平面問題基本理論學(xué)習(xí)教案

1、平面平面(pngmin)問題基本理論問題基本理論第一頁，共25頁。因為板很薄，荷載不沿厚度變化，應(yīng)力是連續(xù)因為板很薄，荷載不沿厚度變化，應(yīng)力是連續(xù)分布的，所以可以認(rèn)為，在整個薄板：分布的，所以可以認(rèn)為，在整個薄板： z z=0 =0 zxzx=0 =0 zyzy=0=0 平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題(wnt)(wnt)有那些應(yīng)變分量和位移有那些應(yīng)變分量和位移分量？分量？薄板的應(yīng)力為薄板的應(yīng)力為： x x y y xyxy 且與且與z z無關(guān)，無關(guān)，為為x x、y y的函數(shù)的函數(shù), , 稱為平面應(yīng)力問題稱為平面應(yīng)力問題The remaining stress components The remai

2、ning stress components x x ， y y， xyxy，may be considered to be functions of xmay be considered to be functions of x、y y onlyonly，such a problem is called such a problem is called a plane a plane stress problem.stress problem. 第1頁/共25頁第二頁，共25頁。二、平面應(yīng)變問題二、平面應(yīng)變問題Plane StrianPlane Strian1 1、構(gòu)件的形狀：、構(gòu)件的形狀：

3、yzx（1 1）足夠長柱體，兩端光滑剛性約束足夠長柱體，兩端光滑剛性約束（2 2）無限長柱體，兩端自由無限長柱體，兩端自由Very long cylindrical or prismatial bodyVery long cylindrical or prismatial body2 2、荷載的性質(zhì)：、荷載的性質(zhì)：（1 1）平行于橫截面平行于橫截面（2 2）沿長度不變沿長度不變（任意橫截面上任意橫截面上的受力是相同的）的受力是相同的）All the forces being parallel to a cross section of the body and not varying alon

4、g the axial direction.All the forces being parallel to a cross section of the body and not varying along the axial direction.第2頁/共25頁第三頁，共25頁。稱為平面應(yīng)變稱為平面應(yīng)變(yngbin)(yngbin)問題問題結(jié)論結(jié)論(jil(jiln)n)：yzx平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題(wnt)(wnt)有那些有那些應(yīng)力分量？應(yīng)力分量？（1 1）應(yīng)力、應(yīng)變只是應(yīng)力、應(yīng)變只是x x、y y的函數(shù)的函數(shù)（）（）w=0w=0（ z z），），應(yīng)變應(yīng)變分量只有分量只有 x x

5、y y xyxyWith any cross section of the body as xy plane,the With any cross section of the body as xy plane,the components will be functions of xcomponents will be functions of x、y onlyy only，due to due to symmetry,the shearing stresses symmetry,the shearing stresses zxzx=0 ,=0 , zyzy=0,=0, and and w=

6、0w=0, , such a problem is called such a problem is called a plane strain problem.a plane strain problem. 第3頁/共25頁第四頁，共25頁。歸納：歸納：平面問題平面問題(wnt)(wnt)中，共有八個未中，共有八個未知量：知量： x x y y xy xy x x y yxy xy u uv v求解彈性力學(xué)平面問題求解彈性力學(xué)平面問題(wnt)(wnt)，就是，就是要根據(jù)已知條件（荷載，邊界條件）要根據(jù)已知條件（荷載，邊界條件）求未知的應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移求未知的應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移

7、分量。分量。第4頁/共25頁第五頁，共25頁。xyO取圖示微六面取圖示微六面體為隔離體，體為隔離體，厚度厚度 t=1t=1Isolate elementIsolate element2 2 平衡平衡(pnghng)(pnghng)微分方程（靜微分方程（靜力平衡力平衡(pnghng)(pnghng)條件）條件） y yx xy xdxxxxdxxxyxydyyyydyyyxyxcXYDifferential Equations of EquilibriumDifferential Equations of Equilibrium建立平衡方程建立平衡方程Formulate Equilibrium

8、EquationsFormulate Equilibrium Equations第5頁/共25頁第六頁，共25頁。 y yx xy xdxxxxdxxxyxydyyyydyyyxyxXYxyoXYc M MC C=0 =0 （1 1） xyxy= = yxyx X=0 X=0 （2 2）011111dydxXdxdxdyydydydxxyxyxyxxxx0Xyxyxx第6頁/共25頁第七頁，共25頁。 Y=0 Y=0 （3 3）0Yxyxyy0Xyxyxx0Yxyxyy（平面應(yīng)力（平面應(yīng)力問題與平面問題與平面應(yīng)變問題）應(yīng)變問題）The elasticity problem is statica

