學(xué)而思2012年秋季素質(zhì)123班難題匯總(至第10講)

1、.;學(xué)而思2012年秋季素質(zhì)123班難題匯總開篇語學(xué)而思2012年秋季課程，在北京市JW大禁奧數(shù)與升學(xué)掛鉤的政策下，一如既往地如期開始了。無論大背景如何，數(shù)學(xué)思維方法的訓(xùn)練還是必要的，讓我們這些對數(shù)學(xué)有著濃厚興趣的家長，與孩子們一起繼續(xù)學(xué)習(xí)。知識靠積累，學(xué)習(xí)靠興趣，只有熱愛，才能學(xué)好，給孩子做引路人，讓孩子坦然前行。聲明：本文檔僅收錄各講有難度題目，并對題目進行解析。文檔未對各講內(nèi)容進行匯總和分析，各講內(nèi)容的總結(jié)和剖析可以參見學(xué)而思老師的相關(guān)文檔。如您對難題感興趣，可以參閱本文檔。第一講 循環(huán)小數(shù)與分數(shù)分數(shù)是一定可以化成小數(shù)的，小數(shù)不一定都可以化成分數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)不能化成分數(shù)。小數(shù)化分數(shù)的

2、目的：是為了計算，主要是為了乘除的計算。尤其循環(huán)小數(shù)的乘除，小數(shù)不化成分數(shù)，幾乎無法計算。分數(shù)化小數(shù)分數(shù)是一定可以化成小數(shù)的，分數(shù)可以化成如下3類小數(shù)：有限小數(shù)無限純循環(huán)小數(shù)無限混循環(huán)小數(shù)分數(shù)化小數(shù)，化成哪一類？判斷方法如下：先將分數(shù)化成最簡分數(shù)，再看分母：A、分母只有因子2或5有限小數(shù)B、分母沒有因子2和5無限純循環(huán)小數(shù)C、分母有因子2和5，還有其他因子無限混循環(huán)小數(shù)分數(shù)化小數(shù)的方法分數(shù)化小數(shù)的方法：除。相除后，要么得到有限小數(shù)，要么得到循環(huán)小數(shù)(找到循環(huán)節(jié))。特殊的地方是：如果分數(shù)的分母可以表示成都是數(shù)字9，就可以轉(zhuǎn)換成無限純循環(huán)小數(shù)；如果分數(shù)的分母可以表示成“左邊連續(xù)的數(shù)字9右邊連續(xù)的數(shù)

3、字0”，就可以轉(zhuǎn)換成無限混循環(huán)小數(shù)。這2種情況，是有計算方法的。例如：13/99=0.，113/990=0.1。小數(shù)化分數(shù)有限小數(shù)、無限純循環(huán)小數(shù)、無限混循環(huán)小數(shù)，可以化成分數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)不能化成分數(shù)。有限小數(shù)化分數(shù)a、分母：1加幾個0做分母(0的個數(shù)與小數(shù)的位數(shù)相同)b、分子：小數(shù)部分c、化為最簡無限純循環(huán)小數(shù)化分數(shù)a、分母：全是9，9的個數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同b、分子：循環(huán)節(jié)c、化為最簡無限混循環(huán)小數(shù)化分數(shù)a、分母：9和0，9的個數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，0的個數(shù)與不循環(huán)部分的位數(shù)相同b、分子：“第2個循環(huán)節(jié)以前的小數(shù)部分的數(shù)字組成的數(shù)”-“不循環(huán)部分的數(shù)字組成的數(shù)”c、化為最簡11、【例4

4、的補充】將99個分數(shù)、化成小數(shù)，問：其中混循環(huán)小數(shù)有多少個？【難度級別】【解題思路】先要搞清楚如何判斷：有限小數(shù)(分母只有2、5)、無限純循環(huán)小數(shù)(分母無2、5)、無限混循環(huán)小數(shù)(分母有2、5和其他)。分母有2的：50個，分母有5的：20個，既有2又有5的：10個，所以分母有2或5的共有：50+20-1060(個)。這60個包括：有限小數(shù)、無限混循環(huán)小數(shù)。有限小數(shù)：只有2的：2、4、8、16、32、64共6個，只有5的：5、25共2個，既有2又有5的：10、20、40、50、80、100共6個，合計：14個。所以無限混循環(huán)小數(shù)有：601446(個)?！敬鸢浮?6。12、【例5的第2問】將循環(huán)小

5、數(shù)0.2與0.7967相乘，取近似值，要求保留一百位小數(shù)，那么該近似值的最后一位小數(shù)是多少？【難度級別】【解題思路】先化成分數(shù)，相乘，分子分母約分，再化成小數(shù)。0.20.7967=0.0485。004856六個數(shù)字循環(huán)，1006164，第100位是8，后面的5四舍五入進1，進位后第100位(近似值的最后一位)是9?！敬鸢浮?。13、【例6的補充】真分數(shù)化成小數(shù)后，從小數(shù)點后第一位數(shù)字起連續(xù)若干個數(shù)字之和為1992，求的值?！倦y度級別】【解題思路】化成小數(shù)很神奇，都是有142857這六個數(shù)字組成，并循環(huán)的，而且六個數(shù)字從左到右的相對順序位置是不變的。0.4285，0.8571，0.2857，0.

6、7142，0.1428，0.5714。六個數(shù)字的數(shù)字和：1+4+2+8+5+727。1992277321，27216，最后一個不完整的周期中的數(shù)字和是21，說明后面缺6，觀察以上6個數(shù)，的后面的4+26，所以6。和為1992的最后一個數(shù)字是第673+4442(位)?！敬鸢浮?。14、【例6】已知真分數(shù)化成小數(shù)后，從小數(shù)點后第一位數(shù)字起連續(xù)若干個數(shù)字之和為1999，求的值?！倦y度級別】【解題思路】方法一為本人提供，方法二是老師提供的。方法一，化成小數(shù)，循環(huán)節(jié)都是6位。0.7692，0.3076，0.0769，0.9230，0.6923，0.2307，0.5384，0.8461，0.6153，0.

