數(shù)據(jù)包絡(luò)分析

1、2011年2月管理工程學院運籌學運籌學1第第4 4章章 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(DEA)(DEA) DEA(Data Envelopment Analysis)方法又稱為數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法，是對多指標投入和多指標產(chǎn)出的相同類型部門，進行相對有效性綜合評價的一種新方法，也是研究多投入多產(chǎn)出生產(chǎn)函數(shù)的有力工具。 DEA方法是美國著名運籌學家查恩斯(A.Charnes)和庫伯(W.W.Cooper)教授于19781978年首先提出的。 2011年2月管理工程學院運籌學運籌學2 在國外，DEA方法已經(jīng)成功地應用于銀行、城市、醫(yī)院、學校及軍事等方面效率的評價，在對相互之間存在激烈競爭的私營企業(yè)和公司的效

2、率評價中，也顯示出巨大的優(yōu)越性。例如，用DEA 方法對美國大銀行效率評價的研究，取得了極大的成功。應用DEA方法評價部門的相對有效性的優(yōu)勢地位，是其它方法所不能取代的。 在國內(nèi)，經(jīng)濟和管理領(lǐng)域的許多方面，DEA方法都得到了重要的應用。例如，紡織工業(yè)部門所屬的棉紡企業(yè)中，利用工業(yè)普查資料對177個企業(yè)的綜合經(jīng)濟效益進行評價，取得了滿意的結(jié)果。DEA方法在冶金工業(yè)評價、城市供熱系統(tǒng)規(guī)劃、機床工業(yè)管理、科技情報機構(gòu)功能與效益評價、企業(yè)技術(shù)進步分析等方面的研究，都取得一系列重要應用成果。2011年2月管理工程學院運籌學運籌學3 4.1 DEA 4.1 DEA模型模型 一、一、DEADEA模型概述模型概

3、述 對具有相同類型的部門、企業(yè)或者同一企業(yè)不同時期的相對效率進行評價，這些部門、企業(yè)或時期稱為決策單元。評價的依據(jù)是決策單元的一組投入指標數(shù)據(jù)和一組產(chǎn)出指標數(shù)據(jù)。 投入指標是指決策單元在經(jīng)濟和管理活動中需要耗費的經(jīng)濟量，例如固定資產(chǎn)原值、流動資金平均余額、自籌技術(shù)開發(fā)資金、職工人數(shù)、占用土地等。 產(chǎn)出指標是指決策單元在某種投入要素組合下，表明經(jīng)濟活動產(chǎn)生成效的經(jīng)濟量，例如總產(chǎn)值、銷售收入、利稅總額、產(chǎn)品數(shù)量、勞動生產(chǎn)率、產(chǎn)值利潤率等。 指標數(shù)據(jù)是指實際觀測結(jié)果，根據(jù)投入指標數(shù)據(jù)和產(chǎn)出指標數(shù)據(jù)評價決策單元的相對效率，即評價部門、企業(yè)或時期之間的相對有效性。 DEA方法就是評價多指標投入和多指標產(chǎn)

4、出決策單元相對有效性的多目標決策方法。 2011年2月管理工程學院運籌學運籌學4 二、二、C C2 2R R模型及其基本性質(zhì)模型及其基本性質(zhì) 1.C1.C2 2R R模型模型 設(shè)有n個部門(企業(yè))，稱為n個決策單元，每個決策單元都有p種投入和q種產(chǎn)出，分別用不同的經(jīng)濟指標表示。這樣，由n個決策單元構(gòu)成的多指標投入和多指標產(chǎn)出的評價系統(tǒng)，可以用下圖表示： V決策單元12knv1x11x12x1kx1n投入v2x21x22x2kx2n vpxp1xp2xpkxpnxik表示第k個決策單元第i種 投入指標的投入量，xik0； （是已知數(shù)據(jù)） vi表示第i種投入指標的權(quán)系數(shù)， vi0 （是變權(quán)數(shù)） 2

5、011年2月管理工程學院運籌學運籌學5 決策單元12kn Uy11y12y1ky1nu1y21y22y2ky2nu2產(chǎn)出yq1yq2yqkyqnuqykj表示第k個決策單元第j種產(chǎn)出指標的產(chǎn)出量，ykj0；（是已知數(shù)據(jù)） uj表示第k種產(chǎn)出指標的權(quán)系數(shù)，uj0 （是變權(quán)數(shù)） 2011年2月管理工程學院運籌學運籌學6 設(shè)投入指標和產(chǎn)出指標的權(quán)系數(shù)向量分別為 V=(vV=(v1 1，v v2 2，v vp p) )T T ，U=(uU=(u1 1，u u2 2，u uq q) )T T 對每一個決策單元 k k ，定義一個效率評價指標 nkxvyuxvxvyuyuhpiikiqjjkjpkpkqk

6、qkk, 2 , 1,111111 即：效率指標 h hk k 等于等于產(chǎn)出加權(quán)之和除以投入加權(quán)之和，表示第 k k 個決策單元多指標投入和 多指標產(chǎn)出所取得的經(jīng)濟效率。 可以適當?shù)剡x擇權(quán)系數(shù) U U、V V，使得 h hk k11。2011年2月管理工程學院運籌學運籌學7 現(xiàn)在，建立評價第k k0 0個決策單元相對有效性的C C2 2R R模型。 設(shè)第k k0 0個決策單元的投入向量和產(chǎn)出向量分別為：TqkkkTpkkkyyyYxxxX),(,),(000000210210 效率指標h0=hk0。在效率評價指標hk1(k=1,2,，n)的約束條件下，選擇一組最優(yōu)權(quán)系數(shù) U和V，使得h0達到最

7、大值，構(gòu)造優(yōu)化模型(分式規(guī)劃) ： 0000000022112211110pkpkkqkqkkpiikiqjjkjxvxvxvyuyuyuxvyuhMax 2011年2月管理工程學院運籌學運籌學8 piqjvunkxvxvxvyuyuyuxvyutsijpkpkkqkqkkpiikiqjjkj, 2 , 1;, 2 , 1, 0,), 2 , 1(, 1.2211221111 此模型稱為C2R模型，是最基本的DEA模型，用C2R模型評價第k0個決策單元的有效性， 是相對于其它決策單元而言的，故稱為評價相對有效性的DEA 模型。 )(,),(,),(2121PyyyYxxxXTqkkkkTpkk

