考研高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班第課PPT課件

1、（2 2）初等函數(shù)：）初等函數(shù)： 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的加、減、乘、除和由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的加、減、乘、除和復(fù)合所得到且能用一個(gè)解析式表示的函數(shù)復(fù)合所得到且能用一個(gè)解析式表示的函數(shù). .常考題型：?？碱}型：1 1. .函數(shù)有界性、單調(diào)性、周期性及奇偶性的判定；函數(shù)有界性、單調(diào)性、周期性及奇偶性的判定；2 2. .復(fù)合函數(shù)；復(fù)合函數(shù)；第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)函數(shù)函數(shù)第1頁(yè)/共39頁(yè)【例例1 1】)(e|sin|)(cos xxxxfx（A A）有界函數(shù)）有界函數(shù). . （B B）單調(diào)函數(shù)）單調(diào)函數(shù). . 是（是（ ）（C C）周期函數(shù)）周期函數(shù) （D D）偶函數(shù)）偶函數(shù).

2、.第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)函數(shù)函數(shù)第2頁(yè)/共39頁(yè) ,1)(,sin)(2xxfxxf _)( x 【例例2 2】已知已知?jiǎng)t則定義域?yàn)槎x域?yàn)?【解解】 第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)2( )sin , ( )1f xx fxx 由由知2s in()1xx 2( )arcsin(1)xx 211x 22x 則則令令得得函數(shù)函數(shù)第3頁(yè)/共39頁(yè) 0, 0,)(, 0, 2, 0,2)(2xxxxxfxxxxxg )(xfg【例例3 3】設(shè)設(shè)則則( )g f x . 0,2, 0,22xxxx【解解】 第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)函數(shù)函數(shù)第4頁(yè)/共39頁(yè)二、極限二、極限1 1. .極限概念極限概念（1 1）

3、數(shù)列極限）數(shù)列極限: : :limAann , 0 , 0 N Nn .| Aan當(dāng)當(dāng)時(shí)，恒有時(shí)，恒有（2 2）函數(shù)極限）函數(shù)極限: : :)(limAxfx 0 , 0 X Xx |.|)(| Axf, ,當(dāng)當(dāng)時(shí)，恒有時(shí)，恒有;)(limAxfx Axfx )(limAxfx )(limAxfxfxx )(lim)(lim:)(lim0Axfxx 0 , 0 |00 xx.|)(| Axf, ,當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), , 恒有恒有第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)極限概念及四大性質(zhì)第5頁(yè)/共39頁(yè) )(lim0 xfxx)0()(00 xfxf )(lim0 xfxx)0()(00 xfxf右極限：右極限：左極限

4、：左極限：AxfxfAxfxxxxxx )(lim)(lim)(lim000 幾個(gè)值得注意的極限：幾個(gè)值得注意的極限：;1arctanlim0 xx;lim10 xxe;limxxe ;arctanlimxx xxx21lim 第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)10limxxe （錯(cuò)）（錯(cuò)）. . (1)(1)1100lim, lim0 xxxxee limxxe （錯(cuò)）（錯(cuò)）. . (2)(2)極限概念及四大性質(zhì)第6頁(yè)/共39頁(yè)01limarctan2xx 0011lim arctan, lim arctan22xxxx limarctan2xx lim arctan, lim arctan22xxx

5、x 21lim1xxx 2211lim1, lim1xxxxxx （錯(cuò)）（錯(cuò)）. . （錯(cuò)）（錯(cuò)）. . （錯(cuò)）（錯(cuò)）. . 正確的是正確的是正確的是正確的是正確的是正確的是(3)(3)(5)(5)(4)(4)極限概念及四大性質(zhì)第7頁(yè)/共39頁(yè)2.2.極限性質(zhì)極限性質(zhì)（1 1）局部界性）局部界性 )(lim0 xfxx)(xf0 x若若存在存在, , 則則在在某去心鄰域有界。某去心鄰域有界。（2 2）保號(hào)性）保號(hào)性 Axfxx )(lim00 A,0 ),(0 xUx ;0)( xf 如果如果, ,則存在則存在當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，),(0 xUx , 0)( xf. 0 A如果當(dāng)如果當(dāng)時(shí)時(shí), ,那么那