7、3846，0.1538，0.4615。根據(jù)組成循環(huán)節(jié)的6個數(shù)字是否相同，找規(guī)律：1、3、4、9、10、12相同，2、5、6、7、8、11相同。數(shù)字和：0+7+6+9+2+327；數(shù)字和：1+5+3+8+4+627。199927741，最后一個不完整的周期中的數(shù)字和是1，觀察以上12個數(shù)，在一個周期內(nèi)前幾位的數(shù)字和為1的只有0.153846，即：，2。方法二，通過代數(shù)方法證明數(shù)字和為27。=eq xto(ABCDEF)=77999，999|eq xto(ABCDEF)，999|(eq xto(ABC)+eq xto(DEF)，eq xto(ABC)+eq xto(DEF)=999（等于999的2

8、倍不可能）。由eq xto(ABC)+eq xto(DEF)=999得到：C+F=9，B+E=9，A+D=9，并且都沒有進位，所以：A+B+C+D+E+F=93=27。199927741，最后一個不完整的周期中的數(shù)字和是1。當=1時，A=0；當=2時，A=1；當2時，A1。真分數(shù)為，=2?！敬鸢浮?。15、【例8】我們把由數(shù)字0和7組成的小數(shù)叫做“特殊數(shù)”，例如7.0、77.007都是“特殊數(shù)”。如果我們將1寫成若干個特殊數(shù)的和，最少要寫成多少個？【難度級別】【解題思路】將7除以7變成1。若干個特殊數(shù)的和寫成1，說明這樣的特殊數(shù)都是小于1的。假設(shè)：a1+a2+an1，則 (a1+a2+an)/

9、70.4285。除以7后，每個數(shù)位上要么是0要么是1，4285中的8至少要有8個1相加才可以得到，所以1最少要寫成8個特殊數(shù)的和。構(gòu)造如下：十分位百分位千分位萬分位十萬分位百萬分位(1)111111(2)11111(3)1111(4)1111(5)111(6)11(7)11(8)1求和142857a10.7777，a20.7777，a30.7077，a40.7077，a50.0077，a60.0070，a70.0070，a80.0070?！敬鸢浮?。16、【學(xué)案3】和化成循環(huán)小數(shù)后第100位上的數(shù)字之和是_?！倦y度級別】【解題思路】用到：20097287，20027286，10.。，+10.。

10、每一個小數(shù)位都是數(shù)字9。證明一下10.：A0.，10A9.，10A-A9.-0.，9A9，A1?！敬鸢浮?。17、【學(xué)案4】圖中圓周上的10個數(shù)，按順時針次序可以組成許多整數(shù)部分是一位的循環(huán)小數(shù)(10個數(shù)字恰好各用一次)，例如：1.8929592。問：在所有這種數(shù)中最大的是幾？【難度級別】【解題思路】最大肯定整數(shù)部分是9，9.29.1，看2個9.2的。9.2915929189.291892915，后者大。小數(shù)部分291892915是不變的了，5肯定是循環(huán)節(jié)的最后一位，5后面顯然以9開始最大，9291，以92為循環(huán)節(jié)的開始，循環(huán)節(jié)為92915。最大數(shù)為：9.2918291?！敬鸢浮?.29182

11、91。18、【作業(yè)6】給小數(shù)0.7082169453添上表示循環(huán)節(jié)的兩個點，使其變成循環(huán)小數(shù)。已知小數(shù)點后第100位上的數(shù)字是5，求這個循環(huán)小數(shù)?！倦y度級別】【解題思路】3是循環(huán)節(jié)的末位。1001090。循環(huán)節(jié)有10個數(shù)字，7開始3結(jié)束，901090，第100位為3；循環(huán)節(jié)有9個數(shù)字，0開始3結(jié)束，909100，第100位為3；循環(huán)節(jié)有8個數(shù)字，8開始3結(jié)束，908112，第100位為2；循環(huán)節(jié)有7個數(shù)字，2開始3結(jié)束，907126，第100位為5；循環(huán)節(jié)有6個數(shù)字，1開始3結(jié)束，906150，第100位為3；循環(huán)節(jié)有5個數(shù)字，6開始3結(jié)束，905180，第100位為3；循環(huán)節(jié)有4個數(shù)字，9開

12、始3結(jié)束，904222，第100位為4；循環(huán)節(jié)有3個數(shù)字，4開始3結(jié)束，903300，第100位為3；循環(huán)節(jié)有2個數(shù)字，5開始3結(jié)束，902450，第100位為3。所以，這個循環(huán)小數(shù)是：0.70816945?！敬鸢浮?.70816945。19、【作業(yè)7】純循環(huán)小數(shù)0.b寫成最簡分數(shù)時，分子與分母之和是58，請你寫出這個循環(huán)小數(shù)?！倦y度級別】【解題思路】0.b；99933371。大家還記得約數(shù)個數(shù)定理嗎？(3+1)(1+1)8。999小于58的約數(shù)有5個：1、3、9、27、37；其他3個約數(shù)大于58（337、937、2737）。分子分母約分后，剩余的也是約數(shù)，最簡分數(shù)分母只能是37。因為如果分母

13、是：1、3、9、27，則58減去分母后差比分母大（差為分子），與題目給的純小數(shù)矛盾。分子為：583721。這個循環(huán)小數(shù)為：?！敬鸢浮?.6。第二講 因數(shù)與倍數(shù)（一）最大公因數(shù)短除法：出現(xiàn)互質(zhì)就停（有就停、不是都互質(zhì)），乘一邊；分解質(zhì)因數(shù)：你有我也有（公共質(zhì)因子、取最低次）；輾轉(zhuǎn)相除法：不斷“除數(shù)余數(shù)”，除到余0看除數(shù)。最小公倍數(shù)短除法：兩兩互質(zhì)才停，乘半圈；分解質(zhì)因數(shù)：大家有才是真的有（所有質(zhì)因子、全取最高次）。分數(shù)的最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)的求法分數(shù)的求法：子同母反。即：求最大公因數(shù)，分子的最大公因數(shù)分母的最小公倍數(shù)；求最小公倍數(shù)，分子的最小公倍數(shù)分母的最大公因數(shù)。因數(shù)的找法因數(shù)總是成對出現(xiàn)的

14、，一個自然數(shù)的每一對因數(shù)之積都等于這個自然數(shù)本身，如：60160230320415512610。21、【例7】有甲、乙、丙三個人在操場跑道上步行，甲每分鐘走80米，乙每分鐘走120米，丙每分鐘走70米。已知操場跑道周長為400米，如果三個人同時同向從同一地點出發(fā)，問幾分鐘后，三個人首次同時回到出發(fā)點？【難度級別】【解題思路】提供兩種方法。方法一，追及時間+最小公倍數(shù)。乙追上甲一次需要的時間：400(120-80)=10(分鐘)；乙追上丙一次需要的時間：400(120-70)=8(分鐘)；10,8=40，40為最小公倍數(shù)，說明乙40分鐘可以同時追上甲和丙?？纯醋飞系牡攸c是否是出發(fā)點？如果不是再看

