2021版數(shù)學(xué)（新教材）必修 第一冊(cè)人教A版：第五章 5-4-3

1、5.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握正切函數(shù)的周期性和奇偶性.2.能借助單位圓畫出ytan x的圖象.3.掌握正切函數(shù)的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)函數(shù)ytan x的圖象與性質(zhì)解析式y(tǒng)tan x圖象定義域eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xf(,2)k，kZ)值域R最小正周期奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性在每個(gè)開區(qū)間eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)k，f(,2)k)(kZ)上都是增函數(shù)對(duì)稱性對(duì)稱中心eq blc(rc)(avs4alco1(f(k,2)，0)(kZ)思考正切函數(shù)ytan x的圖象與xkeq f(,2)，kZ有公共點(diǎn)嗎？答案沒有正切曲線

2、是由被互相平行的直線xkeq f(,2)(kZ)隔開的無窮多支曲線組成的1正切函數(shù)的定義域和值域都是R.()2正切函數(shù)圖象是中心對(duì)稱圖形，有無數(shù)個(gè)對(duì)稱中心()3正切函數(shù)圖象有無數(shù)條對(duì)稱軸，其對(duì)稱軸是xkeq f(,2)，kZ.()4正切函數(shù)是增函數(shù)()一、正切函數(shù)的圖象的畫法例1我們能用“五點(diǎn)法”畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖，類似地你能畫出正切函數(shù)ytan x，xeq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)的簡(jiǎn)圖嗎？解 三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，1)，(0,0)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，1)，兩條平行線：

3、xeq f(,2)，xeq f(,2).反思感悟“三點(diǎn)兩線法”作正切曲線的簡(jiǎn)圖(1)“三點(diǎn)”分別為eq blc(rc)(avs4alco1(kf(,4)，1)，(k，0)，eq blc(rc)(avs4alco1(kf(,4)，1)，其中kZ；兩線分別為直線xkeq f(,2)和直線xkeq f(,2)，其中kZ.(兩線也稱為正切曲線的漸近線，即無限接近但不相交)(2)作簡(jiǎn)圖時(shí)，只需先作出一個(gè)周期中的兩條漸近線，然后描出三個(gè)點(diǎn)，用光滑的曲線連接得一條曲線，最后平行移動(dòng)至各個(gè)周期內(nèi)即可二、正切函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用例2(1)比較下列兩個(gè)數(shù)的大小(用“”或“”填空)：tan eq f(2,7)_ta

4、n eq f(10,7)；tan eq f(6,5)_taneq blc(rc)(avs4alco1(f(13,5).答案解析tan eq f(10,7)tan eq f(3,7)，且0eq f(2,7)eq f(3,7)eq f(,2)，又ytan x在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)上單調(diào)遞增，所以tan eq f(2,7)tan eq f(3,7)，即tan eq f(2,7)tan eq f(10,7).tan eq f(6,5)tan eq f(,5)，taneq blc(rc)(avs4alco1(f(13,5)tan eq f(2,5)，因?yàn)?eq f(,

5、5)eq f(2,5)eq f(,2)，又ytan x在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)上單調(diào)遞增，所以tan eq f(,5)tan eq f(2,5)，則tan eq f(6,5)taneq blc(rc)(avs4alco1(f(13,5).(2)求函數(shù)ytaneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)xf(,4)的單調(diào)遞增區(qū)間解令zeq f(1,2)xeq f(,4)，則ytan z.由于函數(shù)ytan z在eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)k，f(,2)k)(kZ)上是增函數(shù)，且zeq f(1,2)xeq f(,4)是增函數(shù)，由eq

6、 f(,2)keq f(1,2)xeq f(,4)eq f(,2)k，kZ，解得eq f(3,2)2kxeq f(,2)2k，kZ.所以函數(shù)ytaneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)xf(,4)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)2k，f(,2)2k)(kZ)延伸探究求函數(shù)y3taneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)xf(,4)的單調(diào)遞減區(qū)間解y3taneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)xf(,4)可化為y3taneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)xf(,4)，由keq f(,2)

7、eq f(1,2)xeq f(,4)keq f(,2)，kZ，得2keq f(,2)x0)的單調(diào)區(qū)間的求法是把x看成一個(gè)整體，解eq f(,2)kxeq f(,2)k，kZ即可當(dāng)0時(shí)，先用誘導(dǎo)公式把化為正值再求單調(diào)區(qū)間跟蹤訓(xùn)練1求函數(shù)ytaneq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)的單調(diào)區(qū)間解ytan x在eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)k，f(,2)k)(kZ)上是增函數(shù)，eq f(,2)k2xeq f(,3)eq f(,2)k，kZ，即eq f(,12)eq f(k,2)xeq f(5,12)eq f(k,2)，kZ.函數(shù)ytaneq blc(rc)(a