8、kk則則有有矩矩陣陣形形式式記記 000XVYUhMaxTT 0,),2 , 1(, 1.VUnkXVYUtskTkT2011年2月管理工程學院運籌學運籌學9 作Charnes-Cooper變換，轉(zhuǎn)化為一個等價的線性規(guī)劃模型。 UtVtXVtT,10令令00000)(:YYUtYUtXVYUTTTTT 則則, 1)()( kTkTkTkTkTkTkTkTXYXVtYUtXVtYUtXVYU 0 kTkTYX 即即1)(00000 XVXVXVtXVtXTTTTT 2011年2月管理工程學院運籌學運籌學10 轉(zhuǎn)化為一個等價的線性規(guī)劃模型： 0:)(YVMaxPTp 0,1), 2 , 1(, 0

9、. .0 XnkYXtsTkTkTqqkkkPyyyVMax 0002211 0)()(. .11111111 qqppyyxxts 0)()(1111 qqnnppnnyyxx 10011 ppkkxx qjpiji,2, 1;,2, 1,0, ，對應的對偶變量記為，對應的對偶變量記為 1 1，對應的對偶變量記為，對應的對偶變量記為 n n，對應的對偶變量記為，對應的對偶變量記為 展開可寫為：展開可寫為： 2011年2月管理工程學院運籌學運籌學11 其對偶規(guī)劃為：其對偶規(guī)劃為： DVMin0)(. .011111 knnxxxts 為為自自由由變變量量 ;,2,1,0nkk 0)(011 p

10、knpnpxxx011111knnyyy 011qknqnqyyy 2011年2月管理工程學院運籌學運籌學12 引入松弛變量引入松弛變量 、TpsssS),(21 ,),(21TqsssS 將不等式約束化為等式約束，得將不等式約束化為等式約束，得 DVMinD:)(01.XSXtskkkk 0,;,2,1,0 SSnkk 01YSYknkk 2011年2月管理工程學院運籌學運籌學13 【例例1 1】設(shè)有設(shè)有4 4個決策單元，個決策單元，2 2個投入指標和個投入指標和1 1個產(chǎn)出指標的評價系統(tǒng)，其數(shù)據(jù)如下圖。個產(chǎn)出指標的評價系統(tǒng)，其數(shù)據(jù)如下圖。 寫出評價第寫出評價第1 1個決策單元相對效率的個決

11、策單元相對效率的C C2 2R R模型。模型。 1234決策單元投入113342313211211產(chǎn)出 解：解： （P P）：）： Max V VP P = = 1 1 s.t. s.t. 1 1 + 3+ 3 2 2 - - 1 1 0 0 3 3 1 1 + + 2 2 - - 1 1 0 0 3 3 1 1 + 3+ 3 2 2 - 2- 2 1 1 0 0 4 4 1 1 + 2+ 2 2 2 - - 1 1 0 0 1 1 + 3+ 3 2 2 =1=1 1 1, , 2 2, , 1 1 0 0（D D）：）： Max V VD D = = s.t. s.t. 1 1 + 3+ 3

12、 2 2 + 3+ 3 3 3 + 4+ 4 4 4 + s+ s- -1 1 = = 3 3 1 1 + + 2 2 + 3+ 3 3 3 + 2+ 2 4 4 + s+ s- -2 2 = 3= 3 1 1 + + 2 2 + 2+ 2 3 3 + + 4 4 s s+ +1 1 = 1= 1 1 1, , 2 2 , , 3 3 , , 4 4 ,s,s- -1 1,s,s- -2 2 s s+ +1 1 0 02011年2月管理工程學院運籌學運籌學14 2. 2.評價系統(tǒng)的評價系統(tǒng)的DEADEA有效性：決策單元有效性：決策單元 k k0 0 為為DEADEA有效的定義有效的定義 定義定

13、義1 1 如果線性規(guī)劃如果線性規(guī)劃(P)(P)的最優(yōu)解滿足下列條件的最優(yōu)解滿足下列條件 V VP P = = 0T 0T Y Y0 0 = 1 = 1 則稱決策單元則稱決策單元 k k0 0 為弱為弱DEADEA有效。有效。 定義定義2 2 如果線性規(guī)劃如果線性規(guī)劃(P)(P)的最優(yōu)解滿足條件的最優(yōu)解滿足條件 V VP P = = 0T 0T Y Y0 0 = 1 = 1 ，并且，并且 0 00, 0, 0 00 0 則決策單元則決策單元 k k0 0 為為DEADEA有效。有效。 0:)(YVMaxPTp 0,1), 2 , 1(, 0. .0 XnkYXtsTkTkT DVMinD :)(

14、01.XSXtskkkk 0,;,2, 1,0 SSnkk 01YSYknkk 2011年2月管理工程學院運籌學運籌學15 定理定理1 1 線性規(guī)劃線性規(guī)劃(P)(P)及其對偶規(guī)劃及其對偶規(guī)劃(D)(D)都有可行解，因而都有最優(yōu)解，并且最優(yōu)值都有可行解，因而都有最優(yōu)解，并且最優(yōu)值 V VP P = V = VD D 1 1 定理定理2 2 關(guān)于對偶規(guī)劃關(guān)于對偶規(guī)劃(D)(D)，有，有 如果如果(D)(D)的最優(yōu)值的最優(yōu)值V VD D=1=1，則決策單元，則決策單元k k0 0為弱為弱DEADEA有效；反之亦然；有效；反之亦然； 如果如果(D)(D)的最優(yōu)值的最優(yōu)值V VD D=1=1，并且每個

15、最優(yōu)解都滿足條件：，并且每個最優(yōu)解都滿足條件： s s0- 0- = 0, s= 0, s0+ 0+ = 0 = 0 ， 則決策單元則決策單元k k0 0為為DEADEA有效；反之亦然。有效；反之亦然。 定理定理3 3 決策單元的最優(yōu)效率指標決策單元的最優(yōu)效率指標V VP P與投入指標值與投入指標值X Xikik及產(chǎn)出指標值及產(chǎn)出指標值Y Ykjkj的量綱選取無關(guān)。的量綱選取無關(guān)。 2011年2月管理工程學院運籌學運籌學16 3. 3.評價系統(tǒng)評價系統(tǒng) DEA DEA 有效性的判定有效性的判定 在實際應用中，無論利用在實際應用中，無論利用(P)(P)還是還是(D)(D)，上述判斷都并非易事。，

