《等差數(shù)列》教學(xué)方案人教B版選擇性必修第三冊(cè)

1、第五章數(shù)列521等差數(shù)列教學(xué)目標(biāo)能從實(shí)際問(wèn)題中歸納出等差數(shù)列的定義；理解等差數(shù)列的公差及通項(xiàng)公式；會(huì)判斷一個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列，能求出指定的項(xiàng)或者項(xiàng)數(shù).教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式教學(xué)難點(diǎn)：等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用教學(xué)過(guò)程【新課導(dǎo)入】問(wèn)題情境：觀察下列現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)列，回答后面的問(wèn)題.我國(guó)有用12生肖紀(jì)年的習(xí)慣，例如，2017年是雞年，從2017年開(kāi)始，雞年的年份為2017,2029,2041,2053,2065,2077,；我國(guó)確定鞋號(hào)的腳長(zhǎng)值以亳米為單位來(lái)表示，常用確定鞋號(hào)腳長(zhǎng)值按從大到小的順序可排列為275,270,265,260,255,250,；2019年1月中，每個(gè)星

2、期日的日期為6,13,20,27.問(wèn)題、以上三個(gè)數(shù)列，觀察他們前后項(xiàng)之間的關(guān)系，他們有什么共同點(diǎn)？師生活動(dòng)：老師組織學(xué)生分組討論，鼓勵(lì)學(xué)生交流自己的意見(jiàn)，形成小組統(tǒng)一結(jié)果.預(yù)設(shè)的答案：不難看出，上述數(shù)列的共同點(diǎn)是：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之差都等于同一個(gè)常數(shù).具體地說(shuō)，數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之差都等于12；數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之差都等于一5；數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之差都等于7.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)生活中的大家熟悉的情境中提取數(shù)學(xué)概念，使其更通俗易懂.這個(gè)情境的設(shè)置旨在啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光去觀察世界、用教學(xué)思維去思考世界、用教學(xué)語(yǔ)言去表達(dá)世界，并能從項(xiàng)與項(xiàng)之間

3、的關(guān)系來(lái)分析、觀察數(shù)列.【探究新知】知識(shí)點(diǎn)1等差數(shù)列的定義問(wèn)題1、如果給前面例子中的數(shù)列起一個(gè)名字，你會(huì)叫他什么？你能給這種數(shù)列下一個(gè)定義嗎？師生活動(dòng)：老師組織學(xué)生分組討論，鼓勵(lì)學(xué)生交流自己的意見(jiàn)，嘗試歸納定義.預(yù)設(shè)的答案：因?yàn)檫@種數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之差都等于同一個(gè)常數(shù)，核心要素是“等差”，所以能夠叫“等差數(shù)列定義：一般地，如果數(shù)列億”從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之差都等于同一個(gè)常數(shù)d,即們+1為=恒成立，則稱(chēng)厶為等差數(shù)列，其中”稱(chēng)為等差數(shù)列的公差.三個(gè)數(shù)列都是等差數(shù)列，公差分別為12,-5,7.知識(shí)點(diǎn)2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題1、你能分別總結(jié)出例子中數(shù)列的通項(xiàng)公式并得出一般這

4、種數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？師生活動(dòng)：老師引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出數(shù)列的項(xiàng)，通過(guò)項(xiàng)與項(xiàng)的關(guān)系，依次表示出第”項(xiàng)，即通項(xiàng)公式.預(yù)設(shè)的答案：記數(shù)列為,能夠看出，O2=s+12,43=。2+12,所以?xún)?nèi)=1+12+12,同樣，04=01+12+12+12由此可知，an=ai+（”一1）XI2=2017+（”一1）X12=12n+2005；同樣的，數(shù)列的通項(xiàng)公式為為=275+（”一1）X（-5）=一5”+280；數(shù)列的通項(xiàng)公式為a=6+31）X7=7”一l問(wèn)題2：若等差數(shù)列”“的首項(xiàng)為。I,公差為4,你能?chē)L試根據(jù)定義推導(dǎo)其通項(xiàng)公式嗎？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生注重定義，類(lèi)比前面的問(wèn)題1中等差數(shù)列通項(xiàng)公式的得出過(guò)程，來(lái)嘗試推導(dǎo)