8、vs4alco1(2xf(,3)的單調(diào)遞增區(qū)間是eq blc(rc)(avs4alco1(f(,12)f(k,2)，f(5,12)f(k,2)(kZ)，無單調(diào)遞減區(qū)間三、正切函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用例3設(shè)函數(shù)f(x)taneq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)f(,3).(1)求函數(shù)f(x)的定義域、最小正周期、單調(diào)區(qū)間及對(duì)稱中心；(2)求不等式1f(x)eq r(3)的解集解(1)由eq f(x,2)eq f(,3)eq f(,2)k(kZ)，得xeq f(5,3)2k(kZ)，所以f(x)的定義域是eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(

9、xf(5,3)2k，kZ).因?yàn)閑q f(1,2)，所以最小正周期Teq f(,)eq f(,f(1,2)2.由eq f(,2)keq f(x,2)eq f(,3)eq f(,2)k(kZ)，得eq f(,3)2kxeq f(5,3)2k(kZ)所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)2k，f(5,3)2k)(kZ)，無單調(diào)遞減區(qū)間由eq f(x,2)eq f(,3)eq f(k,2)(kZ)，得xkeq f(2,3)(kZ)，故函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心是eq blc(rc)(avs4alco1(kf(2,3)，0)，kZ.(2)由1taneq blc

10、(rc)(avs4alco1(f(x,2)f(,3)eq r(3)，得eq f(,4)keq f(x,2)eq f(,3)eq f(,3)k(kZ)，解得eq f(,6)2kxeq f(4,3)2k(kZ)所以不等式1f(x)eq r(3)的解集是eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(f(,6)2kxf(4,3)2k，kZ).反思感悟解答正切函數(shù)圖象與性質(zhì)問題應(yīng)注意的兩點(diǎn)(1)對(duì)稱性：正切函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是eq blc(rc)(avs4alco1(f(k,2)，0)(kZ)，不存在對(duì)稱軸(2)單調(diào)性：正切函數(shù)在每個(gè)eq blc(rc)(avs4alco1

11、(f(,2)k，f(,2)k)(kZ)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增的，但不能說其在定義域內(nèi)是遞增的跟蹤訓(xùn)練2關(guān)于x的函數(shù)f(x)tan(x)有以下幾種說法：對(duì)任意的，f(x)都是非奇非偶函數(shù)；f(x)的圖象關(guān)于eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，0)對(duì)稱；f(x)的圖象關(guān)于(，0)對(duì)稱；f(x)是以為最小正周期的周期函數(shù)其中不正確的說法的序號(hào)是_答案解析若取k(kZ)，則f(x)tan x，此時(shí)，f(x)為奇函數(shù)，所以錯(cuò)；觀察正切函數(shù)ytan x的圖象，可知ytan x關(guān)于eq blc(rc)(avs4alco1(f(k,2)，0)(kZ)對(duì)稱，令xeq f(k,2)得xeq f(k,2

12、)，分別令k1,2知，正確，顯然正確1函數(shù)ytaneq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,4)的最小正周期為()A2 B C.eq f(,2) D.eq f(,4)答案C解析根據(jù)周期公式計(jì)算得Teq f(,)eq f(,2)，故選C.2函數(shù)ytaneq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)的定義域是()A.eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xf(,4) B.eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xf(,4)C.eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xkf

13、(,4)，kZ) D.eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xkf(3,4)，kZ)答案D解析由xeq f(,4)keq f(,2)(kZ)得xkeq f(3,4)，kZ.3函數(shù)ytaneq blc(rc)(avs4alco1(xf(,5)的一個(gè)對(duì)稱中心是()A(0,0) B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(,5)，0) C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)，0) D(，0)答案C解析令xeq f(,5)eq f(k,2)，得xeq f(k,2)eq f(,5)，kZ，所以函數(shù)ytaneq blc(rc)(avs4alc