16、上述判斷都并非易事。 為了方便地使判定決策單元為了方便地使判定決策單元DEA DEA 有效，查恩斯和庫伯引用了非阿基米德無窮小量的概念。有效，查恩斯和庫伯引用了非阿基米德無窮小量的概念。 從而，可以利用單純形方法求解線性規(guī)劃問題，來判定決策單元的從而，可以利用單純形方法求解線性規(guī)劃問題，來判定決策單元的DEADEA有效性。有效性。 設(shè)設(shè) 是非阿基米德無窮小量，在廣義實數(shù)域內(nèi)，是非阿基米德無窮小量，在廣義實數(shù)域內(nèi)， 表示一個小于任何正數(shù)且大于零的數(shù)，表示一個小于任何正數(shù)且大于零的數(shù)，考慮帶有非阿基米德無窮小量考慮帶有非阿基米德無窮小量 的的C C2 2R R模型：模型： 0:)(YVMaxPTP

17、 TTTTTkTkTeeXnkYXts 1), 2 , 1(, 0. .0)(:)( seseVMinDTTD 01.XSXtskkkk 0,;,2, 1,0 SSnkk 01YSYknkk 其中其中Te =(1,1, =(1,1, ,1),1)是元素均為是元素均為l l的的 p p 維向量，維向量，e eT T=(1,1,=(1,1,1),1)是元素均為是元素均為l l的的 q q 維向量。維向量。 2011年2月管理工程學院運籌學運籌學17 定理定理4 4 設(shè)設(shè) 為非阿基米德無窮小量，線性規(guī)劃（為非阿基米德無窮小量，線性規(guī)劃（D ）的最優(yōu)解為）的最優(yōu)解為 0,s0-, s0+, 0，有，有

18、 若若 0 =1=1，則決策單元，則決策單元k k0 0為弱為弱DEADEA有效；有效； 若若 0 =1=1，并且，并且s0-=0, s0+ =0，則決策單元，則決策單元k k0 0為為DEADEA有效。有效。 利用模型一次計算就能夠判定決策單元是否利用模型一次計算就能夠判定決策單元是否DEA DEA 有效。有效。 在實際操作中，只要取在實際操作中，只要取 足夠小，例如取足夠小，例如取 = 10= 10-6-6。用單純形法求解，通?？衫?。用單純形法求解，通?？衫?線性規(guī)劃軟件線性規(guī)劃軟件( ( 如如QSBQSB，LindoLindo等等 ) )，在計算機上實現(xiàn)。，在計算機上實現(xiàn)。 【例例2

19、 2】設(shè)有設(shè)有4 4個決策單元，個決策單元，2 2個投入指標和個投入指標和1 1個產(chǎn)出指標的評價系統(tǒng)，其數(shù)據(jù)如下圖。個產(chǎn)出指標的評價系統(tǒng)，其數(shù)據(jù)如下圖。 判定各個決策單元是否判定各個決策單元是否 DEA DEA 有效。有效。 1234決策單元投入113342313211211產(chǎn)出2011年2月管理工程學院運籌學運籌學18 解：解： 決策單元決策單元1 1所對應的線性規(guī)劃（所對應的線性規(guī)劃（D D ），?。?，取 = 10= 10-6-6，為，為 （D D ）：）：Max V VD D = = - 0.000001(s - 0.000001(s- -1 1+s+s- -2 2+s+s+ +1 1)

20、 ) s.t. s.t. 1 1 + 3+ 3 2 2 + 3+ 3 3 3 + 4+ 4 4 4 + s+ s- -1 1 = = 3 3 1 1 + + 2 2 + 3+ 3 3 3 + 2+ 2 4 4 + s+ s- -2 2 = 3= 3 1 1 + + 2 2 + 2+ 2 3 3 + + 4 4 s s+ +1 1 = 1= 1 1 1, , 2 2 , , 3 3 , , 4 4 ,s,s- -1 1,s,s- -2 2 s s+ +1 1 0 0利用單純形法求解，得到最優(yōu)解利用單純形法求解，得到最優(yōu)解 0 0=(1,0,0,0)=(1,0,0,0)T T ，S S1 10-

21、0- = S= S2 20-0- = S = S1 10+ 0+ = 0= 0， 0 0=1=1因此，決策單元因此，決策單元1 1為為DEADEA有效。有效。 決策單元決策單元4 4所對應的線性規(guī)劃（所對應的線性規(guī)劃（D D ），?。?，取 = 10= 10-6-6，為，為（D D ）：）：Max V VD D = = - 0.000001(s - 0.000001(s- -1 1+s+s- -2 2+s+s+ +1 1) ) s.t. s.t. 1 1 + 3+ 3 2 2 + 3+ 3 3 3 + 4+ 4 4 4 + s+ s- -1 1 = 4= 4 3 3 1 1 + + 2 2 +

22、3+ 3 3 3 + 2+ 2 4 4 + s+ s- -2 2 = 2= 2 1 1 + + 2 2 + 2+ 2 3 3 + + 4 4 s s+ +1 1 = 1= 1 1 1, , 2 2 , , 3 3 , , 4 4 ,s,s- -1 1,s,s- -2 2 s s+ +1 1 0 0利用單純形法求解，得到最優(yōu)解利用單純形法求解，得到最優(yōu)解 0 0=(0,3/5,1/5,0)=(0,3/5,1/5,0)T T ，S S1 10- 0- = S= S2 20-0- = S = S1 10+ 0+ = 0= 0， 0 0=3/5=3/51 1因此，決策單元因此，決策單元4 4不是不是D

23、EADEA有效。有效。 同樣地，經(jīng)過判定，決策單元同樣地，經(jīng)過判定，決策單元2 2，3 3均為均為DEADEA有效。有效。 2011年2月管理工程學院運籌學運籌學19 4. 4. DEADEA有效決策單元的構(gòu)造有效決策單元的構(gòu)造 評價系統(tǒng)并非所有的決策單元都是評價系統(tǒng)并非所有的決策單元都是DEA 有效，經(jīng)過判定后，如何對一些非有效，經(jīng)過判定后，如何對一些非DEA有效的決有效的決 策單元進行分析，指出造成非有效的原因，并據(jù)此改進為具有策單元進行分析，指出造成非有效的原因，并據(jù)此改進為具有 DEA DEA 有效性的決策單元。有效性的決策單元。 為此，需要討論決策單元在相對有效面上的為此，需要討論決