5、.活動(dòng)以小組進(jìn)行，教師巡回指導(dǎo)，隨時(shí)點(diǎn)撥.預(yù)設(shè)的答案：因?yàn)?。”是等差?shù)列，根據(jù)定義，就有aa,.=d,即an.x=an+d,從而就有ai=a+d.a3=ai+d=（oi+d）+d=a+2d.a4=ay+d=(俄+d)+d=(a+2d)+d=a+3d.由此，可歸納出an=a+(n1)d.問(wèn)題3：以上通項(xiàng)公式的得到是一個(gè)歸納的過(guò)程，你還有其他辦法能夠嚴(yán)格推導(dǎo)這個(gè)公式嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生小組合作，觀察討論，教師引導(dǎo)學(xué)生注重等差數(shù)列的定義式，寫(xiě)出多項(xiàng)，嘗試?yán)奂油茖?dǎo).預(yù)設(shè)的答案：另外，由等差數(shù)列的定義可得anan-=dan-ian-2=da3a2=da2a=d將這”一1個(gè)式子，兩邊分別相加，得到(?！币籓

6、T)+(n-lt?n-2)+(一。2)+(忽一=(771)d整理得ana=(“一1)d.即an=a+1)d.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式說(shuō)明，只要確定了等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差，就能夠?qū)懗龅炔顢?shù)列中的每一項(xiàng).設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生觀察，分析，歸納的能力.讓學(xué)生經(jīng)歷由具體實(shí)例中的分析到抽象概括中的歸納，再到具體結(jié)論的數(shù)學(xué)證明，感覺(jué)教學(xué)結(jié)論的得出和一般化的過(guò)程.典例1：判斷以下數(shù)列是否是等差數(shù)列？若是，指出公差；若不是，說(shuō)明理由.7,13,19,25,31；2,4,7,11；-1,一3,-5,-7.師生活動(dòng)：學(xué)生觀察，回答，教師糾錯(cuò)，引導(dǎo)學(xué)生用定義進(jìn)行判斷.解答：（1）因?yàn)?37=1913=2519=3125=6,

7、所以這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，公差為6；（2）因?yàn)?2=2,74=3,74夭4一2,所以這個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列；（3）因?yàn)橐?（-1）=-5-（-3）=-7-（-5）=-2,所以這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，公差為2.方法小結(jié)：（1）通過(guò)驗(yàn)證數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)減去它前一項(xiàng)所得的差是否是一個(gè)固定的常數(shù)，來(lái)判斷是不是等差數(shù)列；（2）因?yàn)樾腇=d,等價(jià)于所以，也能夠通過(guò)判斷數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是否都等于它的前一項(xiàng)加上一個(gè)固定的常數(shù)，來(lái)確定是否是等差數(shù)列.典例2：己知等差數(shù)列10,7,4,.（1）求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)；（2）一56是不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)？一40呢？如果是，求出是第兒項(xiàng)；如果不是，說(shuō)明理由.師生活動(dòng)：

8、學(xué)生觀察，回答，教師糾錯(cuò)，引導(dǎo)學(xué)生回顧和使用數(shù)列的通項(xiàng)公式.解答：（1）記數(shù)列為?！?則由題意知們=10,店710=3,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=10+（ni）x（3）=3n+13.當(dāng)”=10時(shí)，有so=3xlO+13=17,所以第10項(xiàng)為一17.（2）設(shè)一56是數(shù)列中的第”項(xiàng)，則一3”+13=56,解得”=23,所以一56是數(shù)列的第23項(xiàng).設(shè)一40是數(shù)列中的第”項(xiàng)，則一3”+13=40,解得戶(hù)里，由此可知一40不是數(shù)列中的項(xiàng).3方法小結(jié)：（1）求數(shù)列的第”項(xiàng)，只需在通項(xiàng)公式中，將”的值代入計(jì)算即可；（2）問(wèn)某數(shù)是否是指定數(shù)列中的項(xiàng)，能夠先假設(shè)是第”項(xiàng)，通過(guò)通項(xiàng)公式反求“的值，若所解出的”值是

