高數(shù)第十一章(1)對弧長的曲線積分

1、第十一章積分學 定積分二重積分三重積分積分域 區(qū)間域 平面域 空間域 曲線積分曲線積分曲線域曲線域曲面域曲面域曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分 第一節(jié)一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對弧長的曲線積分的計算法二、對弧長的曲線積分的計算法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對弧長的曲線積分 第十一章 AB一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)假設曲線形細長構(gòu)件在空間所占弧段為AB , 其線密度為),(zyx“大化小, 常代變, 近似和, 求

2、極限” kkkks),(可得nk 10limM為計算此構(gòu)件的質(zhì)量,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設 是空間中一條有限長的光滑曲線,義在 上的一個有界函數(shù), kkkksf),(都存在,),(zyxf上對弧長的曲線積分,記作szyxfd),(若通過對 的任意分割局部的任意取點, 2. .定義定義是定),(zyxf下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.),(zyxf稱為被積函數(shù)， 稱為積分弧段 .曲線形構(gòu)件的質(zhì)量szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk和對機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)

3、束 如果 L 是 xoy 面上的曲線弧 ,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(如果 L 是閉曲線 , 則記為.d),(Lsyxf則定義對弧長的曲線積分為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, ?d 表示什么問Ls(2) 定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例 ? 否! 對弧長的曲線積分要求 ds 0 ,但定積分中dx 可能為負.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意注意:(1) 對于第一類曲線積分，應注意函數(shù)是定義在曲線上的，因此其自變量要滿足曲線方程式。以后我們常利用曲線方程式來對被積函數(shù)進行變形,以此來簡化計算。(2) 可以證明

4、,只要函數(shù)在曲線上連續(xù),其第一類曲線 積分就存在。（P187 定理） 3. 性質(zhì)性質(zhì)szyxfkd),() 1 (（k 為常數(shù))szyxfkd),(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 szyxfd ),()2(),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(szyxfd),()3( 由 組成) 21, sd)4( l 為曲線弧 的長度)l21d),(d),(szyxfszyxf則(5). 若在 上),(zyxf, ),(zyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 szyxszyxfd),(d),(特別的，有.d| ),(|d),(szyxfszyxf則(6). 若在 上,),(MzyxfmlM

5、szyxflmd),(7).(第一類曲線積分的中值定理),(zyxf設在曲線 上連續(xù), l 為的弧長,則存在,),(使得szyxfd),(lf),(8. 設函數(shù)),(zyxf在空間曲線 上連續(xù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若關(guān)于xoy面對稱,記1為位于xoy面上方的部分. 在上),(),() 1 (zyxfzyxf則szyxfd),(1d),(2szyxf),(),()2(zyxfzyxf則szyxfd),(0當曲線關(guān)于 yoz 面對稱, 函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性； 仍有類似結(jié)果.或者,曲線關(guān)于 zox 面對稱, 函數(shù)關(guān)于變量 y 有奇偶性時, 8設函數(shù)),(yxf記 L1為L 位于

6、 x 軸上方的部分, ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfLsyxfd),(0d),(Lsyxf當曲線關(guān)于 y 軸對稱, 函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性時, 仍在 L 上1d),(2Lsyxf在曲線 L 上連續(xù), L關(guān)于x 軸對稱,則則有類似結(jié)果.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 平面曲線的情形：tttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22二、對弧長的曲線積分的計算法二、對弧長的曲線積分的計算法基本思路基本思路:計算定積分轉(zhuǎn) 化定理定理:),(yxf設且)()(tty上的連續(xù)函數(shù),* *證證:是定義在光滑曲線弧則曲線積分),(:txL,d),(存在Lsyx

7、f求曲線積分根據(jù)定義 kknkksf),(lim10Lsyxfd),(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 , ,1kkktt點),(kktttskkttkd)()(122,)()(22kkktnk 10limLsyxfd),(kkkt)()(22 )(, )(kkf連續(xù)注意)()(22tt設各分點對應參數(shù)為), 1 ,0(nktk對應參數(shù)為 則,1kkkttnk 10limkkkt)()(22 )(, )(kkf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xdydsdxyoLsyxfd),(tttttfd)()()(),(22說明說明:, 0, 0) 1 (kkts因此積分限必須滿足!(2) 注意到