24、策單元在相對有效面上的 投影投影 。 0: )(YVMaxPTP TTTTTkTkTeeXnkYXt s 1), 2 , 1(, 0. .0)(:)( seseVMinDTTD 01.XSXtskkkk 0,;,2,1,0 SSnkk 01YSYknkk 2011年2月管理工程學院運籌學運籌學20 定義定義3 DEA 3 DEA 的相對有效面的相對有效面( (有效生產(chǎn)前沿面有效生產(chǎn)前沿面) ) ： 0T 0T X X0 0 0T0T Y Y0 0 = 0 = 0 如果決策單元如果決策單元k k0 0是是DEA有效，線性規(guī)劃有效，線性規(guī)劃(P)(P)有最優(yōu)解有最優(yōu)解 0 0、 0 0，并且滿足條

25、件，并且滿足條件 V Vp p = = 0T 0T Y Y0 0 = 1 = 1， 0 00 0， 0 0 0 0 而而 0T 0T X X0 0 = 1= 1，故，故 0T 0T X X0 0 = = 0T0T Y Y0 0 。于是，點。于是，點(X(X0 0,Y,Y0 0) )在超平面在超平面 上。上。 并且超平面并且超平面 上的其它點上的其它點(X,Y)(X,Y)所表示的決策單元也是所表示的決策單元也是 DEA 有效的，有效的， 因此，可以利用在相對有效面上因此，可以利用在相對有效面上 “投影投影”的方法，改進非的方法，改進非 DEA DEA 有效的決策單元。有效的決策單元。 定義定義4

26、 4 設(shè)設(shè) 0 0、s s0-0-、s s0+0+、 0 0 是線性規(guī)劃問題（是線性規(guī)劃問題（D D ）的最優(yōu)解。令）的最優(yōu)解。令 00000000,sYYsXX 稱稱 ),(00YX為決策單元為決策單元 k k0 0 對應的對應的 (X(X0 0,Y,Y0 0) ) 在在 DEA 相對有效面相對有效面 上的上的 投影投影 。 構(gòu)成了一個新的決策單元，它是否構(gòu)成了一個新的決策單元，它是否DEA 有效，有下面的定理。有效，有下面的定理。 ),(00YX2011年2月管理工程學院運籌學運籌學21 定理定理5 5 設(shè)設(shè)),(00YX是決策單元是決策單元 k k0 0 對應的對應的 (X(X0 0,Y

27、,Y0 0) ) 在在 DEA 相對有效面相對有效面 上的上的 投影投影 ，則新決策單元則新決策單元 ),(00YX相對于原來的相對于原來的n n個決策單元來說，是個決策單元來說，是DEA 有效的。有效的。 新決策單元給出了一個改進非新決策單元給出了一個改進非DEA有效決策單元的方法，亦即構(gòu)造新的有效決策單元的方法，亦即構(gòu)造新的DEADEA有效決策單元有效決策單元的方法。的方法。 【例例3 3】設(shè)有設(shè)有4 4個決策單元，個決策單元，2 2個投入指標和個投入指標和1 1個產(chǎn)出指標的評價系統(tǒng)，其數(shù)據(jù)如下圖。個產(chǎn)出指標的評價系統(tǒng)，其數(shù)據(jù)如下圖。 對非對非DEADEA有效的決策單元，求出它在有效的決策

28、單元，求出它在DEADEA相對有效面上的相對有效面上的“投影投影”，并判定新決策單元的，并判定新決策單元的 DEA 有效性。有效性。 1234決策單元投入113342313211211產(chǎn)出2011年2月管理工程學院運籌學運籌學22 解：決策單元解：決策單元 1 1，2 2，3 3 均為均為DEA 有效，決策單元有效，決策單元4 4為非為非DEA 有效，決策單元有效，決策單元 4 4 對應的對應的 線性規(guī)劃（線性規(guī)劃（D D ）的最優(yōu)解為）的最優(yōu)解為 0 0=(0,3/5,1/5,0)=(0,3/5,1/5,0)T T ，S S1 10- 0- = S= S2 20-0- = S = S1 10

29、+ 0+ = 0= 0， 0 0=3/5=3/5，令，令,)56,512()0 , 0()2 , 4(530000TTTsXX 1010000 sYY 則新決策單元則新決策單元),(00YX是決策單元是決策單元 4 4 對應的對應的 (X(X0 0,Y,Y0 0) ) 在在 DEA 相對有效面相對有效面 上的上的 投影投影 ， 它它( (作為第作為第 5 5 個決策單元個決策單元 ) )與原來的與原來的 4 4 個決策單元構(gòu)成新的評價系統(tǒng)，如下圖：個決策單元構(gòu)成新的評價系統(tǒng)，如下圖：12345 決策單元投入1133412/5231326/511211 1 產(chǎn)出2011年2月管理工程學院運籌學運

30、籌學23 對應的線性規(guī)劃模型（對應的線性規(guī)劃模型（D D ）為）為 對應的線性規(guī)劃模型（對應的線性規(guī)劃模型（D D ）為）為（D D ）：）：Max V VD D = = - 0.000001(s - 0.000001(s- -1 1+s+s- -2 2+s+s+ +1 1) ) s.t. s.t. 1 1 + 3+ 3 2 2 + 3+ 3 3 3 + 4+ 4 4 4 + +(12/5)(12/5) 5 5 + s+ s- -1 1 = = (12/5)(12/5) 3 3 1 1 + + 2 2 + 3+ 3 3 3 + 2+ 2 4 4 + + (6/5)(6/5) 5 5 + s+

31、s- -2 2 = = (6/5)(6/5) 1 1 + + 2 2 + 2+ 2 3 3 + + 4 4 + + 5 5 s s+ +1 1 = 1= 1 1 1, , 2 2 , , 3 3 , , 4 4 , , 5 5 ,s,s- -1 1,s,s- -2 2 s s+ +1 1 0 0利用單純形法求解，得到最優(yōu)解利用單純形法求解，得到最優(yōu)解 0 0=(0,3/5,1/5,0,0)=(0,3/5,1/5,0,0)T T ，S S1 10- 0- = S= S2 20-0- = S = S1 10+ 0+ = 0= 0， 0 0=1=1因此，新決策單元因此，新決策單元5 5是是DEADE