9、正整數(shù)，則該數(shù)是數(shù)列的第”項(xiàng)，否則不是.知識(shí)點(diǎn)3從函數(shù)的角度看等差數(shù)列問(wèn)題1、觀察等差數(shù)列的通項(xiàng)公式g+（”一1）d,你發(fā)現(xiàn)右與”的關(guān)系與以前所學(xué)過(guò)的什么函數(shù)有關(guān)？師生活動(dòng)：老師引導(dǎo)學(xué)生分清通項(xiàng)公式中的變量與常量，確定自變量和函數(shù)值，必要的話(huà)能夠?qū)⑼?xiàng)公式寫(xiě)成以必y表示的函數(shù)形式，然后觀察其中函數(shù)關(guān)系.預(yù)設(shè)的答案：在通項(xiàng)公式an=ai+(n、)d中，。1、d均為常量，除此之外，第”項(xiàng)的值。隨著”的變化而變化，每一個(gè)”的值對(duì)應(yīng)一個(gè)為，所以是關(guān)于工的函數(shù).將n=i+(“一1)，整理一下，可得a=a+(wI)d=d”+(aid).若記f(x)=dx+(aid),WOan=f(“).當(dāng)公差d=0時(shí)，/

10、(x)是常數(shù)函數(shù)，此時(shí)數(shù)列。”是常數(shù)列(所以，公差為0的等差數(shù)列是常數(shù)列)；當(dāng)公差dNO時(shí)，f(x)是一次函數(shù)，而且/(x)的增減性依賴(lài)于公差d的符號(hào)，所以，當(dāng)小0時(shí)，是遞增數(shù)列；當(dāng)火0時(shí)，外是遞減數(shù)列.耳.這也說(shuō)明，當(dāng)用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)來(lái)表示等差數(shù)列時(shí)，所有的點(diǎn)一I定在一條直線(xiàn)上.M|問(wèn)題2、若公差不為0的等差數(shù)列是關(guān)于”的一次函數(shù)，那你能J說(shuō)一說(shuō)它的圖象是什么樣嗎？師生活動(dòng)：給出一個(gè)具體的等差數(shù)列，引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出其圖象，觀10察，并嘗試說(shuō)明其圖象特征的形成原因.預(yù)設(shè)的答案：項(xiàng)；以數(shù)列為=2”一1為例，自變量”弓N*,該通項(xiàng)公式為關(guān)于”的一次函數(shù)，在坐標(biāo)系中畫(huà)出圖象.觀察圖象，這個(gè)數(shù)列的圖象是

11、一系列離散的點(diǎn)，所有的點(diǎn)都在一次函數(shù)尸厶一1的圖象上.事實(shí)上，數(shù)列作為一種函數(shù)，有它的特殊性，即定義域?yàn)檎麛?shù)集N,它的圖象都是位于第一象限的一系列離散的點(diǎn).典型例題典例3、己知數(shù)列的通項(xiàng)公式為為=3”一5,判斷這個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列.如果是，求出公差；如果不是，說(shuō)明理由.師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生冋顧等差數(shù)列定義，根據(jù)定義，從通項(xiàng)公式入手進(jìn)行判斷.解答：因?yàn)槿?一=3(“+1)-5-(3/7-5)=3,所以數(shù)列皿是等差數(shù)列，且公差為3典例4、己知等差數(shù)列?！钡墓顬?,求證：對(duì)于任意的正整數(shù)”7,”，有分析：根據(jù)通項(xiàng)公式，先得出劣，如，再通過(guò)度析二者的關(guān)系得到結(jié)果.解答：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為們，則an