14、o1(xf(,5)的對(duì)稱中心是eq blc(rc)(avs4alco1(f(k,2)f(,5)，0)，kZ.令k2，可得函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)，0).4函數(shù)ytan(x)，xeq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，f(,3)的值域?yàn)開答案(eq r(3)，1)解析ytan(x)tan x，在eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，f(,3)上為減函數(shù)，所以值域?yàn)?eq r(3)，1)5比較大小：tan eq f(13,4)_tan eq f(17,5).答案解析因?yàn)閠an eq f(13,4)tan eq f(,4

15、)，tan eq f(17,5)tan eq f(2,5)，又0eq f(,4)eq f(2,5)eq f(,2)，ytan x在eq blcrc)(avs4alco1(0，f(,2)內(nèi)單調(diào)遞增，所以tan eq f(,4)tan eq f(2,5)，即tan eq f(13,4)tan eq f(17,5).1知識(shí)清單：(1)正切函數(shù)圖象的畫法；(2)正切函數(shù)的性質(zhì)2方法歸納：三點(diǎn)兩線法，整體代換，換元3常見誤區(qū)：最小正周期Teq f(,|)，在定義域內(nèi)不單調(diào)，對(duì)稱中心為eq blc(rc)(avs4alco1(f(k,2)，0)(kZ)1函數(shù)f(x)2tan(x)是()A奇函數(shù)B偶函數(shù)C既

16、是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)D非奇非偶函數(shù)答案A解析f(x)2tan xf(x)，為奇函數(shù)2f(x)taneq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)的單調(diào)減區(qū)間是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(kf(,2)，kf(,2)，kZB(k，(k1)，kZC.eq blc(rc)(avs4alco1(kf(3,4)，kf(,4)，kZD.eq blc(rc)(avs4alco1(kf(,4)，kf(3,4)，kZ答案C解析令eq f(,2)kxeq f(,4)eq f(,2)k，kZ，解得eq f(3,4)kx0)的圖象上的相鄰兩支曲線截直線y1所得的線段長(zhǎng)為eq f(,4).則

17、的值是()A1 B2 C4 D8答案C解析由題意可得f(x)的最小正周期為eq f(,4)，則eq f(,)eq f(,4)，4.4若f(x)taneq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)，則()Af(0)f(1)f(1) Bf(0)f(1)f(1)Cf(1)f(0)f(1) Df(1)f(0)f(1)答案A解析f(x)在keq f(,2)xeq f(,4)keq f(,2)，kZ，即keq f(3,4)xkeq f(,4)，kZ上是增函數(shù)，且周期為，f(1)f(1)，eq f(3,4)110eq f(,4)，f(1)f(1)f(1)f(1)5下列關(guān)于函數(shù)ytaneq blc(r

18、c)(avs4alco1(xf(,3)的說法正確的是()A在區(qū)間eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，f(5,6)上單調(diào)遞增B最小正周期是C圖象關(guān)于點(diǎn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，0)成中心對(duì)稱D圖象關(guān)于直線xeq f(,6)成軸對(duì)稱考點(diǎn)正切函數(shù)周期性與對(duì)稱性題點(diǎn)正切函數(shù)周期性與對(duì)稱性答案B解析令keq f(,2)xeq f(,3)keq f(,2)，kZ，解得keq f(5,6)xkeq f(,6)，kZ，顯然eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，f(5,6)不滿足上述關(guān)系式，故A錯(cuò)誤；易知該函數(shù)的最小正周期為，故B正確；令xeq f(

19、,3)eq f(k,2)，kZ，解得xeq f(k,2)eq f(,3)，kZ，任取k值不能得到xeq f(,4)，故C錯(cuò)誤；正切函數(shù)曲線沒有對(duì)稱軸，因此函數(shù)ytaneq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)的圖象也沒有對(duì)稱軸，故D錯(cuò)誤故選B.6函數(shù)y3taneq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)的最小正周期是eq f(,2)，則_.答案2解析Teq f(,|)eq f(,2)，2.7函數(shù)yeq r(1tan x)的定義域?yàn)開答案eq blc(rc(avs4alco1(kf(,2)，kf(,4)(kZ)8函數(shù)y2taneq blc(rc)(avs4alco1(3xf

20、(,4)5的單調(diào)遞增區(qū)間是_答案eq blc(rc)(avs4alco1(f(k,3)f(,4)，f(k,3)f(,12)，kZ解析令keq f(,2)3xeq f(,4)keq f(,2)(kZ)，得eq f(k,3)eq f(,4)xeq f(k,3)eq f(,12)(kZ)9設(shè)函數(shù)f(x)taneq blc(rc)(avs4alco1(f(x,3)f(,3).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期、對(duì)稱中心；(2)作出函數(shù)f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖解(1)eq f(1,3)，最小正周期Teq f(,)eq f(,f(1,3)3.令eq f(x,3)eq f(,3)eq f(k,2)(kZ)，