32、A有效的。有效的。 由此例看出，在評價系統(tǒng)中決策單元由此例看出，在評價系統(tǒng)中決策單元4 4非非DEA DEA 有效，用有效，用 “投影投影”方法構(gòu)造了在方法構(gòu)造了在DEADEA相對相對 有效面上的新決策單元有效面上的新決策單元5 5。 并且分析決策單元并且分析決策單元4 4非非DEA DEA 有效的原因是：投入指標量過大，經(jīng)過改進，只需要原投入有效的原因是：投入指標量過大，經(jīng)過改進，只需要原投入量的量的3/53/5，因為決策單元，因為決策單元4 4原投入量為原投入量為(4(4，2)2)T T，改進后應為，改進后應為(12/5(12/5，6/5)6/5)T T，后者為前者的，后者為前者的3/53

33、/5，產(chǎn)出量不變，相對效率提高，即可轉(zhuǎn)化為產(chǎn)出量不變，相對效率提高，即可轉(zhuǎn)化為DEA DEA 有效的決策單元。有效的決策單元。 2011年2月管理工程學院運籌學運籌學24 4.2 DEA4.2 DEA有效性的經(jīng)濟意義有效性的經(jīng)濟意義 一、一、生產(chǎn)函數(shù)和生產(chǎn)可能集生產(chǎn)函數(shù)和生產(chǎn)可能集 1. 1. 生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù) y=f(x)y=f(x) ：在單投入和單產(chǎn)出的情況下，生產(chǎn)函數(shù)：在單投入和單產(chǎn)出的情況下，生產(chǎn)函數(shù)( (一般是增函數(shù)一般是增函數(shù)) )表示理想的生產(chǎn)表示理想的生產(chǎn) 狀態(tài)，即投入狀態(tài)，即投入x x所能獲得的最大產(chǎn)出所能獲得的最大產(chǎn)出y y。因此，生產(chǎn)函數(shù)曲線上的點。因此，生產(chǎn)函數(shù)曲線上的

34、點(x,y)(x,y)所對應的決策單元，所對應的決策單元， 從生產(chǎn)函數(shù)的角度看，是處于技術(shù)有效狀態(tài)從生產(chǎn)函數(shù)的角度看，是處于技術(shù)有效狀態(tài), ,生產(chǎn)函數(shù)圖形如下圖，生產(chǎn)函數(shù)圖形如下圖，A A、C C處于技術(shù)有效狀態(tài)。處于技術(shù)有效狀態(tài)。 B(4,1)oyxC(5,3.5)A(2,2)y=f(x) 2011年2月管理工程學院運籌學運籌學25 點點A A將曲線分為兩部分，在點將曲線分為兩部分，在點A A之左，之左，y y0 0，y y0 0，曲線是下凸的在生產(chǎn)函數(shù)的下凸區(qū)間，曲線是下凸的在生產(chǎn)函數(shù)的下凸區(qū)間， 表示增加投入量可以使產(chǎn)出量的遞增速度增加，此時稱為規(guī)模收益遞增，廠商有投資的積極性；表示增加

35、投入量可以使產(chǎn)出量的遞增速度增加，此時稱為規(guī)模收益遞增，廠商有投資的積極性； 在點在點A A之右，之右，y y0 0，y y0 0，曲線是上凸的，在此區(qū)間，增加投入量只能使產(chǎn)出量增加的速度減，曲線是上凸的，在此區(qū)間，增加投入量只能使產(chǎn)出量增加的速度減 小，此時稱為規(guī)模收益遞減，廠商己經(jīng)沒有增加投資的積極性。小，此時稱為規(guī)模收益遞減，廠商己經(jīng)沒有增加投資的積極性。 點點A A是生產(chǎn)函數(shù)曲線的拐點，點是生產(chǎn)函數(shù)曲線的拐點，點A A所對應的決策單元，既是技術(shù)有效，也是規(guī)模有效。所對應的決策單元，既是技術(shù)有效，也是規(guī)模有效。 這是因為該決策單元減少投入量或增加投入量，都不是最佳生產(chǎn)規(guī)模。這是因為該決策

36、單元減少投入量或增加投入量，都不是最佳生產(chǎn)規(guī)模。 點點C C在生產(chǎn)函數(shù)曲線上，對應的決策單元技術(shù)有效，但不是規(guī)模有效。在生產(chǎn)函數(shù)曲線上，對應的決策單元技術(shù)有效，但不是規(guī)模有效。 這是由于點這是由于點C C位于規(guī)模收益遞減區(qū)間。位于規(guī)模收益遞減區(qū)間。 點點B B不在生產(chǎn)函數(shù)曲線之上，并位于規(guī)模收益遞減區(qū)域，點不在生產(chǎn)函數(shù)曲線之上，并位于規(guī)模收益遞減區(qū)域，點B B所對應的決策單元既不是技術(shù)所對應的決策單元既不是技術(shù) 有效，也不是規(guī)模有效。有效，也不是規(guī)模有效。 2011年2月管理工程學院運籌學運籌學26 2. 2. 生產(chǎn)可能集生產(chǎn)可能集 所有可能的生產(chǎn)活動構(gòu)成的集合，記作所有可能的生產(chǎn)活動構(gòu)成的集

37、合，記作 T=(X,Y)|T=(X,Y)|產(chǎn)出產(chǎn)出Y Y可由投入可由投入X X生產(chǎn)出來生產(chǎn)出來 由于由于(X(Xk k,Y,Yk k) )是決策單元是決策單元k k的生產(chǎn)活動，于是有的生產(chǎn)活動，于是有(X(Xk k,Y,Yk k) ) T T，k=1,2,k=1,2,n,n 在在C C2 2R R模型中，生產(chǎn)可能集應該滿足下面的四條公理：模型中，生產(chǎn)可能集應該滿足下面的四條公理： 公理公理1 (1 (凸性凸性) ) 對于任意對于任意(X(X1 1,Y,Y1 1) ) T T、(X(X2 2,Y,Y2 2) ) T T，以及任意，以及任意0,10,1，均有，均有 (X(X1 1,Y,Y1 1)+