9、lly indeterminate.To solve for the unknow stresses,we have to consider the strains and displacements.The elasticity problem is statically indeterminate.To solve for the unknow stresses,we have to consider the strains and displacements.Differential Equations of Equilibrium are applicable both to plan

10、e stress problems and plane strain problems.Differential Equations of Equilibrium are applicable both to plane stress problems and plane strain problems.第7頁/共25頁第八頁，共25頁。3 3 幾何方程幾何方程 剛體剛體(gngt)(gngt)位移位移AB P取如圖所取如圖所示隔離體：示隔離體：PABxyoPA=dxPB=dydxxuudxxvvuvdyyuudyyvvP P、A A、B B各各點的位移如點的位移如圖所示圖所示Geometri

11、cal Equations. Rigid-body DisplacementGeometrical Equations. Rigid-body Displacement第8頁/共25頁第九頁，共25頁。 x x：PAPA的伸長量的伸長量 y y：PBPB的伸長量的伸長量xudxudxxuuxyvdyvdyyvvynormal strainnormal strainnormal strainnormal strain第9頁/共25頁第十頁，共25頁。xvdxvdxxvv xyxy或或 yxyx ：PAPA與與PBPB夾角的改變量：夾角的改變量： + + ABPuvdyyuudxxvvPABxyo

12、 yuxvyuxy第10頁/共25頁第十一頁，共25頁。幾何幾何(j h)(j h)方程方程Geometrical Geometrical Equations Equations ： 已知位移已知位移(wiy)(wiy)分量，就能求出應(yīng)變分量。分量，就能求出應(yīng)變分量。 xuxyvyxvyuxy（平面應(yīng)力（平面應(yīng)力問題與平面問題與平面應(yīng)變問題）應(yīng)變問題）Geometrical EquationsGeometrical Equations are applicable both to plane stress problems and plane strain problems.are appli

13、cable both to plane stress problems and plane strain problems.For a given set of displacement components u and v ,the strain components are defined by Geometrical Equations.For a given set of displacement components u and v ,the strain components are defined by Geometrical Equations.For a given set

14、of strain components,the displacement components u and v are not wholly determinate.For a given set of strain components,the displacement components u and v are not wholly determinate.第11頁/共25頁第十二頁，共25頁。已知應(yīng)變分量，能否已知應(yīng)變分量，能否(nn fu)(nn fu)求出位移分求出位移分量？量？ 剛體剛體(gngt)(gngt)位移（位移（ Rigid-body Rigid-body Displ

15、acementDisplacement）：）： 設(shè)應(yīng)變設(shè)應(yīng)變(yngbin)(yngbin)分量已知：分量已知：x=0 x=0 ，y=0 y=0 ，xy=0 xy=0 0 xux0yvyu=f1（y） v=f2（x） 第12頁/共25頁第十三頁，共25頁。0 xvyuxy0)()(21dxxdfdyydfdxxdfdyydf)()(21u=fu=f1 1（y y）=u=u0 0+ + y y v=fv=f2 2（x x）=v=v0 0- - x x （變形為零時的位移）（變形為零時的位移） These are the displacement components corresponding

16、to zero trains and cannot but be the rigid-body displacement. These are the displacement components corresponding to zero trains and cannot but be the rigid-body displacement. 第13頁/共25頁第十四頁，共25頁。稱為剛體位移稱為剛體位移(wiy)(the rigid-body (wiy)(the rigid-body displacement)displacement)：其中：其中若若 u u0 0=0=0 v v0

17、0=0=0 和位移為：和位移為：rxyvu2222彈性體中任意點彈性體中任意點P P（x x，y y）其位移為：其位移為：u=uu=u0 0+ + y y v=v v=v0 0- - x x Pxxyyr rou u0 0，v v0 0彈性體沿彈性體沿x x、y y軸方向的平移軸方向的平移 彈性體沿繞彈性體沿繞z z軸的轉(zhuǎn)動，為什么？軸的轉(zhuǎn)動，為什么？the rigid-body translationsthe rigid-body translationsthe rigid-body rotationthe rigid-body rotation第14頁/共25頁第十五頁，共25頁。和位移和

