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文檔簡介

1、圓呀圓,江蘇高考的重點解析幾何似乎是我們同學(xué)的最怕,碰到比較復(fù)雜的題型就沒有了思路,碰到比較復(fù)雜的計算就缺乏信心。解析幾何又是我們高考的必考內(nèi)容,那么今年高考解幾題的重點在那里呢?直線方程和圓,其中又以圓為重中之重。如何解決與圓相關(guān)的試題呢,這就是我們需要歸納總結(jié)的地方。在各市的零模、一模、二模試題中,與圓相關(guān)的主要是以下三類問題:求解圓的方程;直線與圓的位置關(guān)系;與圓相關(guān)的范圍最值問題。1. 求解圓的方程例1(鎮(zhèn)江高三第三次調(diào)研)如圖,直角三角形的頂點坐標(biāo),直角頂點,頂點在軸上,點為線段的中點()求邊所在直線方程; ()為直角三角形外接圓的圓心,求圓的方程;對于()問實際上是求三角形外接圓的

2、方程,而且是直角三角形外接圓的方程,圓心和半徑都是很容易確定下來的,如若改成是一般三角形呢,如三角形的三個頂點分別是,那么他的外接圓方程又如何求呢?例2(宿遷市第二次調(diào)研)已知平面區(qū)域恰好被面積最小的圓及其內(nèi)部所覆蓋()試求圓的方程. 此題不過是上題換了個說法罷了,仍然是求直角三角形外接圓的方程,我的思考是如若改平面區(qū)域為,那又如何去求面積最小的圓呢,還是三角形的外接圓嗎?這個平面區(qū)域的三角形是鈍角三角形,此時面積最小的圓應(yīng)該是以三角形最長邊為直徑的圓,這就是不同之處。例3(南通市第一學(xué)期期末測試)在平面區(qū)域 內(nèi)有一個圓,向該區(qū)域內(nèi)隨機投點,當(dāng)點落在圓內(nèi)的概率最大時的圓記為M(1)試求出M的方

3、程; 此題關(guān)鍵在于判斷M為三角形的內(nèi)切圓,那又如何求內(nèi)切圓方程呢,關(guān)鍵是確定圓心M(a,b)和半徑R,那就要找內(nèi)切圓圓心的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于a,b的方程組了。 對于求解圓的方程,關(guān)鍵是確定圓心坐標(biāo)和半徑大小,這就需要根據(jù)題意,轉(zhuǎn)化條件,“由未知,想需知,靠攏已知”(羅增儒語)。2直線與圓的位置關(guān)系關(guān)于涉及直線與圓的位置關(guān)系,無外乎相交、相切、相離。其中又以相交和相切最為常見,處理此類一般采用兩種方法:代數(shù)的方法和幾何的方法。我們知道若將直線的方程和圓的方程進行聯(lián)立,轉(zhuǎn)化成一元二次方程,通過方程兩根之和與兩根之積去解決相關(guān)的問題這就是代數(shù)的方法;若要考慮圓心到直線的距離與圓的半徑關(guān)系,結(jié)合圓中的

4、垂徑定理,構(gòu)造直角三角形去解決相關(guān)問題,這就是幾何的方法。一般我們優(yōu)先考慮幾何的辦法,這樣處理簡潔易算。 例4(南京市2008屆第一次調(diào)研)已知:以點C (t, EQ F(2,t) )(tR , t 0)為圓心的圓與軸交于點O, A與y軸交于點O, B,其中O為原點(1)求證:OAB的面積為定值;(2)設(shè)直線y = 2x+4與圓C交于點M, N,若OM = ON,求圓C的方程 對于第二問,(1)聯(lián)立得 (*),設(shè)交點,當(dāng)時,得,又OM = ON,所以,即所以,故,而當(dāng)時,(*)式;時,(*)式,這樣可以得到圓C的方程:。(2)可設(shè)M, N的中點為,OM = ON,又,從而三點共線,這樣,故,當(dāng)

5、時,直線和此圓并不相交,從而可以得到圓C:。 例5(南京市2008屆第二次調(diào)研)如圖,是橢圓的一個焦點,是橢圓的兩個頂點,橢圓的離心率為,點在軸上,三點確定的圓恰好與直線 相切。(1)求橢圓的方程;(2)過點的直線與圓交與兩點,且,求直線的方程。 由(1)易求得圓:(x 1)2 + y 2 = 4 , A( 2, 0),的斜率顯然存在,故設(shè),代入圓:(x 1)2 + y 2 = 4得 (*),當(dāng)(*)式時,設(shè),得,這樣得到,此時(*)式,這樣可以得到直線的方程了。再看幾何的做法,設(shè),得,圓心到直線的距離為1,即得,這樣也可以得到直線的方程。 我的思考是對于一般直線和圓的位置關(guān)系均可以采用這兩種