15、80分鐘。40120480012400，是周長400米的整數(shù)倍，地點是在出發(fā)點。方法二，走一圈時間+分數(shù)的最小公倍數(shù)。每人走一圈需要的時間：5，。,40。【答案】40分鐘。22、【例3】現(xiàn)有三個自然數(shù)，它們的和是1111，這樣的三個自然數(shù)的公因數(shù)中，最大的可以是多少？【難度級別】【解題思路】設(shè)公因數(shù)為x，設(shè)三個自然數(shù)為ax、bx、cx，則有：ax+bx+cx=1111。(a+b+c)x=1111=11101，x最大值為101。構(gòu)造：a+b+c=11,a=2,b=3,c=6,三個自然數(shù)：202、303、606?！敬鸢浮?01。23、【例1】如果你寫出12的所有因數(shù)，1和12除外，你會發(fā)現(xiàn)最大的因

16、數(shù)是最小的3倍?，F(xiàn)有一個整數(shù)n，除掉它的因數(shù)1和n外，剩余的因數(shù)中，最大因數(shù)是最小因數(shù)的15倍，那么滿足條件的整數(shù)n有哪些？【難度級別】【解題思路】設(shè)除1和n外剩余因數(shù)中最小為x，則最大為15x。因數(shù)成對出現(xiàn)，n1n，nx15x35x2。n的因數(shù)中有3，所以1x3(因為x是除1以外的最小因數(shù))。x2，15x30，n23060；x3，15x45，n345135。當然此題也可以嘗試，嘗試2、3、5，嘗試到5時就不可以了。【答案】60、135。24、【例8】甲乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是90，乙丙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是105，甲丙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是126，那么甲數(shù)是多少？【難度級別】【解題思路】標準分解質(zhì)因數(shù)。

17、甲,乙902325；看出，丙獨有7；乙,丙105357；看出，甲獨有2；甲,丙1262327；看出，乙獨有5；因為乙,丙只有1個3，所以甲有2個3，甲23218。乙和丙有1個3，所以：乙為5或53，丙為7或73，可以有3種組合：、（不能是因為這個組合沒有3）?！敬鸢浮?8。25、【例4】N為自然數(shù)，且N+1、N+2、N+9與690都有大于1的公因數(shù)。N的最小值為?！倦y度級別】【解題思路】對690分解質(zhì)因數(shù)，69023523。方法一，理論求解。9個連續(xù)的自然數(shù)有兩種可能的情況：5奇4偶、4奇5偶。5奇4偶4個偶數(shù)都有公因數(shù)2。5個奇數(shù)：最多有2個3的倍數(shù)、最多有1個5的倍數(shù)、最多有1個23的倍數(shù)

18、，那么另外1個奇數(shù)與690無公因數(shù)。此種情況，舍棄。4奇5偶5個偶數(shù)都有公因數(shù)2，N+1為偶數(shù)。N+2、N+4、N+6、N+8為奇數(shù)。N+2與N+8相差6，3的倍數(shù)有2個就是N+2和N+8。N+4與N+6一個是5的倍數(shù)一個是23的倍數(shù)，相鄰奇數(shù)1個是5的倍數(shù)1個是23的倍數(shù)，最小的是23和25，N+423，N19。驗證這4個奇數(shù)：21、23、25、27，21和27是3個倍數(shù)、25是5的倍數(shù)、23是23的倍數(shù)，滿足題意。方法2，估算。因為69023523，所以猜想這9個連續(xù)的自然數(shù)必然在23附近，比23小的距離23最近的質(zhì)數(shù)是19，比23大的距離23最近的質(zhì)數(shù)是29，在19和29之間恰好有202

19、8九個自然數(shù)，而這9個自然數(shù)滿足題意：5個偶數(shù)與690有公因數(shù)2，21、27與690有公因數(shù)3，25與690有公因數(shù)5，23與690有公因數(shù)23。【答案】19。26、【學(xué)案2】用16這六個數(shù)字可以組成720個沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，求這些數(shù)的最大公因數(shù)?！倦y度級別】【解題思路】1+2+3+4+5+6=21，21是3的倍數(shù)，所以這些數(shù)都能被3整除。因此，最大公因數(shù)必須是3的倍數(shù)，設(shè)為3k。而在這些數(shù)中，差最小的是9，最大公因數(shù)3k必須是這個差9的約數(shù)，所以最大公因數(shù)只能是3。因為：如果是6，這些數(shù)有奇數(shù)不是6的倍數(shù)；如果是9，這些數(shù)的數(shù)字和21不是9的倍數(shù)這些數(shù)不能被9整除?！敬鸢浮?。27、【學(xué)

20、案4】鼴鼠和老鼠分別從長157米的小路兩端A、B開始向另一端挖洞。老鼠對鼴鼠說：“你挖完后，我再挖?！边@樣一來，由于老鼠原來要挖的一些洞恰好也是鼴鼠要挖的洞，所以老鼠可以少挖_個洞。（鼴鼠每隔3米挖1個洞，老鼠每隔5米挖1個洞）【難度級別】【解題思路】從A往B看，鼴鼠3米3米往前挖，老鼠：1575312，老鼠與A距離2米時是第1個洞。第1次重疊的洞是：2+5+512米，1234，也就是老鼠挖的第3個洞與鼴鼠挖的第5個洞重疊（從A往B看）。3,515，15712145，14515910，又重疊了9個洞。9+110?！敬鸢浮?0。28、【作業(yè)2】用19這九個數(shù)字可以組成362880個沒有重復(fù)數(shù)字的

21、九位數(shù)，求這些數(shù)的最大公因數(shù)?！倦y度級別】【解題思路】1+2+9=45，45是9的倍數(shù)，所以這些數(shù)都能被9整除。因此，最大公因數(shù)必須是9的倍數(shù)。而在這些數(shù)中，差最小的是9，最大公因數(shù)必須是這個差9的約數(shù)，所以最大公因數(shù)就是9?！敬鸢浮?。29、【作業(yè)8】七個連續(xù)自然數(shù)之和既是5的倍數(shù)，也是9的倍數(shù)，求七個數(shù)中最大數(shù)的最小值?！倦y度級別】【解題思路】5945，和為：45k(k1)。中間數(shù)：，因為45和7除了1以外沒有公約數(shù)，所以k必須是7的倍數(shù)，k的最小值為1，此時，中間數(shù)為：45，七個數(shù)之和為：457315，最大數(shù)為45+348?！敬鸢浮?8。2A、【作業(yè)答案】(1)40，8、6、5 (2)9

