫度和濕度等因素對(duì)如溫度和濕度等因素對(duì)測(cè)量?jī)x器的影響測(cè)量?jī)x器的影響, ,使測(cè)量產(chǎn)生誤差使測(cè)量產(chǎn)生誤差X X1 1; ;測(cè)量者觀察時(shí)測(cè)量者觀察時(shí)視線所產(chǎn)生的誤差視線所產(chǎn)生的誤差X X2 2; ;測(cè)量者心理和生理上的變化產(chǎn)測(cè)量者心理和生理上的變化產(chǎn)生的測(cè)量誤差生的測(cè)量誤差X X3 3; ;顯然這些誤差是微小的、隨機(jī)的顯然這些誤差是微小的、隨機(jī)的, ,而且相互沒有影響而且相互沒有影響. .測(cè)量的

25、總誤差是上述各個(gè)因素測(cè)量的總誤差是上述各個(gè)因素產(chǎn)生的誤差之和產(chǎn)生的誤差之和, ,即即: :背景：測(cè)量誤差的分布背景：測(cè)量誤差的分布12nnSXXX 一般地一般地, ,在研究許多隨機(jī)因素產(chǎn)生的總影響時(shí)在研究許多隨機(jī)因素產(chǎn)生的總影響時(shí), ,很多可以歸結(jié)為研究相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的很多可以歸結(jié)為研究相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的分布問題分布問題, ,而通常這種和的項(xiàng)數(shù)都很大而通常這種和的項(xiàng)數(shù)都很大. .因此因此, ,需要需要構(gòu)造一個(gè)項(xiàng)數(shù)越來越多的隨機(jī)變量和的序列構(gòu)造一個(gè)項(xiàng)數(shù)越來越多的隨機(jī)變量和的序列: :1,1,2,.nniiSXn 我們關(guān)心的是當(dāng)我們關(guān)心的是當(dāng)n時(shí)時(shí), 上述和的極限分布上述和的極限分布

26、是什么是什么?在一定條件下在一定條件下, ,許多隨許多隨機(jī)變量和的機(jī)變量和的極限分布是正態(tài)分布極限分布是正態(tài)分布: : “若一個(gè)隨機(jī)變量若一個(gè)隨機(jī)變量X X可以看著許多微小而獨(dú)立的可以看著許多微小而獨(dú)立的隨機(jī)因素作用的總后果隨機(jī)因素作用的總后果, ,每一種因素的影響都很小每一種因素的影響都很小, ,都有不起壓倒一切的主導(dǎo)作用都有不起壓倒一切的主導(dǎo)作用, ,則則X X一般都可以認(rèn)為一般都可以認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布近似地服從正態(tài)分布. .” 自從高斯指出測(cè)量誤差自從高斯指出測(cè)量誤差服從正態(tài)分布之后，人們服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見中極為常見. .從演

27、示不難看到中心極限定理的客觀背景從演示不難看到中心極限定理的客觀背景:例例:20:20個(gè)個(gè)0-10-1分布的和的分布分布的和的分布X1 f1(x)X1 +X2f2(x)X1 +X2+X3 f3(x)幾個(gè)幾個(gè)(0,1)(0,1)上均勻分布的和的分布上均勻分布的和的分布0123xf1f2f3 由于無窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于由于無窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于，因此直，因此直接研究和的極限分布不方便接研究和的極限分布不方便,故先將其故先將其部分和標(biāo)準(zhǔn)部分和標(biāo)準(zhǔn)化化為為:111()()nniiiiniinXE XVarYX再來研究隨機(jī)變量序列再來研究隨機(jī)變量序列YYn n 的極限分布的極限分布. .定理定理

28、5.5.1 林德貝格林德貝格勒維中心極限定理勒維中心極限定理設(shè)設(shè) Xn 為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，數(shù)學(xué)期望為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，數(shù)學(xué)期望為為a, 方差為方差為 20，對(duì)，對(duì)任意實(shí)數(shù)任意實(shí)數(shù)x,有有221lim( )1.)2nniitxnnP YxXnaxdnet記Y證明證明2()0,()nnE XaVar Xa( )( )nnnYXaYtt設(shè)與的特征函數(shù)分別為與22( )(0)(0)(0)()2ttto t2(0)0,(0) 2 221( )1( )2tto t 2222lim( )lim 12nntYnntttoenn22( ) (12nnnYttttonnnlim( ),)nnPxxY

29、x lim( ),( )nnYxxFx ( ),( )nWYxxFx ,(0,1).LnYX XN ,.nn 當(dāng)隨機(jī)變量序列Y 的分布函數(shù)弱收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)1(0,1)niinXnNaYn12(,);niiN na nX11)(niiniiXdXnacnadnannnP cPdnacnann 例例5.5.1 假定生產(chǎn)線上組裝每件成品的時(shí)間服從均假定生產(chǎn)線上組裝每件成品的時(shí)間服從均值為值為10分鐘的指數(shù)分布，各件產(chǎn)品的組裝時(shí)間相互分鐘的指數(shù)分布，各件產(chǎn)品的組裝時(shí)間相互獨(dú)立。（獨(dú)立。（1）求組裝）求組裝100件成品需要件成品需要1520小時(shí)的概小時(shí)的概率；（率；（2）以）以95%的概率