12、=ai+（”一1）d.如=41+31）（1.兩式相減，整理可得虹a嚀（”一，”）ci.即an=ain+（”一，”）d.教師點(diǎn)評(píng)：由%-如=質(zhì)一”）d,也可整理得出，4=女伐，根據(jù)此式，知道等差數(shù)列的兩ntn項(xiàng)，即可求出公差，比如在等差數(shù)列4J中，若。3=5,。8=40,則公差為=冬二冬=史蘭=7.835典例5、己知等差數(shù)列時(shí)中，6/5=3,“7=9,求。10.分析：對(duì)于求等差數(shù)列的項(xiàng)來(lái)說(shuō)，通項(xiàng)公式與公差是關(guān)鍵.解答：（方法一）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為公差為，則（%=%+=,解得印=_9,d=3.所以=_9+9x3=18.%=。+6d（方法二）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d,則“=虹冬=W=37-52所

13、以，知=+3J=9+3x3=18.知識(shí)點(diǎn)4、等差數(shù)列的性質(zhì)性質(zhì)1、如果x,A,y是等差數(shù)列，那么稱(chēng)A為與y的等差中項(xiàng).問(wèn)題：如果A為x與y的等差中項(xiàng)，那么A能用與），表示出來(lái)嗎？根據(jù)等差中項(xiàng)與等差數(shù)列的定義可知A一戶(hù)yA,所以4=亨.例如，2與8的等差中項(xiàng)是寫(xiě)=5.容易看出，在一個(gè)等差數(shù)列中，中間的每一項(xiàng)（既不是首項(xiàng)也不是末項(xiàng)的項(xiàng)，下同）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng).典例6、己知數(shù)列時(shí)，=在”3時(shí)恒成立，求證：時(shí)是等差數(shù)列.解答：因?yàn)?翌牛丹/弓+心為一缸二如一白心所以U-1=_-2=-2-_3=/_所以，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都相等，所以為是等差數(shù)列.教師點(diǎn)評(píng)：如果一個(gè)數(shù)列中

14、，中間的每一項(xiàng)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列.性質(zhì)2、嘗試發(fā)現(xiàn)：設(shè)數(shù)列時(shí)的通項(xiàng)公式為n=3-l,求出怎+必+。6,并比較它們的大小.你能由此總結(jié)出一個(gè)一般的結(jié)論并給出證明嗎？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生用通項(xiàng)公式表示出，。7,。3,。6,然后相加進(jìn)行計(jì)算.預(yù)設(shè)的答案：因?yàn)椤?+07=3x21+3x71=25,。3+。6=331+3x61=25.所以a2+ai=。3+6.性質(zhì)總結(jié)：一般地，如果(厶是等差數(shù)列，而且正整數(shù)s,bp,q滿(mǎn)足s+50,則as+ai=aP+a(t.證明：因?yàn)椤笆堑炔顢?shù)列，設(shè)公差為d,則an=nai+(1)d.所以a,+a,=sa+(s1)J+tai

15、+(/1)d=(s+f)(s+d)2dap+ag=pa+(p1)d+qa+(q1)(1=(p+q)(oi+d)2d因?yàn)閟+t=p+q,所以as+at=aP+aq.教師點(diǎn)評(píng)：這個(gè)性質(zhì)說(shuō)，在等差數(shù)列中，下標(biāo)和相等的相同數(shù)量的項(xiàng)，項(xiàng)的和也相等.特別地有，如果2s=p+qf則2a.v=aP+aq.典例7、已知某梯子共有5級(jí)，從上往下數(shù)，第1級(jí)的寬為35cm,第5級(jí)的寬為43cm,且各級(jí)的寬度從小到大構(gòu)成等差數(shù)列為,求其余3級(jí)的寬度.解答：(方法一)由題意，內(nèi)=35,g=43,設(shè)公差為d,則35+4d=43,解得d=2.從而“2=35+2=37,。3=37+2=39,叫=39+2=41.所以，其余3級(jí)的寬度分別為37cm,39cm,41cm.(方法二)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)a.+a.35+43_a,+a,35+39_a,+a539+43.,fl3=-Ly=39，角=-=37，fl4=y-L=41所以，其余3級(jí)的寬度分別為37cm,39cm,41cm.【課堂練習(xí)】教材P21,練習(xí)A、B.【課堂小結(jié)】等差數(shù)列的定義一般地，如果數(shù)列厶從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之差都等于同一個(gè)常數(shù)，即