6、么設(shè)設(shè)極限概念及四大性質(zhì)第8頁(yè)/共39頁(yè)有理運(yùn)算性質(zhì)有理運(yùn)算性質(zhì) .)(lim ,)(limBxgAxf 那么那么: : 若若 BAxgxfxgxf )(lim)(lim)()(lim BAxgxfxgxf )(lim)(lim)()(lim)0( )(lim)(lim)()(lim BBAxgxfxgxf第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)存在存在 不存在不存在 不存在；不存在；不存在不存在 不存在不存在 不一定；不一定；存在存在( () )不存在不存在 不一定；不一定；不存在不存在( () )不存在不存在 不一定不一定. .(1)(1)(3)(3)(2)(2)(4)(4)極限概念及四大性質(zhì)第9頁(yè)/共3

7、9頁(yè) 2 2） ; 0)(lim0)(lim, 0)()(lim xgxfAxgxf極限值與無(wú)窮小之間的關(guān)系極限值與無(wú)窮小之間的關(guān)系; ;)()()(limxAxfAxf . 0)(lim x 其中其中)()(limxgxf;0)(lim0)(lim xfxg 兩個(gè)常用的結(jié)論：兩個(gè)常用的結(jié)論：存在，存在，1 1）第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)極限概念及四大性質(zhì)第10頁(yè)/共39頁(yè) 3 3. .極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 （1 1）夾逼準(zhǔn)則：）夾逼準(zhǔn)則： ,nnnzyx ,limlimazxnnnn .limaynn 若存在若存在且且則則 （2 2）單調(diào)有界準(zhǔn)則：）單調(diào)有界準(zhǔn)則： 單調(diào)有界數(shù)列必有極限。單

8、調(diào)有界數(shù)列必有極限。 ; 1)1ln(lim0 xxx; 11lim0 xexx;ln1lim0axaxx ;1)1(lim0 xxx. 1lim nnn4 4. .常用的基本極限常用的基本極限;)1(lim10exxx ;)11(limexxx ; 1sinlim0 xxx,N當(dāng)當(dāng)Nn 時(shí)，時(shí)，第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)極限存在準(zhǔn)則、常用極限及無(wú)窮小量第11頁(yè)/共39頁(yè)（2 2）無(wú)窮小的比較）無(wú)窮小的比較0)( , 0)(xx 高階：高階： 0)()(lim xx );()(xx 若若； 記為記為同階：若同階：若; 0)()(lim Cxx 1)()(lim xx );()(xx 等價(jià)：若等價(jià)

9、：若；記為；記為5 5. .無(wú)窮小量無(wú)窮小量（1 1）無(wú)窮小量的概念）無(wú)窮小量的概念 , 0)(lim0 xfxx)(xf0 xx 若若則稱則稱為為時(shí)的無(wú)窮小量。時(shí)的無(wú)窮小量。設(shè)設(shè)第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)極限存在準(zhǔn)則、常用極限及無(wú)窮小量第12頁(yè)/共39頁(yè)無(wú)窮小的階無(wú)窮小的階: : 0)()(lim Cxxk )(x )(x k若若，稱，稱是是的的階無(wú)窮小階無(wú)窮小. .（4 4）等價(jià)無(wú)窮小代換）等價(jià)無(wú)窮小代換, lim limlim 若若且且存在，存在， 則則 （3 3）常用等價(jià)無(wú)窮?。海┏Ｓ玫葍r(jià)無(wú)窮小： 0 x時(shí)時(shí), ,xxxxxarctanarcsintansin; 1)1ln( xex,2

10、1cos12xx ,1)1(xx ,ln1 axax 當(dāng)當(dāng)?shù)谝徽?函數(shù)、極限、連續(xù)極限存在準(zhǔn)則、常用極限及無(wú)窮小量第13頁(yè)/共39頁(yè)（5 5） 無(wú)窮小的性質(zhì)無(wú)窮小的性質(zhì): :（2 2）有限個(gè)無(wú)窮小的積仍是無(wú)窮?。┯邢迋€(gè)無(wú)窮小的積仍是無(wú)窮小. .（1 1）有限個(gè)無(wú)窮小的和仍是無(wú)窮?。┯邢迋€(gè)無(wú)窮小的和仍是無(wú)窮小. .（3 3）無(wú)窮小量與有界量的積仍是無(wú)窮?。o(wú)窮小量與有界量的積仍是無(wú)窮小. .6.6.無(wú)窮大量無(wú)窮大量 ,)(lim0 xfxx)(xf0 xx 若若則稱則稱為為時(shí)的無(wú)窮大量時(shí)的無(wú)窮大量（1 1）無(wú)窮大量的概念）無(wú)窮大量的概念第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)極限存在準(zhǔn)則、常用極限及無(wú)窮小量第1