30、在的概率在16小時(shí)之內(nèi)最多可以組小時(shí)之內(nèi)最多可以組裝多少件成品。裝多少件成品。解解: :設(shè)組裝第設(shè)組裝第 i 件成品的時(shí)間為件成品的時(shí)間為 Xi, 則則Xi 獨(dú)立同分布，獨(dú)立同分布， 且且 E(Xi)=10，Var(Xi) =100， 由由中心極限定理中心極限定理得，所求概率為：得，所求概率為：10011001(1)15 6020 601000900 10001200 1000100100100(2)( 1)0.8185.iiiiPXXP 11(2) 1616600.951096010960100.95(),100100100960101.64581.18.100niiniiPXXnnnnnn

31、nnnP 小時(shí)最多組裝n件,例例 設(shè)設(shè) X 為一次射擊中命中的環(huán)數(shù)，其分布列為為一次射擊中命中的環(huán)數(shù)，其分布列為求求100次射擊中命中環(huán)數(shù)在次射擊中命中環(huán)數(shù)在900環(huán)到環(huán)到930環(huán)之間的概率環(huán)之間的概率.XP10 9 8 7 6 0.8 0.1 0.05 0.02 0.03解解: 設(shè)設(shè) Xi 為第為第 i 次射擊命中的環(huán)數(shù)，則次射擊命中的環(huán)數(shù)，則Xi 獨(dú)立同分布，獨(dú)立同分布，且且 E(Xi) =9.62，Var(Xi) =0.82，故，故10010011(3.53)(6.85)100 9.62930 100 9.62900 100 9.62900930 =100 0.82100 0.82100

32、 0.82930 100 9.62900 100 9.62 .100 0.82100 0.82iiiiXPXP 0 99979。推論推論5.5.1 棣莫弗棣莫弗拉普拉斯中心極限定理拉普拉斯中心極限定理設(shè)設(shè)n 為服從二項(xiàng)分布為服從二項(xiàng)分布 B(n, p) 的隨機(jī)變量，的隨機(jī)變量，對(duì)任意對(duì)任意實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)x,x,有有)lim(lim( )nnnnnpnpqxP YPxx 是林德貝格是林德貝格勒維中心極限定理的特例勒維中心極限定理的特例.1( ).(1)(1)limlimnininnXnpnpPxPxxnppnpp證明證明由二項(xiàng)分布的背景知由二項(xiàng)分布的背景知n= X1+X2+Xn由于由于E(Xi)=p,

33、Var(Xi)=p(1-p) (i=1,2,n),由此得由此得 其中其中X1,X2,Xn是是n個(gè)相互獨(dú)立的服從個(gè)相互獨(dú)立的服從(0-1)分布分布( PXi=0=1-p, PXi=1=p ) 的隨機(jī)變量的隨機(jī)變量,則則下面的圖形表明下面的圖形表明: :正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的逼近正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的逼近. .Abraham de Moivre Born: 26 May. 1667 in Vitry (near Paris), FranceDied: 27 Nov. 1754 in London, EnglandPierre-Simon Laplace Born: 23 Mar. 1749 in Be

34、aumont-en-Auge, Normandy, France Died: 5 Mar. 1827 in Paris, France2112(kkkn knk knC p qP kk精確）121221nnknpnpknpnpqnpqnpqP kkPknpknpnpqnpq（正態(tài)近似,n大）例例5.5.2 治愈率問題。治愈率問題。（1）某藥品治愈率為）某藥品治愈率為0.8, 100個(gè)人有多于個(gè)人有多于75人治愈的概率多大？（人治愈的概率多大？（2）某藥品某藥品治愈率為治愈率為0.7, 100個(gè)人有多于個(gè)人有多于75人治愈的概率又多人治愈的概率又多大？大？解解: :由由中心極限定理中心極限定理得

35、，所求概率為：得，所求概率為：100表示表示100人中治愈數(shù)，人中治愈數(shù)，（1）100B(100,0.8)，則，則 E(100)=80，Var(100)=16.100100100151551(1.25)0.89944778075 80.1616PPP 1001001001(2)51511.090.137977707570.2121PPP 2(),(),iiiiE Xa Var X設(shè)設(shè) Xn 為獨(dú)立隨機(jī)變量序列，記為獨(dú)立隨機(jī)變量序列，記221111,(),()innnnniiiiiiiaVarBEXX11111()nniiiinniiinnniiinXaBXYaBXaB定理定理5.5.2 林德貝格中心極限定理林德貝格中心極限定理設(shè)設(shè)Xn 為獨(dú)立隨機(jī)變量序列，若為獨(dú)立隨機(jī)變量序列，若任對(duì)任對(duì) 0，有，有2211() dF( )0liminnx aBniniixaxB11()lim( )niiinnXaxBPx 林德貝格條件林德貝格條件則對(duì)任意實(shí)數(shù)則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,x,有有注注: :由林德貝爾格定理可以推出林德貝爾格由林德貝爾格定理可以推出林德貝爾格- -勒維定勒維定理理: