平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義學習教案

1、平面向量數(shù)量積的物理背景平面向量數(shù)量積的物理背景(bijng)及其及其含義含義第一頁，共18頁。已知兩個非零向量已知兩個非零向量(xingling)a和和b，作，作OA=a， OB=b，則，則AOB= （0 180）叫做向量）叫做向量(xingling)a與與b的夾的夾角。角。OBA當0時，a與b同向；OAB當180時，a與b反向；OABB當90時，稱a與b垂直， 記為ab.OAab第1頁/共18頁第二頁，共18頁。 我們學過功的概念，即一個物體我們學過功的概念，即一個物體(wt)在力在力F的作用下產(chǎn)生位移的作用下產(chǎn)生位移s（如圖）（如圖）FS力力F所做的功所做的功W可用下式計算可用下式計算

2、W=|F| |S|cos 其中其中(qzhng)是是F與與S的夾角的夾角 從力所做的功出發(fā)，我們引入向量從力所做的功出發(fā)，我們引入向量“數(shù)量數(shù)量(shling)積積”的概念。的概念。第2頁/共18頁第三頁，共18頁。 已知兩個非零向量已知兩個非零向量a與與b，它們的，它們的夾角為夾角為，我們把數(shù)量，我們把數(shù)量|a| |b|cos叫做叫做a與與b的的數(shù)量積數(shù)量積（或（或內(nèi)積內(nèi)積），記作），記作ab ab=|a| |b| cos規(guī)定規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為零向量與任一向量的數(shù)量積為0。 |a| cos（|b| cos）叫做(jiozu)向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。注意：向量

3、注意：向量(xingling)的數(shù)量積是一的數(shù)量積是一個數(shù)量。個數(shù)量。第3頁/共18頁第四頁，共18頁。 向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它什么時候為正，什么時候為負？什么時候為正，什么時候為負？ab=|a| |b| cos當當0 90時時ab為正；為正；當當90 180時時ab為負。為負。當當 =90時時ab為零。為零。第4頁/共18頁第五頁，共18頁。設設ba、是非零向量，是非零向量，be是與方向相同的方向相同的單位向量，單位向量，ea與是的夾角，則的夾角，則cos|) 1 (aeaae0)2(baba|;|) 3 (bababa同向時，與當|;|bababa反向

4、時，與當特別特別(tbi)地地2|aaaaaa |或2a|cos)4(baba| )5(babaOAB abB1| cos| cosabababab 第5頁/共18頁第六頁，共18頁。解：解：ab = |a| |b|cos= 54cos120 =54（-1/2）= 10例例1 1 已知已知|a|=5|a|=5，|b|=4|b|=4，a a與與b b的夾角的夾角(ji jio)=120(ji jio)=120，求，求abab。例例2 已知已知a=(1,1),b=(2,0),求求ab。解：解： |a| =2, |b|=2, =45 ab=|a| |b|cos= 22cos45 = 2第6頁/共18

5、頁第七頁，共18頁。OAB|b|cos abB1ba等于等于a的長度的長度|a方向上的投影在ab與與cos|b的乘積。的乘積。第7頁/共18頁第八頁，共18頁。練習練習(linx)：1 1若若a =0a =0，則對任一向量，則對任一向量(xingling)b (xingling)b ，有，有a b=0a b=02若若a 0，則對任一非零向量，則對任一非零向量(xingling)b ,有有a b03 3若若a 00，a b b = =0，則，則b= =04 4若若a b= =0，則，則a b中至少有一個為中至少有一個為05 5若若a0，a b= = b c，則，則a=c6 6若若a b = =

6、a c , ,則則bc, ,當且僅當當且僅當a= =0 時時成立成立7對任意向量對任意向量 a 有有22|aa 第8頁/共18頁第九頁，共18頁。二、平面向量二、平面向量(xingling)的數(shù)量積的運算的數(shù)量積的運算律：律：數(shù)量數(shù)量(shling)積的運算律：積的運算律：cbcacbabababaabba)(3()()()(2() 1 (其中，其中，cba、是任意三個向量，是任意三個向量，R注：注：)()(cbacba第9頁/共18頁第十頁，共18頁。ONMa+bbac 向量a、b、a + b在c上的投影(tuyng)的數(shù)量分別是OM、MN、 ON, 證明證明(zhngmng)運運算律算律(

7、3)第10頁/共18頁第十一頁，共18頁。例例 3：求證：求證(qizhng)：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.證明證明(zhngmng)：（：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.第11頁/共18頁第十二頁，共18頁。例例 3：求證：求證：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.證明證明(zhngmng)：（：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.第12頁/共18頁第十三頁，共18頁。例例4、2 ) (3 )2 ) (3 )abababab求求（。|6,|4

8、,|6,|4,abababab已已知知與與60 ,60 ,o o 的夾角為的夾角為解解:第13頁/共18頁第十四頁，共18頁。5.| 3,| 4,abkakbakb例 已知當且僅當 為何值時，向量與互相垂直？第14頁/共18頁第十五頁，共18頁。)(,2432, 1|1cbacabacbakbakbababa求證：是非零向量，且、設的值?；ハ啻怪?，求也與且、若第15頁/共18頁第十六頁，共18頁。3、用向量方法證明：直徑、用向量方法證明：直徑(zhjng)所對所對的圓周角為直角。的圓周角為直角。ABCO分析分析(fnx)：要證：要證ACB=90，只須證向，只須證向量量 ，即，即 。A AC CC CB B 0 0A AC CC CB B 設設 則則 ，由此可得：由此可得：, ,A AO Oa a O OC Cb b , ,A AC Ca ab b C CB Ba ab b A AC CC CB Ba ab ba