38、(1-)+(1- ) )(X(X2 2,Y,Y2 2)=()=( X X1 1+(1-+(1- ) )X X2 2 ， Y Y1 1+(1-+(1- ) )Y Y2 2 ) ) T T 即是說即是說, ,如果如果 X X1 1,X,X2 2 分別以分別以 ,1-,1- 加權(quán)和作為投入量，則加權(quán)和作為投入量，則 Y Y1 1,Y,Y2 2以同樣的加權(quán)和作為產(chǎn)出量。以同樣的加權(quán)和作為產(chǎn)出量。 公理公理2 (2 (錐性錐性) ) 對于任意對于任意(X,Y)(X,Y) T T，以及任意數(shù)，以及任意數(shù) 0，均有，均有 (X,Y)=(X,Y)=( X,X, Y)Y) T T 即是說，如果以即是說，如果以

39、X X 的的 倍作為投入量，則產(chǎn)出量是倍作為投入量，則產(chǎn)出量是 Y Y 的同樣倍數(shù)。的同樣倍數(shù)。 2011年2月管理工程學院運籌學運籌學27 公理公理3 (3 (無效性無效性) ) 對于任意對于任意(X,Y)(X,Y) T T， 若若 X XXX，則均有，則均有(X(X,Y),Y) T T； 若若 Y YYY，則均有，則均有(X,Y(X,Y) ) T T。 即是說，在原生產(chǎn)活動中，單方面地增加投入量或者減少產(chǎn)出量，生產(chǎn)活動總是可能的。即是說，在原生產(chǎn)活動中，單方面地增加投入量或者減少產(chǎn)出量，生產(chǎn)活動總是可能的。 公理公理4 (4 (最小性最小性) ) 生產(chǎn)可能集生產(chǎn)可能集 T T 是滿足公理是

40、滿足公理1 13 3的所有集合的交集。的所有集合的交集。 由由 n n 個決策單元個決策單元(X(Xk k,Y,Yk k) )的生產(chǎn)活動所描述的生產(chǎn)可能集，滿足公理的生產(chǎn)活動所描述的生產(chǎn)可能集，滿足公理1 14 4是唯一確定的。是唯一確定的。 這個生產(chǎn)可能集可以表示為：這個生產(chǎn)可能集可以表示為： , 2 , 1, 0,| ),(11nkYYXXYXTknkkknkkk 2011年2月管理工程學院運籌學運籌學28 【例例4 4】設(shè)有單投入單產(chǎn)出設(shè)有單投入單產(chǎn)出3 3個決策單元的評價系統(tǒng)，其數(shù)據(jù)如下圖：個決策單元的評價系統(tǒng)，其數(shù)據(jù)如下圖：1231245213.51 則其生產(chǎn)可能集為則其生產(chǎn)可能集為

41、 0,5 . 32,542| ),(321321321 YXYXT2011年2月管理工程學院運籌學運籌學29 二、模型二、模型C C2 2R R下下DEADEA有效性的經(jīng)濟意義有效性的經(jīng)濟意義 )(:)( seseVMinDTTD 01.XSXtskkkk 0,;,2, 1,0 SSnkk 01YSYknkk :)(DVMinD01.XXtskkkk nkk,2, 1,0 01YYknkk 由于由于(X(X0 0,Y,Y0 0) ) T T，即，即(X(X0 0,Y,Y0 0) )滿足條件：滿足條件： 0101,YYXXnkkknkkk 線性規(guī)劃模型（線性規(guī)劃模型（D D）表示在生產(chǎn)可能集內(nèi)，

42、當產(chǎn)出）表示在生產(chǎn)可能集內(nèi)，當產(chǎn)出Y Y0 0保持不變的情況下，盡量將投入量保持不變的情況下，盡量將投入量X X0 0按同一按同一比例減少。比例減少。 如果投入量如果投入量X X0 0不能按同一比例不能按同一比例減少，即模型（減少，即模型（D D）的最優(yōu)值）的最優(yōu)值V VD D = = 0 0 =1=1，決策單元，決策單元k k0 0同時技術(shù)有效同時技術(shù)有效和規(guī)模有效；和規(guī)模有效； 如果投入量如果投入量X X0 0能按同一比例能按同一比例 減少，模型（減少，模型（D D）最優(yōu)值）最優(yōu)值V VD D = = 0 0 1 1， 決策單元決策單元k k0 0不是技術(shù)有效或規(guī)模有效。不是技術(shù)有效或規(guī)模

43、有效。 2011年2月管理工程學院運籌學運籌學30 設(shè)模型（設(shè)模型（D D ）的最優(yōu)解為）的最優(yōu)解為 0 0、s s0-0-、s s0+0+、 0 0 ，分三種情況進一步討論：，分三種情況進一步討論： 0 0 = 1 = 1，且，且 s s0- 0- = 0= 0、s s0+ 0+ = 0 = 0 ：決策單元：決策單元k k0 0為為DEA有效。有效。 其經(jīng)濟意義是：決策單元其經(jīng)濟意義是：決策單元k k0 0的生產(chǎn)活動的生產(chǎn)活動(X(X0 0,Y,Y0 0) )同時為技術(shù)有效和規(guī)模有效。同時為技術(shù)有效和規(guī)模有效。 所謂技術(shù)有效，是指對于生產(chǎn)活動所謂技術(shù)有效，是指對于生產(chǎn)活動(X(X0 0,Y,

44、Y0 0) )，從技術(shù)角度來看，資源獲得了充分利用，從技術(shù)角度來看，資源獲得了充分利用， 投入要素達到最佳組合，取得了最大的產(chǎn)出效果，效率評價指標投入要素達到最佳組合，取得了最大的產(chǎn)出效果，效率評價指標h h0 0=V=Vp p=V=VD D= = 0 0 = 1 = 1 。 0 0 = 1 = 1，但至少有某個，但至少有某個 s si i0- 0- 0 0 或者至少有某個或者至少有某個 s sj j0+ 0+ 0 0：決策單元：決策單元k k0 0為弱為弱DEA有效。有效。 其經(jīng)濟意義是：決策單元其經(jīng)濟意義是：決策單元 k k0 0 不是同時技術(shù)有效和規(guī)模收益有效。不是同時技術(shù)有效和規(guī)模收益