22、 (3)91(4)517 (5)10 (6)7 (7)24 (8)48第三講 三角形中的模型（一）鳥頭定理(鳥頭模型)褲衩定理平行線分線段成比例若DEBC，則，。本講有兩道題目采用褲衩定理，其余大多采用鳥頭定理，使用鳥頭定理時主要在于找到相同角或者互補角，鳥頭定理是本講的重點。本講題目難度不大，孩子認真聽講都可以搞懂。例7、例8、學(xué)案4采用“平行線分線段成比例”，這個內(nèi)容是初中內(nèi)容，超出孩子的能力范疇，為選講內(nèi)容。31、【例7】已知三角形ABC的面積為a，AF:FC2:1，E是BD的中點，且EFBC，交CD于G，求陰影部分的面積?！倦y度級別】【解題思路】先應(yīng)用2次“平行線分線段成比例”。E是B

23、D的中點，EGBC，；AF:FC2:1，EFBC，?？梢缘玫剑?，。之后有2種方法：一是比例，二是鳥頭定理（共角模型）。方法一：比例連結(jié)AG、BG，將ABC分成了左邊3個、右邊2個、下邊1個共6個小。設(shè)陰影面積(SGFC)為1份。EGB與GFC，EG:GF3:1，等高，SEGB：SGFC3:1，SEGB3份。,DEEB，,ADDEEB，等底同高，SDGE3份，SAGD3份，也就是左邊3個的面積分別都是3份。AF2FC，背靠背同高，SAGF：SGFC2:1，SAGF2份。，等高，SEGB：SGBC1：2，SGBC6份。SABC3份+3份+3份+2份+1份+6份18份a，所以：1份。方法二：鳥頭定理

24、（共角模型）再應(yīng)用2次鳥頭定理（共角模型）。，；，；?！敬鸢浮?。32、【例8】梯形ABCD的面積為12，AB2CD，E為AC的中點，BE的延長線與AD交于F，四邊形CDFE的面積是_。【難度級別】【解題思路】應(yīng)用“平行線分線段成比例”、鳥頭定理。延長BF、CD相交于G。由于E為AC的中點，CGAB2CD，GDDC。AB2CD，等高，2：1，124。GDAB，DF：FAGD：AB1：2，所以，AF：FD2：1，AF：AD2：3。AEEC，AE：AC1：2。鳥頭定理，。4。當然，此題可以不這樣做輔助線，而是過E點做AB的平行線交AD于H：通過HE與DC、AB的關(guān)系，得到FH與HA、FH與HD的比例

25、關(guān)系，進而得到AF與FD的關(guān)系，其余解法與上面的鳥頭定理相同?！敬鸢浮俊?3、【學(xué)案4】邊長為8厘米和12厘米的兩個正方形并放在一起，那么圖中陰影三角形的面積是多少平分厘米？【難度級別】【解題思路】應(yīng)用“平行線分線段成比例”。CHEF，HGEF12。，h1+h212，h112。HGh116.2(平方厘米)。當然，不用h1、h2，連結(jié)HE，根據(jù)鳥頭定理可以求出GHI和HIE的面積比例關(guān)系，而GHE的面積是可求的，也可以求出來?！敬鸢浮?6.2平方厘米。34、【作業(yè)7】如圖，ABC中，DE、FG、BC互相平行，ADDFFB，則_?！倦y度級別】【解題思路】應(yīng)用“平行線分線段成比例”。11：22：33

26、1：4：9。1：(4-1)：(9-4)1：3：5?！敬鸢浮?：3：5。35、【作業(yè)8】如圖，長方形ABCD中，EF16，F(xiàn)G9，求AG的長?！倦y度級別】【解題思路】應(yīng)用“平行線分線段成比例”。DAEB，；DFAB，；所以：，259，AG5315?！敬鸢浮?5。36、【作業(yè)答案】(1)30 (2)4 (3)140 (4)59 (5)65 (6)第四講 解分數(shù)系數(shù)方程解分數(shù)系數(shù)方程，關(guān)鍵是去分母，注意如下幾點：找分母的最小公倍數(shù)先去括號常數(shù)也要乘去分母后加括號列分數(shù)方程，看關(guān)鍵字“的”，尋找單位“1”。列方程的應(yīng)用題，注意有5點：解、設(shè)、列、求、答。本講沒有難題。41、【學(xué)案4】小剛給王奶奶運蜂窩

27、煤，第一次運了全部的，第二次運了50塊，這時已運來的恰好是沒運來的。問還有多少塊蜂窩煤沒有運來？（方程）【難度級別】【解題思路】設(shè)還有7y塊蜂窩煤沒有運來，則運來的為5y塊，全部為12y。12y+50=5y，解得：y=100。還有700塊蜂窩煤沒有運來。當然設(shè)沒運來的為y也可以求解，就是式子稍微復(fù)雜一點而已(y+50=y)?！敬鸢浮?00。42、【越玩越聰明】在古埃及，分子為1的真分數(shù)稱為埃及分數(shù)，請從、這99個埃及分數(shù)中挑出10個，使它們的和為1?！倦y度級別】【解題思路】利用的拆分，=-。因為+=1-把右邊的移到左邊即可：+=1【答案】見上。43、【補充1】形狀完全相同的12個小球，有1個壞

28、球（質(zhì)量與其他11個不同），使用天平稱3次能否找出這個壞球？【難度級別】【解題思路】操作類題目，邏輯推理。分三組，每組4個球，拿兩組比較，兩組平衡的話就簡單了（壞球在剩下的那組中，1組的4個球2次可以搞定：2個球比較，不等，拿1個和8個標準球之一比，等，拿另外2個中1個和8個標準球之一比）。兩組不平衡的話，不妨設(shè)1234比5678輕，做如下討論：拿4567和89(10)(11)比較（操作策略：留下48不動，拿走123，把567調(diào)換到左邊，右邊增加9(10)(11)，變成4567和89(10)(11)。若4567輕，則說明4輕或者8重，那比較1和4，平衡的話不同的是8，不平衡的話不同的是8；若4

29、567重，則說明567重，那比較5和6，平衡的話不同的就是7，不平衡的話不同的是56中重的那個。若平衡，則說明123輕，那比較1和2，平衡的話不同的就是3，不平衡的話不同的是12中輕的那個。另外一個方法，思路相同（第二次比較的是個不是個）：分三組，每組4個球，拿兩組比較，兩組平衡的話就簡單了（壞球在剩下的那組中，1組的4個球2次可以搞定：2個球比較，不等，拿1個和8個標準球之一比，等，拿另外2個中1個和8個標準球之一比）。兩組不平衡的話，不妨設(shè)1234比5678輕，做如下討論：拿125和369比較（操作策略：拿走478，留下123和56，右邊補個9，再3和5左右調(diào)換，變成125和369）。若1