11、4頁(yè)/共39頁(yè) nnnnnann!ln . 1, 0, 0 a 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 其中其中（2 2）常用的一些無(wú)窮大量的比較）常用的一些無(wú)窮大量的比較xxaxx ln. 1, 0, 0 a 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 其中其中（3 3）無(wú)窮大量與無(wú)界變量的關(guān)系：無(wú)窮大量與無(wú)界變量的關(guān)系： 無(wú)窮大量無(wú)窮大量無(wú)界變量無(wú)界變量第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)極限存在準(zhǔn)則、常用極限及無(wú)窮小量第15頁(yè)/共39頁(yè)（4 4）無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系：）無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系：)(xf)(1xf)(xf, 0)( xf)(1xf在同一極限過(guò)程中在同一極限過(guò)程中, , 如果如果是無(wú)窮大是無(wú)窮大, , 則則是無(wú)窮小；反之是無(wú)窮?。环粗? , 如

12、果如果是無(wú)窮小是無(wú)窮小, , 且且則則是無(wú)窮大；是無(wú)窮大；?？碱}型：常考題型：1.1.求極限；求極限；2.2.無(wú)窮小量階的比較；無(wú)窮小量階的比較；第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)極限存在準(zhǔn)則、常用極限及無(wú)窮小量第16頁(yè)/共39頁(yè)1 1. .求極限：求極限：方法方法1 1 有理運(yùn)算有理運(yùn)算 xxxxxx)cos1(1cossin3lim20【例例1 1】 . . 第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)2013sincoslim(1cos )xxxxx x 【解解】0013sin1(limlim cos )2xxxxxx 13(30)22求極限與無(wú)窮小階的比較第17頁(yè)/共39頁(yè).1111lim330 xxxxx 【例例

13、2 2】【解解】33011lim11xxxxx 32 第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)212233302 (1)(1)(1) lim2 ( 11)xxxxxxxx 求極限與無(wú)窮小階的比較第18頁(yè)/共39頁(yè)方法方法2 2 基本極限基本極限,)3(limnnnnncba . 0, 0, 0 cba【例例1 1】其中其中第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)lim( )0,lim( )xx ( )lim(1( ).xAxe | 型極限，關(guān)于此類(lèi)極限有以下常用結(jié)論型極限，關(guān)于此類(lèi)極限有以下常用結(jié)論【分析分析】 本題是本題是若若且且則則，A求極限與無(wú)窮小階的比較第19頁(yè)/共39頁(yè)3()(1)33nnnnnnnnabcabc

14、31(1) (1) (1)limlim133nnnnnnxxabcabcnn 【解解】由于由于且且3ln3lim()3nnnnabcxabceabc 1(lnlnln )ln3nabcabc 則則求極限與無(wú)窮小階的比較第20頁(yè)/共39頁(yè)【例例2 2】極限極限 xxbxaxx)(lim2ea b eb a 1e（ ）（A A） （B B） （C C） （D D）第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)2limlim()()()()xxxxxxxxxaxbxaxb aba beee 【解法解法1 1】求極限與無(wú)窮小階的比較第21頁(yè)/共39頁(yè)第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)2lim()()xxxxaxb lim(1)lim

15、(1)xxxxabxx aba beee 【解法解法2 2】故應(yīng)選（故應(yīng)選（C C）求極限與無(wú)窮小階的比較第22頁(yè)/共39頁(yè)方法方法3 3 等價(jià)無(wú)窮小代換等價(jià)無(wú)窮小代換【例例1 1】.)1ln(lim2tansin0 xxeexxx 第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)sintantansintan2300(1)limlimln(1)xxxxxxxeeeexxx 3300sintantan (cos1)limlimxxxxxxxx 2301()12lim2xxxx 【解解】求極限與無(wú)窮小階的比較第23頁(yè)/共39頁(yè).1111lim330 xxxxx 【例例2 2】第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)01232 1lim

16、1 223 1xxxxx 【解解】求極限與無(wú)窮小階的比較第24頁(yè)/共39頁(yè)方法方法4 4 夾逼原理夾逼原理【例例1 1】 nnnnnnnnn2222211lim第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)【解解】由于由于且且則則 nnnnnnnnn2222211lim求極限與無(wú)窮小階的比較第25頁(yè)/共39頁(yè)【例例2 2】nnnn321lim 第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)【解法解法2 2 】由于【解法解法1 1】331233 33 3nnnnnnnn lim31nn lim 1233nnnn 又又則則3 nnnn321lim 求極限與無(wú)窮小階的比較第26頁(yè)/共39頁(yè)第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)，則，則又又,lim21nnm