45、有效。 若某個若某個s si i0- 0- 0 0，表示第，表示第 i i 種投入指標有種投入指標有 s si i0- 0- 沒有充分利用；沒有充分利用； 若某個若某個s sj j0+ 0+ 0 0，表示第，表示第 j j 種產(chǎn)出指標與最大產(chǎn)出值尚有種產(chǎn)出指標與最大產(chǎn)出值尚有 s sj j0+ 0+ 的不足。的不足。 0 0 1 1：決策單元：決策單元k k0 0不是不是DEA有效。有效。 其經(jīng)濟意義是：決策單元其經(jīng)濟意義是：決策單元 k k0 0 的生產(chǎn)活動的生產(chǎn)活動(X(X0 0,Y,Y0 0) )既不是技術(shù)效率最佳既不是技術(shù)效率最佳, ,也不是規(guī)模收益最佳。也不是規(guī)模收益最佳。 2011

46、年2月管理工程學院運籌學運籌學31 例如，例如， = 0.9= 0.91 1，模型（，模型（D D ）的約束條件為）的約束條件為 ,9 . 00001XSXkkkk 001YSYknkk 這表示：得到產(chǎn)出量這表示：得到產(chǎn)出量Y Y0 0，至多只需投入量，至多只需投入量0.9X0.9X0 0，即生產(chǎn)活動，即生產(chǎn)活動(X(X0 0,Y,Y0 0) )的投入規(guī)模過大，的投入規(guī)模過大， 故不是同時為技術(shù)效率最佳和規(guī)模收益最佳。故不是同時為技術(shù)效率最佳和規(guī)模收益最佳。 【例例5 5】設(shè)有單投入單產(chǎn)出設(shè)有單投入單產(chǎn)出3 3個決策單元的評價系統(tǒng)個決策單元的評價系統(tǒng)( (數(shù)據(jù)如下數(shù)據(jù)如下) )，討論各決策單元

47、的，討論各決策單元的DEADEA有效性。有效性。 1231245213.512011年2月管理工程學院運籌學運籌學32 解：解： 決策單元決策單元 1 1 的線性規(guī)劃模型（的線性規(guī)劃模型（D D ），?。?，取 = 10= 10-6-6，為，為 （D D ）：）：Max V VD D = = - 0.000001(s - 0.000001(s- -1 1+s+s+ +1 1) ) s.t. 2 s.t. 2 1 1 + 4+ 4 2 2 + 5+ 5 3 3 + s+ s- -1 1 = 2= 2 2 2 1 1 + + 2 2 + 3.5+ 3.5 3 3 s s+ +1 1 = 2= 2 1

48、 1, , 2 2 , , 3 3,s,s- -1 1, s, s+ +1 1 0 0 利用單純形法求解，得到最優(yōu)解利用單純形法求解，得到最優(yōu)解 0 0=(1,0,0)=(1,0,0)T T，S S1 10- 0- = S= S1 10+ 0+ = 0= 0， 0 0=1=1 因此，決策單元因此，決策單元 1 1 同時技術(shù)有效和規(guī)模有效。同時技術(shù)有效和規(guī)模有效。 生產(chǎn)活動生產(chǎn)活動(2(2，2)2)在圖中對應點在圖中對應點A A，表示同時取得最佳技術(shù)效率和最佳規(guī)模收益。，表示同時取得最佳技術(shù)效率和最佳規(guī)模收益。 B(4,1)oyxC(5,3.5)A(2,2)y=f(x) 2011年2月管理工程學

49、院運籌學運籌學33 決策單元決策單元 2 2 的線性規(guī)劃模型（的線性規(guī)劃模型（D D ），?。?，取 = 10= 10-6-6，為，為 （D D ）：）：Max V VD D = = - 0.000001(s - 0.000001(s- -1 1+s+s+ +1 1) ) s.t. 2 s.t. 2 1 1 + 4+ 4 2 2 + 5+ 5 3 3 + s+ s- -1 1 = 4= 4 2 2 1 1 + + 2 2 + 3.5+ 3.5 3 3 s s+ +1 1 = 1= 1 1 1, , 2 2 , , 3 3,s,s- -1 1, s, s+ +1 1 0 0 利用單純形法求解，得到

50、最優(yōu)解利用單純形法求解，得到最優(yōu)解 0 0=(1/2,0,0)=(1/2,0,0)T T，S S1 10- 0- = S= S1 10+ 0+ = 0= 0， 0 0=1/4=1/41 1 因此，決策單元因此，決策單元 2 2 不是不是DEA有效。有效。 生產(chǎn)活動生產(chǎn)活動(4(4，1)1)在圖中對應點在圖中對應點B B，既非技術(shù)有效，也非規(guī)模有效。，既非技術(shù)有效，也非規(guī)模有效。 B(4,1)oyxC(5,3.5)A(2,2)y=f(x) 2011年2月管理工程學院運籌學運籌學34 決策單元決策單元 3 3 的線性規(guī)劃模型（的線性規(guī)劃模型（D D ），?。?，取 = 10= 10-6-6，為，為

51、（D D ）：）：Max V VD D = = - 0.000001(s - 0.000001(s- -1 1+s+s+ +1 1) ) s.t. 2 s.t. 2 1 1 + 4+ 4 2 2 + 5+ 5 3 3 + s+ s- -1 1 = 5= 5 2 2 1 1 + + 2 2 + 3.5+ 3.5 3 3 s s+ +1 1 = 3.5= 3.5 1 1, , 2 2 , , 3 3,s,s- -1 1, s, s+ +1 1 0 0 利用單純形法求解，得到最優(yōu)解利用單純形法求解，得到最優(yōu)解 0 0=(7/4,0,0)=(7/4,0,0)T T，S S1 10- 0- = S= S