8、22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述計算公式相當于“換元法”. 因此機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 如果曲線 L 的方程為),()(bxaxy則有Lsyxfd),(如果方程為極坐標形式:),()(: rrL則syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推廣推廣: 設空間曲線弧的參數(shù)方程為)()(, )(),(:ttztytx則szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: 第一類曲線積分計算時應遵循以下步驟

9、(1)注意利用對稱性、曲線方程、性質(zhì)和形心公式；(2)選取合適的曲線表示形式,抓住弧長微元.平面曲線直角坐標系極坐標系參數(shù)化方程22)(d)(ddyxs空間曲線 （參數(shù)化方程）222)(d)(d)(ddzyxs(3)代入,轉(zhuǎn)化為定積分,注意上限要大于下限.例例1. 計算,dLsy其中 L 是拋物線2xy 與點 B (1,1) 之間的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsxd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上點 O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyo例例2. 設 C 是由極坐標系下曲

10、線, ar 0及4所圍區(qū)域的邊界, 求seICyxd222)24(aeaa4xy 0yar 解解: 分段積分xeIaxd0d40aeaxeaxd2202機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注：逐段光滑的曲線求曲線積分時要注意利用性質(zhì)3.例例3. 計算,dsxIL其中L為雙紐線)0()()(222222ayxayx解解: 在極坐標系下它在第一象限部分為)40(2cos:1 arL利用對稱性 , 得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLyox機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 計算半徑為 R ,中心角為2的圓弧 L 對于它的對稱軸的

11、轉(zhuǎn)動慣量I (設線密度 = 1). 解解: 建立坐標系如圖,R xyoLsyILd2d)cos()sin(sin2222RRRdsin23 R0342sin22 R)cossin(3 R則 )(sincos:RyRxL機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 有一半圓弧cosRx ),0(其線密度 ,2解解:cosdd2RskFxdcos2Rksindd2RskFydsin2RkRRoxy0dcos2RkFx0dsin2RkFy0cossin2RkRk40sincos2RkRk2故所求引力為),(yx,sinRy 求它對原點處單位質(zhì)量質(zhì)點的引力. RkRkF2,4機動 目錄 上頁 下頁 返

12、回 結(jié)束 例例6. 計算曲線積分 ,d)(222szyx其中為螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax線機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 d d s例例7. 計算,d)(222szyxI其中為球面22yx 解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z. 1的交線與平面 zx292 z化為參數(shù)

13、方程 21cos2x sin2y則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明：說明：對于第一類曲線積分,仍有三個以下經(jīng)常使用機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的公式:（只對空間曲線進行描述,平面曲線類似）(1)若對于曲線 ,作 xy 后表示方式不變,則szyxfd),(szxyfd),(同樣地,若對于曲線 ,作 xz (或yz )后表示方式不變,則仍有類似的結(jié)論.(2)作坐標平移或旋轉(zhuǎn)(x, y, z)(u, v, w),則szyxfd),(.d),(swvuf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (3)對于一些能知道形心和弧長的特殊曲線 ,可利用以下形心公式：,dlsxx,dlsyylszzd

14、的弧長為sld來求曲線積分.d,d,dszsysx例例8. 計算,d2sx其中為球面 2222azyx被平面 所截的圓周. 0zyx解解: 由對稱性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考思考: 例8中 改為0)1()1(2222zyxazyx計算?d2sx解解: 令 11zZyYxX0 :2222ZYXaZYX, 則sx d2sXd) 1(2sXd2332a)131(22aasX d2sda2圓的形心在原點, 故0XaX22, 如何機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 定義

15、定義kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性質(zhì)性質(zhì)kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf),(21組成由ls d)3( l 曲線弧 的長度)Lszyxfd),(),(為常數(shù)szyxgLd),(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 計算計算 對光滑曲線弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 對光滑曲線弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 對

16、光滑曲線弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習思考與練習1. 已知橢圓134:22yxL周長為a , 求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式 =syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用對稱性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 設均勻螺旋形彈簧L的方程為,sin,costaytax),20(tt kz(1) 求它關(guān)于 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量;zI(2) 求它的質(zhì)心 .解解: 設其密度為 (常數(shù)).syxILzd)(22202atkad222222kaa(2) L的質(zhì)量smLd222ka 而sxLd22kaa20dcostt0(1)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 syLd22kaa20dsintt0szLd22kak20dtt2222kak故重心坐標為),0,0(k作業(yè)作業(yè)P190 3第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyo備用題備用題1. 設 C 是由極坐