30、25輕，則說明12輕或者6重，那比較12，平衡的話不同的是6，不平衡的話不同的是12中輕的那個；若125重，則說明5重或者3輕，那比較5和9即可，5重就是5，平衡不同的就是3；若平衡，則說明4輕或者78重，比較78，平衡的話不同的就是4，不平衡的話不同的是78中重的那個?！敬鸢浮磕?，詳見上面分析。44、【作業(yè)答案】(1)第1題 3(5-3x)=2(3-5x)，此題出的不好，x=-9(1)第2題 (2x+1)-2(x+1)=8，此題出的不好，x無解(2) (3)0 (4)13 (5)10 (6)1 (7)36 (8)200第五講 電梯與發(fā)車電梯問題，關(guān)鍵詞：S可見(可見的階數(shù))，S可見指的是樓層

31、高度。同向：S可見S人+S梯；反向：S可見S人S梯。SVt。發(fā)車問題，關(guān)鍵詞：S間(車間距)，S間指的是車與車之間的距離，人車反向：S間(V車+V人)t相；人車同向：S間(V車V人)t追。S間V車t發(fā)。本講的扶梯問題和發(fā)車問題都是有固定解題思路的，最關(guān)鍵的是：列方程。電梯問題的解題思路：題目一般都是求S可見的，即求扶梯可見的階數(shù)。第一：根據(jù)“同向、反向”、“2次同向”、“2次反向”、“2人”等等條件總是可以列出2個S可見的等式，S可見是相等的，這樣就構(gòu)成了一個方程。第二，兩個S可見中的時間t是不等的，無論S人還是S梯，如果S或者t沒有給出，那么總是可以根據(jù)V人或V梯是不變的得到2個時間t的關(guān)系

32、。一般來說，根據(jù)題目給的條件，是可以列出如下方程的：S人V人t、S梯V梯t。如果采用第一步不能直接求出答案，再采用第二步的求t關(guān)系的方程就一定可以求出答案的。發(fā)車問題的解題思路：題目一般都是求t發(fā)的，即發(fā)車的時間間隔。第一：根據(jù)“人車同向”、“人車反向”、“2人1車”、“2車1人”等等條件總是可以列出2個S間的等式， S間是相等的，這樣就構(gòu)成了一個方程。第二，如果第一步無法求出，一般會給出第3個條件，例如：“車、車相遇”、“車追車”、“兩個S間存在比例關(guān)系”(流水行程中的兩個S間不等)等等，根據(jù)這個條件就可以再列出一個方程，或者找到第一步中的2個等式之間存在的比例關(guān)系。一般來說，采用第一步，根

33、據(jù)方程可以求出V車和V人的關(guān)系。如果采用第一步不能求出V車和V人的關(guān)系，再采用第二步其他條件列出另外的方程來就一定可以求出V車和V人的關(guān)系。最后一步，根據(jù)S間V車t發(fā)就可以求出t發(fā)，或者求出題目要求解的其他問題。以上解題思路，請認真領(lǐng)會，從下面的解法中看得出來，本講所有題目都是這么做出來的。51、【例5】從電車總站每隔一定時間開出一輛電車。甲與乙兩人在一條街上沿著同一方向行走。甲每隔10分鐘遇上一輛迎面開來的電車；乙每隔15分鐘遇上一輛迎面開來的電車。且甲的速度是乙的速度的3倍，那么電車總站每隔多少分鐘開出一輛電車？【難度級別】【解題思路】發(fā)車問題，2人1車，S間相同，2人速度不同，需要第3個

34、條件，“甲的速度是乙的速度的3倍”就是我上面解題思路中的第3個條件。以V乙和V車，列出2個方程：乙與車：S間15(V車+V人)甲與車：S間10(V車+3V人)15(V車+V人)10(V車+3V人)，解得：V車3V人S間15(V車+V人)15(3V人+V人)60V人根據(jù)S間V車t發(fā)，t發(fā)S間V車60V人3V人20。當然最后一步也能簡便一下：S間60V人20V車V車t發(fā)，t發(fā)20。【答案】20。52、【例7】小峰騎自行車去小寶家聚會，在途中小峰注意到，每隔9分鐘就有一輛公交車從后方超過自己，半路上自行車發(fā)生故障，小峰只好棄車打的前往小寶家，這時小峰又發(fā)現(xiàn)出租車也是每隔9分鐘超越一輛公交車。已知出租

35、車的速度是小峰騎車速度的5倍，如果公交車的發(fā)車間隔和行駛速度固定的話，那么公交車的發(fā)車間隔為多少分鐘？【難度級別】【解題思路】發(fā)車問題，1人1車（自行車出租車只是兩種不同的形式，速度不同），追及，S間相同，2種情況人的速度不同，需要第3個條件，“出租車的速度是小峰騎車速度的5倍”就是第3個條件。以V自和V車，列出2個方程：車(公交車)追人(自行車)：S間9(V車V自)人(出租車)追車(公交車)：S間9(5V自V車)9(V車V自)9(5V自V車)，解得：V車3V自S間9(V車V自)9(3V自V自)18V自根據(jù)S間V車t發(fā)，t發(fā)S間V車18V自3V自6。當然最后一步也能簡便一下：S間18V自6V車

36、V車t發(fā)，t發(fā)6?！敬鸢浮?。53、【例6】甲、乙兩地是電車始發(fā)站，每隔一定時間兩地同時各發(fā)出一輛電車，小張和小王分別騎車從甲、乙兩地廚房，相向而行。每輛電車都隔4分鐘遇到迎面開來的一輛電車，小張每隔5分鐘遇到迎面開來的一輛電車；小王每隔6分鐘遇到迎面開來的一輛電車。已知電車行駛?cè)淌?6分鐘，那么小張與小王在途中相遇時他們走了_分鐘?！倦y度級別】【解題思路】發(fā)車問題，2人2車，S間相同，2人速度不同，需要第3個條件，“每輛電車都隔4分鐘遇到迎面開來的一輛電車”就是第3個條件。小張與車相遇：S間5(V車+V張)小王與車相遇：S間6(V車+3V王)這2個等式，無法求出V之間的關(guān)系，需要根據(jù)第3個

37、條件“車車相遇”再列出一個方程：S間4(V車+V車)8V車根據(jù)這3個方程，可以求出：V張V車，V王V車最后一步：根據(jù)S全程V和t張王相遇，求得：t張王相遇S全程(V張+V王)56V車(V車+V車)56(+)60。【答案】60。54、【例8】某人乘坐觀光游船沿順流方向從A港到B港。發(fā)現(xiàn)每隔40分鐘就有一艘貨船從后面追上游船，每隔20分鐘就有一艘貨船迎面開過。已知A、B兩港間貨船的發(fā)船間隔時間相同，且在靜水中的速度相同，均為水速的7倍，那么貨船發(fā)出的時間間隔是_分鐘?！倦y度級別】【解題思路】發(fā)車問題，加上流水行船問題，1人2車，S間不相同（這是本題特殊的地方），需要第3個條件來求解2個S間的關(guān)系，