17、nnnaaa ), 2 , 1( , 0miai 【例例3 3】 其中其中【解解】 令令1maxii maa 12nnnnnnnnnnaaaaamaa m 則則lim1nnm 12limnnnnmnaaaa 【注注】本題的結(jié)論是一個(gè)常用結(jié)論本題的結(jié)論是一個(gè)常用結(jié)論求極限與無(wú)窮小階的比較第27頁(yè)/共39頁(yè) 方法方法5 5 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則., 2 , 121, 0, 011 nxaxxxannn，.limnnx 【例例】設(shè)設(shè)求極限求極限第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)10,0ax 0.nx 111()222nnnnnaaxxxaxx nx【解】則數(shù)列則數(shù)列 有下界，又有下界，又知知求極限與無(wú)窮小

18、階的比較第28頁(yè)/共39頁(yè)第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)211()022nnnnnnaxaxxxxx nx1()2axxx .xa 則數(shù)列則數(shù)列單調(diào)減，從而單調(diào)減，從而存在存在令令則則，求極限與無(wú)窮小階的比較第29頁(yè)/共39頁(yè)2 2. .無(wú)窮小量階的比較無(wú)窮小量階的比較0 x2)(kxx xxxxcosarcsin1)( 【例例1 1】當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，與與是等價(jià)無(wú)窮小，則是等價(jià)無(wú)窮小，則 ._ k第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)201arcsincos1limxxxxkx 2011cosarcsinlim2xxxxkx 【解解】113(1)224kk 34k 則則求極限與無(wú)窮小階的比較第30頁(yè)/共39頁(yè)0 x)

19、1ln()cos1(2xx nxxsin【例例2 2】設(shè)當(dāng)設(shè)當(dāng)時(shí)，時(shí)，是比是比高階高階 nxxsin)1e (2 x的無(wú)窮小，而的無(wú)窮小，而是比是比高階的無(wú)窮小，高階的無(wú)窮小， 則則 正整數(shù)正整數(shù)n等于等于 （A A）1. 1. （B B）2. 2. （C C）3. 3. （D D）4 4.第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)241(1cos )ln(1) 2xxx 1sinnnxxx 221 xex 214n 2n 【解解】，則則，即，即求極限與無(wú)窮小階的比較第31頁(yè)/共39頁(yè)三、連續(xù)三、連續(xù)1 1. .連續(xù)的定義連續(xù)的定義: : )()(lim00 xfxfxx )(xf0 x若若, ,稱稱在在處連續(xù)

20、。處連續(xù)。)()(lim00 xfxfxx )()(lim00 xfxfxx 左連續(xù)左連續(xù): : 右連續(xù)：右連續(xù)： )(xf)(xf連續(xù)連續(xù)左連續(xù)且右連續(xù)左連續(xù)且右連續(xù) 2 2. .間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) 1 1）第一類(lèi)間斷點(diǎn)）第一類(lèi)間斷點(diǎn): : 左左, ,右極限均存在的間斷點(diǎn)右極限均存在的間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn): : 左極限左極限 = = 右極限右極限跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn): : 左極限左極限 右極限右極限2 2）第二類(lèi)間斷點(diǎn)）第二類(lèi)間斷點(diǎn): : 左左, ,右極限中至少有一個(gè)不存在右極限中至少有一個(gè)不存在無(wú)窮間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn) 振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn) 第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)連續(xù)的定義、性質(zhì)和間斷點(diǎn)第3

21、2頁(yè)/共39頁(yè)3 3. .連續(xù)函數(shù)性質(zhì)連續(xù)函數(shù)性質(zhì)（1 1）連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）及復(fù)）連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）及復(fù)合仍為連續(xù)函數(shù)；合仍為連續(xù)函數(shù)；（2 2） 基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)；基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)；)(xf,ba)(xf,ba（3 3）有界性：若）有界性：若在在上連續(xù)上連續(xù), ,則則在在上有界。上有界。)(xf,ba)(xf,ba（4 4）最值性）最值性: : 若若在在上連續(xù)上連續(xù), , 則則在在最大值和最小值。最大值和最小值。上必有上必有 初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)；初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)；)(xf,ba),()(bfaf )(af),(ba （5 5）介值性）介值性: : 若若在在上連續(xù)上連續(xù), ,且且 則對(duì)則對(duì)之間任一數(shù)之間任一數(shù)C,C,與與 )(bf至少存在一個(gè)至少存在一個(gè)使得使得.)(Cf 第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)連續(xù)的定義、性質(zhì)和間斷點(diǎn)第33頁(yè)/共39頁(yè))(xf,ba0)()( bfaf),(ba . 0)( f（6 6）零點(diǎn)定理