6、方法,代數(shù)法比較直接,容易上手,缺點是計算量太大;幾何法就相對簡潔,沒有什么計算量,但缺點是必須熟悉平面圖形的幾何性質(zhì)。對于這兩種處理方法并不是對所有都可行的,如若對上題條件改成:,那么就不是特殊角了,不難計算得就仍然可以得到圓心到直線的距離了;如若改成呢?幾何的方法還行嗎?如若改成是呢?代數(shù)的方法還行的通嗎? 抓住圖形的幾何性質(zhì)是我們解決解幾問題的關(guān)鍵所在,那么如何去分析出幾何圖形的幾何性質(zhì)呢?一題一圖是解幾的特點,沒有圖,憑空想象,那就很難分析了,一張清晰的圖往往能幫助我們展開思路。例5(南通市第一學(xué)期期末測試)過點P(0,3)作M的兩條切線,切點分別記為A,B;又過P作N:x2+y2-4

7、x+y+4=0的兩條切線,切點分別記為C,D試確定的值,使ABCD 從圖形上看有7各點,6條線,兩個圓,比較復(fù)雜,那我們就必須抓住關(guān)鍵圖形,篩選重要信息,對無效信息就需要忽略不看。我們知道,要使ABCD,只要即可,這樣只看三點就行了,其他的圖形就可以忽略了。 緊緊抓住圖形的幾何性質(zhì)是我們解決解析幾何問題的首要策略,抓住關(guān)鍵圖形,忽略無效信息往往能起到意想不到的效果。如果找不到幾何性質(zhì),那就要換換想法了,聯(lián)立方程,進行代數(shù)運算吧! 3解幾中相關(guān)參數(shù)的范圍和最值問題 解析幾何中凡涉及到參數(shù)范圍,最值的問題一般有兩個策略:轉(zhuǎn)化為某個變量的函數(shù)問題;分析題意,結(jié)合圖形,尋找?guī)缀巫钪?。如在圓上任意一點到

8、點的距離為,求的最值。我們可以結(jié)合圖形知道最大值為4,最小值為2;也可以用= 這樣轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題,這里要取合適的變量,還要注意變量的范圍。這種方法的威力很大,例如為橢圓上的任意一點,那么求的最值就不得不借助這種方法了,容易得到 ,這樣就成了二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題了。 例6(徐州市第一次質(zhì)檢題)若橢圓過點,離心率為,圓的圓心為原點,直徑為橢圓的短軸,圓:過圓上任意點作圓的切線,切點為。(1)求橢圓方程 (2)求直線與圓的另一交點為,當(dāng)弦最大時,求直線的方程。 (3)求的最大值與最小值。對于(1)易求得橢圓方程為.對(2)結(jié)合圖形,當(dāng)為直徑時最大,從而直線即為直線,過求圓的切線了.對于(3

9、)如何求的最值呢,必須對進行轉(zhuǎn)化,怎么化,往哪方向上化,想向量內(nèi)積的表示,坐標(biāo)法?定義式?設(shè),這樣,轉(zhuǎn)化成關(guān)于長度的一個函數(shù)問題了,那么的范圍就成為問題的關(guān)鍵所在了。這里的變量不僅僅可以是坐標(biāo),角度,也能是線段的長度了,不管是什么變量,都要關(guān)注這個變量的范圍。例7(鹽城市第三次調(diào)研) 已知橢圓的右焦點為,上頂點為,為上任一點, 是圓的一條直徑.若與平行且在軸上的截距為的直線恰好與圓相切.()求橢圓的離心率; ()若的最大值為49,求橢圓的方程. 對于(1)可由圖形知道和相似,則,這樣可得離心率為,對于(2)設(shè)P(x, y),則= x 2 + (y 3) 2 1 = (y + 3) 2 + 2 c 2 + 17, ( cyc),這樣結(jié)合圖形就轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題了。如何尋找關(guān)系進行轉(zhuǎn)化,這是問題的關(guān)鍵,這要回到題目的圖形上來,對圖形的幾何性質(zhì)分析,是首要考慮的問題。4一類問題和一種方法直線和圓,包括橢圓都是解析幾何常考的問題,這里還要關(guān)注兩個圓的位置關(guān)系,兩圓的位置關(guān)系最重要是兩圓心距和半徑的關(guān)系,比如已知圓和圓,判斷兩圓的位置關(guān)系如果改求兩圓的外公切線,那怎么辦?如圖, ,這樣,從而的坐標(biāo)為,外公切線為,這里的思路:公切線垂直相似三角形相似比交點坐標(biāo)如果改成求內(nèi)公切線呢?思路相同嗎?如果是和圓,那兩圓的位置關(guān)系呢?公共弦方程呢?兩圓方程相減即可,這里要用圓系

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