38、流水行船中的順水速度逆水速度恰好就是第3個條件。V貨7V水，以V水和V游，列出2個方程：貨船與游船追及：S間140(7V水-V游)貨船與游船相遇：S間220(7V水+V游)通過流水行船中的貨船的順水速度、逆水速度來求解貨船的這2個S間的關(guān)系：V順V貨+V水7V水+V水8V水，S間1V順t發(fā)8V水t發(fā)V逆V貨-V水7V水-V水6V水，S間2V逆t發(fā)6V水t發(fā)進而就可以根據(jù)前2個方程求出V游與V水的關(guān)系：，求得：V游V水最后一步：S間140(7V水-V游)40(7V水-V水)288V水t發(fā)S間1(8V水)(288V水)(8V水)28【答案】28。55、【學(xué)案4】A城每隔30分鐘有直達班車開往B鎮(zhèn)，

39、速度為每小時60千米；小王騎車從A城去B鎮(zhèn)，速度為每小時20千米。當小王出發(fā)30分鐘時，正好有一趟班車（這是第一趟）追上并超過了他；當小王到達B鎮(zhèn)時，第三趟班車恰好與他同時到達。A、B間路程為_千米?！倦y度級別】【解題思路】此題不采用“發(fā)車間隔”的求解思路，不屬于本講解題思路范疇，是一道純行程問題，分析一下，列方程就可以求解。車速60，人速20，人用30分鐘，車用10分鐘，說明第一趟車是10分鐘前發(fā)出的，那么第二趟車20分鐘后發(fā)出，第三趟車50分鐘后發(fā)出，50分鐘小時。人30分鐘已經(jīng)走了：0.52010(千米)，設(shè)再過t小時到達B鎮(zhèn)，則第三趟車到達B鎮(zhèn)共用時(t-)小時，列方程：20t+106

40、0(t-)解得：t1.5A、B間路程：20t+10201.5+1040(千米)?！敬鸢浮?0。56、【例1】小明站著不動乘電動扶梯上樓需要30秒，如果在乘電動扶梯的同時小明繼續(xù)向上走需12秒，那么電動扶梯不動時，小明徒步沿扶梯上樓需多少秒？【難度級別】【解題思路】扶梯問題，1人2次同向，t給出，不需額外條件，可直接求解。1次小明不動上扶梯：S可見30V梯1次小明動上扶梯： S可見12(V梯+V人)30V梯12(V梯+V人)，2V人3V梯，V人1.5V梯最后一步： t20(秒)?！敬鸢浮?0秒。57、【例3】小志與小剛兩個孩子在電梯上的行走速度分別為每秒2個臺階和每秒3個臺階，電梯運行后，他倆沿

41、電梯運行方向的相同方向從一樓走上二樓，分別用時28秒和20秒，那么如果小志攀登靜止的電梯需要用時多少秒？【難度級別】【解題思路】扶梯問題，2人2次同向，t給出，不需額外條件，可直接求解。小志上電梯：S可見28(2+V梯)小剛上電梯： S可見20(3+V梯)28(2+V梯)20(3+V梯)，V梯0.5最后一步：S可見28(2+V梯)282.570，t35(秒)?！敬鸢浮?5秒。58、【例2】商場的自動扶梯以勻速由下往上行駛，兩個孩子在行駛的扶梯上上下走到，女孩由下往上走，男孩由上往下走，結(jié)果女孩走了40級到達樓上，男孩走了80級到達樓下。如果男孩單位時間內(nèi)走的扶梯階數(shù)是女孩的2倍，則當扶梯靜止時

42、，可看到的扶梯梯級有多少階？【難度級別】【解題思路】扶梯問題，2人2次反向，S人給出，S梯沒有給出，需要其他條件求解，“男孩速度是女孩速度2倍”就是這個其他條件。女孩上扶梯：S可見S女+S梯40+V梯t1男孩下扶梯： S可見S男-S梯80-V梯t2根據(jù)“男孩速度是女孩速度2倍”求解t1和t2的關(guān)系：40V女t180V男t22V女t2得到：t1t2有了這個結(jié)果，前2個方程就可求了：40+V梯t180-V梯t2解得：V梯t120最后一步：S可見40+V梯t140+2060【答案】60。59、【學(xué)案1】在地鐵中，從站臺到地面有一架向上的自動扶梯。小強乘坐扶梯時，如果每秒向上邁一級臺階，那么他走過20

43、級臺階后到達地面；如果每秒向上邁兩級臺階，那么他走過30級臺階后到達地面。從站臺到地面有_級臺階?！倦y度級別】【解題思路】與例2思路完全相同。扶梯問題，1人2次同向，S人給出，S梯沒有給出，需要其他條件求解，“人的速度和臺階數(shù)”就是這個其他條件，這個條件可以求出電梯運行的時間。每秒1階上扶梯：S可見20+V梯t1每秒2階上扶梯： S可見30+V梯t2根據(jù)“人的速度和臺階數(shù)”求解t1和t2：201t1， t120302t2， t215將t1、t2代入前2個方程，V梯就可求了：20+20V梯30+15V梯解得：V梯2最后一步：S可見20+V梯t120+22060【答案】60。5A、【例4】百華大樓

44、一二層間有一正以恒定速度向上運行的自動扶梯，某人以固定的速度從一樓向上跑，數(shù)得梯子有m級；到二樓后他又反過來以同樣的速度向下跑至一樓，數(shù)得梯子有n級，那么該自動扶梯實際有多少級？【難度級別】【解題思路】與例2、學(xué)案1思路完全相同，只是沒有給數(shù)字而給的是字母。扶梯問題，1人2次，同向、反向2個方向，S人給出，S梯沒有給出，需要其他條件求解，“人的速度不變、2次臺階數(shù)”就是這個其他條件，這個條件可以求出電梯2次運行時間的比例關(guān)系。同向上扶梯：S可見m+V梯t1反向下扶梯： S可見n-V梯t2根據(jù)“人的速度不變、2次臺階數(shù)”求t1和t2的關(guān)系：mV人t1nV人t2最后一步：t1t2 ，代入前2個方程