52、1 10+ 0+ = 0= 0， 0 0=7/10=7/101 1 因此，決策單元因此，決策單元 3 3 不是不是DEA有效。有效。 生產(chǎn)活動生產(chǎn)活動(5(5，3.5)3.5)在圖中對應點在圖中對應點C C，該點在生產(chǎn)函數(shù)曲線上，僅是技術(shù)有效而不是規(guī)模有效。，該點在生產(chǎn)函數(shù)曲線上，僅是技術(shù)有效而不是規(guī)模有效。 B(4,1)oyxC(5,3.5)A(2,2)y=f(x) 2011年2月管理工程學院運籌學運籌學35 三、生產(chǎn)活動規(guī)模收益的判定三、生產(chǎn)活動規(guī)模收益的判定 )(:)( seseVMinDTTD 01.XSXtskkkk 0,;,2, 1,0 SSnkk 01YSYknkk 定理定理6

53、6 設(shè)線性規(guī)劃（設(shè)線性規(guī)劃（D D ）的最優(yōu)解為）的最優(yōu)解為 0 0、s s0-0-、s s0+0+、 0 0 若若 ,11100 nkk 則決策單元則決策單元 k k0 0 規(guī)模收益不變；規(guī)模收益不變； 若若 ,11100 nkk 則決策單元則決策單元 k k0 0 規(guī)模收益遞增；規(guī)模收益遞增； 若若 ,11100 nkk 則決策單元則決策單元 k k0 0 規(guī)模收益遞減。規(guī)模收益遞減。 2011年2月管理工程學院運籌學運籌學36 【例例6 6】設(shè)有單投入單產(chǎn)出設(shè)有單投入單產(chǎn)出5 5個決策單元的評價系統(tǒng)個決策單元的評價系統(tǒng)( (數(shù)據(jù)如下圖數(shù)據(jù)如下圖) )。試討論決策單元。試討論決策單元1 1

54、、3 3、5 5 的規(guī)模收益問題。的規(guī)模收益問題。 12345135426 解：解： 決策單元決策單元 1 1 的線性規(guī)劃模型（的線性規(guī)劃模型（D D ），?。?，取 = 10= 10-6-6，為，為 （D D ）：）：Max V VD D = = - 0.000001(s - 0.000001(s- -1 1+s+s+ +1 1) ) s.t. 3 s.t. 3 1 1 + 5+ 5 2 2 + 4+ 4 3 3 + 2+ 2 4 4 + 6+ 6 5 5 + s+ s- -1 1 = 3= 3 2 2 1 1 + 4+ 4 2 2 + + 3 3 + + 4 4 +4.5+4.5 5 5 s

55、 s+ +1 1 = 2= 2 1 1, , 2 2 , , 3 3, , 4 4 , , 5 5,s,s- -1 1, s, s+ +1 1 0 0 利用單純形法求解，得到最優(yōu)解利用單純形法求解，得到最優(yōu)解 0 0=(0,1/2,0,0,0)=(0,1/2,0,0,0)T T，S S1 10- 0- = S= S1 10+ 0+ = 0= 0， 0 0=5/6=5/61 1 因此，決策單元因此，決策單元 1 1 非非DEA有效。有效。 24114.5 1 由于由于 ,1531100 nkk 所以決策單元所以決策單元 1 1 規(guī)模收益遞增。規(guī)模收益遞增。2011年2月管理工程學院運籌學運籌學3

56、7 決策單元決策單元 2 2 的線性規(guī)劃模型（的線性規(guī)劃模型（D D ），?。?，取 = 10= 10-6-6，為，為 （D D ）：）：Max V VD D = = - 0.000001(s - 0.000001(s- -1 1+s+s+ +1 1) ) s.t. 3 s.t. 3 1 1 + 5+ 5 2 2 + 4+ 4 3 3 + 2+ 2 4 4 + 6+ 6 5 5 + s+ s- -1 1 = 5= 5 2 2 1 1 + 4+ 4 2 2 + + 3 3 + + 4 4 +4.5+4.5 5 5 s s+ +1 1 = 4= 4 1 1, , 2 2 , , 3 3, , 4 4

57、 , , 5 5,s,s- -1 1, s, s+ +1 1 0 0 利用單純形法求解，得到最優(yōu)解利用單純形法求解，得到最優(yōu)解 0 0=(0,1,0,0,0)=(0,1,0,0,0)T T，S S1 10- 0- = S= S1 10+ 0+ = 0= 0， 0 0 = 1= 1 因此，決策單元因此，決策單元 2 2 為為DEA有效。有效。 由于由于 ,11100 nkk 所以決策單元所以決策單元 2 2 規(guī)模收益不變。規(guī)模收益不變。2011年2月管理工程學院運籌學運籌學38 利用單純形法求解，得到最優(yōu)解利用單純形法求解，得到最優(yōu)解 0 0=(0,9/8,0,0,0)=(0,9/8,0,0,0

58、)T T，S S1 10- 0- = S= S1 10+ 0+ = 0= 0， 0 0 = 15/16= 15/161 1 因此，決策單元因此，決策單元 5 5 非非DEA有效。有效。 由于由于 ,1561100 nkk 所以決策單元所以決策單元 2 2 規(guī)模收益遞減規(guī)模收益遞減 。 同樣地，可以判定決策單元同樣地，可以判定決策單元 3 3、4 4 均為規(guī)模收益遞增。均為規(guī)模收益遞增。 決策單元決策單元 5 5 的線性規(guī)劃模型（的線性規(guī)劃模型（D D ），取），取 = 10= 10-6-6，為，為 （D D ）：）：Max V VD D = = - 0.000001(s - 0.000001(

59、s- -1 1+s+s+ +1 1) ) s.t. 3 s.t. 3 1 1 + 5+ 5 2 2 + 4+ 4 3 3 + 2+ 2 4 4 + 6+ 6 5 5 + s+ s- -1 1 = 6= 6 2 2 1 1 + 4+ 4 2 2 + + 3 3 + + 4 4 +4.5+4.5 5 5 s s+ +1 1 = 4.5= 4.5 1 1, , 2 2 , , 3 3, , 4 4 , , 5 5,s,s- -1 1, s, s+ +1 1 0 02011年2月管理工程學院運籌學運籌學394.3 DEA4.3 DEA軟件介紹軟件介紹1.DEAP-Version 2.11.DEAP-V

60、ersion 2.1（Win4deap 1.1.2Win4deap 1.1.2）http:/.au/econometrics/.au/econometrics/cepa.htm2.FRONTIER-Version 4.1C2.FRONTIER-Version 4.1Chttp:/.au/econometrics/.au/econometrics/cepa.htm 3.Efficiency Measurement System - Version 1.3