18、位移(wiy)(wiy)的方向：的方向：tgxyxytg結(jié)論結(jié)論：和位移的方向垂直于和位移的方向垂直于OPOP，沿切線方向，所沿切線方向，所以以 表示彈性體繞表示彈性體繞z軸軸的轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動Pxxyyr ru= yv= yo第15頁/共25頁第十六頁，共25頁。歸納歸納(gun)(gun)：彈性體在變形彈性體在變形(bin xng)(bin xng)為零時有剛體位移，為零時有剛體位移，所以當(dāng)物體發(fā)生一定的變形所以當(dāng)物體發(fā)生一定的變形(bin xng)(bin xng)時，時，由于約束條件不同，可能具有不同的剛體位由于約束條件不同，可能具有不同的剛體位移，即由變形移，即由變形(bin xng)(b

19、in xng)不能完全確定位移不能完全確定位移（已知（已知，不能完全確定不能完全確定u u，v v），須考慮），須考慮邊界條件。邊界條件?；蛘哒f，沒有約束或者說，沒有約束(yush)(yush)的彈性體存在任意的，的彈性體存在任意的，不確定的剛體位移。不確定的剛體位移。An elastic body can have any rigid-body displacements for zero strains.HenceAn elastic body can have any rigid-body displacements for zero strains.Hence，at a given s

20、tate of strain, the body may have different rigid-body displacements under different conditions of constraint,in order to determine the actual displacement of the body,there must be three proper conditions of constraint for the determination of the three constants .at a given state of strain, the bo

21、dy may have different rigid-body displacements under different conditions of constraint,in order to determine the actual displacement of the body,there must be three proper conditions of constraint for the determination of the three constants .第16頁/共25頁第十七頁，共25頁。4 4 物理方程物理方程（應(yīng)力、應(yīng)變之間的關(guān)系）（應(yīng)力、應(yīng)變之間的關(guān)系）z

22、yxxE1zxyyE1xyzzE1Physical EquationsPhysical EquationsThe relations between stresses and strainsThe relations between stresses and strains完全彈性、各向同性體，完全彈性、各向同性體，HOOKHOOK定理：定理：In an isotropic and perfectly elastic bodyIn an isotropic and perfectly elastic body，the relations the relations between stress

23、es and strains based on Hookebetween stresses and strains based on Hookes laws law：第17頁/共25頁第十八頁，共25頁。E E、G G、為常數(shù)為常數(shù)(three elastic (three elastic constants) constants) ，不，不隨坐標(biāo)、方向隨坐標(biāo)、方向(fngxing)(fngxing)而變而變化化xyxyG1xzxzG1yzyzG1)1(2EG其中：E is the modulus of elasticity or YoungE is the modulus of elasti

24、city or Youngs moduluss modulus， is the Poisson is the Poissons ratios ratio，G is the shear modulus or modulus of rigidity.G is the shear modulus or modulus of rigidity.第18頁/共25頁第十九頁，共25頁。在平面應(yīng)力問題中在平面應(yīng)力問題中 z z=0 =0 zxzx=0 =0 zyzy=0 =0 0 xz0yz而且而且)(yxzEIn a plane stress problemIn a plane stress proble

25、m物理方程物理方程 yxxE1xyyE1xyxyG1(Physical Equations)(Physical Equations)第19頁/共25頁第二十頁，共25頁。物理方程另一種形式：物理方程另一種形式： )(12yxxE)(12xyyExyxyG1第20頁/共25頁第二十一頁，共25頁。物理方程物理方程 yxxE112xyyE112xyxyG1在平面應(yīng)變問題中在平面應(yīng)變問題中 z z=0 =0 zxzx=0 =0 zyzy=0 =0 (In a plane strain problem)(In a plane strain problem)(Physical Equations)(Physical Equations)第21頁/共25頁第二十二頁，共25頁。將平面應(yīng)力問題物理方程中的將平面應(yīng)力問題物理方程中的E E/E E/（1-1- 2 2）；）； / /（1- 1- ）就得平面應(yīng)變問題的物理方程。就得平面應(yīng)變問題的物理方程。 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題兩者的平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題兩者的物理方程不同。物理方程不同。The Physical Equations of plane stress problems and plane strain problems are different.The