45、：m+V梯t2n+V梯t2解得：V梯t2S可見n-V梯t2n-最后一步也可不求t1和V梯t2，而將前2個方程變形，直接求得S可見：S可見mV梯t1 ， nS可見V梯t2S可見m ：nS可見V梯t1 ：V梯t2t1 ：t2m ：n得到：S可見【答案】2mn/(m+n)。5B、【作業(yè)8】小紅放學(xué)后沿著公共汽車的線路以4千米/小時的速度往家走，一邊走一邊數(shù)來往的公共汽車。到家時迎面來的公共汽車數(shù)了11輛，后面追上的公共汽車數(shù)了9輛。如果公共汽車按相等的時間間隔發(fā)車，那么公共汽車的平均速度是多少？【難度級別】【解題思路】發(fā)車問題，1人2車，S間相同，V車不知道，需要第3個條件，“迎面11輛、后面追上9

46、輛”就是第3個條件。人與車相遇：S間(V車+4)t1人與車車追：S間(V車-4)t2這2個等式，無法求解，需要根據(jù)第3個條件“迎面11輛、后面追上9輛”求出t1和t2的關(guān)系：11t19t2t1：t29：11這樣，前2個方程就可以求解了：(V車+4)t1(V車-4)t2t1：t2(V車-4)：(V車+4)9：1111(V車-4)9(V車+4)解得：V車40【答案】40千米/小時。5C、【作業(yè)答案】(1)54 (2)50 (3)64 (4)40 (5)54 (6)8 (7)4.8 (8)40第六講 定義新運算（二）定義新運算，對于成人來說比較簡單，但是對于孩子來說，個別題目接受起來還是挺有難度，不

47、過可以告訴孩子那種題目不需要去理解，只需要“照葫蘆畫瓢”就可以，這樣孩子就容易明白了。加減乘除和括號，計算順序不動搖，照葫蘆畫瓢(套)。繁分化簡并不難，主分數(shù)線當除號。61、【學(xué)案2】對于非零自然數(shù)a和b，規(guī)定符號 eq oac(,)的含義：a eq oac(,)b=（m是一個確定的整數(shù)）。如果1 eq oac(,)4=2 eq oac(,)3，那么3 eq oac(,)4=_?！倦y度級別】【解題思路】1 eq oac(,)4=，2 eq oac(,)3=，m=6。3 eq oac(,)4=?！敬鸢浮?。62、【學(xué)案3】已知x、y滿足x+y=2009，x+y=20.09；其中x表示不大于x的最大

48、整數(shù)，x表示x的小數(shù)部分，即x=x-x，那么x=_?！倦y度級別】【解題思路】此題主要是孩子理解x、x，有點邏輯推理的意思。x+y=2009，x+整數(shù)=整數(shù)，所以x是整數(shù)，所以x=0。x+y=20.09，y=20.09，y=20。x=2009-y=2009-20=1989。本題，如果將2009改成2009.02會更好一些，解法也是一樣的：x+y=2009.02，x=0.02。x+y=20.09，y=20.09-x=20.09-0.02=20.07，y=20。x=2009.02-y=2009.02-20=1989.02?！敬鸢浮?989。63、【學(xué)案1】規(guī)定：adbc，=a-b+c，求的值。【難度

49、級別】【解題思路】孩子理解三階行列式很有難度，但是本題也不需要孩子理解，只需要“照葫蘆畫瓢”即可。=1-2+3=1(59-66)-2(49-63)+3(46-53)=9-36+27=0【答案】0。64、【例3】定義a*b為a與b之間(包含a、b)所有與a奇偶性相同的自然數(shù)的平均數(shù)，例如：7*14(7+9+11+13)410，18*10(18+16+14+12+10)514。在算式*(19*99)80的方格中填入恰當?shù)淖匀粩?shù)后可使等式成立，那么所填的數(shù)是多少？【難度級別】【解題思路】此題是本講最難的題目。方法一，按照數(shù)列求和先求19*99，19到99之間有：(99-19)2+141個奇數(shù)，19*

50、99(19+21+99)41(19+99)259。*5980，59。設(shè)與59之間（包含、59）有n個與奇偶性相同的自然數(shù)，則這n個自然數(shù)的和為：80n。(1)如果為奇數(shù)，59+2(n-1)=2n+5780n59+(2n+57)n280(2n+116)2n22，2n+57101(2)如果為偶數(shù)，(59+1)+2(n-1)=2n+5880n60+(2n+58)n280(2n+118)2n21，2n+58100方法二，按照平均數(shù)求解，比方法一的計算簡單按照“平均數(shù)(a1+an)2”來計算平均數(shù)，簡化了很多。先求19*9919*99(19+99)259。*5980，59。再求(1)如果為奇數(shù)，*59(

51、+59)280，101(2)如果為偶數(shù)，*59(+60)280，100【答案】101、100。65、【例6】x、y表示兩個數(shù)，規(guī)定新運算“”和“”如下：xyax+by，xyc(x+y)，其中a、b、c為非零自然數(shù)。已知2312，(32)156，求：(12)3？【難度級別】【解題思路】求a、b是解一個不定方程，是本題的難點和關(guān)鍵。232a+3b12，因a、b是非零自然數(shù)，經(jīng)嘗試a3，b2。也可以利用奇偶性來解，因為12是偶數(shù)，2a是偶數(shù)，所以3b也是偶數(shù)，b只能等于2，因為b4時a0，b2，a3。(32)1(33+22)1131c(13+1)14c56，c4。xy3x+2y，xy4(x+y)。(

52、12)3(31+22)3734(7+3)40。【答案】40。66、【補充1】已知：m eq oac(,)n，求：2012 eq oac(,)2011 eq oac(,) eq oac(,)3 eq oac(,)2 eq oac(,)1 eq oac(,)0?！倦y度級別】【解題思路】本題的突破口不太容易尋找。仔細觀察：分子是m+2，分母是mn+4，分母+4分子+2，想到2倍關(guān)系，如果n2，那么，分母2m+42(m+2)，恰好是分子的2倍。當n2時，m eq oac(,)2，說明：當n2時，m無論是何值，m eq oac(,)2都等于，m eq oac(,)2的結(jié)果與m的值無關(guān)。設(shè)x2012 eq

53、 oac(,)2011 eq oac(,) eq oac(,)3，x不需要計算，因為式子后面是 eq oac(,)2，x eq oac(,)2，與x等于多少沒有關(guān)系，也就是說 eq oac(,)2之前的表達式的值根本不需要計算。原式x eq oac(,)2 eq oac(,)1 eq oac(,)0 eq oac(,)1 eq oac(,)0 eq oac(,)0 eq oac(,)0?！敬鸢浮?。67、【作業(yè)答案】(1)1/21 (2)6 (3)3, 4.4 (4)5/3 (5)4 (6)1938 (7)550第七講 分數(shù)應(yīng)用題1、先看關(guān)鍵句，再找單位一，尋找不變量，變份來統(tǒng)一。2、有分數(shù)就有