21、得xeq f(3k,2)(kZ)，f(x)的對(duì)稱中心是eq blc(rc)(avs4alco1(f(3k,2)，0)(kZ)(2)令eq f(x,3)eq f(,3)0，則x；令eq f(x,3)eq f(,3)eq f(,2)，則xeq f(5,2)；令eq f(x,3)eq f(,3)eq f(,2)，則xeq f(,2).函數(shù)ytaneq blc(rc)(avs4alco1(f(x,3)f(,3)的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是(，0)，在這個(gè)交點(diǎn)左、右兩側(cè)相鄰的兩條漸近線方程分別是xeq f(,2)，xeq f(5,2)，從而得到函數(shù)yf(x)在一個(gè)周期eq blc(rc)(avs4alc

22、o1(f(,2)，f(5,2)內(nèi)的簡(jiǎn)圖(如圖).10已知函數(shù)f(x)3taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)f(x,4).(1)求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)試比較f()與feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)的大小解(1)因?yàn)閒(x)3taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)f(x,4)3taneq blc(rc)(avs4alco1(f(x,4)f(,6)，所以Teq f(,)eq f(,f(1,4)4.由keq f(,2)eq f(x,4)eq f(,6)keq f(,2)(kZ)，得4keq f(4,3)x4keq

23、f(8,3)(kZ)因?yàn)閥3taneq blc(rc)(avs4alco1(f(x,4)f(,6)在eq blc(rc)(avs4alco1(4kf(4,3)，4kf(8,3)(kZ)內(nèi)單調(diào)遞增，所以f(x)3taneq blc(rc)(avs4alco1(f(x,4)f(,6)在eq blc(rc)(avs4alco1(4kf(4,3)，4kf(8,3)(kZ)內(nèi)單調(diào)遞減故原函數(shù)的最小正周期為4.單調(diào)遞減區(qū)間為eq blc(rc)(avs4alco1(4kf(4,3)，4kf(8,3)(kZ)(2)f()3taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)f(,4)3taneq bl

24、c(rc)(avs4alco1(f(,12)3tan eq f(,12)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)3taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)f(3,8)3taneq blc(rc)(avs4alco1(f(5,24)3taneq f(5,24)，因?yàn)?eq f(,12)eq f(5,24)eq f(,2)，且ytan x 在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)上單調(diào)遞增，所以tan eq f(,12)feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2).11若f(n)tan eq f(n,3)(nN*)，則f(1)f(2

25、)f(2 019)等于()Aeq r(3) B.eq r(3) C0 D2eq r(3)答案C解析由題意可知，Teq f(,f(,3)3，f(1)eq r(3)，f(2)eq r(3)，f(3)0f(1)f(2)f(3)0，故f(1)f(2)f(2 019)67300.12已知函數(shù)ytan x在區(qū)間eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)內(nèi)是減函數(shù)，則()A01 B10C1 D1答案B解析ytan x在eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)內(nèi)是減函數(shù)，0且Teq blc|rc|(avs4alco1(f(,)，10，0，|f(,2)的圖象與x軸相

26、交的兩相鄰點(diǎn)的坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，0)和eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,6)，0)，且過點(diǎn)(0，3)，則f(x)_，f(x)eq r(3)的x的取值范圍為_答案3taneq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)xf(,4)eq blcrc)(avs4alco1(f(2k,3)f(5,18)，f(2k,3)f(,2)(kZ)解析由題意可得f(x)的周期為Teq f(5,6)eq f(,6)eq f(2,3)eq f(,)，所以eq f(3,2)，得f(x)Ataneq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)x)，它的

27、圖象過點(diǎn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，0)，所以taneq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)f(,6)0，即taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)0，所以eq f(,4)k(kZ)，得keq f(,4)，kZ，又|eq f(,2)，所以eq f(,4)，于是f(x)Ataneq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)xf(,4)，它的圖象過點(diǎn)(0，3)，所以Ataneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)3，得A3.所以f(x)3taneq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)xf(,4).由3taneq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)xf(,4)eq r(3)，所以taneq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)xf(,4)eq f(r(3),3)，得keq f(,6)eq f(3,2)xeq f(,4)keq