54、比例，有比例就有份。3、正向思維列方程。4、 本講的應(yīng)用題大致有三種解法：用“份”求解，能用此法解起來就比較簡單；用“分數(shù)”求解，因為有分數(shù)計算比較復(fù)雜；用“方程”求解，有些情況下方程解起來比較麻煩。這三種解法，各有特點，根據(jù)題目的特征，適當選擇解法。 71、【例5】某校四年級原有兩個班，現(xiàn)在要重新編為三個班，將原一班的與原二班的組成新一班，將原一班的與原二班的組成新二班，余下的30人組成新三班。如果新一班人數(shù)比新二班人數(shù)多，那么原一班有多少人？【難度級別】【解題思路】本題使用“方程”求解比較容易理解。根據(jù)“分班前后總?cè)藬?shù)不變(或者余下30人)”列出一個方程，根據(jù)“新一班人數(shù)比新二班人數(shù)多”列

55、出第二個方程。設(shè)原一班有x人、原二班有y人，則總?cè)藬?shù)：x+y，新一班人數(shù)：x+y，新二班人數(shù)：x+y，新三班人數(shù)：30，總?cè)藬?shù)又為：(x+y)+(x+y)+30，列出方程：x+y(x+y)+(x+y)+30化簡后:x+y72解得:x48(x+y)(x+y)(1+) x2yy24此題，列出來的方程看起來復(fù)雜，但是解方程不復(fù)雜，另外，使用“方程”求解本題，思路簡單?！敬鸢浮?8。72、【例6】王先生、李先生、趙先生、楊先生四個人比年齡，王先生的年齡是另外三人年齡和的，李先生的年齡是另外三人年齡和的, 趙先生的年齡是另外三人年齡和的，楊先生26歲，你知道王先生多少歲嗎？【難度級別】【解題思路】此題雖

56、然用x、y、z三個未知數(shù)可以很容易的列出三元一次方程組，但是孩子們不會解，成人是可以求解的。從三句話中，找不出來“不變量”，但是四個人的年齡和是“不變”的。本題，使用“分數(shù)”方法求解，比使用“方程”簡單的多。王是另三人的：王是四人年齡和的李是另三人的：李是四人年齡和的趙是另三人的：趙是四人年齡和的那么，楊是四人年齡和的1-，楊26歲，所以四人年齡和為：26120。王先生年齡為：12040?！敬鸢浮?0。73、【例7】今年孫子是爺爺年齡的，若干年以后孫子變成爺爺年齡的，再過若干年，孫子變成爺爺年齡的。則今年爺爺多少歲？【難度級別】【解題思路】此題與例6雷同，也是從三句話中，找不出來“不變量”，但

57、是爺爺與孫子的年齡差是“不變”的，這個“不變量”是解本題的關(guān)鍵。與例6類似，使用“分數(shù)”方法求解，不使用“方程”。今年， 孫子是爺爺年齡的：孫子是“年齡差”的若干年， 孫子是爺爺年齡的：孫子是“年齡差”的再若干年，孫子是爺爺年齡的：孫子是“年齡差”的那么，孫子分別是“年齡差”的、和，說明“年齡差”是3、4、5的公倍數(shù)，而3,4,560，所以“年齡差”為60。今年，孫子年齡：6012，爺爺年齡：12672，或12+6072。602120，如果年齡差為120歲, 今年，孫子年齡：12024，爺爺年齡：24+120144，一般說來人活不到144歲?！敬鸢浮?2。74、【例8】林林倒?jié)M一杯純牛奶，第一

58、次喝了，然后加入豆?jié){，將杯子斟滿并攪拌均勻，第二次林林又喝了，繼續(xù)用豆?jié){將杯子斟滿并攪拌均勻，重復(fù)上述過程，那么第四次后，林林共喝了一杯純總量的多少？（用分數(shù)表示）。【難度級別】【解題思路】使用“分數(shù)”方法求解，只看純牛奶。第1次：喝了，剩余；第2次：喝了，剩余；第3次：喝了，剩余；第4次：喝了，剩余。四次共喝了：1，或者+。如果是n次，第n次：喝了，剩余；n次共喝了：1?！敬鸢浮?。75、【學(xué)案4】新光小學(xué)有音樂、美術(shù)和體育三個特長班，音樂班人數(shù)相當于另外兩個班人數(shù)的，美術(shù)班人數(shù)相當于另外兩個班人數(shù)的，體育班有58人，音樂班和美術(shù)班各有多少人？【難度級別】【解題思路】此題雖然用x、y兩個未知數(shù)

59、可以很容易的列出二元一次方程組，但是用分數(shù)做孩子更容易理解。x(y+58)解得： x=40y(x+58) y=42從兩句帶分數(shù)的話中，找不出來“不變量”，但是三個班的總?cè)藬?shù)是“不變量”，以下使用“分數(shù)”方法求解。音樂班是另兩班的：音樂班是三班總?cè)藬?shù)的美術(shù)班是另兩班的：美術(shù)班是三班總?cè)藬?shù)的那么，體育班是三班總?cè)藬?shù)的1-，體育班58歲，所以三班總?cè)藬?shù)為：58140。音樂班人數(shù)：14040，美術(shù)班人數(shù)：14042?！敬鸢浮?0，42。76、【作業(yè)答案】(1) (2)4 (3)99 (4)150 (5)165 (6)120 (7)10 (8)第八講 數(shù)的整除的綜合應(yīng)用1、10k系及其約數(shù)，末位判斷。2

60、、10k+1系及其約數(shù)，數(shù)段差判斷（判斷能否整除“奇數(shù)段偶數(shù)段”、“偶數(shù)段奇數(shù)段”都可以，但是判斷余數(shù)必須是“奇數(shù)段偶數(shù)段”）。3、10k1系及其約數(shù)，數(shù)段和判斷。本講題目難度都比較大，希望家長和孩子認真領(lǐng)會。81、【補充1】已知一個5位數(shù)，末位17，數(shù)字和17，被17整除，求此數(shù)。【難度級別】【解題思路】設(shè)這個五位數(shù)為： eq xto (abc17) ，則a+b+c+1+7=17。17| eq xto (abc17) ，17| eq xto(abc)。a+b+c=9，9| eq xto(abc)。所以179| eq xto(abc)，即：153| eq xto(abc)。1+5+3=9，滿足